Regolatori standard Quando siamo in presenza di sistemi stabili

Regolatori standard
Quando siamo in presenza di sistemi stabili come reti correttrici si utilizzano i regolatori standard che
sono prodotti in serie dall’industria.
In generale questi regolatori sono composti dalla rete correttrice e da un amplificatore
regolazione automatica. Le applicazioni belliche,la corsa allo spazio e la più recente rivoluzione tecnologica hanno portato ad un enorme
sviluppo del campo dell'Automatica con applicazioni che spaziano dai processi industriali alla robotica, dall'elettronica all'economia,dall
'aeronautica alla biologia.
Regolatore on off
Questo regolatore può assumere solo 2 posizioni aperto o chiuso come per esempio il contatto da un
corto circuito.
Vediamo un applicazione per il controllo della temperatura di un forno
Il segnale d’ingresso del regolatore è: e(t)=vrif - vmis; il segnale d’uscita lo indichiamo con x(t).
I regolatori standard sono di 5 tipi:
1. Controllo ON-OFF
Il più semplice sistema di controllo automatico è il controllo ON-OFF. Un controllo ON-OFF prevede solo due posizioni di
controllo, cioè solo due possibili valori per la variabile manipolata. I controllori posso essere di tipo pneumatico, elettrici o
elettronici.
2. Controllo proporzionale
Attiva gli organi di controllo in maniera proporzionale dal di scostamento del set point. Il controllore oscilla intorno al set
point fino al valore che ritiene adeguato, ma il set point non sarà mai raggiunto. Viene usato quando la misura deve
oscillare intorno ad un range.
3. Controllo proporzionale + integrale (PI)
Sommando le due caratteristiche è possibile ottenere un regolatore i grado di reagire in modo
adeguato all’eventuale scostamento e di ripristinare il valore della grandezza regolata esattamente al
set point. Unendo le due azioni, si eliminano i difetti dei singoli regolatori.
4. Controllo proporzionale + derivativo (PD)
Il miglioramento avviene solo nella prontezza della risposta alla variazione verificatasi. Anche
impiegando un regolatore PD si possono avere spostamenti permanenti.
5. Controllo proporzionale + integrale + derivativo (PID)
Reagisce velocemente a spostamenti rapidi e improvvisi. Risulta più efficace del PI e del PD.
Fondamentale nel funzionamento del motore di Watt fu un regolatore
automatico della velocità dell'albero motore che sfruttava la forza centrifuga
(fly-ball governor) basato sul principio della retroazione (feedback). Questo
apparecchio, serve a mantenere costante il numero dei giri di un motore. Il
Pendolo di Watt è costituito da due masse poste in rotazione da un albero
rotante. Per effetto della forza centrifuga le masse tendono ad allontanarsi
dall'asse di rotazione, ma il loro allontanamento è contrastato da un sistema di
molle o dalla forza di gravità terrestre attraverso un sistema articolato.
Un sistema di leve trasforma lo spostamento radiale delle masse nello
scorrimento assiale di un collare. Una leva preleva quest'ultimo spostamento
per trasferirlo all'organo da controllare, che può essere una valvola di
regolazione di combustibile, di vapore o di acqua in una condotta forzata e
compensa l’errore.
Era nato il primo dispositivo di controllo automatico industriale della storia.
Il regolatore che Watt adottò nel 1787 venne chiamato "governor". Ci vollero
quasi cento anni perchè James Maxwell, lo scopritore delle leggi dell'elettromagnetismo,facesse la prima analisi matematica dei
"governors" inclusi quelli in cui l'attrito era aumentato proporzionalmente alla velocità (moderators ). Ma fu solo verso il 1930 che,
motivati da applicazioni telefoniche, Blake, Bode e Nyquist svilupparono le prime tecniche per l'analisi ed il progetto dei sistemi di
Per effetto dell’inerzia termica il segnale vb oscilla intorno alla posizione di equilibrio di una certa
ampiezza dovuta al fatto che nel momento in cui non si fa passare corrente nella resistenza la stessa
risulta ancora incandescente e per un certo periodo riscalda ancora il forno e viceversa quando la
resistenza è fredda .
La caratteristica del regolatore presenta un ciclo di isteresi ossia un’attivazione e una disattivazione
posta in punti differenti S1 e S2.
I controllori ON/OFF presentano i seguenti
parametri regolabili:
• Set Point Imposta il valore desiderato della
variabile controllata.
• Ampiezza del ciclo di isteresi Bisogna stabilire
una fascia, intorno al Set Point, di valori tollerabili.
Ciò che si imposta è il valore del differenziale ∆ .
S1
S2
Set Point=20°
Set Point=18°
∆=S2-S1
∆=S2-S1
L'uscita di un sistema controllato con il metodo On-Off assumerà un andamento
oscillatorio infinito; in pratica la variabile controllata assume il valore di set-point solo in
intervalli infinitesimi.
SP
On
Off On
Off
On
La temperatura, perciò, oscillerà
intorno al Set point
Ciò fa si che la precisione risulti tanto
maggiore
quanto
minore
è
il
differenziale ∆.
Off
All'istante
t1,
quando
la
temperatura del liquido è uguale
