Concetti di base sulla trasformata zeta Calcolo del movimento di

Concetti di base sulla trasformata zeta Calcolo del movimento di

Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
Concetti di base sulla trasformata zeta
Concetti di base sulla trasformata zeta
Definizione e proprietà
Principali trasformate
Scomposizione in fratti semplici
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Concetti di base sulla trasformata zeta
Definizione e proprietà
Definizione
La trasformata (unilatera) zeta della
sequenza di valori reali f (k ) : N Æ R è la
funzione della variabile complessa z definita
(quando esiste) da:
∞
F (z ) = Z {f (k )} = ∑ f (k ) z ,
Δ
−k
z ∈^
k =0
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Proprietà principali (1/4)
Linearità
Siano f1 (k ) ed f2 (k ) due funzioni aventi
rispettivamente trasformata zeta F1 (z ) ed F2 (z ) e
c1 , c2 due costanti reali.
Allora:
Z {c 1f 1 (k ) + c 2f 2 (k )} = c 1F1 (z ) + c 2F 2 (z )
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Proprietà principali (2/4)
Ritardo nel tempo di h passi
Siano f (k ) e F (z ) una sequenza e la sua
trasformata zeta rispettivamente ed h un intero
positivo.
Allora:
Z {f (k − h )} = z − h F ( z )
In particolare, se h = 1
Z {f (k − 1)} = z −1F (z )
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Proprietà principali (3/4)
Anticipo nel tempo di h passi
Siano f (k ) e F (z ) una sequenza e la sua
trasformata zeta rispettivamente ed h un intero
positivo.
Allora:
h −1
⎛
⎞
h
−k
Z {f (k + h )} = z ⎜ F ( z ) − ∑ z f (k ) ⎟
k =0
⎝
⎠
In particolare, se h = 1
Z {f (k + 1)} = zF (z ) − zf (0)
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Proprietà principali (4/4)
Prodotto di convoluzione
Siano f1 (k ) ed f2 (k ) due sequenze, aventi
trasformata zeta F1 (z ) ed F2 (z ) rispettivamente.
Allora il loro prodotto di convoluzione definito come:
k
k
j =0
j =0
f 1 (k ) ∗ f 2 (k ) = ∑ f 1 (k − j ) ⋅ f 2 ( j ) = ∑ f 1 ( j ) ⋅f 2 (k − j )
ammette trasformata zeta
Z {f 1 (k ) ∗ f 2 (k )} = F1 (z ) ⋅ F 2 (z )
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Teoremi principali (1/2)
Teorema del valore finale
Sia f (k ) una sequenza con trasformata zeta F (z ).
Si supponga che il prodotto:
(z − 1)F (z )
non abbia radici del denominatore con modulo
maggiore o uguale ad uno, allora
lim f (k ) = lim(z − 1)F (z )
k →∞
z →1
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Teoremi principali (2/2)
Teorema del valore iniziale
Sia f (k ) una sequenza con trasformata zeta F (z ).
Allora:
lim f (k ) = lim F (z )
k →0
z →∞
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Concetti di base sulla trasformata zeta
Principali trasformate
Principali trasformate unilatere (1/2)
f (k )
δ (k )
ε (k )
F (z )
1
z
z −1
z
⎛ k ⎞ k (k − 1) " (k − A + 1)
,A > 0
A +1
⎜A⎟
z
(
−
1)
A
!
⎝ ⎠
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Principali trasformate unilatere (2/2)
f (k )
ak
⎛ k ⎞ k −A
⎜ A ⎟a ,A > 0
⎝ ⎠
sin (ϑk ) ,ϑ ∈ R
cos (ϑk ) ,ϑ ∈ R
A ,A ∈ R
k
n ,n
F (z )
z
z −a
z
A +1
(z − a )
z sin(ϑ )
z 2 − 2 cos(ϑ )z + 1
z (z − cos(ϑ ))
z 2 − 2 cos(ϑ )z + 1
z ( zI − A )
−1
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Concetti di base sulla trasformata zeta
Scomposizione in fratti semplici
Scomposizione di funzioni razionali fratte
Se F (z ) è una funzione razionale fratta, per la
sua antitrasformazione si può procedere con la
scomposizione in fratti semplici come nel caso
della trasformata di Laplace
Tuttavia, come si può osservare dalle tabelle, le
trasformate zeta elementari sono caratterizzate
dall’avere in evidenza a numeratore il termine z
Esempi:
z
,
0.1z
z − 1 ( z − 0.1)2
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Esempio
Consideriamo la funzione
z
5
4
F (z ) =
=
−
(z − 0.5)(z − 0.4) z − 0.5 z − 0.4
⎧
Z ⎨
⎩z
-1 ⎧
Z ⎨
⎩z
-1
5 ⎫
⎬ = ??
− 0.5 ⎭
−4 ⎫
⎬ = ??
− 0.4 ⎭
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Esempio: osservazione
I termini del tipo
R
z −a
non compaiono nelle tabelle delle trasformate
zeta
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Procedimento
Si può procedere come segue:
Si considera dapprima la funzione
F (z )
F (z ) =
z
Si procede alla scomposizione della funzione
F (z )
come nel caso della trasformata di Laplace
Si moltiplica la scomposizione ottenuta per z
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Esempio: continuazione
Esempio:
F (z ) =
z
(z − 0.5)(z − 0.4)
F (z )
1
F (z ) =
=
=
z
(z − 0.5)(z − 0.4)
10
10
=
−
z − 0.5 z − 0.4
10z
10z
F (z ) = z ⋅ F (z ) =
−
z − 0.5 z − 0.4
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Esempio: antitrasformazione
10z
10z
F (z ) =
−
z − 0.5 z − 0.4
A questo punto è possibile antitrasformare
ottenendo:
f (k ) = Z
(
−1
{F (z )} = Z
)
−1
10z ⎫
⎧ 10z
−
⎨
⎬=
⎩ z − 0.5 z − 0.4 ⎭
= 10 ⋅ 0.5k − 10 ⋅ 0.4k ε (k )
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Il caso delle radici complesse coniugate
Il calcolo dei residui della decomposizione in fratti
semplici è chiaramente identico al caso della
trasformata di Laplace
L’unico accorgimento riguarda la coppia di radici
complesse coniugate a = σ +jω, a* = σ −jω
Anche in questo caso si ha una coppia di fratti:
*
R
z
Rz
+
z - a z - a*
Che si antitrasforma complessivamente come
2 R a cos ( (∠a )k + ∠R )
k
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