Integrali curvilinei e teorema di Green

Integrali curvilinei
Problema: se una grandezza è distribuita su una curva K, oppure su una superficie P,
ed ha densità f (P ), come misurare la quantità totale di tale grandezza su K o su P?
Gli strumenti sono l’integrale curvilineo e l’integrale superficiale:
]
f ds = quantità totale contenuta in K
K
(dj)
(P)
(P)
di una grandezza con densità
lineare
(superficiale)
f : K $ R.
(P)
Serve approfondire i concetti di curva e superficie parametrica.
1
Curve parametriche
Sono i sottoinsiemi K di Rn che ammettono una rappresentazione del tipo:
;
A
A
? x1 = x1 (t)
K : ···
,
A
A
= x = x (t)
n
t5I
(n-upla di equazioni parametriche della curva K),
con x1 (t) , ..., xn (t) continue su un intervallo I.
n
In altri termini, K è l’immagine di una funzione vettoriale
: I $ Rn
definita e continua su un intervallo I.
t :$ (t) = (x1 (t) , ..., xn (t))
La funzione si dice parametrizzazione della curva K (= im = (I)).
Punto di vista cinematico: il parametro t può essere interpretato come tempo e allora è la legge oraria del moto del punto mobile (t), di cui K = im è la traiettoria (luogo
delle posizioni occupate durante il moto).
Esempio.
2
Archi
Definizione 1 Una curva è un arco se ammette una parametrizzazione definita su un
intervallo compatto [a, b], cioè se è l’immagine di una funzione
: [a, b] $ Rn
continua.
Intuitivamente: gli archi sono le curve che possono essere descritte da un punto mobile
(t) che “parte” da una posizione (a) e “termina” su un’altra (b).
Non vale per ogni curva: si può dimostrare che ogni arco è un insieme compatto di Rn .
–––––
Sarà sottinteso che per gli archi useremo solo parametrizzazioni definite su intervalli [a, b].
Inoltre tratteremo solo archi semplici e, quasi esclusivamente, regolari.
Definizione 2 Un arco è semplice se ammette una parametrizzazione : [a, b] $ Rn
tale che
(t1 ) = (t2 ) =, t1 = t2 oppure t1 , t2 5 {a, b}
(ad es. iniettiva). Una tale parametrizzazione è detta parametrizzazione semplice.
Intuitivamente: gli archi semplici sono quelli che non hanno “autointersezioni”, cioè che
possono essere descritti da punti mobili (t) che non ripassano mai dalla stessa posizione,
fatta eccezione, eventualmente, per gli istanti iniziale t = a e finale t = b del moto.
Si dimostra che un arco semplice K può essere solo di due tipi:
1
)
esistono due punti diversi A, B 5 K
ogni sua parametrizzazione semplice
tali che ogni sua parametrizzazione semplice
è tale che (a) = (b)
soddisfa (a) = A e (b) = B
&
oppure (a) = B e (b) = A.
si dice che K è un arco chiuso
&
si dice che K è un arco aperto
ed i punti A, B si chiamano estremi di K
Gli archi semplici chiusi del piano soddisfano una notevole proprietà, espressa dal seguente:
Teorema 1 (di Jordan) Se K è un arco semplice chiuso di R2 , allora R2 \ K consiste
di due aperti connessi disgiunti tali che
• K è la frontiera di entrambi;
• uno è limitato (e viene detto interno di K);
• l’altro è non limitato (e viene detto esterno di K).
Un arco semplice chiuso di R2 viene detto anche arco di Jordan.
Definizione 3 Un arco è regolare se ammette una parametrizzazione : [a, b] $ Rn
tale che
(i) è semplice
(ii) 5 C 1 ([a, b])
(iii) ;t 5 (a, b) risulta (t) 9= 0.
Una tale parametrizzazione è detta parametrizzazione regolare.
Per visualizzare la nozione di regolarità, ricordiamo la definizione di retta tangente.
Definizione 4 Sia K un arco regolare e sia P0 5 K. Si dice che P0 è un punto regolare
di K se esiste una parametrizzazione regolare : [a, b] $ Rn di K tale che P0 = (t0 ) con
t0 5 (a, b). In tal caso, la retta passante per P0 e parallela al vettore (t0 ) 9= 0 si chiama
retta tangente a K in P0 . In caso contrario si dice che P0 è un punto singolare.
