Cenni di Topologia in R
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Cenni di Topologia in R
1 Cenni di topologia in ℜ . Sottoinsiemi di ℜ : INTERVALLI. [a, b] := {x ∈ ℜ : a ≤ x ≤ b} CHIUSO (a, b ) := {x ∈ ℜ : a < x < b} APERTO (a, b] né chiusi né aperti. e [a, b ) ]a, b[ Definizione di INTORNO. Si definisce intorno di centro x0 e raggio δ > 0 { l’insieme : I( x0 , δ ) := x ∈ ℜ : x − x0 < δ } . Definizione. Un punto x0 si dice interno all’insieme A (nel nostro caso A indica un intervallo della retta reale) se esiste un suo intorno I( x0 , δ ) contenuto in A. Un punto x0 si dice esterno ad A se è interno al complementare di A. Un punto x0 si dice di frontiera per A se non è né interno né esterno ad A. o A = insieme dei punti interni ad A ∂A (oppure FA ) = insieme dei punti di frontiera per A Osservazione: o - se x0 ∈ A ⇒ x0 ∈ A o - se x0 ∉ A(ed è esterno) ⇒ x0 ∉ A - se x0 ∈ ∂ A allora può aversi o x0 ∈ A oppure x0 ∉ A, in ogni caso ∀I( x0 ) contiene sia punti di A sia punti del complementare di A. ESEMPIO . A=(a,b) ogni punto di A è interno. a e b sono di frontiera . A=[a,b) ogni punto di A, tranne a, è interno. a e b sono di frontiera. . A=(a,+∞) ogni punto di A è interno. a è l’unico punto di frontiera. 2 Definizione. x0 è punto di accumulazione per A se in ∀I( x0 , δ ) esiste un punto di A diverso da x0 ( cioè in ogni intorno di x0 esistono infiniti punti di A). DA= derivato di A è l’insieme dei punti di accumulazione per A. Osservazione. - Se x0 ∈ DA allora può aversi x0 ∈ A oppure x0 ∉ A . o - Se x0 ∈ A ⇒ x0 ∈ DA . Se x0 ∉ DA allora x0 si dice isolato. Se DA = Φ (insieme vuoto) allora A si dice discreto. Es. A := {1,2,3,4}. Se DA = A allora A si dice perfetto. Es A:=[a,b] o Definizione. A ⊆ ℜ è aperto se ogni x ∈ A è punto interno cioè se A = A . A si dice chiuso se il suo complementare è aperto. ℜ e Φ sono gli unici insiemi sia aperti che chiusi. Definizione. Si definisce chiusura di A e si indica A , l’insieme: A ∪ ∂A . A è chiuso ⇔ A = A . Definizione. A ⊂ ℜ è limitato se ∃I(0, r) che lo contiene. Teorema di Bolzano Weierstrass. Ogni A ⊂ ℜ (in generale ℜ ) limitato e infinito, possiede almeno un punto di accumulazione. n Un insieme chiuso e limitato in ℜ ammette massimo e minimo. n Definizione. A è limitato superiormente se ∃K ∈ ℜ : Esempi: (- ∞, 0) è limitato superiormente. (0, + ∞) non è limitato superiormente. x ≤ K, ∀x ∈ A . 3 Definizione. A è limitato inferiormente se ∃H ∈ ℜ : x ≥ H, ∀x ∈ A . Esempi. (0, + ∞) è limitato inferiormente. (- ∞, 0) non è limitato inferiormente. (0,1] è limitato sia inferiormente (da 0) che superiormente (da 1). Definizione. A è limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente. Definizione. Si dice estremo superiore (analogamente estremo inferiore) di A e si indica con sup A ( inf A ), il minimo ( massimo) dei maggioranti (minoranti) di A, se esiste. Il sup A e inf A se esistono sono unici. Se sup A ∈ A ⇒ sup A = massimo di A Se inf A ∈ A ⇒ inf A = minimo di A. Definizione. P ∈ ℜ è maggiorante (minorante) per A se i) P è confrontabile con ogni x ∈ A , ii) ∀x ∈ A si ha x ≤ P, ( x ≥ P ) .