Relazione Finale I anno - Dipartimento di Meccanica, Matematica e

Politecnico di Bari
Dipartimento di Elettrica e dell'Informazione
Corso di Dottorato in Ingegneria Elettrica e dell'Informazione
XXVIII ciclo
Relazione Finale I anno
Sviluppo di metodi ai contorni immersi per applicazioni di scambio
termico coniugato nelle turbomacchine
Relatori:
Chiar.mo Prof. Ing. Francesco Cupertino
Chiar.mo Prof. Ing. Michele Napolitano
Dottorando:
Dott. Ing. Dario De Marinis
Indice
1 Sommario attività e introduzione
2
1.1
Attività svolte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Introduzione e motivazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Metodo ai Contorni Immersi
4
2.1
Discretizzazione della funzione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Continuos forcing approach
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Discrete forcing approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3 Metodo numerico
9
4 Risultati
11
4.1
Flusso stazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.2
Flusso non stazionario
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Applicazioni future
16
1
Capitolo 1
Sommario attività e introduzione
1.1
Attività svolte
Il dottorando Dario De Marinis, regolarmente iscritto al primo anno del Dottorato di
Ricerca in Ingegneria Elettrica e dell'Informazione - XXVIII ciclo, presso il Politecnico
di Bari, ha svolto la sua attività di ricerca dal 1 Gennaio 2013 al 31 Dicembre 2013
presso il Dipartimento di Meccanica, Matematica e Management - Sezione Macchine
ed Energetica, sotto la supervisione dei professori F. Cupertino e M. Napolitano. In
questo periodo ha partecipato a diversi corsi e seminari, come specicato nella documentazione S.A.T. allegata. Nel corso di tale periodo sono stati prodotti alcuni risultati
preliminari nell'ambito dello sviluppo di modelli ai Contorni Immersi per applicazioni
in turbomacchine. Per validare il modello attualmente sviluppato sono state eettuate
simulazioni uidodinamiche relative a ussi incomprimibili con il solutore
1.2
CDP .
Introduzione e motivazioni
L'essenza dei metodi ai Contorni Immersi consiste nel disaccoppiamento della geometria del dominio solido dalla griglia utilizzata per descrivere la dinamica del usso in
esame. Il maggiore vantaggio di questo approccio è che può essere usata una semplice
griglia regolare cartesiana non conforme ai contorni solidi nel dominio computazione
conservando così tutta la semplicità e l'ecienza dei metodi numerici sviluppati in tale
contesto. A dierenza delle griglie generate conformi al corpo, nei metodi ai Contorni
Immersi viene prima generata una griglia cartesiana e poi tale griglia viene tagliata
dalla geometria del corpo come mostrato in gura 1.1.
Successivamente, attraverso la tecnica di Ray Tracing, ogni cella viene riconosciuta
come solida, uida o di interfaccia.
Al ne di catturare i fenomeni di scala spaziale
più piccola presenti nelle vicinanze del corpo solido, si rende la griglia localmente più
ne.
L'eetto di un contorno sso o in movimento è modellato introducendo, nel-
le vicinanze del contorno, una distribuzione di termini forzanti ttizi nelle equazioni
2
Figura 1.1: Preparazione della griglia di calcolo per simulazioni con griglia conforme al corpo (bodytted mesh) e metodo ai Contorni Immersi (IB method). Tratta da [20].
che governano il usso tali da vericare le corrette condizioni al contorno esistenti sui
contorni solidi. Tali vantaggi diventano maggiormente chiari considerando il caso di
ussi con contorni immersi in movimento. La simulazione di tali ussi, utilizzando una
griglia conforme al corpo, richiede la generazione di una nuova griglia ad ogni passo
temporale e una procedura per proiettare la soluzione all'interno della nuova griglia.
Questo può comportare problemi sulla semplicità, sull'accuratezza, sulla robustezza e
sul costo computazione della soluzione specialmente nel caso di grandi spostamenti del
corpo. Utilizzando invece un metodo ai Contorni Immersi, si può utilizzare una griglia
cartesiana stazionaria e quindi il metodo ai Contorni Immersi rappresenta un'importante alternativa per lo studio di questi ussi. Negli ultimi decenni, sono stati proposti
diversi metodi, con vari gradi di precisione e complessità.
