Sulla risposta elastica delle disile e sulla sua variazione nel tempo

Sulla risposta elastica delle
disile
e sulla sua variazione nel
tempo
(On the dams elastic
reaction
and its variation
in the long
run)
P . CALOI - M. C. SPADEA
Ricevuto ¡1 10 Gennaio 19G9
R I A S S U N T O . — Vengono esaminate le reazioni di una diga, o di sue
parti, alle sollecitazioni elastiche. Si espongono i concetti di effetto di convogliamento e di effetto di superficie e se ne valutano le entità in alcuni casi.
Si accenna all'azione di diffusione dell'energia elastica, in corrispondenza
delle superficie di discontinuità dinamica fra concio e concio. Si esamina il
comportamento di una diga, come un tutto vibrante. Si discutono le particolari caratteristiche della propagazione delle onde elastiche, lungo i conci
di una diga.
S U M M A R Y . — The reactions to elastic strains of a dam or any of its
parts are being examined, the notions of conveyance
effect and surface
effect defined and their values in some cases estimated. Indications are
given on the action of the distribution of the elastic energy, correlative
to the surfaces of dynamic discontinuity between the various concrete slabs.
The behaviour of a dam taken as a vibrating unity is examined and peculiarities of elastic wave propagation along the concrete slabs of a dam are
discussed.
The occurrence in a dam of the following, contradicting phenomena
is proved.
1. - Upwards, along a single concrete slab, there results a concentration
of energy towards the crown, the more marked as the thinning of the concrete slab towards the top is more pronounced. This concentration of energy,
which translates itself into an increase of the displacements associated with
elastic waves, we describe as with the qualification Conveyance effect.
2. - At the surface of the terminal passageway on top of a dam, there
appears a further increase of the displacements (similar to the one observed
with ordinary seismic waves at the surface of indefinite media). This would
be the phenomenon known as ¡Surface effect.
3. - Transversely to the dam, at the equal level from right to left
(or vice versa), there appears instead a noticeable distribution of elastic
energy correlative to the surface of dynamic discontinuity interposed be-
2
P.
CALOI
-
il.
C.
SPADEA
tweon concrete slabs. The progressive extinction of energy in this t
propagation seems to be due, for its greatest part, to reflection p h
correlative to the named surfaces.
4. - Besides conducing elastic energy, the concrete slabs of a
apt to become the seat of oscillations of their own, characterized by
of oscillation definitely higher t h a n t h e ones associated with the
dinal and transverse waves conduced by the medium.
5. - The whole dam may settle into free oscillation, in case
or stresses apt to invest it in its totality, as usually happens on
the bottom or half-bottom outlets of the dam. The oscillations s
dently the highest periods in the capacity of the structure (for
i n case of the P i e v e di Cadore-dam, of the order of 1,5 sec).
0. — The propagation of body waves, longitudinal or tr
when occurring i n definite media, is realized as if the medium was e
rigid (rr = 0).
This summarized exposé refers to the reaction of the dam to
alteration of the elastic field. Numerous studies have been already
ed to gradual alterations — determinable especially with clinog
as associated with thermic, climatic, gravimetric, tectonic and ot
nomena.
1. - U n problema, che m e r i t a considerazione, è quello de
rimento dell'energia elastica dalla base del t a m p o n e al c o r o
di u n a diga. Esso p u ò essere considerato sotto due aspetti:
1) Trasferimento
sotto forma di oscillazioni libere. Tali osc
q u a l u n q u e sia la loro nodalità, p r e s e n t e r a n n o i massimi s p o
nel coronamento e — generalmente — presenteranno c o m
verticali e spalla-spalla di trascurabile ampiezza. Di esso si è
m e n t e discusso in precedenti pubblicazioni. Ulteriori consid
s a r a n n o svolte ai n n . 3 e 4.
2) Trasferimento
sotto forma di oscillazioni
longitudinali
sversali nel mezzo. I n d i c h i a m o con e l'energia, associata a vi
spaziali, longitudinali o trasversali, convogliate — in u n d e t e
i s t a n t e — alla base di u n concio della diga.
