qui - Dipartimento di Matematica

Problemi di successione.
Maria Teresa Leone – Ines Marazzani
Questo articolo è stato oggetto di pubblicazione in:
Leone M.T., Marazzani I. (2004). Problemi di successione. La Vita Scolastica. Dossier. 1. 20-24.
Introduzione
I classici coniglietti di Leonardo Fibonacci (fig. 1), con i quali questo matematico pisano ebbe a fare
calcoli molto interessanti all’inizio del XIII sec., ci serviranno per scoprire qual è la legge con la
quale si generano molte successioni in natura.
Fig. 1
Non abbandoneremo l’argomento a questo punto, ma inviteremo i bambini ad osservare davvero il
mondo intorno a noi, fiori, alberi, animali, per sorprenderci a scoprire la successione di Fibonacci in
moltissime sue manifestazioni naturali.
Ci divertiremo anche ad inventare giochi e a tentare di risolverli utilizzando la successione tanto
famosa.
Per ricordarla ai bambini leggiamo loro la storia [tratta da D’Amore B. (2001). Più che ‘l doppiar
de li scacchi s’immilla. Bologna: Pitagora] di Dante Alighieri che, confuso di fronte al “problema
dei conigli” chiede spiegazioni alla sorella di Leonardo ad iniziare dal problema stesso.
« - È presto detto. Dunque, voi sapete che i conigli presto s'ammalano e muoiono e che sono
prolifici assai. Bene, la prima cosa dimenticatela e fate con me questa ipotesi: che s'abbia una
coppia di conigli, maschio e femmina, giovani, appena nati. Il primo mese i conigli non
figliano, ma dal secondo mese in poi, sempre, ogni mese, figliano una coppia, ancora sempre
maschio e femmina. La domanda è: dopo un anno, quante coppie di conigli vi sono?
- È questa la domanda?
- Sì, provateci ed io vi seguirò. A Leonardo piacevano molto le sfide e voi sembrate giovane
arguto. Ah, sareste stati bene a discorrere insieme!
- Bene, grazie, ecco, ci proverò. Il primo mese una coppia; al secondo mese ancora una
perché non figliano, no? Al terzo mese la coppia figlia e quindi sono due coppie. Al quarto
mese le coppie sono quelle due ma la prima coppia figlia ancora e fanno tre; la seconda
coppia non figlia ancora; dunque, in totale al quarto mese sono tre coppie. Al quinto
mese la prima coppia figlia ancora e la seconda inizia a figliare, più le tre di prima,
fanno cinque. Cinque in tutto, nevvero? - E la signora annuì, sorridendo.
- Ora andiamo al sesto mese; dunque abbiano le cinque coppie, ma sono tre quelle che
possono figliare ché l'ultima nata è troppo giovane e fanno otto in tutto; dunque al
sesto mese sono otto coppie. Al settimo mese, dio mi sto perdendo, sono ancora le otto,
ma in quante figliano ora? Le cinque di prima, le tre nuove nate no. dunque fanno in
tutto tredici. Sto confondendomi... Non ci arrivo a un anno!
- Fate dunque come avrebbe fatto lui, con stilo e calamo, con appunti scritti, non tutto a
memoria.
Dante s'avvicinò al tavolo e con circospezione e reverenza sollevò una piuma, ne intinse la
punta nel calamo, prese un brandello di rotolo e scrisse:
- Dunque:
mese I
mese II
mese III
mese IV
mese V
mese VI
mese VII
coppie I
coppie I
coppie II
coppie III
coppie V
coppie VIII
coppie XIII
Ecco, fin qui ci siamo (…)» (D’Amore, 2001).
Piano di lavoro
Requisiti
Non occorrono particolari prerequisiti.
Obiettivi
• Comprendere i numeri, i modi di rappresentarli, le relazioni tra i numeri e i sistemi numerici.
• Comprendere i significati delle operazioni e le tecniche relative.
In situazioni problematiche, saper scegliere, discutere, comunicare strategie risolutive.
Materiali
Fogli di carta, matite.
La successione Fibonacci e gli animali
Le api
Iniziamo il lavoro nel nostro laboratorio di matematica presentando ai bambini un problema da
risolvere.