3
Capitolo 2
Metodo ai Contorni Immersi
Formulazione matematica e idea generale
Il metodo ai contorni immersi è stato introdotto da Peskin [1] per studiare ussi
intorno a valvole cardiache e si è successivamente evoluto in un metodo generalmente
utile per problemi di interazione uido-struttura.
[3] e [2] possono essere di ottimo
aiuto per ulteriori informazioni sugli studi esistenti. Il metodo è, allo stesso tempo, sia
una formulazione matematica che uno schema numerico. La formulazione matematica
consiste in un accoppiamento di variabili euleriane e di variabili lagrangiane.
Una descrizione euleriana è una descrizione basata su un sistema di coordinate sse e può essere utilizzata per descrivere la dinamica del uido.
notazione
x = (x, y, z) ∈ Ω
Useremo la
per denire le coordinate siche sse e quindi, per
esempio, descriveremo il moto del uido in termini di campo di velocità del uido
u(x, t) = (u(x, t), v(x, t), w(x, t)), e di campo di pressione del uido p(x, t) nel dominio
Ω.
Per descrivere l'elasticità di una struttura, è generalmente più conveniente usare
una descrizione lagrangiana, cioè una descrizione in cui le variabili sono attaccate alla
struttura, ovvero al contorno
s = (q, r, s) ∈ Γb
al tempo
t
e si muovono insieme ad essa. Useremo la notazione
per indicare le coordinate di un punto materiale denito sul contorno
del corpo, e la notazione
s
Γb ,
X(s, t) ∈ Ω per indicare la posizione sica del punto materiale
nel dominio di calcolo
Ω.
Nello studio dell'interazione uido-struttura, l'approccio ai Contorni Immersi consiste quindi in tre fasi:
1. utilizzo di una descrizione euleriana per descrivere le equazioni che governano il
uido in esame
2. utilizzo di una descrizione lagrangiana per descrivire la struttura deformabile (o
rigida) immersa nel uido
4
3. utilizzo di una trasformazione integrale, in cui la funzione
δ di Dirac gioca un ruolo
importante, per far interagire le variabili euleriane con le variabili lagrangiane.
Negli schemi numerici necessari alla formulazione del metodo, le variabili euleriane
sono denite su una maglia cartesiana ssa mentre le variabili lagrangiane sono denite su una maglia curvilinea che si muove liberamente nella maglia ssa cartesiana
senza essere vincolata ad adattarsi ad essa in alcun modo. Le equazioni di interazione
presenti all'interno dello schema numerico contengono un'approssimazione della
δ
di
Dirac costruita secondo ipotesi che discuteremo nel seguito.
Al ne di spiegare l'idea generale alla base della formulazione matematica del metodo
ai Contorni Immersi, consideriamo una membrana elastica senza massa
un dominio
Ω
Γb
immersa in
di uido viscoso incomprimibile.
Figura 2.1: Un generico corpo immerso in un usso. Il corpo occupa il volume Ωb e Γb indica il suo
contorno. Il corpo ha una scala caratteristica L, e uno strato limite δ che si sviluppa sulla supercie.
Ωf indica il dominio uido. Tratta da [3].
Le equazioni che governano un usso viscoso incomprimibile sono le equazioni di
Navier-Stokes:
ρ
∂u(x, t)
+ u(x, t) · ∇u(x, t) = −∇p(x, t) + µ∇2 u(x, t)
∂t
∇ · u(x, t) = 0
u(x, t) = uΓb (x, t)
in cui
• ρ
e
µ
sono la densità (costante) del uido e la viscosità del uido;
• x = (x, y, z) ∈ Ω
sono le coordinate siche cartesiane;
• s = (q, r, s) ∈ Γb
sono le coordinate lagrangiane;
• u(x, t)
è il campo di velocità nel dominio euleriano;
• p(x, t)
è il campo di pressione nel dominio euleriano;
5
and
(2.1)
in
Ωf
(2.2)
on
Γb
(2.3)
Nel metodo ai Contorni Immersi, il contorno immerso non è conforme al dominio
Ωf
in
cui valgono le equazioni (2.1) e (2.2) e, pertanto, verrà introdotto un termine forzante
f (x, t)
al ne di riprodurre gli eetti del contorno sul dominio uido circostante. Le
equazioni che legano le variabili euleriane con le variabili lagrangiane sono le seguenti:
∂X
(s, t) =
∂t
Z
u(x, t)δ(x − X(s, t))dx
(2.4)
F (s, t)δ(x − X(s, t))ds
(2.5)
ZΩ
f (x, t) =
Γb
F (s, t) = F[X(s.t); s, t]
(2.6)
in cui
• δ
è la funzione delta di Dirac.
