Cap.III-Regolatore

SCPC – Cap. III: Regolatori
Capitolo III: I Regolatori
III-1: Introduzione
Il regolatore ha il compito di stabilire l’azione correttiva da apportare in ingresso al processo,
per mezzo dell’attuatore; il segnale in uscita dal regolatore (s) è funzione dell’ingresso (e)
[s=f(e)], secondo la legge di controllo del regolatore.
Si hanno due tipi fondamentali di regolatori: ad algoritmo standard (PID) e ad algoritmo
avanzato.
I regolatori PID sono di fatto i più usati nei processi industriali (oltre il 95% dei casi, con
prestazioni che sono considerate in genere accettabili), mentre le applicazioni degli altri sono
riservati a pochi casi di processi relativamente complessi e difficili da controllare.
Nei regolatori avanzati, la legge di controllo può essere estremamente sofisticata e questo, in
teoria, permette di ottenere prestazioni molto superiori; dettagli sul progetto e il confronto di
prestazioni, verranno dati nella seconda parte del corso.
Nei primi la legge di controllo è relativamente semplice con tre componenti fondamentali
(Proporzionale, Integrale, Derivativa) e sarà illustrata di seguito, con riferimento al loro
funzionamento nelle condizioni di:
- Anello Aperto, (OL Figura 3-1a): l’ingresso (e) al regolatore è la variabile
indipendente,
- Anello Chiuso, (CL: Figura 3-1b): l’ingresso (e) dipende dall’azione di controllo, dato
che l’uscita (y) risente del disturbo (d), dell’azione di controllo (s), o della variabile
manipolata (u) ad essa direttamente collegata.
a)
b)
Fig.3-1: Schema di controllo in anello aperto (OL: a) e in anello chiuso (CL: b)
III-2: Il regolatore On-Off
Questo è un caso particolare di regolatore standard, con una legge di controllo estremamente
semplice; l’uscita varia tra due valori, a seconda del segno dell’errore:
s(t)=0, per e < 0;
s(t)=1, per e > 0, (o viceversa).
Con riferimento alla Figura 3-2, il funzionamento OL è immediato; in condizioni CL,
nell’ipotesi che l’azione di controllo disponibile sia sufficientemente grande da far cambiare
di segno l’errore, si osserva che l’uscita del processo ha un andamento oscillante
(caratteristica di questo tipo di regolatore). Le prestazioni sono piuttosto scarse; in compenso
è molto semplice ed economico; è utilizzato in applicazioni di basso livello (es: controllo
temperatura scaldabagno), quando è accettabile un intervallo di errore intorno al valore
desiderato.
Una variante di questo regolatore, è il Relè che trova applicazioni nella identificazione del
processo, portandolo in condizioni di oscillazione controllata (stabilità marginale).
III-1
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Fig.3-2: Andamenti nel tempo di errore (e) e segnale (s) per il regolatore On-Off in schemi OL e CL
III-3: Il regolatore Proporzionale (P)
Il proporzionale costituisce la componente base dell’azione di controllo; la variazione del
segnale (s) è direttamente proporzionale a quelle dell’errore (e):
s(t) = Kc e(t).
È caratterizzato da un unico parametro Kc (costante di azione proporzionale o guadagno).
Nei regolatori industriali a volte si parla di banda di proporzionalità (BP), definita come:
BP= 100% / Kc
Con riferimento alla Figura 3-3, il funzionamento OL è immediato anche in questo caso;
l’andamento del segnale di controllo è proporzionale all’errore in uscita: a errore costante
corrisponde segnale costante, a errore crescente segnale crescente.
Nel caso CL, si osserva che l’uscita (y) dal processo risente dell’azione di controllo (s) e di
conseguenza anche l’errore (e=r-y) diminuisce, rispetto al caso Senza Controllo (SC).
