DISPENSE 3

# PROPRIETA’ CARATTERISTICHE DEL CONTROLLO A
RETROAZIONE #
Riferimento: A.Ferrante, A.Lepschy, U.Viaro; “Introduzione ai
controlli automatici.” Editrice UTET –Torino, 2000. ⇒ CAP. 11
• RIDOTTA SENSIBILITA’ ALLE VARIAZIONI PARAMETRICHE.
• CAPACITA’ DI REIEZIONE DEI DISTURBI.
Lo scopo principale della realizzazione dei sistemi di controllo
automatico a retroazione (a catena od anello chiuso → feedback ) e’
quello di ridurre la sensibilità del sistema rispetto alle variazioni dei
parametri e di attenuare l’effetto di indesiderati, ma spesso inevitabili,
segnali di disturbo agenti sul sistema.
Esaminiamo separatamente il comportamento del sistema nel caso di:
⇒
a)
esistenza di variazioni parametriche;
⇒
b)
presenza di segnali disturbanti.
Faremo riferimento al sistema controllato a catena aperta ( ad anello
aperto → feedforward) e ne confronteremo il comportamento con il
caso di controllo a retroazione negativa (controreazione), supponendo
di voler realizzare un controllo di tipo proporzionale, tale cioè che:
yd(t)=Kdx(t)
dove Kd e’ la costante desiderata del legame ingresso-uscita.
⇒
a) In termini di schemi a blocchi le due situazioni di controllo ad
anello aperto e controllo a controreazione sono le seguenti:
1
x
Ca
u
+
e
Cc
_
r
y
K d = C a P = Wa (*)
Fig. 1 : Controllo a catena aperta:
x
P
u
P
y
H
Fig. 2 : Controllo a retroazione negativa: K d =
Cc P
= Wc (**)
1 +C c PH
Nel caso di controllo in catena aperta si dovrà fare in modo che :
Ca =
Kd
;
P
supponiamo, almeno in linea teorica, che sia possibile
ottenere ciò. Vediamone le conseguenze pratiche: qualora si abbiano
delle variazioni parametriche nel processo, tenendo Ca invariato la (*)
non sarebbe più verificata.
Bisognerebbe conoscere con notevole precisione il processo (il suo
modello P) e realizzare una Ca tale da compensare le variazioni di P.
E’ evidente che tale approccio risulta assolutamente inadatto e
irrealizzabile nella stragrande maggioranza dei casi pratici: infatti in
generale il modello del processo e’ notevolmente approssimato ed
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affetto da incertezza. Si tratterebbe inoltre di intervenire con notevole
precisione a livelli di potenza spesso anche molto elevati e ciò sarebbe
molto difficile ed oneroso.
Esaminiamo ora il caso di controllo a retroazione :
se supponiamo di rendere Cc molto elevato nel campo di frequenze
di interesse (quello dei segnali d’ingresso) si può, nella (**) trascurare
l’unita’ rispetto al prodotto CcPH per cui si ottiene:
Kd ≅
1
H
(•)
Ciò significa che, con le ipotesi ora fatte, il sistema di controllo a
retroazione si comporta in una maniera che dipende solo da H, vale a
dire che il legame ingresso-uscita e’ indipendente sia da Cc che da P.
Ne deriva che in queste ipotesi non e’ assolutamente necessario
conoscere P con grande precisione, dato che il comportamento del
sistema, dal punto di vista delle esigenze di controllo, dipende solo dal
comportamento del blocco della catena di retroazione, e quest’ultimo
e’ un dispositivo che non lavora a livello di potenza ma a livello di
segnale.
Si può concludere per il caso di controllo feedback che, nell’ipotesi di
validità della (•), gli organi Cc e P della catena diretta possono anche
avere delle variazioni parametriche notevoli e, purché gli organi della
catena di retroazione siano praticamente a parametri tempo
invarianti, tale schema di controllo soddisfa le esigenze di buon
comportamento
in
termini
di
insensibilità
alle
variazioni
parametriche.