• f (x, t)
è la densità di forza elastica nel dominio euleriano;
• X(s, t)
è la posizione del punto materiale
• F (s, t)
è la densità di forza elastica nel dominio lagrangiano.
s
al tempo
t;
In accordo con l'equazione (2.4) e tenendo conto delle proprietà della funzione di Dirac
si può aermare che
∂X
(s, t) = u(X(s, t), t)
∂t
(2.7)
e quindi la struttura immersa nel uido si muove alla velocità locale del usso ovvero
aderisce al uido. Per tale motivo questa equazione può essere considerata come una
condizione di non slittamento, tipicamente presente come condizione al contorno per
le equazioni uidodinamiche. Nel nostro caso però, invece di apparire come un vincolo
per il moto del uido, essa determina il moto della struttura immersa.
La scelta della forma del termine forzante può essere eettuata scegliendo opportune
forme della funzione
F
e in base alla scelta di tale funzione si possono suddivedere i
metodi ai Contorni Immersi in due gruppi: il gruppo avente un Continuos forcing
approach e il gruppo avente un Discrete forcing approach . Si rimanda a [3] per i
dettagli tecnici.
2.1
Discretizzazione della funzione di Dirac
All'interno degli algoritmi di calcolo è necessario trovare una discretizzazione adeguata per la funzione
δ
di Dirac. Poichè le variabili lagrangiane non coincidono con
i nodi della griglia cartesiana, il termine forzante va distribuito nelle celle vicine alla
variabile lagrangiana. Quindi la funzione
distribuzione più regolare denita
d
δ
di Dirac va sostituita con una funzione di
che può essere utilizzata su una griglia di calcolo.
Nella gura (2.2) vengono mostrate varie soluzioni di discretizzazione, ovvero quelle
6
(a)
(b)
Figura 2.2: (a) La zona celeste rappresenta l'estenzione della distribuzione della forzante. (b) Funzioni
di distribuzione utilizzate in diversi studi. Tratte da [3]
proposte da [1], [6], [7], [8]. Dopo la discretizzazione si ottiene quindi per ogni cella del
dominio di calcolo:
f (xi,j , t) =
X
Fk (t)d(|xi,j − Xk |)
(2.8)
k
2.2
Continuos forcing approach
In questo approccio il termine forzante è incluso all'interno del sistema formato dall'equazione della conservazione di quantità di moto (2.1) e dall'equazione di continuità
(2.2) prima che esse vengano discretizzate. Il sistema di equazioni che si ottiene può
essere riassunto nel seguente modo:
[L]{U } = {f }
dove
U = (u, p)
e
(2.2). La funzione
L
in
Ωf + Ωb
(2.9)
è l'operatore rappresentante le equazioni di Navier-Stokes (2.1) e
f = (fm , fp )
è la funzione forzante in cui
fm
e
fp
sono applicate
rispettivamente alla quantità di moto e alla pressione. Il sistema (2.9) può essere discretizzato su una griglia cartesiana ed essere risolto nell'intero dominio. Un'importante
proprietà dei metodi ottenuti con questo approccio è la loro indipendenza rispetto alla
discretizzazione spaziale eettuata. Tale approccio si presta bene a risolvere strutture
elastiche, ma non ha generalmente un buon comportamento nel caso di strutture rigide.
2.3
Discrete forcing approach
In questo approccio, inizialmente sviluppato da [5], le equazioni di Navier-Stokes
(2.1) e (2.2) sono prima discretizzate su una griglia cartesiana senza nessun interesse
per il contorno immerso con un sistema di equazioni discretizzate
7
[L]{U } = 0.
