Tre tagli sette parti Dividere un triangolo dato con tre

Tre tagli ... sette parti
Dividere un triangolo dato con tre tagli rettilinei in sette parti di cui quattro siano triangoli (e le
rimanenti tre, pentagoni). Una delle parti triangolari è limitata dai tre tagli, ciascuna delle altre tre parti
triangolari è inclusa da un certo lato del triangolo dato e da due tagli. Scegliere i tre tagli in modo che le
quattro parti triangolari risultino congruenti. Quale frazione dell'area del triangolo dato è l'area di una
delle parti triangolari in questa suddivisione?
Il problema consiste principalmente nell’individuare il modo in cui eseguire i tre tagli.
Vediamo se alcune considerazioni di ordine del tutto generale ci possono indirizzare sulle modalità
con cui compiere questa operazione.
In linguaggio analitico parlare di tre tagli equivale ad individuare le equazioni di tre rette che
intersecano il triangolo in questione.
Ora , in prima approssimazione queste rette possono essere disposte in qualsiasi modo quindi abbiamo
le seguenti equazioni:
y = m1 x + n1
1.1
y = m2 x + n2
y = m3 x + n3
I parametri da individuare sono perciò sei e corrispondono all’insieme dei 3 coefficenti angolari {mi }
e delle 3 intercette con l’asse delle ordinate {ni }.
Come di regola ( Condizione di Rouchè – Capelli ) abbiamo bisogno di sei equazioni affinchè il
problema sia risolubile.
Tre condizioni derivano dall’impostare la congruenza dei 4 triangoli, in altre parole, ponendo che la
grandezza A1 (mi ;nj) rappresenti l’area del triangolo 1 in funzione dei 6 parametri, l’uguaglianza a due a
due porta alle equazioni :
A1 (mi ;nj) = A2 (mi ;nj)
1.2
A2 (mi ;nj) = A3 (mi ;nj)
A3 (mi ;nj) = A4 (mi ;nj)
Mancano ancora tre equazioni. Se leggiamo con attenzione il testo del problema possiamo però
ricavarle dalle condizioni di base o, come si suole chiamarle, dalle condizioni al contorno.
In particolare leggiamo nel testo del quesito “…ciascuna delle altre tre parti triangolari è inclusa da un
certo lato del triangolo dato e da due tagli. “
Questo significa ovviamente che i 4 triangoli, generati dall’intersezione delle tre rette, dovendo essere
uguali e avendo, per ipotesi, i 3 lati inclinati come i lati del triangolo dato sono in definitiva simili con il
triangolo grande.
r2
r1
á
â
r3
Da quanto asserito e dall’ esame della figura sopra si può concludere che le rette che
rappresentano i tagli sono inclinate come i lati del triangolo dato e hanno quindi coefficienti
angolari uguali od opposti alla tangente trigonometrica degli angoli formati dai lati del triangolo
con un sistema cartesiano di riferimento.
Il sistema ora è risolubile ed è possibile scriverlo nella seguente maniera:
m1 = tang(0) =0
m2 = tang( á )
1.3
m3 = -tang( â )
A1 ( n1 ;n2 ;n3 ) = A2 ( n1 ;n2 ;n3 )
A2 ( n1 ;n2 ;n3 ) = A3 ( n1 ;n2 ;n3 )
A3 ( n1 ;n2 ;n3 ) = A4 ( n1 ;n2 ;n3 )
Quanto sopra ci permette di asserire che la soluzione è univoca e che la posizione richiesta
del taglio si ottiene facendo traslare le tre rette parallelamente a ciascun lato senza ruotarle.
A questo punto non rimane altro che trovare i valori numerici caratteristici del problema.
Le strade da seguire sono due :
A) considerazioni di ordine geometrico
B) risoluzione delle equazioni del sistema 1.3
Cominciamo ad esaminare la soluzione più rigorosa esposta al punto B).
y = tg ( á) x
r2 y = tg ( á) x – n2
4
á
3 2
1
h
r1 y = n1
â
6
y = -tg ( â) x + tg (â)
5
c
r3
c
y = – tg ( â) x + n3
Scriviamo le equazioni delle rette che formano i lati del triangolo e delle rette parallele che
rappresentano i tre tagli dopodiché, risolvendo gli opportuni sistemi , individuiamo le ascisse {xi } dei
6 punti che delimitano la base dei quattro triangoli disegnati dai tagli.
x
=
1
c ⋅ tg ( β ) − n1
tg ( β)
x
=
2
n1 + n 2
tg(α)
x
3
=
n3 − n1
tg ( β )
x
4
=
n1
tg (α)
x
=
5
n3
tg( β)
x
=
6
n2
tg (α)
Basta adesso imporre l’uguaglianza ( a due a due ) delle basi dei quattro triangoli ed otterremo l’insieme
delle incognite rimaste {ni }.
X1 – X2 = X2 – X3
X3 – X4 = X2 – X3
X3 – X4 = X5 – X6
Naturalmente valgono anche combinazioni lineari delle equazioni sopra, per comodità risolviamo la :
X2 – X4 = 2( X5 – X6 )
 n
n2
n 
= 2 3 − 2 
tg (α)
 tg ( β) tg(α) 
con semplici calcoli otteniamo:
n2 =
2tg (α)
n3
3tg ( β)
Risolvendo l’equazione
X1 – X3 = X2 – X4
Troviamo la relazione:
c=
n2
n
+ 3
tg (α) tg ( β)
Sostituendo la relazione trovata precedentemente ricaviamo i valori di n1 e n2 in funzione del lato c.
n3 =
3
c ⋅ tg ( β )
5
n2 =
2
c ⋅ tg (α )
5
Rimane solo da trovare l’ultimo parametro n1 , imponiamo l’uguaglianza :
X3 – X4 = X5 – X6
Eseguendo semplici calcoli otteniamo:
n1 =
2c
 1
1 
5 ⋅ 
+

 tg(α) tg ( β ) 
Ma discende da semplici considerazioni trigonometriche l’identità:
h=
c
 1
1 

+

 tg (α) tg ( β) 
Sostituendo questa relazione nell’equazione precedente si arriva a scrivere:
n1 =
2
h
5
Ora abbiamo tutti i valori che ci permettono di individuare le dimensioni di uno qualsiasi dei 4 triangoli
minori, in particolare consideriamo quello evidenziato nella figura sotto. La base sarà data dalla
differenza delle ascisse :
Base = Χ 5 − Χ 6 =
y = n1
X6
3
2
1
c− c = c
5
5
5
Mentre l’altezza sarà pari alla metà del
parametro n1 :
Altezza =
X5
n1 1
= h
2 5
In definitiva l’area di uno qualsiasi dei 4 triangoli evidenziati sarà :
1 1
c⋅ h
5
5 = 1 c ⋅ h = 1  c ⋅ h 
Area =
2
50
25  2 
Per cui l’area di uno qualsiasi dei 4 triangoli formati dal taglio è pari
a 1/25 della superficie del triangolo grande.
CONSIDERAZIONI GEOMETRICHE
Dall’esame della figura a lato e da
semplici applicazioni delle proprietà dei
triangoli simili si può concludere che il
triangolo dato è costituito da 25 triangoli
uguali.
Inoltre i 3 pentagoni risultanti dal taglio
sono congruenti e formati dallo stesso
numero di triangoli ( per la precisione 7 ).
Notiamo poi un’altra cosa interessante.
Ogni taglio divide il triangolo in due parti
che stanno nel rapporto di due quadrati :
Asup
Ainf
=
9 (3)2
=
16 (4)2