Costruzione di un semplice orologio solare

Prof. Paolo Marchesi
Chimica, Biologia,Astronomia, Scienze della terra
Costruzione di un semplice orologio solare
(appunti prof. Paolo Marchesi)
…..siete pregati di non divulgare questo materiale senza il consenso dell’autore, grazie…..
Premessa teorica: come ben saprete (si spera) il sole in cielo compie un movimento APPARENTE nell’arco
della giornata descrivendo un arco di cerchio da EST verso OVEST raggiungendo la massima altezza
(culminazione) al mezzogiorno solare del luogo (che non coincide quasi mai con il mezzogiorno civile, ovvero
l’ora del fuso). Il movimento è apparente perché il sole è in realtà fisso e la terra ruotando sul proprio asse
causa le diverse posizioni dell’astro nel cielo durante l’arco della giornata. Il moto APPARENTE del sole
quindi avviene per rotazione attorno all’asse terrestre. Il principio di funzionamento di un orologio solare è
quindi abbastanza semplice, una volta procurato un piano e un oggetto stiliforme (un bastone ad esempio) che
d’ora in poi chiameremo Stilo o Gnomone , basterà:
•
orientare lo gnomone in modo parallelo all’asse terrestre (l’errore dovuto alla mancata coincidenza asse/gnomone a causa della
distanza reale fra il luogo dove si realizza l’orologio e il centro della terra è insignificante in rapporto alla distanza terra sole)
• orientare il piano in modo parallelo al piano dell’equatore
• osservare l’ombra prodotta dallo gnomone: il movimento dell’ombra seguirà lo scorrere delle ore.
Tuttavia un orologio siffatto sarebbe semplice da realizzare solo per un osservatore che si trovi ad uno dei due
poli dove l’asse terrestre è identificato dalla verticale e li, un piano perfettamente orizzontale è parallelo al
piano equatoriale, oppure per un osservatore che si trovi all’equatore (in tal caso un piano esattamente verticale
e lo gnomone esattamente orizzontale). Per un osservatore alle latitudini intermedie la faccenda si complica.
Vedremo come sia possibile ovviare al problema.
Dati di partenza. Nel caso si realizzi un orologio fisso, va precisato che ci sono alcune informazioni che non
dipendono da noi : queste sono latitudine del luogo (φ) e , se si realizza un orologio su una parete fissa,
l’inclinazione del piano (i) e l’orientamento di questo rispetto alla direzione Est-Ovest (d = declinazione
gnomonica ). Tutte le altre informazioni o sono ricavabili da queste, o possono essere scelte a piacere o quasi
(es. la dimensione del quadro formante il piano e la lunghezza dello gnomone). I dati di partenza si ricavano
come segue:
Latitudine del luogo (φ): è l’angolo in gradi fra la congiungente luogo-centro della terra e il piano dell’equatore.
Il territorio emiliano si trova circa a 44° di latitudine nord. L’indicazione esatta della latitudine si può ricavare
dalle carte geografiche militari (IGM), dai siti internet dei comuni (spesso è indicata la latitudine a cui si trova il
comune), con sistemi GPS o navigatori satellitari oppure con sistemi di osservazione satellitare del territorio
(Es. Google Earth)
Inclinazione del piano (i) è l’angolo in gradi fra il piano dell’orologio e la verticale del luogo (o zenith). Se un
piano è perfettamente verticale (es un muro) ha i=0 mentre un piano orizzontale ha i=90. Gli strumenti
necessari per individuare a verticale del luogo e i piani orizzontali sono il filo a piombo e la livella.
Nota bene: se il piano dell’orologio non è obbligato ma orientabile a piacere, per disporlo in modo parallelo
all’equatore basta inclinarlo verso sud partendo dalla verticale di un angolo pari alla latitudine
declinazione gnomonica (d) se la parete è verticale, d sarà l’angolo formato dalla parete e la direzione est/ovest.