Siano ei, ea le densità di energia trasferite in due sezioni
tali del concio, di superfìcie Si, S2, alle q u o t e qt, (¡2. Prescindend
dissipazione nel mezzo, a v r e m o
e = ei Si = e<i S2 .
d a cui
e2 = ei
Si
s2
Poiché uno dei due lati delle sezioni r i m a n e pressoché costante,
al v a r i a r e della q u o t a — e precisamente il lato trasversale — se indichiamo con h, li gli spessori del concio alle quote qi,
la [1] può
scriversi :
=
et
k .
—
[2]
P e r vibrazioni coperiodali, le energie sono proporzionali ai q u a d r a t i
degli spostamenti. I n d i c a n d o con ai, a 2 le ampiezze osservate alle
quote qi, q*. a v r e m o p e r t a n t o :
«.
* ]/£ .
[3]
Se u n a delle registrazioni avviene alla superficie del concio —
sul coronamento — sarà d'uopo tener conto anche dell'effetto di superficie (per onde longitudinali o trasversali). Quindi, se indichiamo
con / il f a t t o r e corrispondente all'effetto accennato, e se la q u o t a q-> è
quella del coronamento, ivi potremo osservare, con buonissima approssimazione:
rT~
«2 = «i |
I • 1•
M
P e r q u o t e intermedie, vale la [3],
L ' a m p i e z z a delle registrazioni al coronamento assomma anche
l'effetto di superficie. La [4] ci consente di ottenere tale effetto, ric a v a n d o /:
/ = a^/ai |
,
[5]
con manifesto significato dei simboli.
I n sismologia, generalmente, il valore di / è dell'ordine di 2.
Tale valore però è calcolato sulla base della teoria dei raggi sismici
e risulta soddisfatto, con b u o n a approssimazione, solo per apprezzabili
lunghezze d ' o n d a . U n a lacuna della teoria, infatti, è che, nei raggi
sismici, si prescinde dalla lunghezza d ' o n d a del fronte, al quale il
raggio sismico è associato. È noto d'altronde che, nell'ambito delle
altissime frequenze — e quindi delle piccole lunghezze d ' o n d a —,
la propagazione delle onde elastiche si presenta, sotto molti riguardi,
f o r t e m e n t e a n o m a l a . B a s t e r à citare, a questo proposito, il fenomeno
della dispersione anomala, scoperto da Caloi( 1 ). L'osservazione h a prov a t o che f o r t e m e n t e anomalo si presenta, sempre nel c a m p o delle
microlunghezze d ' o n d a , anche l'effetto di superficie specialmente in
u n intorno di vibrazioni con periodi dell'ordine di 0.2 sec
strazioni sismiche o t t e n u t e in miniera e sulla superficie este
catori giapponesi h a n n o o t t e n u t o per /, per oscillazioni a
periodi dell'intorno su detto, valori variabili f r a 4 e 16, m
vibrazioni più rapide, l'effetto t o r n a verso valori normali.
dagini, o t t e n u t e per mezzi indefiniti, possono senz'altro es
g o n a t e a quelle di cui qui si p a r l a — a q u a n t o ci risulta, e f f
la p r i m a v o l t a —, che r i g u a r d a n o la superficie di mezzi ben
P e r t a n t o , p r e s e n t a notevole interesse il controllo del
parallelismo che l'effetto di superficie p r e s e n t a in mezzi ind
mezzi ben delimitati.
A mò d'esempio, per la diga del Lumiei (presso Sauris
di convogliamento f r a le q u o t e qi = 896m e 172 (coronament
risulta p a r i a 1.66, essendo — alle quote considerate — g
rispettivamente :
li = m .11 ;
h —m 4 .
P e r v a l u t a r e il f a t t o r e espressione dell'effetto di super
s t a t e prese in considerazione le registrazioni o t t e n u t e alle
q-i di piccole esplosioni e f f e t t u a t e sul fondo valle, in destr
nistra della linea di valle.