Dopo
questo primo passaggio, la discretizzazione nelle celle di calcolo vicine al contorno
immerso viene modicata per tenere conto della presenza del contorno e si ottiene il
seguente sistema di equazioni modicato da risolvere sempre sulla griglia cartesiana
[L0 ]{U } = {r}
in cui,
[L0 ]
è l'operatore discretizzato modicato e
(2.10)
{r}
rappresenta i termini noti asso-
ciati alle condizioni al contorno sulla supercie immersa. Il sistema può essere riscritto
come:
[L]{U } = {f 0 }
dove
{f 0 } = {r} + [L]{U } − [L0 ]{U }.
(2.11)
Comparando le relazioni (2.9) e (2.11) si nota
come, a dierenza dei metodi ottenuti con l'approccio precedente, in questi metodi il
termine forzante è introdotto dopo che le equazioni vengono discretizzate e pertanto
essi dipendono fortemente dal metodo di discretizzazione utilizzato.
Il vantaggio di
questi metodi consiste nel poter controllare l'accuratezza numerica e la stabilità del
solutore utilizzato.
8
Capitolo 3
Metodo numerico
In questa sezione verranno presentati brevemente il solutore uidodinamico e il
metodo ai Contorni Immersi che sono stati utilizzati nelle simulazioni uidodinamiche
di ussi incomprimibili viscosi.
Il codice di calcolo utilizzato fornisce la soluzione delle equazioni di Navier-Stokes
per ussi viscosi incomprimibili utilizzando il solutore
CDP . CDP
(da Charles David
Pierce) è un solutore completamente implicito in cui la turbolenza è modellata attraverso un modello Large Eddy Simulation (LES ) che può essere utilizzato su griglie
non strutturate.
In questo solutore, l'avanzamento temporale è ottenuto per mezzo
dello schema presentato da [11] mentre le derivate spaziali per i nodi della griglia sono
calcolate utilizzando un metodo ai volumi niti. Ulteriori dettagli relativi al solutore
CDP
sono disponibili in [9] e [10].
Poichè sono state eettuate solo simulazioni di ussi intorno a corpi rigidi, si è
scelto un metodo appartenente alla categoria Discrete forcing approach. Tra i metodi
con Discrete forcing approach è stato sviluppato da [12], e poi ripreso da [13] e da [20],
anche un metodo di interpolazione utile a calcolare il valore delle variabili nelle celle di
interfaccia. Attraverso una tecnica Ray Tracing si possono classicare le diverse celle
all'interno del dominio euleriano distinguendo tra celle uide, celle solide, e celle di
interfaccia. Le celle uide sono quelle celle che cadono nel dominio
quelle che cadono all'interno del dominio
Ωb
Ωf ,
le celle solide
e, inne, le celle di interfaccia sono quelle
celle aventi almeno una delle sue vicine situata all'interno del corpo.
L'imposizione
delle condizioni al contorno sulla supercie immersa è trattata in un modo esplicito:
nel caso di corpo fermo, nelle celle solide la velocità è posta uguale a zero; nel caso di
usso isotermo la temperatura è imposta pari al valore della temperatura sul corpo; nel
caso di supercie adiabatica la pressione e la temperatura non sono imposte. Nelle celle
di interfaccia, la vicinanza del muro è modellata con una condizione al contorno che
consiste nell'interpolare le variabili del usso usando i valori già calcolati delle vicine
celle uide e valori imposti sul contorno del corpo solido. Per ogni cella di interfaccia è
possibile trovare
Nnbr
celle uide contigue e
9
Nib
intersezioni della cella con il contorno
immerso. Per le componenti di velocità e la temperatura nel caso isotermo (condizioni
al contorno di Dirichlet), la formula di interpolazione usata è la seguente:
φint =
N
nbr
X
i
dove
φj,wall
N
ib
X
αi
βj
φi +
φj,wall
q
q
j
sono i valori delle variabili imposte sul contorno immerso,
(3.1)
αi
e
βj
sono
l'inverso delle distanze tra i nodi circostanti e i nodi in cui va calcolato il valore della
variabile
φint .
Inne:
q=
N
nbr
X
αi +
Nib
X
βj .
(3.2)
j
i
La formula di interpolazione si può scrivere anche per i gradienti:
∂φ
∂n
=
N
nbr
X
int
i
αi
q
∂φ
∂n
Nib
X
βj ∂φ
+
.
q
∂n
i
j,wall
j
(3.3)
e, assumendo una variazione lineare e approssimando la direzione normale con la
direzione lungo la quale
1/βj
è calcolato, si ottiene:
φj,wall = φint −
∂φ
∂n
int
1
.