Se la parete è orizzontale, prendendo un bordo della cornice della meridiana, d sarà l’angolo fra questa e la
direzione est/ovest
Quadro
dell’orologio
E
d
W
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La declinazione gnomonica (d) ha alcuni valori “facilitati”:
• se la facciata è rivolta ESATTAMENTE a sud o a nord d=0
• se la facciata guarda ESATTAMENTE a Est o Ovest avremo d=90
Per misurare l’inclinazione della parete occorre una bussola goniometrica (la maggior parte delle bussole lo è)
e basta appoggiare il lato della bussola alla parete e leggere sul quadrante della bussola l’angolo formato con la
direzione est/ovest (su questo punto può essere opportuno portare la bussola a scuola e fare alcune prove con
l’insegnante). L’angolo di declinazione tuttavia, non è sufficiente a capire l’orientazione del quadro: va chiarito
se per un certo valore di “d” la meridiana guarda verso EST o verso OVEST (declinazione del quadro). Si tenga
presente che un quadro che declina ad EST riceverà il sole principalmente al mattino, viceversa, se declina a
ovest al pomeriggio.
Realizzazione di un modellino Si predisponga un quadro di legno (ad esempio 20 x 25 cm ma va benissimo
una qualsiasi altra misura) che verrà poi appeso alla parete (anche se si vuole realizzare una meridiana fissa, è
bene comunque predisporre prima un modello) e si individui il punto O “centro” dell’orologio solare ovvero il
punto dove verrà piantato lo gnomone . Tale punto va scelto arbitrariamente, in una meridiana verticale alle
nostre latitudini, consiglierei di sceglierlo abbastanza in alto (es. circa 4/5 dell’altezza ovvero del lato minore
nel caso di quadri rettangolari). A questo punto occorre:
• segnare il punto O con una matita
• segnare due linee passanti per O e ortogonali fra di loro che formeranno una croce. Nel caso di una
meridiana a parete una sarà esattamente verticale e l’altra orizzontale.
O
o
v
Ora possiamo osservare che uno gnomone piantato in O è definito se:
1) È noto l’angolo fra la sua proiezione sul piano e la linea verticale v (angolo sustilare)
2) E’ noto l’angolo col quale si eleva dal piano del quadro (elevazione dello stilo ε )
Inoltre per completare l’orologio è necessario sapere in quali punti l’ombra corrisponde ad ore intere (linee
orarie o angoli orari)
Calcolo dei dati mancanti per costruire la meridiana occorre ancora:
1) posizionare lo gnomone
2) disegnare le linee orarie
Va detto subito che ho predisposto un programma in excel per il calcolo dei dati mancanti (vedi oltre). Tuttavia
anticipo che per posizionare lo gnomone occorre prima identificare la sua proiezione (che chiameremo d’ora in
poi linea sustilare) proiezione che si troverà ad un angolo chiamato σ dalla verticale. Una volta appoggiato sulla
sustilare lo gnomone deve “uscire” dal piano con un angolo chiamato ε
la figura mostra un esempio di posizionamento dello stilo.
O
In fase di costruzione del modello però è bene non fissare subito lo gnomone: è
o
preferibile prima disegnare le linee orarie (vedi oltre)
σ
ε
Poi occorre tracciare le linee orarie: ovvero linee che partono a raggiera dal centro
v
del quadro e indicano le ore (in alcune meridiane le linee orarie vengono poi cancellate
per lasciare la sola parte finale per indicare l’ora). Tali linee sono identificate da un angolo Omega (
definito come l’apertura fa le singole ore e la sustilare. (quindi omega è diverso per ciascuna ora). Se ad
esempio per le ore 9 omega=13° significa che la linea delle ore 9 va tracciata partendo dal centro con un
angolo di 13° dalla sustilare. Si proceda per un numero significativo di ore rispetto alla sustilare (nei quadri in
posizioni molto favorevoli si possono fare fino a 14 ore, ma in altri molte meno) tracciando ciascuna linea con
il suo angolo omega. (vedi oltre per i relativi calcoli).