Il f a t t o r e (Ì2/Z1)1'2, ovviamente, per e n t r a m b e le regis
uguale a 0.603: i r a p p o r t i f r a le ampiezze lette sui v i b r o g r
rispondenti alle s u d d e t t e registrazioni, sono r i s p e t t i v a m e n t
4 e 4.17. Sostituendo questi valori nella [4] si è a v u t o per i
dallo scoppio in destra,
/ =
2.41,
dallo scoppio in sinistra,
/ = 2.50 .
Possiamo concludere che l'effetto di superficie — come c
a t t e n d e r e , d a t a l'omogeneità della diga in esame — risulta
uguale sia che si registrino scoppi provenienti dalla destra d
di fondo, sia che si registrino spari p r o v e n i e n t i dalla sinis
Come ulteriore applicazione, r i p o r t i a m o i risultati delle
condotte presso la diga dell'Ambiesta (Tolmezzo), f r a le q u o
osservano i valori h (coronamento) = m 2.1, U — m 5.6, p e
sori in corrispondenza del concio centrale.
Tali indagini, c o n d o t t e nella p r i m a decade del N o v e m
ebbero lo scopo di v a l u t a r e l'effetto di convogliamento
centrale della diga, nei confronti di g a m m e d ' o n d a diverse
qlwllo di
tIi ,<;nlll'rtil'il',
in }ln'('<'den!,i
ttare
a r e t.ale
tale l'IYet(~)
effetto ('on
con quello
superficie, 4}('lerminato
d e t e r m i n a t o in
precedenti
('oel1ìt'ipnt,p di
tIi l'~t-.jn·
in(laR"ini; nnOlw]ll."
indagini;
o n c h é vva.lut.are,
a l u t a r e , pIH'r
e r la pl'l'illla
r i m a volkl,
v o l t a , il coefficiente
estinzione 4h'll'plH'rg-ia
(·Ia~tiea
aHH4wia.\.a
~«l
elevate
frequenze
dell'energia elastica — associata ad elevate f r e q u e n z e —,, in
eorri.~IloJl(len~.a d{'J\e
Huperficie di d(liH(·ont.inuit!i.
corrispondenza
delle superficie
i s c o n t i n u i t à dinami('a,
dinamica, int.l'l'('l'd(OJlti
intercedenti
t.ra
t r a condo
concio p
e (~om·io.
concio.
At'lI3IES1"1I
AH 6 1 E S T À
f«/ovt'v^bK.
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_ _ _ _ _ : , ..... " 1. , : ...
"
__
._,.............-. ..
.• _-----------
Fig. l1 - EHempio
l"rgistnlldoni oUplIuh'
Esempio di
(li elfettll
effetto Ili
di ('llllvllglillmelltll:
eonvogliamento: registrazioni
ottenute
Il!'1
~1I1 tampone
tUIll]lOIW (NT8~1J)
nel l'nnil'olo
cunicolo ."ott.o
sotto il l'ommlmentll
coronamento ((R.'~'Dl)
R 0 S m ) el' sul
(I\'tH»d)-.
•.»Nelle
:"elle efiperienz('
esperienze epffet-.\.nate
f f e t t u a t e nel ),""ovembre
N o v e m b r e 19fi7,
1967, le regiHtmzioni
registrazioni
furono
baH(' del ('on('io
t'entrale (tampone)
f u r o n o efi'ett,uat('
e f f e t t u a t e alla
alla base
concio centrale
( t a m p o n e ) e(' d4}('ntro
e n t r o il
cunÌl'olo
in eoniHpomlenza
cunicolo .~otto.~t.antp
s o t t o s t a n t e al ct'oronament,o,
o r o n a m e n t o , eentrambe
n t r a m b e in
c o r r i s p o n d e n z a d('1\e
delle
postazioni cJinografiche
clinografiche ivi ffunzionanti
u n z i o n a n t i (Fig.
