1-Forme Differenziali

1-Forme Differenziali
30 novembre 2011
1
Definizioni di base
Siano n ∈ N e A ⊆ Rn un insieme aperto. Con (Rn )0 denotiamo il duale
topologico di Rn , cioè l’insieme
(Rn )0 = {p : Rn → R : R-lineari e continue} .
(1.1)
Osservazione 1 Dato che lo spazio vettoriale Rn (su R) ha dimensione finita,
ogni funzione lineare p : Rn → R è continua.
Sia {x1 , . . . , xn } una base di Rn e sia {dx1 , . . . , dxn } la base duale di (Rn )0 .
Ricordiamo che le dxi sono funzioni lineari e continue da Rn a R tali che
{
1 se j = i,
(1.2)
dxi (xj ) = δij =
0 se j 6= i.
Osservazione 2 Se si considera la base canonica {e1 , . . . , en } di Rn , la corrispondente base duale {dx1 , . . . , dxn } soddisfa
dxi (a1 , . . . , an ) = ai .
Definizione 1.1 Una 1-forma differenziale ω su A è una funzione
ω : A → (Rn )0 .
Dalla precedente definizione segue che se x ∈ A allora ω(x) ∈ (Rn )0 ,
ma allora si può scrivere ω(x) come combinazione lineare di elementi della
base duale, cioè
n
∑
ω(x) =
ωj (x)dxj .
(1.3)
j=1
1
Sia ora f : A → R una funzione di classe C 1 . Il differenziale (di Frechet)
di f in un punto x ∈ A è una funzione lineare e continua da Rn a R, cioè
f 0 (x) ∈ (Rn )0 e pertanto f 0 è una 1-forma differenziale.
Definizione 1.2 Una 1-forma differenziale continua ω si dice esatta se esiste una
funzione f ∈ C 1 (A; R) tale che ω = f 0 . In tal caso f si dice una primitiva di ω.
Una 1-forma differenziale continua ω si dice localmente esatta se per ogni x ∈
A esiste un r > 0 con B(x, r) ⊆ A e una funzione f ∈ C 1 (B(x, r); R) tale che
ω = f 0 in B(x, r).
Lemma 1.3 Sia A un aperto connesso e w ∈ C(A; (Rn )0 ) una 1-forma esatta. Se
f1 e f2 sono due primitive, allora f1 − f2 è costante in A.
Dimostrazione. Si ha che ω = f10 = f20 . Quindi (f1 − f2 )0 = 0. La conclusione
segue dal fatto che A è connesso.
Definizione 1.4 Sia A un aperto di Rn . Un cammino in A è una curva in A, cioè
una funzione α : I → A con I un intervallo di R.
Definizione 1.5 Sia A un aperto di Rn e siano a, b ∈ R con a < b. Un cammino
α : [a, b] → A si dice regolare a tratti se esistono a = t0 < t1 < t2 < · · · <
tm−1 < tm = b tali che
1. α è continua;
2. α è derivabile con continuità in (ti , ti+1 ) per ogni i ∈ {0, . . . , m − 1};
3. α 0 si può estendere per continuità in [ti , ti+1 ] per ogni i ∈ {0, . . . , m − 1}.
Definizione 1.6 Sia A un aperto di Rn e siano a, b ∈ R con a < b. Un cammino
α : [a, b] → A si dice un circuito se α(a) = α(b).
Definizione 1.7 Sia A un aperto di Rn e sia {dx1 , . . . , dxn } la base duale della
base canonica di Rn . Una 1-forma differenziale ω ∈ C 0 (A; (Rn )0 ) si dice chiusa
se, per ogni i, j ∈ {1, . . . , n}, le derivate parziali ∂x∂ j ωi (x) esistono e
∂
∂
ωi (x) =
ωj (x),
∂xj
∂xi
dove ω(x) =
∑n
i=1
ωi (x)dxi .
2
(1.4)
Vale il seguente risultato.
Proposizione 1.8 Sia A un aperto di Rn e ω ∈ C 1 (A; (Rn )0 ) una 1-forma differenziale esatta. Allora ω è chiusa.