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Per poter valutare anche quantitativamente l’influenza delle
variazioni parametriche in un sistema di controllo automatico si usa
definire una apposita “funzione di sensibilità“.
Supponiamo che il processo subisca una variazione parametrica e che
quindi la sua F. di T. passi da P a P+dP.
⇒
Si definisce sensibilità di W rispetto a P il rapporto tra la
variazione percentuale di W e la variazione percentuale di P,
definizione sintetizzata nella formula:
SP
W
dW
dW P
= W =
dP
dP W
P
(1)
Dal punto di vista del controllo il caso ideale sarebbe quello in cui tale
sensibilità fosse nulla, cioè al mutare delle caratteristiche del processo
le caratteristiche complessive del controllo rimanessero sempre le
stesse.
Calcolando, con riferimento alla (1), la funzione sensibilità per i due
casi di controllo in catena aperta e chiusa si ha rispettivamente:
SP
Wa
SP
Wc
=
dWa P d (C a P ) P
=
=1
dP Wa
dP C a P
(2)
dWc P Cc (1 + Cc PH ) − Cc PH P
1
=
=
=
Wc 1 + Cc PH
dP Wc
(1 + Cc PH )2
2
(3)
La (2) dice che nel controllo in catena aperta ogni variazione del
processo si ripercuote nella stessa misura sul legame ingresso-uscita.
La (3) dice che nel controllo in catena chiusa invece le variazioni del
processo si ritrovano nella relazione ingresso-uscita tanto più
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attenuate quanto maggiore è il modulo di Cc (a pari H), fino al caso
SP
limite di Cc→∞ , in cui si avrebbe:
Wc
=0
(caso ideale).
Conclusioni perfettamente analoghe si hanno considerando la
sensibilità di Wc rispetto a Cc , a conferma di quanto detto in
precedenza con considerazioni qualitative.
Andando a calcolare invece la
SH
Wc
d
=
dH
SH
Wc
si trova:
2
 Cc P  H
− (C c P )
C c PH
H


=
=
−
2
1 + C c PH
 1 + C c PH  Wc (1 + C c PH ) Wc
dalla quale si vede che per CcPH>>1 si ha
SH
Wc
≅ −1.
Ciò significa che gli organi della catena di retroazione (e solo questi
con le ipotesi fatte) devono avere notevole precisione (adeguatamente
alle specifiche del controllo che si vuole ottenere) perché ogni
variazione parametrica di questi si ritrova interamente sull’uscita.
⇒
b) Esaminiamo ora il caso di sistema di controllo con disturbo
nei due casi di controllo a catena aperta e controllo a
retroazione.
z
x
Ca
+
+
P
y
Fig. 3 : Controllo a catena aperta con disturbo.
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Ricordiamo che per l’assunta linearità si può scrivere:
Y ( s ) = X ( s )C a ( s ) P ( s ) + Z ( s ) P ( s )
(4)
Per attenuare gli effetti del disturbo potremmo pensare di misurare
il disturbo (cosa per altro non frequentemente effettuabile) e di
utilizzare tale misura per aggiungere a quella dell’ingresso
x
un’altra azione intesa ad annullare l’effetto del disturbo.
Dovremmo perciò aggiungere un altro blocco di controllo C’ come
rappresentato in Fig. 4:
C’
x
_
+
Ca
z
+
+
P
y
Fig. 4 : Controllo c.a. con compensazione del disturbo.
Con questa modifica l’effetto del disturbo sull’uscita sarà la somma
di due termini:
¾ il primo, come nel caso precedente, e’ dato da Z(s)P(s);
¾ il secondo e’ dato da − Z(S)C’(s)Ca(s)P(s) cioè:
Y ( s ) = X ( s )Ca ( s ) P ( s ) + [ Z ( s ) P ( s ) − Z ( s )C ' ( s )Ca ( s ) P ( s )]
(5)
Si può pensare, almeno in linea di principio, di realizzare C’ in
maniera da annullare completamente l’effetto del disturbo
scelta :
C’=1/Ca .
z con la
In questo caso si potrebbe dire di aver reso
il sistema invariante rispetto al disturbo, in quanto appunto l’uscita
non varia per la presenza di z .
