LE SUPERFICI DI RIFERIMENTO

Capitolo
1
LE SUPERFICI DI RIFERIMENTO
1.1 LA TOPOGRAFIA
Il termine Topografia, dal greco Topographìa, significa descrizione dei
luoghi, rappresentazione grafica, cioè, di una porzione di territorio.
Sin dall’antichità si sentì l’esigenza di misurare campi, tracciare strade,
canali o altro per scopi prevalentemente agricoli.
Infatti, nell’antico Egitto, ogni anno si presentava la necessità di ripristinare i confini delle proprietà cancellati dalle inondazioni del Nilo. Queste
operazioni avvenivano in pochissimo tempo ed erano fatte mediante
l’impiego di strumenti molto semplici: aste graduate in legno e squadri
muniti di filo a piombo. Inoltre, in Mesopotamia, si presentava la necessità di realizzare e tenere in efficienza canali di irrigazione e di bonifica.
La Topografia conserva, sino ad oggi, l’esigenza pratica di risolvere
problemi tecnico-economici legati alla conoscenza del territorio.
Essa pertanto risulta essere un complesso di tecniche che si avvalgono
dei risultati di diverse scienze come la Geometria, l’Algebra, l’Ottica, la
Meccanica, la Statistica, la Geofisica.
La Topografia, quindi, studia i mezzi, gli strumenti e le metodologie che
sono necessari per avere una rappresentazione numerica o grafica più o
meno particolareggiata di una parte della superficie terrestre.
Tale rappresentazione si esegue su carta in una apposita scala e deve
essere ricca di particolari in funzione delle finalità della descrizione del
territorio.
Inoltre, essendo il territorio costituito da un insieme di infiniti punti
nello spazio, la descrizione avverrà soltanto per un "sottoinsieme" discreto di punti detti “caratteristici” che stanno a definire in modo significativo, ma approssimato, la superficie di partenza (il territorio) in funzione degli scopi della descrizione e quindi della scala di rappresentazione.
La rappresentazione grafica si esegue per comodità su un piano, mentre il territorio da rappresentare é tridimensionale.
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TEORIA DEL RILIEVO TOPOGRAFICO
La definizione (e quindi la descrizione) dei punti “caratteristici” può avvenire in diversi modi, come ad esempio mediante l’ausilio di un sistema
cartesiano spaziale con origine nel centro di massa della Terra.
Questo metodo risulta essere poco efficace dal punto di vista grafico e
complesso per i valori delle coordinate che possono essere positivi e negativi.
Questo sistema viene usato per la risoluzione di alcuni problemi geodetici, problemi legati alla scienza che studia la forma della Terra e le sue
dimensioni.
La definizione dei punti del territorio può essere fatta utilizzando un
metodo di rappresentazione più efficace dal punto di vista grafico e che
tiene in debito conto tutti gli studi e le tecniche di rappresentazione utilizzate in passato, cui applicare i risultati degli studi più avanzati: geometria
differenziale, misure fatte coi satelliti, ecc...
Una più comoda descrizione può essere fatta pensando di proiettare i
punti caratteristici del territorio su una ben definita superficie di riferimento, comoda e possibilmente di facile espressione analitica, su cui definire facilmente la posizione dei punti proiettati e poi le misure delle
proiettanti dei punti (distanza punto-terreno dalla superficie di riferimento: quota).
Nasce pertanto l'esigenza di definire una tale superficie di riferimento.
1.2 IL GEOIDE
La superficie fisica della Terra ha una forma geometrica irregolare, non
matematicamente semplice o definibile; il massimo dislivello tra fosse oceaniche e rilievi montuosi è all'incirca solo il 3‰ del raggio medio terrestre, a scala umana esso appare imponente.
Da tutto ciò nasce l'esigenza di definire per la Terra una superficie teorica di riferimento, sulla quale individuare la posizione spaziale di punti
appartenenti o meno alla superficie terrestre, per poterli eventualmente
rappresentare graficamente su una carta, cioè su una superficie piana.
Tale superficie di riferimento deve:
- seguire mediamente l'andamento generale della orografia sfiorando
il livello del mare e passando sotto le montagne;
- avere forma e caratteristiche univocamente determinate facendo riferimento a grandezze fisiche sperimentalmente evidenti.
