Matematica II-Esercitazione 6

Matematica II-Esercitazione 6
April 9, 2008
Esercizio 1.
Trovate i punti di massimo e minimo della funzione:
f (x, y) = x3 + y 3
sulla regione delimitata dai vertici: A(1, 1), O(0, 0), B(2, 0).
R: Prima di tutto determiniamo le equazioni delle rette che formano le frontiere della regione ammissibile. Queste sono:
• il segmento AO il quale ha l’equazione:
y − yO
x − xO
=
y A − yO
xA − xO
ossia
y = x, con 0 ≤ x ≤ 1
• il segmento OB, di equazione:
y = 0 con 0 ≤ x ≤ 2
• il segmento AB, di equazione:
y − yA
x−1
x − xA
y−1
=
=
⇐⇒
yB − y A
xB − xA
0−1
2−1
ossia
y = 2 − x, con 1 ≤ x ≤ 2
1. Localizziamo ora i punti stazionari interni, se esistono:
(
∂f (x,y)
= 3x2 = 0
x=0
∂x
⇐⇒
∂f (x,y)
2
y=0
=
3y
=
0
∂y
L’unico punto stazionario interno è il punto (0, 0).
Controlliamo con le condizioni di secondo ordine che tipo di punto è il nostro
punto critico. È immediato che il determinante della matrice hessiana nel punto
critico è:
detH(0, 0) = 0
1
Di conseguenza, per potere capire la natura del punto (0, 0) dobbiamo studiare il comportamento della funzione in prossimità del punto. Prima di tutto
calcoliamo il valore della funzione nell’origine:
f (0, 0) = 0
Notiamo che la funzione è sempre strettamente positiva in tutti i punti della
regione ammissibile diversi dall’origine. Quindi, possiamo affermare che il
punto critico (0,0) è un punto di minimo per la nostra funzione.
Andiamo ora a studiare le frontiere:
I) Il segmento AO: - ha l’equazione y = x con 0 ≤ x ≤ 1.
Sostituendo y = x nella funzione originale,
f (x) = 2x3
e derivando otteniamo:
f 0 (x) = 6x2
il che implica che l’unico punto critico di questa funzione corrisponde a x = 0.
A questo valore di x corrisponde un valore y = x = 0. Quindi il punto critico è
(x, y) = (0, 0) già studiato in precedenza.
I punti terminali di questo segmento sono A(1, 1) e O(0, 0) (studiato). Il
valore della funzione nel punto A:
f (1, 1) = 2
II) Il segmento OB: - ha l’equazione y = 0 con 0 ≤ x ≤ 2.
Sostituendo y = 0 nella funzione originale,
f (x) = x3
e derivando otteniamo:
f 0 (x) = 3x2
il che implica che l’unico punto critico è (x, y) = (0, 0) già studiato in precedenza.
I punti terminali di questo segmento sono B(2, 0) e O(0, 0) (studiato). Il
valore della funzione nel punto B:
f (2, 0) = 8
III) Il segmento AB: - ha l’equazione y = 2 − x con 1 ≤ x ≤ 2.
Sostituendo y = 2 − x nella funzione originale,
f (x) = 6x2 − 12x + 1
e derivando otteniamo:
f 0 (x) = 12x − 12
il che implica che l’unico punto critico è (x, y) = (1, 1) già studiato in precedenza.
I punti terminali di questo segmento sono A(1, 1) e B(2, 0) (studiati entrambi
in precedenza).
Comparando ora i valori della funzione nei punti critici interni, di frontiera
e nei punti terminali possiamo dire che:
2
• il punto di minimo: (0, 0, 0);
• il punto di massimo: (2, 0, 8).
Esercizio 2.
Studiate i punti critici delle seguenti funzioni:
f (x, y, z) = x2 − 4xy + 4y 2 + 3z 2
R:
Ci sono un’infinità di punti critici: tutti i punti della forma (2k, k, 0). Il
determinante della matrice Hessiana nei puntio critici è pari a zero. Però osservando che possiamo riscrivere la funzione:
f (x, y, z) = (x − 2y)2 + 3z 2
possiamo immediatamente dire che f (x, y, z) > 0 = f (2k, k, 0) per ogni
(x, y, z) 6= (2k, k, 0). Di conseguenza possiamo subito dire che i punti critici
sono tutti punti di minimo relativo.
Esercizio 3.
Risolvete il seguente esercizio di programmazione lineare:
max 2x + 4y
s.v.