Dimostrazione. Sia f una primitiva di ω. Si ha
n
∑
ω(x) =
ωi (x)dxi
i=1
n
∑
∂f
=
(x)dxi ,
∂x
i
i=1
dove {dx1 , . . . , dxn } denota la base duale della base canonica di Rn . Si
conclude pertanto per il teorema di Schwarz.
2
Integrale di una 1-forma differenziale
Sia α : [a, b] → A un cammino regolare a tratti e ω ∈ C 0 (A; (Rn )0 ) una
1-forma differenziale. Definiamo
∫
∫ b
ω :=
ω(α(t))α0 (t)dt.
(2.1)
α
a
Osservazione 3 Si noti che ω(α(t)) ∈ (Rn )0 e α0 (t) ∈ Rn . Quindi
ω(α(·))α0 (·) : [a, b] → R
è una funzione reale a valori reali e continua a tratti.
Osservazione 4 Dalla definizione di integrale di una 1-forma differenziale, si
deduce facilmente che
∫ b
n ∫ b
∑
0
ω(α(t))α (t)dt =
ωj (α(t))dxj (α0 (t))dt
(2.2)
a
=
j=1 a
n ∫ b
∑
j=1
dove α(t) =
∑n
j=1
αj (t)xj .
3
a
ωj (α(t))αj0 (t)dt,
(2.3)
Lemma 2.1 Sia A un aperto di Rn , ω ∈ C(A; (Rn )0 ) e α : [a, b] → A un cammino
regolare a tratti. Se p : [c, d] → [a, b] è un diffeomorfismo strettamente monotono
e suriettivo, allora
 ∫
∫
se p è crescente,
 α ω,
ω=
(2.4)
 ∫
α◦p
− α ω, se p è decrescente.
Dimostrazione. Per esercizio.
Definizione 2.2 Siano α : [a, b] → A e β : [c, d] → A due cammini tali che
α(b) = β(c). Si chiama giustapposizione di α e β il cammino α · β così definito:
α · β : [a, b + d − c] −→ {
A
α(t), se t ∈ [a, b],
t 7−→
β(c + t − b), se t ∈ [b, b + d − c].
(2.5)
Lemma 2.3 Sia A un aperto di Rn e ω ∈ C(A; (Rn )0 ) una 1-forma differenziale
continua. Siano inoltre α : [a, b] → A e β : [c, d] → A due cammini regolari a
tratti con α(b) = β(c). Allora
∫
∫
∫
ω = ω + ω.
α·β
α
β
Dimostrazione. Per esercizio.
Teorema 2.4 Sia A un aperto di Rn , ω ∈ C(A; (Rn )0 ) una 1-forma esatta e α :
[a, b] → A e β : [c, d] → A due cammini regolari a tratti tali che α(a) = β(c) e
α(b) = β(d). Allora
∫
∫
ω=
α
ω.
β
Dimostrazione. Dato che ω = f 0 , si ha
∫
∫ b
ω =
ω(α(t))α0 (t)dt
α
a
∫ b
=
f 0 (α(t))α0 (t)dt
a
∫ b
d
=
f (α(t))dt
a dt
= f (α(b)) − f (α(a)).
4
(2.6)
Analogamente si prova che
si conclude.
∫
α
ω = f (β(d)) − f (β(c)) = f (α(b)) − f (α(a)) e
Osservazione 5 Si noti che, nelle ipotesi del teorema precedente, l’integrale di ω
lungo un cammino dipende solo dal punto iniziale e dal punto finale del cammino.
Teorema 2.5 Sia A un aperto di Rn e sia ω ∈ C(A; (Rn )0 ) una 1-forma differenziale. Sono equivalenti:
1. ω è esatta;
∫
∫
2. α ω = β ω per ogni coppia di cammini regolari a tratti α e β con lo stesso
punto iniziale e finale;
∫
3. α ω = 0 per ogni circuito regolare a tratti α in A.
Dimostrazione. (Cenni). Chiaramente per il Teorema 2.4, se vale 1, allora si
deduce 2.
Supponiamo che valga 2 e sia α : [a, b] → A un circuito regolare a tratti.