In una colonia di api ci sono tantissime api operaie che si occupano di accudire le celle esagonali
nelle quali l’ape regina ha deposto le uova.
Si muovono velocemente avanti e indietro, vanno e vengono passando sulle celle, per poter andare,
ognuna alla cella che le è stata affidata.
Fig. 2
L’ape Rosellina ha avuto come compito quello di occuparsi della cella numero 0.
L’ape Gelsomina ha avuto come compito quello di occuparsi della cella numero 1.
L’ape Fiorellina ha avuto come compito quello di occuparsi della cella numero 2.
L’ape Serenella ha avuto come compito quello di occuparsi della cella numero 3.
Le api si muovono sempre verso destra e, ogni volta scelgono un percorso per recarsi alla cella di
cui si devono occupare. Quanti possibili percorsi ha a disposizione ognuna delle tre api?
Serviamoci del disegno proposto e chiediamo ai bambini di tracciare i possibili percorsi delle tre api
sul disegno che hanno a disposizione e di scrivere ogni volta le celle che incontrano nel loro
spostarsi.
Se c’è qualche difficoltà nell’affrontare questo momento, possiamo far percorrere fisicamente ai
bambini gli spostamenti delle api recandoci in palestra e disegnando sul pavimento le celle
numerate.
Registrando gli spostamenti fatti ci troveremo con questi risultati:
L’ape Rosellina deve andare nella cella 0.
Ha a disposizione un solo possibile percorso.
L’ape Gelsomina deve andare nella cella 1
Può spostarsi in modi diversi:
1
0 –1
Ha a disposizione due possibili percorsi.
L’ape Fiorellina deve andare nella cella 2.
Può spostarsi in modi diversi:
0–2
0 – 1 –2
1–2
Ha a disposizione tre possibili percorsi.
L’ape Serenella deve andare nella cella 3.
Può spostarsi in modi diversi:
0 – 1 –3
0 –1 – 2 –3
0–2–3
1–3
1 – 2 –3
Lo scopo dell’attività è quello di vedere se i bambini si accorgono che la successione Fibonacci è
presente nel numero dei possibili percorsi che un’ape può compiere per andare nelle varie caselle.
Se non dovessero essere sufficienti gli esempi che abbiamo fatto, proponiamone altri, fino a quando
qualcuno non esulterà dicendo: “Sono i numeri Fibonacci!”. A quel punto procediamo in senso
inverso. Chiediamo ai bambini:
Quanti possibili percorsi ha a disposizione un’ape che deve recarsi nella cella numero 6?… 7?
…8?…
La successione Fibonacci e i fiori
Problemi d’amore: i petali di una margherita
Chissà se in classe qualche nostro alunno ha l’abitudine di prendere in mano una margherita e,
strappandole un petalo dopo l’altro, chiederle se l’amore è corrisposto oppure no?
Se nessuno ha questa abitudine possiamo evocarla ricordando che Ariel, la Sirenetta, sdraiata su un
masso, in fondo al mare e con un fiore in mano, strappava i petali recitando “M’ama…, non
m’ama…” perché curiosa di sapere se il principe umano ricambiava il suo sentimento.
Proviamo a chiedere ai bambini se è possibile avere la stessa risposta risparmiano quei piccoli
fiorellini e lasciando tutti i petali al loro posto.
Certo, contando petalo per petalo possiamo cadere in errore…
Analizziamo il problema partendo da questa informazione:
al centro del cuore di una margherita c’è una zona detta apice, dalla quale emergono uno alla volta
piccole protuberanze, i primordi.
Fig. 3
Per verificare l’informazione prendiamo una margherita, o una foto e facciamola vedere ai bambini.
Continuiamo con l’informazione:
ciascun primordio si allontana dall’apice e, in fine, si sviluppa in un petalo o una foglia.
Osserviamo ancora il fiore o la foto del fiore e facciamo notare ai bambini che ciò che abbiamo
affermato è vero.
A questo punto poniamo di nuovo il quesito:
È possibile conoscere il numero dei petali di una margherita senza strapparli tutti?
La risposta che ci aspettiamo a questo punto è: sì, basta sapere quanti sono i primordi!
Apparentemente può sembrare di non aver risolto affatto il problema, ma osserviamo con
attenzione.