2). LI'
Le registrazioni
(Pig. l.1 e 3).
regi.~t.razioni in
q u o t a , eHfiendo
essendo realizzate
ualche m
e t r o al di sotto
i a n o stradale,
stradale,
quota,
realizzate qqualche
metro
HOUO del
(lei ppiano
con cui c u l m i n a la diga, a v e v a n o lo scopo di s o t t r a r s i a l
superficie; p r o p o s i t o q u e s t o reso ragionevole dalla e s t r e m a m e
l u n g h e z z a d ' o n d a , a s s o c i a t a alle v i b r a z i o n i l o n g i t u d i n a l i .
a m b i
e s t à
f/ove-mbx«. i q ^ T
7
-—
'
Fig. 2 - Esempio di convogliamento: registrazioni otte
nel cunicolo sotto il coronamento (BgSts) e sul t a m p o n e (
P e r i v a l o r i di h, k s o p r a r i p o r t a t i , l ' e f f e t t o di c o n v o
f r a le d u e p o s t a z i o n i di r e g i s t r a z i o n e d o v e v a r i s u l t a r e del
1.63. R i c o r d i a m o che l ' e f f e t t o di superficie (se fosse s t a t o a
s e n t e e n t r o il cunicolo s o t t o il c o r o n a m e n t o ) , si d o v e v a
d a l l ' a p p l i c a z i o n e della [5].
E b b e n e , la media di t u t t i i valori o t t e n u t i è risultata di
0.97 ;
risultato davvero eccellente, a t t e s a l'approssimazione che ci si deve
a s p e t t a r e in queste esperienze. Se sotto il coronamento, presso la
postazione clinografìca, l'effetto di superficie fosse s t a t o nullo, la [5]
a v r e b b e d o v u t o assumere il valore 1. E tale valore nelle esperienze
esperite, come si è visto, di f a t t o assume. Basti osservare che i valori
più discosti d a l l ' u n i t à f u r o n o 0.85 in difetto e 1.16 in eccesso.
R e s t a così c o n f e r m a t a la validità dei risultati o t t e n u t i nelle esperienze dell'anno precedente. P e r t a n t o l'effetto di superficie, che si ottiene registrando sul piano stradale della diga (in corrispondenza del
concio centrale), è dell'ordine di
1.70 ,
essendosi ivi o t t e n u t o «2/rti = 2.75, sulla base delle registrazioni a v u t e
in quella occasione.
Le esperienze eseguite con geofoni — che sostanzialmente confermano, in media, quelle condotte con v i b r o m e t r i —, non presentano,
in ogni modo, sufficiente attendibilità, m a n c a n d o la t a r a t u r a dei singoli geofoni.
2. - P e r calcolare la diffusione dell'energia elastica, in corrispondenza delle superficie s e p a r a n t i u n concio dai conci limitrofi, si sono
e f f e t t u a t e registrazioni con vibrografì, posti agli estremi sinistro e
destro del cunicolo di coronamento, di piccole esplosioni p r o v o c a t e
in roccia, a c o n t a t t o di d e t t o cunicolo, nel suo estremo destro.
I risultati o t t e n u t i , come si è accennato, presso la diga dell'Ambiesta non p o t e v a n o essere più significativi. L a p e r d i t a di energia
nella propagazione da destra a sinistra, a q u o t a cunicolo di coronamento,
è notevole. Basti osservare che l'ampiezza delle onde longitudinali, si
riduce di almeno 1/24. Poiché, a p a r i t à di altre condizioni (nel nostro
caso, a p a r i t à di frequenza), l'energia di u n ' o n d a p i a n a v a r i a proporzionalmente al q u a d r a t o dell'ampiezza, possiamo ritenere che l'energia
uscente in sinistra è circa 1/600 dell'energia e n t r a n t e , alla stessa q u o t a ,
in destra (all'altezza del cunicolo di coronamento). I n r e a l t à , il treno
d ' o n d a e n t r a n t e dalla destra può ritenersi esaurito all'estrema sinistra
della diga. Ciò, del resto, in c o n f o r m i t à della teoria.