x − y ≥ −2



−x + y ≥ −2
2x + y ≤ 4



x, y ≥ 0
R:
Il punto di massimo é il vertice:
2 8
3, 3
.
Esercizio 4. L’economia di una piccola regione montana è costituita da due
soli beni prodotti dai settori produttivi: Settore 1 e Settore 2. Le interrelazioni
fra le produzioni dei settori sono deffinite come segue: per produrre un’unità
del bene 1 si impiegano 0, 3 unità dello stesso bene e 0, 4 unità del bene 2. Per
produrre un’unità del bene 2 si impiegano 0, 6 unità dello stesso bene e 0, 2 unità
del bene 1. Nell’ipotesi che esista una domanda esterna rivolta ai due settori
di 5000 unità richieste al settore 1 e 8000 unità di bene richieste al settore 2 si
chiede di:
• formulare e risolvere il problema per la determinazione delle quantità dei
beni prodotti dai due settori in modo che, tenuto conto dei consumi intermedi sia soddisfata la domanda esterna;
• dire quali dovrebbero essere le nuove produzioni necessarie per soddisfare
un’aumento della domanda esterna del 20% per entrambi i settori.
3
R:
a) x1 = 18000, x2 = 38000;
b) x1 = 21600, x2 = 45600.
Esercizio 5. Una scatola è un parallelipipedo rettangolo ed è costruita con
due tipi di materiali. Le parti superiore ed inferiore sono di cartone pesante
che costa 20 cent/m2 , quelle laterali di cartone leggero che costa 10 cent/m2 .
Dato che la scatola deve avere una capacità di 2 m3 , quali devono essere le sue
dimensioni se il prezzo va minimizzato?
R: La funzione che ci dà il costo della scatola è:
C(L, l, h) = 20 · 2 · L · l + 10 · (2 · L · h + 2 · l · h)
dove: L - lunghezza della base della scatola, l - larghezza della base, h - altezza
della scatola.
Il problema diventa:
max C(L, l, h) = 40Ll + 20Lh + 20lh
s.v.
V = Llh = 2
L, l, h > 0
Questo è un problema di massimizzazione vincolata sotto un vincolo di uguaglianza.
Troviamo l’espressione dell’altezza in funzione delle altre due dimensioni, dal
vincolo:
2
h=
Ll
e sostituendo questo nella funzione di costo otteniamo il seguente problema di
massimizzazione:
40 40
max 40Ll +
+
L,l
l
L
Le condizioni di primo ordine,
(
∂C(L,l)
= 40l − L402 = 0
∂L
∂C(L,l)
= 40L − 40
∂L
l2 = 0
ci portano al seguente sistema:
lL2 = 1
Ll2 = 1
il quale ha come soluzione unica: L = 1, l = 1.
Il determinante della matrice hessiana nel punto (1, 1) è pari a:
80 40 = 4800
det H = 40 80 4
e dato che gli elementi della diagonale principale sono positivi possiamo affermare che veramente L = 1, l = 1 corrisponde ad un costo minimo. L’ultimo
elemento che dobbiamo determinare è l’altezza e facciamo questo semplicemente
sostituendo i valori trovati per L e l nella formula che abbiamo ricavato dal vincolo di uguaglianza.
2
=2
h=
Ll
Quindi, le dimensioni della scatola che minimizzano il costo sono L = 1,
l = 1, h = 2, dove L stà per lunghezza, l per larghezza e h per altezza del
parallelipipedo.
5