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Capitolo 1: SUPERFICI DI RIFERIMENTO
Poiché tutte le particelle terrestri sono sollecitate dalla forza di gravitazione universale e dalla forza centrifuga generata dal moto di rotazione,
la forma della Terra viene attualmente dedotta dalla legge di gravità.
La forza di gravità genera in un punto generico
un
potenziale
W(x, y, z), funzione delle sue coordinate, riferite ad un sistema di assi
cartesiani con origine al centro della terra.
Il potenziale della gravità in un punto si definisce come il lavoro necessario per trasportare all'infinito ed in direzione opposta a quella della gravità l'unità di massa applicata a quel punto. L'insieme dei punti in cui questo potenziale è costante
W(x, y, z) = cost
appartiene ad una superficie, detta superficie equipotenziale o superficie di livello.
Una caratteristica fondamentale delle superfici equipotenziali definite è
che la normale in un punto alla superficie equipotenziale coincide con
la direzione della gravità nel punto (direzione della verticale).
Ciò discende dalla definizione di superficie equipotenziale in quanto,
dalla definizione, il lavoro compiuto dalla forza di gravità in uno spostamento lungo una superficie equipotenziale è nullo, quindi la forza di gravità, come direzione, deve essere normale alla superficie equipotenziale.
La forza di gravità che agisce su ogni elemento materiale sulla litosfera
è determinata principalmente dalla forza di gravitazione universale (o attrazione newtoniana) e dalla forza centrifuga, originata dalla rotazione
della Terra intorno al proprio asse polare (fig. 1.1). Possono ritenersi trascurabili, in prima approssimazione, le altre forze newtoniane determinate dal Sole, dalla Luna e dagli altri corpi celesti in quanto piccole e
variabili nel tempo ed anche un'altra forza centrifuga determinata dal
moto di rivoluzione della Terra intorno al Sole.
L’attrazione newtoniana che un elemento infinitesimo dm della terra esercita su un elemento di massa unitaria a distanza d è data da:
dm
dF = G
d2
(1)
ove G è la costante di gravitazione universale (6,67 10-11 Nm2/kg 2).
La forza centrifuga per lo stesso elemento di massa unitaria è data da:
→
→
f =ω r
2
dove ω è la velocità angolare della Terra ed r la distanza del punto
considerato dall'asse di rotazione terrestre.
4
TEORIA DEL RILIEVO TOPOGRAFICO
La forza di gravità sarà allora data dalla risultante di tutte le forze di
attrazione newtoniana esercitata dall'intera massa della Terra più la forza
centrifuga (fig. 1.1). In termini vettoriali:
→
g=G
∫
→
V
→
dF+ f
Un risultato immediato rilevabile dalla formula precedente è che la forza di gravità varia dai poli all'equatore in conseguenza della variazione
della forza centrifuga (massima all'equatore, nulla ai poli, r = 0).
ω
P
r
f
F
g
Fig. 1.1
Ciò determina che le superfici equipotenziali non coincidono con le superfici aventi gravità costante e non sono tra loro parallele. Si dimostra
facilmente che, per definizione, il lavoro fatto tra due superfici equipotenziali per spostare l'unità di massa deve essere costante e pari ad h.g (h è
la distanza tra le due superfici equipotenziali misurata nella direzione
della gravità), essendo g variabile, varierà anche h per mantenere costante il lavoro.
Tra le varie superfici equipotenziali se ne può definire una che passa
per un punto stabilito della superficie media del mare. Tale superficie
prende il nome di geoide o di superficie matematica di riferimento della
Terra.
Il geoide può essere definito come quella superficie che, partendo da
un punto del livello medio del mare, si mantiene costantemente normale
in ogni suo punto alla direzione della verticale.
Il geoide coinciderebbe con la superficie del mare soltanto nell'ipotesi
di globo terrestre coperto interamente di liquido perfetto (cioè non viscoso, omogeneo ed isotropo) in stato di quiete, infatti in tal caso il pelo
libero (la superficie libera) del liquido si disporrebbe secondo una superficie equipotenziale di gravità come precedentemente definita.