Tale p e r d i t a va, nella quasi totalità, a t t r i b u i t a a fenomeni di
riflessione dell'energia elastica, in corrispondenza delle superficie di
discontinuità dinamica, s e p a r a n t i i vari conci f r a loro. Si
o p p o r t u n o u n richiamo sulla teoria delle onde riflesse e r i f
I n d i c h i a m o con P le onde longitudinali, con S le onde
con S V le onde trasversali oscillanti nel piano di propagaz
le analoghe tangenziali. P e r le altre grandezze, valgano in
guenti simboli:
P
S
Riflesse
R a d i c e q u a d r a t a r a p p o r t o d'energia F
Angolo d'incidenza
Velocità
Densità
Rigidità
R a p p o r t o di Poisson
y =
1
r ^ T '
¿2
ai
p
q'
ai
P
bi
Pi
ai
b2
Yi>
p =
'
«2
nq,
br-
S =
d
Hi
uì
«2
, q =
bi
a1
n=
c
t = pq.
Vanno r i c h i a m a t e le f o r m u l e :
1
« = i2i 1
r - i ) '
e a n a l o g a m e n t e per aisin a: sin /J: sin rj: sin £ = ai: br. a2:
ft =
g2 +
C2 + #
,
P a r t e n d o dalle equazioni f o n d a m e n t a l i , relativi alle ond
r i f r a t t e , se l ' o n d a incidente è u n a P , le radici q u a d r a t e de
d'energia sono d a t e da ( 2 ):
l+c
- 1 +e
-
1 -
+ Id
+ Ld+
o +
L
— jje
P
+ jKf
~ \ e -
1
d +
=
{ Qf = 0
J
1
)
JNe
0
1
+
r
j
Rf = 0 .
Analogamente, per u n ' o n d a incidente <S'Tr:
_
1
d -
+
le -
1
1 + ^ + -£
1
+
d
_ ¿c
j |
/ -
e =
0
. K ,
. J
o+ ì — i - i L e = 0
+
K
^
1
1
c L
- 1
j jr
f
A f/c
+
I
1 7
! ;. xf +
) K
+ d + ~
=
o
[7]
1
«a jy
: • =
]s U
'
o.
Nei due g r u p p i di equazioni è (*):
I =
-
1
Icotg a - c o t g /3;
1
= Iticotg
J = | cotg a - t a n g rj-,
t a n g t7;i *y -
cos 2C
— cos 00
2/? '
i
COt
« |I
K = l'eotg a - c o t g £;
C0S
^ 2sin
P' 2a
^
:
COt
S2 P
2 F~"
1
1/ cotg 2£- cos 2f
_ | sin 2'Q- sin 2a
=
— I|
sin n2a7"
'> "
cos 2/3
cos 2£
u
=
I sin 2/3 • sin 2^
Se l'onda incidente è u n ' o n d a SH, si può avere solo u n ' o n d a riflessa ed e v e n t u a l m e n t e r i f r a t t a , tifi. Le radici q u a d r a t e del loro
r a p p o r t o d'energia sono d a t e da:
1 — H
2
H E '
'
~
1-,//
dove
^
Qìbz
Qibi
cos C
cos /3
¡?2 sin 2;
01 sin 2/3
/z>
//.1
cotg £
cotg ft
Nelle precedenti equazioni il segno positivo caratterizza u n ' o n d a
longitudinale corrispondente ad u n m o v i m e n t o nella direzione f r a il
(*) Gutenberg, a coefficiente di '' e nella 3 a delle [6] pone la lettera M,
alla quale attribuisce il valore M =
- ; j n realtà è invece M = \ =
\ cos a
.J
Kcotg ij t a n g u. Inoltre, se le [7] sono dedotte dalle corrispondenti equazioni
di Knott, in esse l'unità — che costituisce il primo termine — andrebbe in
t u t t e cambiata di segno.
mezzo dell'onda incidente a quello dell'onda r i f r a t t a . Ne
f r a t t e P, il segno positivo indica che u n ' o n d a (incidente)
sione è t r a s m e s s a come compressione, o p p u r e che u n a dila
serva il suo c a r a t t e r e a n c h e dopo la rifrazione; u n m u t a m e n
corrisponde ad uno scambio f r a compressione e dilatazione
I risultati per casi speciali (come per es. a = 0, fi =
P = <J0°) conseguono agevolmente dalle equazioni.