• La retta tangente è un oggetto geometrico, perché non dipende dalla parametrizzazione
regolare : se h
: [h
a, hb] $ Rn è un’altra tale che P0 = h
th0 con th0 5 (h
a, hb), allora h th0
e (t0 ) risultano paralleli.
• (t0 ) dipende invece da ed è detto vettore tangente a K in P0 relativo a .
• La presenza della retta tangente esprime il fatto che la curva è “liscia” vicino a P0 .
• In sostanza: punti regolari = punti in cui c’è la retta tangente.
Se : [a, b] $ Rn è regolare, allora tutti i punti (t) con t 5 (a, b) sono regolari.
Di conseguenza un arco regolare K può essere solo di tre tipi:
1
&
)
aperto
chiuso e senza
chiuso e con un solo
e con punti tutti regolari
punti singolari
punto singolare P0
( <, h regolari tali che
( ; regolare è tale che
(a) = (b) 9= h
(h
a) = h
(hb) )
(a) = (b) = P0 )
tranne gli estremi A, B
Esempio notevole. Se f : [a, b] $ R è una funzione di classe C 1 , allora il suo grafico è
un arco regolare, con parametrizzazione regolare standard (t) = (t, f (t)) con t 5 [a, b].
Infatti ...
Archi regolari a tratti
Intuitivamente: sono cammini che uniscono 2 punti, percorrendo più archi regolari (tratti)
senza ripassare mai dalla stessa posizione (tranne, eventualmente, per inizio e fine).
Definizione 6 K Rn è un arco regolare a tratti se è l’unione K = K1 ^ ... ^ Kk di
un numero finito di archi regolari aperti K1 , ..., Kk , che chiamiamo tratti di K, tali che
• ciascun tratto interseca almeno 1 degli altri tratti;
• ogni intersezione di 2 tratti è un estremo di entrambi e di nessuno degli altri tratti.
Se ogni tratto condivide entrambi gli estremi con altri tratti, allora diremo che K è chiuso;
diversamente (cioè se esistono tratti con un estremo non condiviso con alcun altro tratto),
diremo che K è aperto e, in tal caso, i 2 punti che sono estremi di un solo tratto si dicono
estremi di K.
–––––––––––––
Si dimostra che il teorema di Jordan vale anche per archi regolari a tratti chiusi di R2 .
archi regolari a tratti
archi non regolari a tratti
Notiamo che la scomposizione in tratti di un arco regolare a tratti non è unica e che nulla
vieta di scomporre in tratti un arco regolare e vederlo come arco regolare a tratti.
3
Integrali curvilinei (di prima specie)
Motiviamo la loro definizione intuitivamente, in relazione al loro significato fisico.
Siano K un arco regolare e : [a, b] $ Rn una sua parametrizzazione regolare.
Fissiamo t 5 (a, b) ed un incremento dt > 0 “infinitesimo”, e consideriamo i punti (t) e
(t + dt) e la lunghezza ds (in senso intuitivo) del sottoarco “elementare” che li unisce.
Per la continuità di , è ragionevole approssimare
ds * n (t + dt) (t)n .
Per la dierenziabilità di , si ha
(t + dt) (t) = (t) dt + o (dt)dt<0
e quindi
ds * n (t + dt) (t)n * n (t) dtn = n (t)n dt.
Supponiamo che su K sia distribuita una massa con densità lineare f : K $ R continua.
Per la continuità di f , possiamo pensare che f sia costante sul sottoarco elementare di K
che unisce (t) e (t + dt), la cui massa sarà allora:
f ( (t)) ds * f ( (t)) n (t)n dt.
Per l’interpretazione dell’integrale come “somma” di contributi infinitesimi, si avrà quindi:
]
b
massa di K =
f ( (t)) n (t)n dt.
a
Per K regolare, poniamo KW := K \ {punti singolari di K} = {punti regolari di K} .
Definizione 7 Siano K un arco regolare in Rn ed f : dom f Rn $ R un campo scalare
limitato e continuo su KW .
