Funzioni - Matematicamente

Luca Lussardi
Appunti di Analisi I
Funzioni
Il concetto di funzione è uno dei concetti pilastro della Matematica, ed è l’oggetto di studio
dell’Analisi Matematica; una funzione f viene definita, in modo intuitivo, come una legge che
associa ad ogni elemento di un insieme A, detto dominio un unico elemento di un insieme B,
detto codominio. In simboli si scrive anche f : A → B, ed y = f (x) per denotare che f associa a
x ∈ A l’unico elemento y = f (x) ∈ B.
Una funzione quindi si ottiene assegnando dominio, codominio, e dicendo come opera la funzione
stessa.
Esempio: Un esempio di funzione è dato dalla funzione f : N → R che opera come f (x) = x + 3,
ovvero manda il generico x reale nel numero reale x + 3.
Spesso è utile cosiderare anche l’insieme immagine della funzione definito come
Im(f ) = {y ∈ B : ∃x ∈ A : y = f (x)}
ovvero il sottoinsieme di B degli elementi raggiunti da f .
Iniettività e suriettività
Una funzione f : A → B si dice iniettiva o invertibile se f (x) = f (y) =⇒ x = y. Ne segue che
risulta ben definita la funzione che ”torna indietro”, ovvero la funzione f −1 : Im(f ) → A che
opera come segue:
x = f −1 (y) ⇐⇒ y = f (x).
La funzione f −1 viene anche detta funzione inversa di f .
Esempio: La funzione f : N → N data da f (n) = n + 1 è invertibile; infatti si ha che da
n + 1 = m + 1 discende n = m. Esiste quindi la funzione f −1 : N \ {0} → N che opera come
segue: f −1 (m) = m − 1.
Una funzione f : A → B viene detta suriettiva se Im(f ) = B. La definizione di suriettività
è meno importante dell’invertibilità, dal momento che se f : A → B è sempre possibile considerare la ”stessa funzione” come f : A → Im(f ) che quindi diventa suriettiva.
Esempio: La funzione f : Z → Z che opera come f (z) = z + 5 è una funzione suriettiva,
dal momento che per ogni w ∈ Z esiste z = w − 5 ∈ Z e si ha f (z) = w.
Composizione di funzioni
Siano date due funzioni f : A → B e g : C → D con la condizione Im(f ) ⊆ C; allora si definisce
una nuova funzione detta composizione tra f e g data da g ◦ f : A → D che opera nel seguente
modo: g ◦ f (x) = g(f (x)).
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Appunti di Analisi I
Si osservi che la composizione di funzioni non è, in generale, un’operazione commutativa, ovvero
non vale g(f (x)) = f (g(x)); basti pensare al fatto che i domini delle funzioni devono garantire
la possibilità di effettuare entrambe le composizioni.
Esempio: Sono date le funzioni f : N → N e g : R → R definite come:
f (n) = n2 ,
g(x) = x + 1;
essendo Im(f ) ⊆ R si ha g(f (n)) = n2 + 1.
Si osservi che non è possibile effettuare la composizione f ◦ g, dal momento che non risulta
Im(g) ⊆ N.
Funzioni monotone e strettamente monotone
La monotonia è una delle proprietà più importanti per le applicazioni dell’Analisi Matematica.
Si dice che una funzione f : E → R è non decrescente se per ogni x1 , x2 ∈ E con x1 < x2 si ha
f (x1 ) ≤ f (x2 ); analogamente si dice che una funzione f : E → R è non crescente se per ogni
x1 , x2 ∈ E con x1 < x2 si ha f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Accanto alla monotonia di una funzione (non crescenza o non decrescenza) vi è anche la stretta
monotonia: si dice che una funzione f : E → R è strettamente crescente se per ogni x1 , x2 ∈ E
con x1 < x2 si ha f (x1 ) < f (x2 ), mentre si dice che una funzione f : E → R è strettamente
decrescente se per ogni x1 , x2 ∈ E con x1 < x2 si ha f (x1 ) > f (x2 ).
Esempio: Sia f : R → R la funzione data da f (x) = x3 . Allora dal momento che se x1 < x2 si
ha x31 < x32 , ne segue che f è una funzione strettamente crescente. Invece la funzione g : R → R
data da g(x) = x2 risulta strettamente crescente se x ≥ 0, e risulta strettamente decrescente se
x ≤ 0.
Massimi e minimi assoluti
Sia f : E → R una funzione, con E ⊆ R. Se l’insieme Im(f ) ha massimo M si dice anche che M è
il massimo assoluto della funzione f sull’insieme E; analogamente se l’insieme Im(f ) ha minimo
m si dice anche che m è il minimo assoluto della funzione f sull’insieme E.
√
Esempio: Si data la funzione f : [0, 1] → R data da f (x) = x. Allora f è strettamente
crescente e ammette minimo assoluto nel punto x = 0, dove vale 0, mentre ammette massimo
assoluto nel punto x = 1 dove vale 1.
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