Generalmente, la densità come le costanti elastiche
s t a n z a cristallina sono maggiori delle corrispondenti dello
teriale a d u n a t e m p e r a t u r a superiore al suo p u n t o di fusio
i d a t i sperimentali per rocce dell'interno della Terra, alla
dove questo p u n t o di fusione è raggiunto, siano del t u t t o
G u t e n b e r g ritiene utile considerare la possibilità che il r a p
due densità sia pressoché uguale a quello delle costanti ela
la variazione nella velocità dell'onda f r a i d u e s t a t i sia
equazioni corrispondenti a questo caso speciale conseg
[6], [7].
P e r u n ' o n d a P incidente, si h a :
1 + e + Id — je — jlf = 0
1 - o + )
d — je — y / = 0
- 1 + c + Ld +
1
f = 0
e -
1
)
- 1 - c + y H - «
L
+
i
4 / = 0 .
)L
Le corrispondenti equazioni per u n ' o n d a incidente S
1 — d + le + jf -f jle = 0
1 + d + y
c+jf
- 1 - d + Le —
1
J e = 0
f — Le = 0
1
1 :• d --
1
e L
1 , 1
. / +..—-«
)
]L
=
0.
Dal c o n f r o n t o dei sistemi [8] e [9] risulta che la distrib
l'energia nei due tipi d ' o n d a è pressoché uguale.
Dalle [9] si traggono facilmente le seguenti relazioni per i r a p p o r t i
delle radici q u a d r a t e dell'energia per onde incidenti $ F (*):
jl' + -1 L'
c
7
j
=
r
1
- L"
a
=
' T
1
~~ 2"
jl'L"
+ l
I"L'
3
I" - L"
'
1
+
j
.
^
.
i
l
+ l - j l c o t g ^ + 1),
i
Fig. 3 - Curve elle danno le radici quadrate del rapporto
fra energia riflessa o rifratta a quella incidente in funzione
dell'angolo d'incidenza i, nel caso di incidenza su una
discontinuità senza cambio di velocità (secondo Gutenberg).
(*) Nelle relazioni riportate da Gutenberg (pag. 89 N o t a citata) manca
il segno meno davanti alle prime due, mentre nella terza — quella che
dà il rapporto //e — il primo j a numeratore e a denominatore è sostituito
dall'unità. Questi ed altri errori figuranti nella nota di Gutenberg sull'argomento ( 2 ), furono fatti rilevare all'Autore da Caloi, con lettera del 19
Dicembre 1946. L'illustre, compianto geofisico con lettera del 15 Gennaio
1947 (che Caloi conserva), ebbe a riscontrare esatte le correzioni apportate.
In detta lettera, Gutenberg concludeva con questa constatazione: « It is
peculiar that Illese equations rarely have been printed without misprints ».
essendo:
r
= 1 +
J;
1
L' =L
+
1J
4
; I" = I—
1.
\ \ L "
=
Equazioni analoghe nel caso di onde incidenti P.
Fig. 4
Rappresentazione schematica del coronamento diga dell'
con la suddivisione in conci. I i u ed B 2c si riferiscono ¡die postaz
vibrometro; le G alle postazioni dei geofoni: la 8 ai punti di
Nel nostro caso, interessa la distribuzione di energia per o
gitudinali incidenti in u n a discontinuità, senza variazione di
I n f a t t i , la discontinuità f r a concio e concio è u n a discont
n a t u r a esclusivamente dinamica, come quella che si verifica
mezzi, di uguali caratteristiche tisiche, messi a c o n t a t t o lung
superficie limiti.