βj
(3.4)
Sostituendo (3.4) nell'equazione (3.1), si ottiene l'equazione nale per calcolare il valore
della variabile da assegnare alla cella di interfaccia:
PNnbr
φint =
i
1
PNnbr αi
∂φ
− ∂n
N
φ
i
q i
int q ib
≈
PNib βj
PNib βj ,
1− j q
1− j q
αi
φ
q i
dove l'ultima espressione è stata ottenuta assumendo
10
(∂φ/∂n)wall = (∂φ/∂n)int .
(3.5)
Capitolo 4
Risultati
Per validare il solutore
CDP
e il metodo ai Contorni Immersi mostrati nel capitolo
3, è stato considerato il caso di usso incomprimibile viscoso intorno ad un cilindro.
Sono stati eettuati test per numeri di Reynolds, basato sul diametro del cilindro
(Re
= U∞ D/ν ),
pari a 20,40,100,200.
D
I primi due casi corrispondo ad un regime
di usso stazionario mentre gli ultimi due corrispondo ad un regime di usso non
stazionario.
I risultati maggiormente interessanti sono quelli legati ai coecienti di
resistenza e di portanza del cilindro immerso.
Per il calcolo delle forze occorre ricordare che la forza agente su un corpo immerso
in un usso viscoso incomprimibile è:
Z
F =
[−pn + ν(∇u + ∇uT ) · n]dA
(4.1)
A
dove
A
è la supercie esterna del corpo. Nelle simulazioni la supercie del cilindro si
presenta come un insieme di triangoli non connessi tra loro. Nel problema discretizzato
quindi occorre calcolare la forza agente su ogni triangolo e successivamente sommare
tutte queste forze. Per fare ciò occorre calcolare la normale uscente da ogni triangolo
e applicare tale vettore nel relativo baricentro. Denito
di cui è composto il cilindro, e denito
xibar
Ntriang
il numero di triangoli
il vettore posizione del baricentro di ogni
i-esimo triangolo, si può utilizzare la seguente discretizzazione:
Ntriang
F (t) =
X −p(xibar , t)ni Ai + ν(∇u(xibar , t) + ∇uT (xibar , t)) · ni Ai .
(4.2)
i=1
Nell'equazione (4.2), oltre alle quantità geometriche facilmente calcolabili di ogni triangolo, occorre calcolare il valore della pressione e del gradiente di velocità del baricentro
di ciascun triangolo.
È noto che su ogni corpo immerso in un usso incomprimibile
viscoso, si ha la presenza a parete di un sottostrato limite laminare in cui la pressione e
il gradiente di velocità non variano lungo la normale uscente alla parete. L'idea è quindi quella di lanciare dal baricentro di ogni triangolo, una sonda in direzione normale
uscente al triangolo in modo tale da ottenere le coordinate di un punto appartenente
11
al dominio uido e allo stesso tempo appartenente al sottostrato limite laminare. Per
tale ragione la sonda non deve distanziare troppo o troppo poco dal corpo. Calcolate
le coordinate della sonda, la pressione e il gradiente di velocità si ottengono attraverso
una interpolazione che utilizza i valori di pressione e di gradiente di velocità delle celle
vicine. Tale interpolazione è pesata sull'inverso delle distanze di ogni cella dalla sonda.
Per la pressione ad esempio si ha:
p(xibar )
= p(xsonda ) =
N
nbr
X
j
in cui
Nnbr
è stato scelto pari a 5 e
αj
αj
p(xj )
q
(4.3)
è l'inverso della distanza tra il nodo j-esimo e la
sonda.
4.1
Flusso stazionario
Per numeri di Reynolds pari a 20 e 40, si generano due vortici simmetrici stazionari
che aumentano la loro grandezza all'aumentare del numero di Reynolds.
In gura
4.1 sono mostrate le linee di usso ottenute dalle simulazioni eettuate per numeri
di Reynolds pari a
20
e
40.
Si può notare la formazione di una bolla di circolazione
stazionaria a valle del cilindro. La zona interessata aumenta all'aumentare di Reynolds.