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Conviene subito sottolineare che questo risultato si raggiunge solo
teoricamente sulla base delle due ipotesi:
a) poter misurare il disturbo;
b) poter realizzare il controllore C’ con funzione di trasferimento
inversa di quella del controllore Ca .
Entrambe le precedenti ipotesi sono irrealizzabili nella maggior parte
dei casi pratici.
Z
X
+
_
Cc
+
Y
P
+
H
Fig. 5 : Controllo c.c. con disturbo.
Sempre per la linearità del sistema si può distinguere l’effetto
sull’uscita del disturbo da quello dell’ingresso utile:
Y ( s ) = Yx ( s ) + Yz ( s ) = Wc ( s ) X ( s ) + Wz ( s ) Z ( s )
dove: Wc ( s ) =
Cc ( s ) P ( s )
;
1 + Cc ( s ) P ( s ) H ( s )
e Wz ( s ) =
(6)
P(s)
;
1 + Cc ( s) P( s) H ( s)
N.B. : La F. di T. Wz si ottiene applicando allo schema di Fig.5 la
formula generale per le F. di T. dei sistemi a ciclo chiuso essendo P la
F. di T. della catena diretta e CcH la F. di T. della retroazione, oppure
ricavandola con l’usuale procedura:
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Yz = ZP + Yz (− HC c P )
Yz (1 + C c PH ) = ZP
→
Wz =
→
Yz
P
=
Z 1 + Cc PH
Supponendo di poter fare in modo che : CcPH>>1 e CcH>>1 ,
Y≅
si avrebbe :
Cc P
P
1
X+
Z≅ X
Cc PH
Cc PH
H
(7)
La (7) dice che la presenza di un guadagno sufficientemente elevato
nel controllore Cc tende ad annullare l’effetto dei disturbi agenti su
punti della catena diretta a valle di Cc , oltre che (come già visto in
precedenza) annullare l’effetto delle variazioni parametriche dei
blocchi della catena diretta.
Si noti che i disturbi a monte del controllore vengono invece ad essere
sovrapposti al segnale d’ingresso x e quindi, se interessano lo stesso
campo di frequenze di x, non vengono filtrati.
I disturbi agenti nella catena di retroazione, come in figura 6, si
ritrovano inalterati sull’uscita a meno del segno.
X
+
_
Y
G
Z
H
+
+
Fig. 6 : Controllo c.c. con disturbo nella retroazione.
Wz = −
GH
≅ −1
1 + GH
se GH>>1 .
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CONCLUSIONI:
Nel caso di controllo a ciclo aperto se desideriamo eliminare gli effetti
delle variazioni parametriche dobbiamo prevederne l’entità e
compensarle; se vogliamo opporci ai disturbi dobbiamo misurarli e
annullarli. In generale nel controllo a ciclo aperto bisogna intervenire
sulle
cause
dello
scostamento
dal
comportamento
desiderato
prevedendone gli effetti (ed annullandoli).
Nel caso invece di controllo ad anello chiuso non e’ necessario agire
sulle cause degli scostamenti dal comportamento desiderato; col
comparatore si confronta istante per istante l’uscita effettiva con
quella desiderata e, se esse non coincidono, si utilizza la loro differenza
(segnale d’errore) per agire sul sistema ed eliminare l’errore,
qualunque sia la causa che lo ha provocato.
Un sistema di controllo a ciclo chiuso quindi, con una opportuna
progettazione, e’ in grado di reagire contemporaneamente sia alle
variazioni parametriche che ai disturbi in maniera automatica.
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