Diversi a u t o r i si c i m e n t a r o n o nella d e t e r m i n a z i o n e n u m e r i c a della
su d e t t a suddivisione di energia, in casi diversi: K n o t t , J e f f r e y s , B l u t ,
S c h l i c h t e r e Gabriel, ecc. G u t e n b e r g r i u n ì i v a l o r i già calcolati e li
fìi^
BIETSTfì
i v o v e w i b t « - W<ol-
^¿^
' R - t e ^ìod
jj,
p-Ltxfitm*
|
P
^
a)
^
:
-
Fl H B IE S T A
I v o v e w b x e \°>bl'Rae
S9D
f
onda
f U - W " -
Fig. 5 - ti) Registrazione ottenuta in IÌ2c (la p sta per la 1 ilei testo);
b) Registrazione ottenuta in 7?ic all'estremo opposto del cunicolo. L'estinzione dell'energia, oltre ai fenomeni di riflessione in corrispondenza dei
conci, è in parte da attribuire a diffusione, in quanto la propagazione
avviene in una zona attraversata da un cunicolo.
c o m p l e t ò . R i p o r t i a m o qui i relativi grafici, l i m i t a t a m e n t e ai casi che
p r e s e n t a n o a n a l o g i a con la p r o p a g a z i o n e c o n s i d e r a t a f r a concio e
concio, e per i valori (li angoli d'incidenza e n t r o i limiti
t r a s f e r i m e n t o dell'energia d a u n lato all'altro della diga
Si noti che il t r a g i t t o , d a u n estremo all'altro, subi
zione di 110° ca (Fig. 4). D a u n estremo all'altro interced
dicina di superficie riflettenti: a m m e s s a la p e r d i t a di e
dine di 1/10 in corrispondenza di ogni superficie, res
l ' e f f e t t i v a estinzione dell'energia elastica alla fine del t r
Le vibrazioni che, nell'estremo sinistro, vengono registra
sono d a a t t r i b u i r s i all'urto dell'onda di pressione acustic
di coronamento.
ftMBlE-STfì
(Novembre
Fig. 6 - Sia pure q u a l i t a t i v a m e n t e anche i geofoni (distr
da Fig. 4) danno un chiaro esempio di estinzione dell'e
stica nel suo trasferimento da destra a sinistra. Vedi a
I geofoni, distribuiti a distanze crescenti d a d e s
d a n n o u n a visione q u a l i t a t i v a del fenomeno. Qualora
t a r a t i , sarebbe possibile calcolare q u a n t i t a t i v a m e n t e la
duzione di energia, nel suo t r a s f e r i m e n t o d a destra a
ciata alle alte f r e q u e n z e delle onde longitudinali (V. Fig
3. - I n relazioni e pubblicazioni precedenti, uno di
ed applicato u n m e t o d o per la determinazione delle vibr
dei conci di u n a diga ( 6 ). N a t u r a l m e n t e non s t a r e m o a riesporre la
relativa teoria, limitandoci a riportare la sola f o r m u l a che dà il periodo proprio:
4 .t 13
&2
P
l>
1
| E '
|
[10]
Q
dove l è la lunghezza del concio in esame, b lo spessore medio,
-,
¡E
la
velocità delle onde longitudinali proprie del calcestruzzo di modulo E
(modulo di Young) e di densità o, e 9 infine è u n a delle radici della
equazione:
•
cosh 9 + cos # + 1 = 0 .
L a formula r i p o r t a t a , come è già s t a t o osservato, v a intesa come
f o r m u l a di p r i m a approssimazione. I motivi sono evidenti, essendo
essa il risultato di schematizzazioni, d ' a l t r o n d e inevitabili. Va ancora
aggiunto che i valori con essa o t t e n u t i h a n n o significato solo per micromovimenti, d u r a n t e i quali i vincoli f r a concio e concio non influenzano
in modo decisivo il periodo perseguito. Va inoltre sottolineato che i periodi osservati si ritengono relativi alle stesse condizioni dell'invaso,
nel senso che grosse variazioni nel livello del bacino possono influire
sui valori medi delle vibrazioni proprie dei conci della diga.