Sia β : [0, 1] → A il circuito definito da β(t) = α(a). Allora, per ipotesi,
∫
∫
ω=
α
∫
ω=
β
1
0dt = 0.
0
Non dimostriamo invece che 3 implica 1.
Osservazione 6 Per il Teorema 2.5, per mostrare che una 1-forma differenziale
e continua ω su A aperto di Rn non è esatta, basta esibire un circuito regolare a
tratti α tale che
∫
ω 6= 0 .
α
3
Differenziale di una 1-forma
Sia ω ∈ C 1 (A; (Rn )0 ) una 1-forma differenziale. Allora il differenziale di ω
nel punto x ∈ A è una funzione
ω 0 (x) : Rn −→ (Rn )0
5
(3.1)
lineare e continua. Di conseguenza si può pensare ω 0 (x) come una forma
bilineare e continua su Rn ×Rn . L’insieme delle forme bilineari (e continue)
su Rn × Rn costituisce uno spazio vettoriale di dimensione n2 . Una base
dello spazio delle applicazioni bilineari da Rn × Rn a R è data da
{dxi ⊗ dxj : i, j ∈ {1, . . . , n}} ,
(3.2)
dove le funzioni dxi ⊗ dxj agiscono nel modo seguente
dxi ⊗ dxj (xh , xk ) = dxi (xh )dxj (xk ) = δih δjk .
(3.3)
Si può facilmente provare che ω 0 (x) si scrive nella forma
ω 0 (x) =
n
∑
∂
ωi (x)dxi ⊗ dxj .
∂x
j
i,j=1
(3.4)
Definiamo il prodotto esterno di dxi con dxj come
dxi ∧ dxj := dxi ⊗ dxj − dxj ⊗ dxi .
(3.5)
Il differenziale esterno di ω è
dω(x) =
n
∑
∂j ωi (x)dxi ∧ dxj
i,j=1
=
∑
(∂j ωi (x) − ∂i ωj (x)) dxi ∧ dxj
1≤i<j≤n
da cui si vede che una 1 forma differenziale ω è chiusa se e solo se dω = 0.
Proposizione 3.1 Sia A un aperto di Rn e sia ω ∈ C 1 (A; (Rn )0 ) una 1-forma
differenziale chiusa. Allora ω è localmente esatta.
Dimostrazione. Facciamo la dimostrazione solo per il caso n = 2. La 1-forma
differenziale ω si può scrivere
ω(x, y) = ω1 (x, y)dx + ω2 (x, y)dy,
dove {dx, dy} è la base duale della base canonica di R2 . Sia (x0 , y0 ) ∈ A.
Esiste ε > 0 tale che U :=]x0 − ε, x0 + ε[×]y0 − ε, y0 + ε[⊆ A. Per ogni
(x, y) ∈ U , definiamo i cammini α1 , α2 : [0, 1] → A
α1 (t) = (x0 + t(x − x0 ), y0 ),
α2 (t) = (x, y0 + t(y − y0 )).
6
∫
e
∫
F (x, y) =
ω+
α1
ω.
α2
Pertanto abbiamo definito una funzione F : U → R. Si noti che
∫ x
∫ y
F (x, y) =
ω1 (s, y0 )ds +
ω2 (x, s)ds
x0
y0
e quindi
∫
y
∂x F (x, y) = ω1 (x, y0 ) +
∂x ω2 (x, s)ds
∫y0y
= ω1 (x, y0 ) +
∂y ω1 (x, s)ds
y0
= ω1 (x, y0 ) + ω1 (x, y) − ω1 (x, y0 ) = ω1 (x, y).
Inoltre
∂y F (x, y) = ω2 (x, y),
da cui segue la tesi.
Corollario 3.2 Sia A un aperto di Rn e sia ω ∈ C 1 (A; (Rn )0 ) una 1-forma differenziale. Allora ω è chiusa se e solo se è localmente esatta.
4
Omotopia di circuiti
Definizione 4.1 Sia A un aperto di Rn e siano α : [a, b] → A e β : [a, b] → A
due circuiti continui. I circuiti α e β si dicono omotopi se esiste una funzione
continua h : [a, b] × [0, 1] → A tale che
1. h(t, 0) = α(t) per ogni t ∈ [a, b];
2. h(t, 1) = β(t) per ogni t ∈ [a, b];
3. h(a, λ) = h(b, λ) per ogni λ ∈ [0, 1].