a TREF1, l'amplificatore di
potenza va nello stato di OFF ma
SP
la temperatura del liquido
continua ad aumentare a causa
dell'inerzia
termica
del
t1 t2
riscaldatore. Si tenga presente
che il flusso di calore verso
l'ambiente non può essere
t interrotto istantaneamente a
causa dell'energia termica accumulata nel riscaldatore. Successivamente la temperatura
diminuisce per effetto della dispersione del calore attraverso le pareti e all'istante t2, quando è
T< TREF2, il circuito di potenza torna nello stato di ON.
La temperatura del liquido, tuttavia, continua a diminuire perché in un primo momento la
potenza erogata dall'amplificatore è assorbita dal riscaldatore ed è utilizzata per aumentare la
sua temperatura. Successivamente la temperatura del riscaldatore diviene maggiore di quella
del liquido nel quale esso è immerso e, quindi, una parte della quantità di calore viene
trasmessa dal riscaldatore all'ambiente circostante con conseguente aumento della temperatura
del liquido.
t
Regolatore
Regolatore proporzionale
Senza regolatore un sistema risponde molto lentamente, e potrebbe non raggiungere mai il valore
desiserato; per questo motivo si inseriscono dei regolatori PID.
Riducendo il differenziale ∆ si migliora
la precisione del controllo ma il
regolatore si attiverà più spesso con
conseguente usura dei dispositivi
elettromecanici.
SP
On
On
Off
On
Off
On
Off
On
Off
Off
t
In un regolatore ad azione proporzionale il legame tra il segnale presente alla sua uscita m(t} ed il segnale
differenza e(t) applicato al suo ingresso è espresso da una relazione del tipo:
x(t)=Kp*e(t)
Sistemi ad elevata inerzia.
In pratica fornisce un segnale proporzionale all’errore
Quando il sistema di riscaldamento viene messo in funzione, la temperatura del liquido
contenuto nel serbatoio è minore di quella desidera e,, pertanto, l'amplificatore eroga la
massima potenza (stato di ON).
Dove kp è un parametro costante caratteristico del regolatore e
coincide con la funzione di trasferimento del regolatore.
Gr (t ) =
X (t )
= kp
e (t )
Sempre per sistemi di Tipo 0 il regolatore non è in grado di annullare completamente l’azione di un
disturbo che farà variare la variabile controllata
I parametri caratteristici
sono:
• Campo proporzionale
• Banda di azione
• Banda proporzionale
La banda di proporzionalità (BP), definita come:
BP= 100% / K
Grafico di Bode
Spostando verso l’alto il diagramma di Bode aumenta
la posizione di cross over e il sistema diventa più
veloce .
Aumentando Kp
c
Essa rappresenta il valore % dell’ingresso che produce un
incremento unitario sull’uscita.
Esempio: Un controllore con B = 25% sviluppa un incremento unitario dell’uscita in
corrispondenza di un incremento di 0.25 dell’ingresso.
0dB
f
Lo svantaggio è che l’aumento della costante che
ne deriva sul diagramma di Bode può portare
all’instabilità del sistema perché il diagramma
della Gol trasla verso l’alto
Aumentando Kp
Esempi di risposte
Permane un consistente errore
Per progettare un regolatore proporzionale si sceglie
un valore di compromesso di kp in modo di avere il
sistema con buone caratteristiche di velocità ma
stabile.
Un altro svantaggio del regolatore proporzionale nel
caso di un piccolo disturbo esso non corregge
completamente l’errore (Nei sistemi di Tipo 0).
Riassumendo, utilizzando un controllore
esclusivamente proporzionale (P) si
produce una differenza (offset) tra il valore
richiesto e quello effettivamente ottenuto.
Tale differenza può essere ridotta
aumentando il guadagno del controllore.
Tuttavia, se il processo da controllare
possiede coppie di poli c.c., l’aumento del
coefficiente proporzionale è accompagnato
da un corrispondente aumento delle
oscillazioni generate a seguito di rapidi
transitori.
Nei sistemi Tipo 0 occorre intervenire con un
riassetto manuale del riferimento per annullare
l’errore a regime.
Ma in presenza di una successiva variazione
permanente del carico permane un errore
(offset) sulla grandezza controllata.
Fig Risposta ad un gradino di ampiezza unitaria, applicato al tempo t = 0, ad un processo
caratterizzato da una coppia di poli c.c. (A0 =1, w0 = 1 Hz, z =1) gestito tramite un
controllore di tipo proporzionale (P). Il calcolo è effettuato per diversi valori di KP. Si noti
che per KP =10 si riduce l’effettodell’offset, ma la risposta al transitorio è caratterizzata da
forti oscillazioni.
-
Azione Derivativa
Non dipende dal valore dell’errore, ma dalla velocità con cui avviene la deviazione fra valore misurato
e valore prefissato della grandezza controllata..
x ( t ) = Kd
È proporzionale alla derivata del segnale errore
*
Errore
de ( t )
dt
Td è il Tempo di derivazione
Così come è stata scritta la funzione di trasferimento non corrisponde ad alcun componente
fisicamente realizzabile (n>=m).
Occorre immaginare la presenza di almeno un polo. Si può immaginare un polo la cui
costante di tempo sia molto più piccola di TD:
G ( S ) ==
kp(1 + Td * s )
 Td