(a)
(b)
Figura 4.1: Linee di usso stazionarie per Re = 20 (a) e Re = 40 (b).
Nelle tabelle 4.1 e 4.2 sono riportati i valori geometrici deniti nella gura 4.2 e del
valore del coeciente di resistenza
CD
denito come
CD =
Fx
,
1
2 D
ρU∞
2
12
(4.4)
in cui
Fx
è la componente orizzontale della forza che il usso esercita sul cilindro
calcolata con il metodo descritto nella sezione precedente.
Per usso stazionario, il
Figura 4.2: Denizione dei parametri geometrici della regione simmetrica di separazione a valle del
cilindro. Tratta da [13].
coeciente di portanza denito come:
CL =
risulta pari a
Fy
,
1
2 D
ρU∞
2
(4.5)
0 nel caso di cilindro immerso in un usso con angolo di attacco nullo.
In
letteratura sono disponibili sia risultati sperimentali ([14] e [15]), sia risultati numerici
([13], [16], [17], [18]).
I risultati ottenuti con le nostre simulazioni sono abbastanza
soddisfacienti.
L
a
b
θ
CD
Fornberg[16]
0.91
−
−
45.7o
2.00
Dennis and Chang[17]
0.94
−
−
43.7o
2.05
Coutanceau and Bouard[14]
0.93
0.33
0.46
45.0
Tritton[15]
−
−
−
−
o
−
2.09
Linnick and Fasel[18]
0.93
0.36
0.43
43.5
De Palma et al.[13]
0.93
0.36
0.43
44.6o
2.05
0.43
o
1.99
Presente
0.92
0.35
43.4
o
2.06
Tabella 4.1: Flusso stazionario intorno ad un cilindro a Re = 20.
4.2
Flusso non stazionario
All'aumentare del numero di Reynolds, la bolla a valle del cilindro non riesce più a
rimanervi attaccata e il usso diventa non stazionario. Pertanto si verica il fenomeno
della scia di Von-Karman e i coecienti di resistenza
CD
e di portanza
CL
assumono
un comportamento sinusoidale regolare nel tempo come mostrato in gura 4.3.
Nelle tabelle 4.3 e 4.4 sono riportati i valori dei coecienti
numero di Strouhal
St = f D/U∞
in cui
f
CD
e
CL
e il valore del
è la frequenza di distacco dei vortici a valle
13
L
Fornberg[16]
2.24
a
−
b
−
θ
CD
o
1.50
o
55.6
Dennis and Chang[17]
2.35
−
−
53.8
1.52
Coutanceau and Bouard[14]
2.13
0.76
0.59
53.8o
−
Tritton[15]
−
−
−
−
1.59
Linnick and Fasel[18]
2.28
0.72
0.60
53.6o
1.54
De Palma et al.[13]
2.28
0.72
0.60
53.8o
1.55
0.59
o
1.49
Presente
2.23
0.71
52.9
Tabella 4.2: Flusso stazionario intorno ad un cilindro a Re = 40.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.3: (a) e (b): evoluzione temporale del coeciente di resistenza CD e del coeciente di
portanza CL per Re = 100. (c) e (d): evoluzione temporale del coeciente di resistenza CD e del
coeciente di portanza CL per Re = 200.
14
del cilindro. Anche per il caso non stazionario i risultati sono abbastanza in accordo
con quelli reperibili in letteratura.
Liu et al.[19]
Linnick and Fasel[18]
De Palma et al.[13]
Presente
St
CD
CL
0.165
1.35 ± 0.012
±0.339
0.166
1.34 ± 0.009
±0.333
0.163
1.32 ± 0.01
±0.331
0.164
1.30 ± 0.009
±0.317
Tabella 4.3: Flusso non stazionario intorno ad un cilindro a Re = 100.
Liu et al.[19]
Linnick and Fasel[18]
De Palma et al.[13]
Presente
St
CD
CL
0.192
1.31 ± 0.049
±0.69
0.197
1.34 ± 0.044
±0.69
0.190
1.34 ± 0.045
±0.68
0.195
1.30 ± 0.043
±0.659
Tabella 4.4: Flusso non stazionario intorno ad un cilindro a Re = 200.