Definizione 4.2 Un aperto A di Rn si dice semplicemente connesso se A è connesso per archi e se ogni circuito in A è omotopo ad un circuito costante.
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Esempio 4.3 L’insieme Rn è semplicemente connesso. L’insieme R2 \ {0} non è
semplicemente connesso. L’insieme R3 \ {0} è semplicemente connesso, mentre R3
privato di una retta non è semplicemente connesso.
Vale il seguente teorema.
Teorema 4.4 Sia A un aperto di Rn , ω ∈ C 0 (A; (Rn )0 ) una 1-forma differenziale
localmente esatta e α e β due circuiti regolari a tratti e omotopi in A. Allora
∫
∫
ω = ω.
(4.1)
α
β
Corollario 4.5 Sia A un aperto di Rn semplicemente connesso e sia ω ∈ C 0 (A; (Rn )0 )
una 1-forma differenziale localmente esatta. Allora
∫
ω=0
α
per ogni circuito regolare a tratti α in A.
Dimostrazione. Dato che A è semplicemente connesso, il circuito α è omotopo ad un circuito costante β. Per il Teorema 4.4,
∫
∫
ω = ω = 0,
α
β
e quindi la dimostrazione è finita.
Corollario 4.6 Sia A un aperto di Rn semplicemente connesso e sia ω ∈ C 1 (A; (Rn )0 )
una 1-forma differenziale chiusa. Allora ω è esatta.
Dimostrazione. Si conclude facilmente per il Corollario 4.5 e per il Teorema 2.5.
8
5
Esercizi sulle 1-forme differenziali
Esercizio 1 Si consideri la 1-forma differenziale su R2
(
)
)
(
2x
1
x−y
x−y
2
ω=
+e
+ x − y dx +
−e
+ y dy
1 + (x2 + y)2
1 + (x2 + y)2
e i cammini
γ1 : [0, 2π] −→ R2
t 7−→ (cos t, sin t)
γ2 : [0, 2π] −→ R2
t 7−→ (2 cos t, sin t)
{∫
Si calcoli
max
}
∫
ω,
γ1
ω .
γ2
0
Esercizio 2 Sia ω : {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 6= 0} → (R3 ) la 1-forma differenziale
x
y
ω(x, y, z) = √
dx + √
dy + 3z 2 dz.
2
2
2
2
x +y
x +y
1. ω è chiusa?
2. ω è esatta?
∫
3. Calcolare γ ω dove
γ : [0, 2π] −→
R3
t 7−→ (cos t, sin t, 0) .
Esercizio 3 Si discuta l’esattezza della 1-forma differenziale
[
]
2(x − 1)
2x
ω(x, y) =
+
dx
(x − 1)2 + (y − 1)2 x2 + y 2
]
[
2y
2(y − 1)
+
dy,
+
(x − 1)2 + (y − 1)2 x2 + y 2
definita su R2 \ {(0, 0), (1, 1)}.
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Esercizio 4 Si consideri la 1-forma differenziale definita su R3
(
)
ω = z 2 − 2xyz dx − x2 zdy + x (2z − xy) dz
e il cammino
γ : [0, 1] −→
R3
2
t 7−→ (t − t, 2 cos(2πt), et )
1. Dire se ω è esatta o meno.
∫
2. Calcolare γ ω.
10
Regolarità
Proprietà
∫
0
C
ω esatta se e solo se γ ω = 0 per ogni circuito regolare a
C
0
C0
C0
C1
C1
C1
tratti γ
∫
∫
ω esatta se e solo se α ω = β ω per ogni coppia α e β di
cammini regolari a tratti con lo stesso punto iniziale e finale.
ω esatta =⇒ ω localmente esatta.
∫
∫
ω localmente esatta =⇒ α ω = β ω per ogni α e β circuiti
regolari a tratti e omotopi.
ω esatta =⇒ ω chiusa.
ω localmente esatta se e solo se ω chiusa.
ω chiusa, A semplicemente connesso =⇒ ω esatta.
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