Il geoide ha forma molto complessa e negli ultimi anni si è riusciti a
determinarla nelle sue linee generali mediante lo studio della traiettoria
5
Capitolo 1: SUPERFICI DI RIFERIMENTO
dei satelliti artificiali. É stato confermato, come già risultava dagli sviluppi
matematici (basati sulla gravità e suo potenziale), che il geoide è una superficie molto complessa, irregolare, pertanto non si presta bene come
superficie di riferimento su cui proiettare verticalmente (normalmente) i
punti della superficie terrestre per le seguenti difficoltà:
- eseguire calcoli e relazioni geometriche tra punti sul geoide;
- stabilire equazioni di corrispondenza tra i punti del geoide e punti
corrispondenti rappresentati sulla carta.
1.3 LO SFEROIDE
La Geodesia, scienza applicata che studia le dimensioni della Terra,
prende come superficie di riferimento il geoide. Mediante osservazioni ha
dimostrato che, a meno di scostamenti inferiori a ± 50 m, il geoide può
essere approssimato a un ellissoide di rotazione (con particolari valori di
asse polare ed equatoriale) ai fini della proiezione verticale dei punti della
superficie terrestre su di esso, senza introdurre sensibili errori. Ciò non è
più vero per le distanze dei punti della superficie terrestre dalla superficie
teorica di riferimento (quote), che deve continuare ad essere il geoide.
Per l'ellissoide di rotazione, in generale la normale alla superficie non
coincide con la verticale.
Una conferma di quanto detto ed una espressione analitica dello geoide
come superficie di riferimento, si può avere dalla legge di gravitazione universale e dalla definizione di potenziale.
Il potenziale della forza newtoniana tra un punto materiale di massa unitaria P di coordinate x, y, z ed un elemento infinitesimo di massa dm e
coordinate a, b, c è dato da (fig. 2.1):
Z
P(x,y,z)
O
OP = σ
ϕ
λ
Y
X
dm (a, b, c)
Fig. 2.1
6
TEORIA DEL RILIEVO TOPOGRAFICO
r r
dV = dF × d
tenendo conto della (1) si ha:
dm
dV = G
(
) (
2
x − a + y −b
) (
2
+ z− c
)
2
(2)
Il potenziale della forza centrifuga 1/, dovuto al punto P di massa unitaria, è:
(
1
)
θ x, y, z =
2
(x
2
)
+ y2 ω2 =
1
2
ω 2r 2
Il potenziale generale di tutte le forze elementari newtoniane sarà evidentemente l'integrale di volume della formula (2).
Si può allora scrivere:
(
) ∫ dV + θ (x,y,z ) = V (x,y,z ) + θ (x,y,z ) 2/
W x, y, z =
v
La determinazione dell'integrale che consente il calcolo di V(x, y, z)
non è possibile in via analitica, ma si dimostra che è sviluppabile sotto
forma di una serie convergente.
Arrestando lo sviluppo di tale serie ai termini del secondo ordine, in
quanto quelli di ordine superiore tendono rapidamente a zero, ipotizzando
che la forma della Terra sia un solido di rivoluzione, conoscendo i momenti di inerzia della Terra Jz e Jx = Jy ed operando opportunamente si
può arrivare ad una prima approssimazione dal punto di vista matematico
della superficie equipotenziale fondamentale:
(
σ = a 1 − ssen2ϕ
)
(3)
ove a è il semiasse equatoriale ed s lo schiacciamento polare, definito
come:
s=
a−c
a
ove c è il semiasse polare.
1/ La relazione fondamentale fra forza f
e potenziale F della forza è espressa in ter-
mini differenziali da:
fx =
∂Φ
∂x
,
fy =
∂Φ
∂y
,
fz =
∂Φ
∂z
f prende il nome di gradiente di F.
2/ Il potenziale W é espresso dal seguente prodotto scalare:
r
r
dW = g × dp
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Capitolo 1: SUPERFICI DI RIFERIMENTO
L'equazione (3) è detta equazione dello sferoide terrestre ed è una
prima approssimazione analitica del geoide e della superficie di riferimento terrestre.
L'equazione dello sferoide, semplice in coordinate polari, non lo è più
in coordinate cartesiane. Questa ragione ha portato a definire come superficie di riferimento della Terra, una superficie geometrica che è molto
simile alla precedente, ma di espressione molto più semplice in coordinate cartesiane.
Questa superficie è l'ellissoide internazionale o ellissoide terrestre che
ha equazione:
x 2 + y2
a2
+
z2
c2
= 1.