15
Capitolo 5
Applicazioni future
Obiettivi futuri sono l'implementazione di un solutore uidodinamico per ussi comprimibili in cui la turbolenza sia modellata con la tecnica Reynolds Average Navier-
Stokes (RAN S ) e l'implementazione di un modello per lo studio di fenomeni di Scambio
Termico Coniugato tra uido e struttura. Al ne di sviluppare i modelli su citati, è
stata chiesta una collaborazione al Prof. Gianluca Iaccarino presso il Center for turbulence research - Stanford University. È intenzione del dottorando svolgere il periodo
all'estero previsto all'interno del corso di dottorato presso tale università.
Metodo ai Contorni Immersi per problemi di Scambio Termico Coniugato
Finora abbiamo presentato solo metodi utilizzati per una regione uida composta
solo da un uido. Il metodo ai contorni immersi può essere facilmente esteso a problemi con più materiali aventi dierenti proprietà. Un problema multi-materiale è lo
scambio termico coniugato in cui il trasferimento del calore convettivo del uido e il
trasferimento del calore conduttivo del solido sono presenti simultaneamente. Il metodo
ai contorni immersi fu applicato ai problemi di scambio termico coniugato inizialmente
da [21] e da [22]. Come visto in precedenza, il nostro metodo ha il vantaggio che i differenti domini (uido e solido) che attraversano il nostro contorno sono completamente
separati nelle equazioni discretizzate che governano il problema. La gura 5.1 mostra
i tre passi fondamentali per eettuare la comunicazione attraverso l'interfaccia posta
tra i due domini ovvero tra i due materiali.
Dall'interfaccia reale uido-struttura, occorre costruire due contorni approssimati
posti uno di fronte all'altro all'interfaccia
Γf luid
e
Γsolid .
Inne bisogna costruire i dati
di interpolazione tra i punti dei due contorni approssimati. Se i contorni approssimati sono proiettati sull'interfaccia, i contorni proiettati si presentano come due griglie
discontinue adiacenti.
i due materiali.
L'interpolazione è fondamentale per far comunicare tra loro
In sintesi, per costruire i coecienti di interpolazione dai contorni
approssimati occorre seguire i seguenti passi:
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Figura 5.1: Diagramma schematico per il trattamento all'interfaccia di due materiali dierenti. (a)
interfaccia reale uido-struttura; (b) costruzione di due contorni approssimati Γf e Γs ; (c) calcolo dei
coecienti di interpolazione dai contorni proiettati.
1. individuare in direzione normale alla parete, la proiezione sull'interfaccia reale per
entrambi i contorni approssimati;
2. per ciascun punto di un contorno proiettato, utilizzare le informazioni di punti appartenenti all'altro contorno proiettato per ottenere, attraverso un'interpolazione,
il valore della variabile nel punto in questione;
3. ripetere il passo 2. per costruire i coecienti di interpolazione anche per i punti
dell'altro contorno.
Le condizioni al contorno all'interfaccia reale che dovrebbero essere implementate sono
le seguenti:
Tw.f = Tw,s
−κs ∇Ts = −κf ∇Tf
in cui
e
Tw
solido.
condizione di Dirichlet
(5.1)
condizione di Neumann
(5.2)
è la temperatura alla parete e i pedici
f
e
s
indicano ovviamente
f luido
Queste condizioni sono condizioni al contorno approssimate nel nostro caso.
Infatti poichè è impossibile usare entrambi le condizioni come condizioni al contorno per
un singolo dominio, le equazioni (5.1) e (5.2) vanno soddisfatte in modo asimmetrico
lungo i contorni approssimati del dominio uido e del dominio solido. In particolare, la
condizione di Dirichlet è imposta al contorno del dominio uido mentre la condizione
di Neumann è imposta al contorno del dominio solido. Le condizioni da implementare
nel metodo sono quindi:
Tf luid = T[
solid
df
ks ∇Ts = kf luid ∇T
(5.3)
(5.4)
dove b denota il risultato ottenuto attraverso l'interpolazione eettuata. Questa procedura iterativa va eettuata nche, imposto un criterio di convergenza, il residuo non
sia minore di un dato valore. La condizione di Dirichlet è stata imposta sul dominio
17
uido poichè presenta una maggiore stabilità mentre la condizione di Neumann è stata imposta sul dominio solido poichè la conduzione di calore del solido è maggiore di
quella nel uido.
18
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