Fig. 4
Nella margherita, come nel girasole si possono notare due famiglie di spirali che si intersecano: una
in senso orario e l’altra in senso antiorario.
Proviamo a contare le spirali orarie e quelle antiorarie, ci accorgeremo subito che il numero delle
prime e il numero delle seconde appartengono entrambi alla successione Fibonacci, anzi, sono
numeri consecutivi di tale successione.
Se i bambini hanno difficoltà a contarle sul fiore proponiamo la fotocopia dell’immagine del
girasole. Noteranno che, in questo caso le spirali a sinistra sono 34.
Ci basta sapere questo per concludere che le spirali a destra, un numero minore della stessa
successione, sono 21. Ora possiamo sapere quanti petali ha ogni margherita, senza danneggiarla.
Quello che ci preme in questo caso è costruire o far restare vivo, un atteggiamento di curiosità verso
la matematica e verso il mondo che troppo spesso viene visto, ma non osservato. Per questo
chiediamo ai bambini di portare a scuola tutte le piante o i frutti, o foto di questo, che presentano la
successione Fibonacci… ce ne sono davvero tanti!
La successione Fibonacci nei giochi
I Bianchi e i Neri.
Proponiamo ai bambini un gioco divertente in cui è presente la successione Fibonacci.
Partiamo da un problema.
Andrea e Franco giocano nella stessa squadra di calcio, i Bianchi. Ogni domenica giocano una
partita e l’ultima è stata davvero strepitosa: hanno vinto con un vantaggio impensabile di tre gol
contro la squadra più temibile del campionato. Per festeggiare il Mister invita le due squadre ad un
concerto in piazza di un famoso complesso.
I componenti della squadra che ha perso, i Neri, accettano l’invito, ma incominciano a litigare fra
di loro scaricandosi l’un l’altro la responsabilità della sconfitta. Per non avere problemi al
concerto diventa necessario non far stare vicini due giocatori dei Neri.
Come fare? in piazza sono state disposte le sedie in modi diversi. Ci sono tre sedie vicine, quattro
sedie vicine e cinque sedie vicine.
In quale modo si possono far accomodare i giocatori delle due squadre di calcio? Quante
possibilità hanno ogni volta?
Iniziamo a operare concretamente. Chi vorrà potrà scrivere le combinazioni su un foglio utilizzando
solo carta e penna.
Possiamo però prevedere di tagliare dei dischi di cartoncino bianchi e neri e preparare le possibili
combinazioni.
Iniziamo con tre sedie.
Fig. 5
Avendo a disposizione tre sedie abbiamo cinque modi diversi di far sedere i componenti della
squadra dei Neri in modo che due di loro non stiano seduti vicini.
E con quattro sedie?
Fig. 6
Ora non dovrebbero esserci incertezze. I bambini dovrebbero sapere quante possibilità ci sono per
star seduti, godersi il concerto in piazza e non avere problemi di litigi fra i giocatori della squadra
dei Neri, anche se a disposizione ci sono cinque sedie. Facciamo rispondere e poi verifichiamo se la
risposta data è esatta oppure no. Certo, chi avrà ricordato la successione Fibonacci avrà dato la
risposta vincente!
Le attività proposte in questo laboratorio dovrebbero essere presentate ai bambini non
consecutivamente. Non dovremmo, cioè, dedicare tre giorni consecutivi a questo tema, ma proporlo
di tanto in tanto, quando i bambini non se l’aspettano. Potrebbe succedere, infatti, che di fronte a
richieste simili, i bambini non rispondano perché si rifanno ad una strategia utilizzata in precedenza
e valida anche nei casi proposti, ma solo perché convinti che “la maestra vuole quel tipo di risposta
dato che per giorni e giorni parla sempre delle stesse cose”. Proponendo le attività in modo non
atteso non rischiamo, infatti, di cadere in quella clausola del contratto didattico per cui due esercizi
che “a fiuto” possono sembrare simili si risolvono senza analizzarli.
Bibliografia
D’Amore B. (2001). Più che ‘l doppiar de li scacchi s’immilla. Bologna: Pitagora.
D’Amore B., Oliva P. (1994). Numeri. Teoria, storia, curiosità, giochi e didattica nel mondo dei
numeri. Milano: Angeli