Nell’ipotesi che per un certo periodo di tempo l’errore sia costante, anche l’azione di controllo
rimane costante: si raggiunge così una situazione nella quale il sistema si mantiene bloccato
su una posizione distante da quella desiderata, con uno scostamento residuo (offset), che è la
peculiarità dell’azione di controllo P (nella risposta ad un ingresso di tipo gradino). Un
esempio di calcolo e la dimostrazione analitica verranno effettuati più avanti.
Per eliminare questo scostamento è necessario che l’azione di controllo aumenti nel caso di
errore costante: questo porta alla introduzione della componente Integrale.
SC
P
P
SC
Fig.3-3: Andamenti nel tempo di errore (e) e segnale (s) per il regolatore P in schemi OL e CL
(SC: Senza Controllo, P: con Controllo Proporzionale)
III-2
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III-4: Il regolatore Proporzionale Integrale (PI)
Il regolatore Proporzionale Integrale è il tipo più diffuso nelle applicazioni industriali. In
questo caso nella variazione del segnale (s), alla componente proporzionale all’errore, si
aggiunge la componente proporzionale all’integrale dell’errore (e) nel tempo:
K t
s (t ) = K c e(t ) + c ∫ e(t )dt
τi
0
Oltre al guadagno Kc, è caratterizzato da un altro parametro, la costante di azione integrale τi,
che si misura in unità di tempo e rappresenta il tempo al quale la componente integrale
diviene uguale alla componente proporzionale, nel caso di errore costante.
Il funzionamento OL del regolatore PI è riportato in Figura 3-4, evidenziando il contributo
delle due componenti; in particolare la componente Integrale determina un aumento del
segnale di controllo a errore costante.
Nella risposta in CL viene illustrato come la componente Integrale permette di eliminare
l’offset (nel caso di ingresso a gradino); viene messo in evidenza anche l’andamento
oscillante nella risposta, dovuto all’integrale.
PI
Fig.3-4: Andamenti nel tempo di errore (e) e segnale (s) per il regolatore PI in schemi OL e CL
III-5: Il regolatore Proporzionale Derivativo (PD)
La componente derivativa introduce nell’azione di controllo un elemento proporzionale alla
derivata dell’errore:
de(t )
s (t ) = K c e(t ) + K cτ d
dt
Oltre al guadagno Kc, è caratterizzato da un altro parametro, la costante di azione derivativa
τd, anch’essa misurata in unità di tempo.
Il vantaggio della componente derivativa è che la risposta è più pronta rispetto al regolatore P
o al PI, i quali danno un contributo iniziale piccolo nel caso di errore piccolo; lo svantaggio è
costituito dalla sensibilità ai rumori (disturbi con media nulla e distribuzione causale, i quali
spesso hanno una derivata che cambia di segno nel tempo con frequenza elevata): l’uscita dal
regolatore varia bruscamente, sollecitando inutilmente il sistema di attuazione.
Per il regolatore PD (Figura 3-5), rimane il problema dello scostamento residuo (offset),
perché a errore costante la componente derivativa dà un contributo nullo; per queste ragioni, il
PD non si usa quasi mai da solo; la componente derivativa è aggiunta al PI per dare il
regolatore PID.
III-3
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a)
b)
c)
Fig.3-5: Andamenti nel tempo di errore (e) e segnale (s) in schemi OL e CL per il regolatore PD;
a) risposta ad un segnale a gradino in OL, b) risposta a una rampa in OL,
c) risposta a un gradino in CL
III-6: Il regolatore Proporzionale Integrale Derivativo (PID)
In questo caso l’algoritmo diviene:
K t
de(t )
s (t ) = K c e(t ) + c ∫ e(t )dt + K cτ d
τi 0
dt
Il regolatore è caratterizzato da tre parametri (Kc,τi,τd), i quali, con una opportuna
sintonizzazione, permettono di realizzare i vantaggi delle tre componenti; spesso è possibile
ricondurre anche algoritmi più avanzati a una struttura base di tipo PI o PID, con aggiunta di
ulteriori componenti (filtri) o compensatori.