* s
1 +
N


Errore
Azione derivativa
Td/N Costante di tempo N volte più piccola di TD, il valore di N è
normalmente compreso tra 10 e 100.
La correzione è presente solo quando l’errore cambia mentre ha
valore nullo quando l’errore è costante.
L’azione derivativa non può essere usata da sola perchè a
regime l’errore è costante e gli effetti dell’azione correttrici
La componente derivativa fornisce una brusca variazione
dell’azione correttrice che corrisponde ai salti in figura
quando ci sono variazione dell’errore.
sarebbero nulli.
Regolatore proporzionale derivativo PD
de(t )
dt
X ( s ) = kp.E ( s ) + Kd * sE ( s )
x(t ) = kp.e ( t ) + Kd *
Az. proporzionale
Riassumendo l’azione derivativa:
•
•
Az. derivativa
•
Per la presenza del regolatore derivativo il sistema fornisce il segnale (x)t di correzione proporzionale
alla derivata dell’errore nel tempo
X (s)
= kp + kd * s
E ( s)
 kd 
G ( S ) = kp1 +
* s  = kp(1 + Td * s )
kp 

-
La costante Kd rappresenta la costante di derivazione. Attraverso essa è possibile rafforzare o
indebolire l’azione di controllo derivativa quale risulta dal solo calcolo sull’errore.
•
•
•
rende in generale i sistemi più pronti;
la funzione di trasferimento il regolatore presenta uno 0 e questo consente una maggiore stabilità del
sistema, in oltre vista la presenza del derivatore il segnale di comando proporzionale consente una
maggiore velocità di risposta e una maggiore precisione rispetto al regolatore proporzionale;
migliori prestazioni dinamiche, cioè forte riduzione del pendolamento della risposta (l’azione correttrice
è tanto più energica quanto più velocemente varia l’errore);
all’avviamento l’azione derivativa è molto brusca e potrebbe imprimere al sistema accelerazioni
dannose;
Nei processi in cui sono presenti disturbi casuali e di breve durata, l’azione derivativa può
causare dannosi pendolamenti e se ne sconsiglia pertanto l’uso;
Non annulla l’errore a regime.
Risposta ad un gradino di ampiezza unitaria di un
processo contenente due poli c.c. controllato tramite il
metodo PD. Quando la costante tempo di derivazione è
nulla la risposta è ovviamente la stessa del controllo
proporzionale. Viceversa, l’aggiunta del termine
derivativo elimina le oscillazioni, pur non avendo
alcun effetto sull’offset che è lo stesso del caso
proporzionale.
Dalla G(s)pi si introduce nel circuito di controllo un polo nell’origine e uno zero;
siccome il polo nell’origine potrebbe portare l’instabilità perché Gol totale potrebbe tagliare l’asse
delle ascisse con una pendenza di –40db/dec.
Poichè disturbi di breve durata anche intensi possono non essere avvertiti dal regolatore integrale è
sempre abbinato ad un’azione proporzionale.
L’effetto della scelta di TI è mostrato in Fig.
Si nota che l’offset presente quando si opera solo con
il controllore proporzionale (TI →∞) sparisce
attivando il termine integrale.
Riducendo TI il sistema risponde più velocemente al
transitorio, ma si osservano anche delle forti
oscillazioni.
Regolatore proporzionale integrativo PI
Questo regolatore fornisce un segnale proporzionale all’integrale dell’errore nel tempo (proporzionale
all’area sottesa alla curva dell’errore)
Regolatori P.I.D.
X ( s)
ki
= kp +
E ( s)
s