(4)
1.4 L’ELLISSOIDE TERRESTRE
L'introduzione dell'ellissoide internazionale come superficie di riferimento consente di effettuare i calcoli sull'ellissoide (ove è possibile operare matematicamente) utilizzando le misure eseguite direttamente sul
geoide. In altre parole, approssimare la superficie terrestre con una superficie ellissoidica porta ad affrontare e risolvere due ordini di problemi:
a) gli strumenti di misura effettivamente realizzabili in pratica sono idonei a misurare grandezze su superfici ellissoidiche e con quali approssimazioni?
b) l'elaborazione ed il calcolo delle misure precedenti deve necessariamente avvenire facendo riferimento ad una geometria e trigonometria ellissoidica? Con quali limitazioni è applicabile una trigonometria
sferica od addirittura una trigonometria piana estremamente più
semplice delle precedenti?
Particolare importanza nella geometria ellissoidica riveste la definizione delle geodetiche. La geodetica è quella curva che dati due punti Po
e P 1 sulla superficie ellissoidica o qualsiasi li congiunge con il valore minimo della lunghezza dell'arco; inoltre in ogni suo punto la normale principale coincide con la normale alla superficie, cui la geodetica appartiene.
Le geodetiche di un ellissoide sono curve non giacenti su un piano,
tranne i meridiani e l'equatore.
8
TEORIA DEL RILIEVO TOPOGRAFICO
L'introduzione delle geodetiche per una superficie ellissoidica è importante in quanto esse sono univocamente determinate a differenza di altre
grandezze.
Ad esempio se per due punti P o e P 1 dell'ellissoide si definiscono le
normali 1/ alla superficie, (fig. 3.1) tali normali non sono in genere complanari e si possono allora definire un piano normale per P o e passante
per P1 e un piano normale in Po e passante per P 1 . Questi due piani non
coincidono e le loro tracce sulla superficie hanno lunghezze diverse e
formano in Po e P1 degli angoli tra loro non nulli.
Gli strumenti concettualmente costruibili sono però idonei ad essere
posizionati in un punto (Po ) in modo che un loro asse meccanico coincida
con la verticale per il punto (direzione della gravità per il punto) ed a descrivere il fascio dei piani (verticali) passanti per la verticale del punto.
L'angolo P1 P o P 2 determinato tra piani verticali del fascio passante per la
verticale di P o non coincide con l'angolo formato dalle tangenti 2/ in P o
alle geodetiche Po P 1 e Po P 2 ; inoltre con tali strumenti è possibile definire
(e quindi misurare) le distanze tra due punti come traccia sul piano verticale che non coincide con la geodetica tra i due punti.
A questi errori se ne può aggiungere ancora un altro, in quanto la verticale sul geoide non è detto che coincida con la normale per il punto dell'ellissoide.
Traccia del piano normale
in P0 passante per P1
Z
n0
n1
X
P0
P1
Y
GEODETICA
P0 P1
Traccia del piano normale
in P1 passante per P0
ELLISSOIDE
Fig. 3.1
Le formule che danno le coordinate di un arco di geodetica di lunghezza
l
secondo un riferimento cartesiano come quello in figura prece-
1/ Vedi l’Appendice
2/ Vedi l’Appendice
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Capitolo 1: SUPERFICI DI RIFERIMENTO
dente, in cui Z coincide con la normale in Po , X con la tangente al meridiano per Po e Y con il parallelo, sono:


l2

x = l cosα 1 −
+ ...
6 ρR α


2


l
y = l senα 1 −
+ ...
6NR α


z=
l2
2 Rα
(4)
(1 − ...)
dove N e ρ sono i raggi di curvatura principali nel punto generico ed R α
il raggio di curvatura della geodetica in Po avente azimut α e dipendente
dalla latitudine ϕ
(ρ
< R α < N).
Le formule precedenti (sviluppi in serie di cui sono riportati i primi termini) sono dette formule di PUISEUX-WEINGARTEN. Esse permettono sia
il calcolo teorico della differenza tra angolo del diedro verticale e l'angolo
formato dalle tangenti alle geodetiche sia il calcolo della differenza di lunghezza tra la geodetica tra due punti e la loro traccia sul piano normale.
Si vede che, a partire dalle formule precedenti, la differenza angolare
dipende dall'azimut “α ” e dalla latitudine (massima all'equatore, nulla ai
poli) ed è dell'ordine di ( l /R) 2 .