Si chiama integrale curvilineo (di prima specie) di f lungo K il numero
]
]
f ds :=
K
b
]
b
f ( (t)) n (t)n dt =
a
a
t
f (x1 (t) , ..., xn (t)) [x1 (t)]2 + ... + [xn (t)]2 dt
dove : [a, b] $ Rn è una qualsiasi parametrizzazione regolare di K.
Nota bene. La definizione stessa di
U
K
f ds dà anche un modo per calcolarlo.
Nelle ipotesi della definizione, si dimostra che l’integrale curvilineo:
• esiste sempre;
• è indipendente dalla scelta della parametrizzazione regolare .
Si denota anche con f (P ) o]f (x1 , ..., xn ) al]posto di f e, se si ha già una parametrizzazione
regolare di K, anche con
–––––
al posto di
.
K
Se n = 2, ha significato geometrico di area con segno della superficie “sottesa da f su K”:
ci torneremo quando avremo definito l’area di una superficie.
;
2
2
A
A
? x +y =1
Esempio. Calcolare l’integrale di f (x, y, z) = xy 2 z lungo l’arco K :
z=2
A
A
= x 0.
Lunghezza di un arco regolare
Le considerazioni fatte all’inizio (ds * n (t)n dt) motivano anche la seguente:
Definizione 8 Sia K un arco regolare in Rn . Chiamiamo lunghezza di K l’integrale
curvilineo lungo K della funzione costantemente uguale ad 1, ossia il numero
]
(K) :=
b
]
n (t)n dt =
1 ds
K
a
dove : [a, b] $ Rn è una qualsiasi parametrizzazione regolare di K.
Estensione ad archi regolari a tratti
Per K regolare a tratti, poniamo KW := K \ {estremi dei tratti di K} .
Definizione 9 Se K è un arco regolare a tratti in Rn ed f : dom f Rn $ R è un
campo scalare limitato e continuo su KW , allora si pone
]
f ds :=
K
k ]
[
i=1
Ki
f ds
e
(K) :=
k
[
i=1
(Ki ) =
k ]
[
i=1
Ki
]
1 ds =
1 ds
K
dove K = K1 ^ ... ^ Kk è una qualunque scomposizione in tratti di K.
U
K
f ds e (K) esistono e si dimostra che non dipendono dalla scomposizione in tratti di K.
Baricentro e momenti d’inerzia di un arco
Tramite l’integrale curvilineo, le definizioni di baricentro, centroide e momenti di inerzia
si estendono in modo del tutto naturale agli archi: se K un arco regolare a tratti in Rn su
cui sia definita una densità lineare di massa µ : K $ R limitata e continua su KW , allora
si chiamano:
• baricentro di K il punto G = (x1 , ..., xn ) di coordinate
U
xi µ (x1 , ..., xn ) ds
,
µ (x1 , ..., xn ) ds
K
xi := KU
i = 1, ..., n
(centroide se µ = 1);
• momento di inerzia di K rispetto all’origine O il numero
]
]
2
2
IO := [d (P, O)] µ (P ) ds =
x1 + ... + x2n µ (x1 , ..., xn ) ds;
K
K
• momento di inerzia di K rispetto all’asse a (retta di Rn ) il numero
]
Ia :=
[d (P, a)]2 µ (P ) ds.
K
4 Integrali di lavoro (o curvilinei di seconda specie o
di linea)
Problema. Supponiamo di avere un campo di forze F (nel piano o nello spazio) entro
il quale si muove un punto materiale P (non necessariamente sotto la sola azione di F).
• Se F è costante (in modulo, direzione e verso) e la traiettoria di P è rettilinea, allora il
lavoro compiuto dalla forza è L = F · {r, dove {r è il vettore spostamento subito da P .
• Se però la forza F non è costante, oppure la traiettoria di P non è rettilinea, come
determinare il lavoro compiuto da F per P che si sposta lungo la propria traiettoria?
–––––
La schematizzazione matematica è:
campo di forze
l campo vettoriale F : dom F Rn $ Rn
traiettoria del moto l arco regolare K in Rn (o regolare a tratti)
verso del moto
l orientamento di K
Orientamento di archi K regolari
Intuitivamente: K può essere solo di 3 tipi, ciascuno dei quali può essere percorso solo in
2 modi diversi (detti opposti tra loro).
chiuso senza punti singolari
chiuso con un punto singolare
Orientare K signifca scegliere uno dei suoi 2
versi di percorrenza possibili come privilegiato,
chiamandolo verso positivo; il verso opposto
si dirà allora negativo.
aperto
Per archi aperti orientati si potrà parlare di estremo iniziale ed estremo finale, indipendentemente dalla scelta di una parametrizzazione.