A titolo di esempio si riportano in Figura 3-6 le risposte in anello chiuso di regolatori di tipo
diverso P, PI, PID a ingressi a gradino: a) variazioni del riferimento, b) abbattimento del
disturbo. In estrema sintesi, per ribadire le caratteristiche fondamentali: il regolatore P
presenta offset, il PI permette di eliminare l’offset e introduce oscillazioni nella risposta, il
PID risulta più rapido del PI (ma può amplificare i rumori).
Fig.3-6: Risposte qualitative di regolatori P, PI, PID per variazione del riferimento (a) e soppressione
del disturbo (b).
Nella Figura 3-7 sono anche riportati gli andamenti della risposta di un regolatore PI al variare
del guadagno; si osserva come un aumento del guadagno porta a risposte più veloci e
oscillanti, fino a determinare instabilità oltre un certo valore del guadagno massimo.
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Fig.3-7: Risposte qualitative di un regolatore PI all’aumentare del guadagno Kc
III-7: Studio della Risposta di un Sistema con Regolatori diversi
III-7.1: Impostazione del problema
Si fa riferimento al sistema schematizzato in Figura 3-8; una portata di liquido in ingresso Fi,
a temperatura Ti, viene riscaldata ad una temperatura Tu per mezzo di un serpentino percorso
da vapore. Sono previsti disturbi sulla Ti; si adotta uno schema di controllo in retroazione: la
misura di temperatura è trasmessa al regolatore, dove è confrontata con il valore desiderato T0
in funzione dell’errore viene stabilita l’entità dell’azione correttiva che si attua per mezzo
della valvola di regolazione della portata di vapore.
Si vuole modellare il sistema e valutare quantitativamente l’andamento della temperatura nel
tempo con diversi tipi di regolatore.
D=Ti
T°
REGOLATORE
T=Tu
u
ATTUATORE
v
T
PROCESSO
MISURATORE
Fig.3-8: Il serbatoio riscaldato e lo schema di controllo in retroazione della temperatura
III-5
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Ipotesi:
•
•
•
•
Perfetto miscelamentoÆ Tu=T
Proprietà TD costanti: ρ, Cp; Volume costante: ÆFi=Fu=F
Misuratore perfetto Tm=T
Attuatore e scambiatore ideali; il calore trasferito al processo può essere espresso
direttamente come una funzione dell’errore: Q=f(e)
Bilancio energetico sul serbatoio riscaldato:
Allo Stato Stazionario Iniziale:
F ⋅ C P ⋅ Ti 0 + Q0 = F ⋅ C P ⋅ T0 →
→ Q0 = F ⋅ C P (T0 − Ti 0 ) ≈ W0 ⋅ λ0
⎧
d
1
⎪ F ⋅ C P ⋅ Ti + Q = F ⋅ C P ⋅ T + VρC p ⋅ T ×
dt
F ⋅ CP
In regime dinamico: ⎨
⎪T (0 ) = T
0
⎩
d
Q
Vρ
T = Ti + q : con τ =
; q=
dt
FC p
F
In termini di variabile di scostamento si ha:
d
τ ⋅ T ′ + T ′ = Ti′ + q ′
dt
dove T’, Ti, q’, sono le variabili di deviazione dallo stato stazionario T0, Ti0, q0.