Per una latitudine di 45° nel caso di azimut α = 45° (condizione più
sfavorevole) si può calcolare tale differenza:
l = 100
l = 200
l = 300
km
∆α = 0, 01"
km ∆α = 0, 07"
km ∆α = 0,13"
Si può affermare che tale errore è trascurabile fino ad una distanza di
circa 200 km, in quanto le precisioni strumentali non scendono al di sotto
di qualche decimo di secondo sessagesimale. Si vede anche che la differenza lineare tra geodetiche e tracce normali alla stessa distanza (~200
km) è piccola ed inferiore agli errori di misura raggiungibili.
Quanto all'errore connesso alla deviazione dalla verticale (non coincidenza tra la verticale del punto e normale teorica all'ellissoide), esso è in
genere piccolo e trascurabile; diviene sensibile quando tale deviazione
dalla verticale è forte (al massimo può raggiungere 60") e allora può essere corretto dalla conoscenza (per via geofisica) del valore di tale deviazione nel punto considerato.
10
TEORIA DEL RILIEVO TOPOGRAFICO
+
Da quanto detto discende che pur operando in uno spazio ellissoidico, gli
strumenti che misurano angoli e distanze tra e lungo sezioni normali 1/ sono applicabili, senza errori apprezzabili sperimentalmente, fino a distanze
di alcune centinaia di chilometri.
1.5 IL CAMPO SFERICO
Una notevole semplificazione dei calcoli, nell'elaborazione di queste
misure di angoli e distanze, può avvenire se, invece di considerare l'ellissoide, ci riferiamo ad una sfera locale, approssimante la superficie ellissoidica nell'intorno del punto considerato e avente raggio pari alla media
geometrica dei raggi di curvatura principale dell'ellissoide nel punto:
R=
ρN , R α = R , ossia K
=l R
2
.
Procedere in questo modo significa trascurare i termini, non scritti, del
3° ordine delle formule (4). Ciò risulta possibile, date le approssimazioni
strumentali raggiungibili, fino ad un intorno di raggio di 100 km dal punto
considerato.
In questo campo, detto campo geodetico o campo sferico o campo di
Weingarten è possibile l'uso della trigonometria sferica invece dell'ellissoidica senza errori sperimentalmente rilevabili.
+
A tale proposito è da tenere presente il Teorema di Legendre. Esso asserisce che "Un triangolo sferico di lati piccoli rispetto al raggio R della
sfera, può essere risolto come un triangolo piano che abbia i lati uguali a
quelli del triangolo sferico e gli angoli uguali ai valori dei corrispondenti
sulla sfera diminuiti ciascuno di un terzo dell'eccesso sferico".
L'eccesso sferico e può essere considerato pari al rapporto tra la superficie S del triangolo piano e il raggio R al quadrato, in formule:
ε=
S
R2
Pertanto in un triangolo sferico ABC può essere scritta la seguente relazione
∧
∧
∧
A + B + C− ε = 180°
1/ Vedi l’Appendice
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Capitolo 1: SUPERFICI DI RIFERIMENTO
1.6 IL CAMPO TOPOGRAFICO
Analogamente ci si può chiedere in quale intorno sono trascurabili anche i termini del secondo ordine che possiamo scrivere come l 2 6R 2 (ove R sarà il raggio della sfera locale). Si ottiene al massimo:
l
l
10
15
20
30
km
0,4 106
0,9 106
1,6 106
3,7 106
m
2
6 R2
+
Da ciò deriva che: fino ad un intorno di 15 km dal punto considerato è
possibile applicare formule di geometria o trigonometria piana senza errori
sperimentalmente evidenti ( 1 mm) .
L'intorno così definito prende il nome di campo topografico e può anche definirsi l'intorno in cui la superficie ellissoidica è approssimabile planimetricamente con il piano tangente; applicare le formule x = l cosα ,
y = l senα significa infatti confondere il segmento l di geodetica considerata con la sua proiezione sul piano tangente.
Occorre però tener presente che lo scostamento altimetrico tra piano
tangente e superficie ellissoidica è più rapido di quello planimetrico, dipende infatti da l 2 2R e si ottiene:
l
l
0,1
0,5
1
5
km
0,8 103
2 102
8 102
2
m
2
6 R2
1.7 DIMENSIONI DELL'ELLISSOIDE E SUE MISURE
Sin dall'antichità si sentì il bisogno di conoscere le dimensioni della
Terra, ritenuta sferica, affrontando lo studio come problema puramente
geometrico.