Matematicamente: si può ragionare in più modi; vediamone uno.
• In ogni punto P 5 KW , c’è la retta tangente e quindi ci sono esattamente 2 versori
tangenti opposti tra loro.
• Assegnando un versore tangente (P ) ad ogni P 5 KW , ottengo un campo vettoriale
: KW $ Rn .
• In questo modo, posso costruire infiniti campi di versori tangenti.
• Proposizione: Tra questi, ne esistono solo 2 che risultano continui su KW .
Inoltre sono opposti tra loro: se sono 1 e 2 , allora 2 (P ) = 1 (P ) , ;P 5 KW .
• Definizione: Orientare K significa scegliere uno dei 2 possibili campi continui di
versori tangenti come privilegiato, chiamandolo positivo.
Se indico con il campo positivo, l’altro è e si dirà negativo.
La scelta di un campo corrisponde alla scelta di un verso di percorrenza: quello per cui
da ogni punto P si prosegue lungo la parte di arco che sta nel semipiano in cui punta (P ) .
–––––
Operativamente è utile il seguente risultato, che permette di esprimere il campo tramite
parametrizzazioni.
Proposizione. Sia K è un arco regolare orientato da un campo e sia : [a, b] $ Rn
una sua parametrizzazione regolare. Allora vale una sola delle seguenti alternative:
(t)
( (t)) = , ;t 5 (a, b)
n (t)n
oppure
(t)
( (t)) = , ;t 5 (a, b) .
n (t)n
Si dice rispettivamente che è concorde/discorde con l’orientamento di K, o anche che
induce su K l’orientamento positivo/negativo.
In termini di percorrenza, ciò significa che il punto mobile (t) percorre K nel verso
positivo/negativo.
Nota. Per ogni : [a, b] $ Rn regolare, si definisce la parametrizzazione opposta a ponendo
() (t) := (t)
per ogni t 5 [h
a, hb],
dove h
a := b e hb := a.
La parametrizzazione : [h
a, hb] $ Rn è ancora regolare e risulta im () = im con
() (h
a) = (b) e () (hb) = (a), per cui e parametrizzano lo stesso arco con
orientamenti opposti.
Orientamento di archi K regolari a tratti
Definizione. Se K = K1 ^ ... ^ Kk è una qualunque scomposizione in tratti di K, allora
orientare K significa
orientare ciascun tratto Ki in modo che ogni punto di intersezione di due tratti
è punto finale di uno e iniziale dell’altro
(in tal caso si dice che tutti i tratti Ki sono orientati compatibilmente).
Si dimostra che i Ki possono essere orientati compatibilmente solo in due modi diversi
e che quindi anche per gli archi regolari a tratti esistono solo 2 orientamenti possibili, i
quali corrispondono ancora all’idea intuitiva di due versi di percorrenza diversi.
Per archi regolari a tratti aperti orientati, si può ancora parlare di estremi iniziale e finale.
Integrali di lavoro (o curvilinei di seconda specie o di linea)
Definizione 1 (lavoro lungo archi regolari). Sia K un arco regolare orientato e sia
F : dom F Rn $ Rn un campo vettoriale limitato e continuo su KW .
Si chiama lavoro (o integrale di linea o integrale curvilineo di seconda specie)
di F lungo K il numero
]
F · ds
LK (F) :=
K
dove : KW $ Rn è il campo continuo di versori tangenti
che dà l’orientamento di K.
Si tratta dell’integrale curvilineo del campo scalare F · , che è continuo e limitato su KW
perché entrambi i campi F e sono continui e risulta |F · | nFn n n = nFn cost.
perché F è limitato.
Per evidenziare il campo che dà l’orientamento di K, si scrive anche LK, (F) .
1 Dipendenza del lavoro dall’orientamento.
Cambiando orientamento il lavoro cambia segno, cioè risulta LK,3 (F) = LK, (F) .
]
]
]
F · ( ) ds = (F · ) ds = F · ds.