ki 1 
1 

 = kp1 +
G ( S ) = kp1 +

kp
s 
 Ti ⋅ s 

Ti rappresenta il tempo impiegato dall’azione integrale per incrementarsi di un valore pari all’azione
proporzionale.
L’effetto dell’integrazione è tanto più importante, quanto più Ti è piccolo.
Questo regolatore è efficace quando l’errore è piccolo ma perdura nel tempo (infatti l’area aumenta
all’aumentare del tempo).
Migliora il comportamento a regime, grazie all’azione integrale che alza di uno il Tipo di
sistema.
I vantaggi di questo tipo di regolatore sono: buona stabilità, precisione e velocità.
Per progettare il regolatore si devono determinare le 3 costanti KP,KD,KI e imporre delle condizioni
tra zeri e poli in modo da fare risultare stabile il sistema.
Taratura
Metodo di Ziegler e Nichols in anello chiuso
Il metodo si articola nei seguenti passi:
1. Si chiude l’anello di controllo con il regolatore PID (i cui parametri devono essere sintonizzati),
imponendo nulle le azioni integrale e derivativa: KI = 0, KD = 0.
2. Partendo da valori molto piccoli di KP si effettua un semplice esperimento, consistente
nell’applicare un piccolo gradino al segnale di riferimento.
3. Si aumenta progressivamente KP ripetendo di volta in volta l’esperimento finché non si instaura
nell’anello un’oscillazione permanente
•
I annulla l'errore a regime ma tende a rendere meno stabile il sistema per cui
il guadagno P deve diminuire nel controllore PI e di conseguenza anche la
prontezza.
• P agisce sulla prontezza del sistema a catena chiusa: un suo aumento, oltre a
diminuire l'errore a regime ad un gradino, porta però il sistema ad essere
meno stabile.
• D aumenta il margine di fase (quindi lo smorzamento) e consente, quindi, a
pari stabilità, di aumentare l'azione P e la prontezza.
azione
stabilità
overshoot
Velocità
Tempo salita
P
Utilizzabile se il
sistema è molto
stabile
incrementa
diminuisce
Derivativa
Migliora la
stabilità
decrementa
Piccola
diminuzione
incrementa
diminuisce
Proporzionale
D
Integrale
I
può causare dannosi
penzolamenti nei
sistemi con disturbi
Rende meno
stabile il sistema
precisione
4.
5. Detto KP il valore del guadagno proporzionale corrispondente all’oscillazione permanente
(guadagno critico) e T il periodo di tale oscillazione, si tarano i parametri di un regolatore P, PI
o PID sulla base della seguente tabella:
Tempo assestamento
Non lo
cambia
Migliora ma
non annulla
l’errore
diminuisce
Non
interviene
sulla
precisione
rende il
sistema più
pronto
Lo rallenta
rendendolo
meno pronto
per cui va
sempre
abbinato a P
Ti= Kp/Ki
Td=Kd/Kp
Ki=Kp/Ti
Kd=Td*Kp
Lo annulla
Il metodo non è sempre applicabile: ci sono infatti sistemi che non generano oscillazioni, anche con
guadagni proporzionali elevati. Altre volte può essere pericoloso, o comunque sconsigliabile, portare il
sistema al limite di stabilità.
L’azione integrale é necessaria qualora sia richiesta una elevata precisione a regime.
L’azione derivativa é consigliata in quei processi che sono per loro natura lenti, in modo da aumentare la
prontezza della regolazione. E’ altresì sconsigliata nei processi in cui vi é presenza di rumori, poiché
diventerebbe un amplificatore di rumore.
TIPICI VALORI DEI PARAMETRI P.I.D. PER I PROCESSI INDUSTRIALI
PIU’ COMUNI
Anche se non si può definire a priori i valori dei parametri P.I.D. conoscendo solo il tipo di processo su cui é
applicato il regolatore, é possibile in modo molto approssimato dare un campo di appartenenza agli stessi. Tutto
ciò non é dettato da rigide formule matematiche ma solo da una notevole esperienza in merito.
Nella seguente tabella sono considerati i più comuni processi industriali e il normale campo di appartenenza
degli stessi. Ovviamente questi parametri non sono da ritenere ottimali per una buona regolazione ma sono da
considerare come un valido punto di partenza.