All'inizio del IV secolo a.C. la prima misurazione si basò sul principio di
misurare la lunghezza di un arco di cerchio massimo (meridiano) e trovare in quale rapporto questo arco sta con la intera circonferenza.
Così operando Eudosso di Cnido trovò una lunghezza pari a 400.000
stadi (~74.000 km), circa il doppio del valore conosciuto attualmente
(40.009 km).
12
TEORIA DEL RILIEVO TOPOGRAFICO
Dicearco da Messina (IV sec. a.C.) discepolo di Aristotele, basandosi
sullo stesso principio ed osservando che nel solstizio d'estate sulla città di
Siene (odierna Assuan) situata sul Tropico del Cancro era allo zenit una
stella della costellazione del Cancro mentre nello stesso giorno a Lisimachia, nell’Ellesponto, era allo zenit una stella del Dragone, nell’ipotesi che
le due città si trovassero sullo stesso meridiano, misurò l’arco di meridiano celeste tra le due stelle e la distanza tra le due città e valutò che i
rapporti tra i due archi e le rispettive circonferenze fossero uguali tra loro
e pari a 1/15 ed in definitiva ottenne una circonferenza pari a 300.000
stadi (55.000 km).
Un risultato eccellente fu ottenuto da Eratostene di Cirene (III sec.
a.C.) il quale riuscì a misurare l'inclinazione dei raggi solari ad Alessandria 7°12' il giorno del solstizio d'estate (fig. 4.1) mediante l'ombra prodotta da uno stile infisso in una semisfera cava di rame sapendo che a
Siene lo stesso giorno i corpi non davano ombra e conoscendo la distanza
SieneAlessandria ottenne per la circonferenza un valore di 252.000 stadi
ossia circa 39.569 km, valore di notevole precisione considerati gli strumenti rudimentali impiegati.
Risultati migliori sono stati conseguiti solo dalla misure moderne adottando nuovi metodi e strumenti perfezionati.
Mediante il metodo della triangolazione, scoperto dall'olandese Snellius
(XVII sec.), Picard misurò l'arco di meridiano corrispondente ad un grado
ed ottenne per il raggio terrestre il valore di 6.872 km.
Successivamente Hayford nel 1909 definì i parametri dell'ellissoide
a = 6378,388 km, lo
schiacciamento
s = 1/297,0
e
con
tali
valori
l'U.G.G.I. (Unione Geodetica e Geofisica Internazionale) a Madrid nel
1924 definì l'ellissoide internazionale, detto anche ellissoide di Hayford.
Sole
α
Alessandria
D
α
Equatore
Fig. 4.1
Siene
13
Capitolo 1: SUPERFICI DI RIFERIMENTO
Misure recenti, con lo studio delle perturbazioni delle orbite di satelliti
artificiali, causate dalle irregolarità della superficie terrestre, hanno raggiunto le massime precisioni.
Nella tabella che segue vengono riportati e raffrontati i diversi parametri caratteristici dell'ellissoide internazionale stabiliti dalla U.G.G.I. nelle
sue assemblee.
RAFFRONTO FRA I SISTEMI GEODETICI 1924-30, 1967, 1980
PARAMETRO
SISTEMA 1924-30
SISTEMA 1967
SISTEMA 1980
Semiasse
maggiore
a
6 378 388
m
6 378 160
m
6 378 137
m
Semiasse
minore
b
6 356 911,9460
m
6 356 774,5161
m
6 356 752,3141
m
Schiacciamento
s
1/297,0
1/298,247 167 427
Cost. grav.
geoc. 1/ GM
1/298,257 222 101
3 986 030 108
m3s2
3 986 005 108
m3s2
Vel. ang.
rotazione
ω
7 292 115 1011
rad s1
7 292 115 1011
rad s1
7 292 115 1011
rad s1
Gravità equatoriale
ge
9,780 490
m s2
9,780 318 4558
m s2
9,780 326 7715
m s2
Gravità pogp
lare
9,382 213
m s2
9,832 177 2792
m s2
9,832 186 3685
m s2
1/ GM è la costante di gravitazione geocentrica, di cui G è la costante di gravitazio-
ne universale ed M la massa terrestre includente l'atmosfera.