Dim. Ovvia, perché
K
K
K
2 Formula di calcolo.
Se : [a, b] $ Rn è una qualsiasi parametrizzazione regolare di K, allora
; ] b
A
A
]
F ( (t)) · (t) dt
se è concorde con K
? +
]a b
F · ds =
A
K
A
= F ( (t)) · (t) dt
se è discorde con K.
()
a
Dim. Per definizione di integrale curvilineo ed essendo ( (t)) = ± (t) / n (t)n, si ha
]
]
F · ds =
K
a
]
b
F ( (t)) · ( (t)) n (t)n dt =
]
=±
a
b
F ( (t)) · (t) dt,
b
(t)
n (t)n dt
F ( (t)) · ± n (t)n
a seconda che sia concorde/discorde con K.
a
Esempio. Calcolare il lavoro del campo F (x, y) = (y, x) lungo l’arco di parabola
y = x2 , x 5 [0, 2] .
Definizione 2 (lavoro lungo archi regolari a tratti). Se K = K1 ^ ... ^ Kk è un
arco regolare a tratti orientato (ossia tutti i Ki sono orientati compatibilmente) ed
F : dom F Rn $ Rn è un campo vettoriale limitato e continuo su KW , allora si pone
LK (F) :=
k
[
LKi (F)
i=1
(e si usano gli stessi nomi
della definizione precedente).
Il risultato dipende dall’orientamento come in 1 , ma non dalla scomposizione in tratti.
Il calcolo si fa parametrizzando ciascun tratto e usando la formula 2 di prima.
–––––
Oltre ad LK (F), si usano anche i simboli
]
]
F · dP ,
K
F1 dx1 + ... + Fn dxn
K
(dove F = (F1 , ..., Fn ) e l’espressione
integranda è detta forma dierenziale)
con eventualmente al posto di K, o anche F (P ) o F (x1 , ..., xn ) al posto di F.
L
]
Se K è chiuso, si usa spesso
al posto di
e si parla di circuitazione di F lungo K.
5
Teorema di Green (in R2)
Definizione. Chiamiamo dominio di Green ogni aperto limitato connesso D R2
tale che la sua frontiera YD è unione di un numero finito di archi regolari a tratti (ev.
uno solo), chiusi e a due a due disgiunti (detti componenti di YD).
Per la frontiera di un dominio di Green, cioè per tutte le sue componenti, si assume
convenzionalmente come orientamento positivo il verso di percorrenza che lascia localmente (cioè nell’intorno di ogni punto) il dominio D alla propria sinistra (v. figura).
Teorema di Green. Sia D un dominio di Green con YD orientata positivamente
e sia F = (F1 , F2 ) 5 C 1 (D) un campo vettoriale.
• Se YD ha una sola componente, allora
] D
YF2 YF1
Yx
Yy
]
F · dP
dxdy =
YD
• Se YD ha più componenti K1 , ..., Kk , allora
] D
YF2 YF1
Yx
Yy
dxdy =
k ]
[
j=1
F · dP.
Kj
Nota bene. Le formule possono essere usate nei due sensi.
Osservazioni.
1) L’integrando a primo membro è il cosiddetto rotore di F:
YF2 YF1
.
Yx
Yy
rot F : =
Le formule di Green si riformulano allora come
]
#
]
rot F dx dy =
F · dP
=
YD
D
k ]
[
$
F · dP
.
Kj
j=1
(più componenti)
(1 componente)
2) Orientando YD negativamente, le formule di Green diventano
]
#
]
rot F dx dy = F · dP
=
YD
D
$
k ]
[
F · dP
.
j=1 Kj
(più componenti)
(1 componente)
Corollario. Se D è un dominio di Green con YD orientata positivamente, allora
area (D) =
1
2
#
]
(y, x) · dP
=
YD
$
k ]
1[
2
j=1
(1 componente)
(y, x) · dP
.
Kj
(più componenti)
Dim. Il campo F (x, y) = (y, x) soddisfa le ipotesi del teorema di Green su D, quindi
]
]
(y, x) · dP =
]
rot F dx dy =
YD
D
2 dx dy = 2 area (D) .
D
–––––
Analogamente si ottiene:
]
]
(y, 0) · dP =
area (D) =
YD
(0, x) · dP.
YD