T +τ ⋅
La formulazione del problema in termini generali per tenere conto di ingressi diversi (disturbi
Ti’ e azioni di controllo q’) è la seguente:
⎧ d ′
⎪τ ⋅ dt T + T ′ = Ti ′+ q ′ = f (t )
⎪
⎨T ′(0) = 0
⎪con : Ti ' (0) = f (t ); q′(0) = f (t )
1
2
⎪
⎩
III-7.2: Risposte per ingressi e azioni di controllo diverse
Disturbo su T’i, senza controllo
In questo caso l’unica variazione nel tempo rispetto allo stazionario iniziale è sulla
temperatura di ingresso, mentre l’azione di controllo (e quindi il calore fornito non variano);
si ha:
⎧Ti = Ti 0 + ∆Ti → Ti′ = ∆Ti
⎨
⎩q = q0 → q ′ = 0 ∀t
L’equazione risolvente diviene allora:
⎧ d ′
⎪τ ⋅ T + T ′ = Ti ′+ q′ = ∆Ti
⎨ dt
⎪⎩T ′(0) = 0
La cui soluzione è:
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t
⎧⎪
⎛
− ⎞
τ
⎜
⎨T ′ = ∆Ti ⋅ ⎜1 − e ⎟⎟
⎪⎩
⎝
⎠
Si ottiene la solita risposta di tipo esponenziale del sistema del primo ordine (Figura 3-9): una
perturbazione a gradino di ampiezza ∆Ti sulla temperatura di ingresso Ti’ si risente (nelle
ipotesi assunte) come una perturbazione di uguale ampiezza sulla T’ al nuovo stazionario (per
tÆ ∞).
Disturbo su Ti’ e controllo proporzionale P
In questo caso le variazioni nel tempo rispetto allo stazionario iniziale si hanno sia sulla
temperatura di ingresso che sull’azione di controllo, che varia con legge P; quindi:
⎧Ti = Ti 0 + ∆Ti → Ti′ = ∆Ti
⎨
⎩q = q0 + K c e = q0 + K c (T0 − T ) → q ′ = q − q0 = − K c T '
L’equazione risolvente diviene allora:
⎧ d ′
⎪τ ⋅ T + T ′ = Ti′ + q′ = ∆Ti − K cT '
⎨ dt
⎪⎩T ′(0) = 0
La cui soluzione è:
(1+ K c ) t ⎞
−
∆Ti ⎛⎜
⋅ 1− e τ ⎟
T′ =
⎟
1 + K c ⎜⎝
⎠
La risposta è ancora di tipo esponenziale (Figura 3-9), con alcune differenze:
- la derivata nell’origine vale T’(0)= ∆Ti/τ non cambia, dato che al tempo zero il
sistema non risente dell’azione di controllo;
- al nuovo stazionario (per tÆ ∞), lo scostamento della temperatura tende al valore:
∆Ti/(1+Kc); resta quindi uno scostamento residuo (offset) rispetto al valore desiderato
T’=0 (ovvero T=T0).
- Il valore dell’offset può essere diminuito aumentando il guadagno del regolatore, cioè
l’azione di controllo; questo è vero (matematicamente) per sistemi di ordine basso
(n<2); in realtà (per sistemi di ordine superiore e in presenza di ritardo), all’aumentare
del guadagno del regolatore la risposta può divenire instabile (vedi stabilità).
Fig.3-9: Andamento della temperatura nel tempo: senza controllo (SC), con regolatore
proporzionale, all’aumentare del guadagno del regolatore
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Disturbo su Ti’ e controllo Proporzionale-Integrale (PI)
In questo caso le variazioni nel tempo rispetto allo stazionario iniziale si hanno sia sulla
temperatura di ingresso che sull’azione di controllo, che varia con legge PI; quindi:
⎧Ti = Ti ,0 + ∆Ti → Ti′ = ∆Ti
⎪
Kc t
Kc t
Kc t
⎨
′
(
)
=
+
+
=
+
−
+
⋅
−
→
=
−
+
⋅ ∫ T ' dt )
q
q
K
e
e
dt
q
K
(
T
T
)
T
T
dt
q
(
K
T
'
∫
∫
c
c
c
0
0
0
0
⎪
τI 0
τI 0
τI 0
⎩
L’equazione risolvente diviene allora:
Kc t
⎧ d
⋅ ∫ T ' dt )
⎪τ ⋅ T ′ + T ′ = Ti′ + q′ = ∆Ti '−( K c T '+
τI 0
⎨ dt
⎪T ′(0) = 0
⎩
In questo caso abbiamo un’equazione integro-differenziale, la cui soluzione non è immediata,
nei casi più generali, operando nel dominio tempo. Questa è una delle motivazioni per
riformulare il problema nel dominio s, attraverso la Trasformata di Laplace.
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