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Tracciatura degli angoli. Tracciare un angolo non è sempre facile: lo è ad esempio per gli angoli omega (che
sono su un piano e pertanto un goniometro è sufficiente) ma risulta complesso per l’angolo Epsilon dove usare
il goniometro risulta difficoltoso. Attraverso la trigonometria è possibile misurare angoli con il righello: per
farlo si usa il concetto di “intercetto” ovvero il lato opposto ad un certo angolo ad una data distanza dal vertice.
Ad esempio nella figura:
Data relazione
Tg()=a/b
a
b
Posso tracciare alfa noti a e b. se ad esempio conosco il valore di b =10 cm e voglio tracciare un angolo alfa di
45°, allora potrò:
1) ricavare a = b*Tg() nell’esempio a=10*1 ovvero 10 cm
2) tracciare a lungo 10 cm, ortogonale a b ad una distanza b dal centro.
Il lato a in questo caso viene chiamato “intercetto” per tracciare gli angoli sulla meridiana quindi si può
procedere in modi diversi:
1) tracciare l’angolo sigma (sustilare) e gli angoli omega (linee orarie) con il goniometro centrato in O:
l’angolo sigma si traccia “aprendo” con lo zero in alto (in ore 12 dell’orologio meccanico) e girando nel
senso indicato poi dal programma di calcolo (vedi oltre) Gli angoli omega tracciano aprendo dalla
sustilare verso sinistra o destra a seconda del segno (anche questo verso è indicato dal programma)
2) Un altro modo di tracciare gli angoli è quello degli intercetti ad una distanza scelta a piacere (vedi
figura). Chiamata x tale distanza, occorrerà tracciare un segmento perpendicolare alla sustilare distante
x dal centro e su di esso segnare gli intercetti (vedi programma di calcolo)
Linee orarie
Sustilare
Intercetti
Una volta tracciate le linee orarie è possibile posizionare lo stilo (o gnomone) come segue:
1) calcolare un intercetto per lo stilo a distanza nota dal centro, es 10 cm: il valore dell’intercetto sarà
10*tg (ε)
2) tagliare un pezzetto di legno alto esattamente quanto l’intercetto di epsilon
3) appoggiare il pezzetto di legno in piedi sulla sustilare alla distanza scelta (nell’esempio 10 cm) quindi
appoggiare lo gnomone sul centro O e sul pezzetto di legno, quindi fissare il tutto con della colla (es.
colla a caldo)
Quindi decorare la meridiana come meglio si crede ma è bene aggiungere sempre le seguenti diciture:
1) l’indicazione della latitudine
2) la dicitura “ora solare vera del luogo”
3) un breve aforisma (ad es. “Sol omnibus lucet” )
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Osservando la meridiana si noterà una certo “errore” rispetto all’orologio perchè:
1) In alcuni periodi dell’anno è in vigore l’ora legale
2) Al fatto che l’ora civile (circa quella centrale del fuso) non coincide con l’ora solare del luogo
Uso del programma di calcolo poiché il calcolo dei dati risulta abbastanza complesso, ho predisposto un
programmino in Excel per calcolare direttamente i dati necessari per la realizzazione dell’orologio. Il
programma prevede una sezione iniziale (dalla riga 7 alla riga 12) dove vanno indicati:
1) La latitudine del luogo
2) La declinazione gnomonica del quadro
3) L’inclinazione del quadro
4) Le misure dei due bordi del quadro
5) La località
Quindi si vada direttamente alla riga 47 (riassunto globale dati orologio) per leggere i dati necessari. Qui viene
riportata una tabella con il riassunto dei dati, i valori degli angoli principali e il loro verso di tracciatura.
Vengono anche riportati i valori dei singoli intercetti.
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