A d ogni modo, l'interesse del m e t o d o è legato alla sua ripetizione
nel t e m p o — eseguita possibilmente, anzi necessariamente — nelle
stesse condizioni, perchè non t a n t o il valore assoluto dei periodi conta
(che può, più o meno in modo a c c e n t u a t o , discostarsi d a quello teorico)
q u a n t o le sue eventuali variazioni nel tempo. Essenzialmente, a tali
variazioni i n f a t t i , è legato il valore pratico del metodo stesso. Poiché
gli elementi geometrici n o n m u t a n o , le variazioni sono s e n z ' a l t r o d a
attribuirsi a m u t a m e n t i nella n a t u r a elastica del mezzo, m u t a m e n t i
che non possono non t r a d u r s i in variazioni di periodo. D'altronde,
m u t a m e n t i nella densità sono g e n e r a l m e n t e trascurabili e c o m u n q u e
non sono m a i tali d a influire in modo d e t e r m i n a n t e sulla d i n a m i c a del
mezzo, la quale, invece, è s t r e t t a m e n t e legata al c a m p o elastico. Int e n d i a m o dire che e v e n t u a l i variazioni del periodo sono s o p r a t t u t t o d a
i m p u t a r e a variazioni nella grandezza K, cioè a variazioni (lei modulo
di elasticità.
Così, se Ei ed E* sono i valori di E (relativi a l cal
t e n u t i in esperienze successive e Ti, Ti i c o r r i s p o n d e n t i per
a p a r i t à di a l t r e condizioni, dalla [10J si o t t i e n e :
Ei
=
Ei • (Ti/Tt)*
.
A d esempio il calcestruzzo della diga del L u m i e i
(195-1-1962), a v r e b b e s u b i t o u n i r r i g i d i m e n t o dell'ordine
espresso d a :
Ez = E\ • 1.34 ,
il p e r i o d o d'oscillazione libera essendo p a s s a t o d a (K2
0 M 9 del 1962.
O s s e r v i a m o che, a l m e n o nei p r i m i decenni, u n i r r i
c a l c e s t r u z z o delle dighe è s t a t o g e n e r a l m e n t e n o t a t o a n c
a l t r o genere di osservazioni, q u a l e p e r esempio, la g r a d u a l
n e d e l l ' o n d a d i u r n a r i s c o n t r a t a p r e s s o le dighe di P i e v
A m b i e s t a (6) ecc.
4. - N o n s e m p r e l'oscillazione p r o p r i a r e g i s t r a t a r
i m p u l s o singolo, g r a d u a l m e n t e s m o r z a n t e s i , c o m e g e n e r a
rifica invece p e r le oscillazioni p r o p r i e di isolati sper
nel loro a m b i e n t e n a t u r a l e {'').
I legami esistenti f r a concio e concio f a n n o si che,
c r o m o v i m e n t i , le oscillazioni dei conci limitrofi p o s s a n o
q u e s t o caso è i n e v i t a b i l e la f o r m a z i o n e di b a t t i m e n t i .
È n o t o che se i n d i c h i a m o con Ti e Ti i periodi di d
di a m p i e z z a p r e s s o c h é u g u a l e (Ti > Ti) la r i s u l t a n t e è a n
lazione sinusoidale di p e r i o d o :
_ 2 TiTi
P
Ti + Tt '
la cui a m p i e z z a v a r i a con il periodo
Ti -
Ti "
L a s e p a r a z i o n e dei d u e periodi a v v i e n e q u i n d i m e d i a n
Ti = pPI(p
+ P)
d o v e p e P sono d a t i dalle osservazioni.
Ti = pPI(P
Applicando la [11] ai d a t i sperimentali o t t e n u t i presso le dighe
di Lumiei, Barcis e Mis si sono a v u t i i seguenti risultati:
Tabella
Dighe
1\
sec
T2
sec
Lumiei (1965)
0.13
0.18
Barcis
(1961)
0.08
0.11
Mis
(1964)
0.095
0.15
P e r la diga del Mis, oltre alle oscillazioni dei conci, si registrano
anche quelle del p o n t e s o v r a s t a n t e il c o r o n a m e n t o . Ciò è reso m a n i f e s t o
dalla cospicua c o m p o n e n t e verticale del m o v i m e n t o . Le oscillazioni
si p r e s e n t a n o sotto f o r m a di b a t t i m e n t i : il periodo medio è dell'ordine
del decimo di secondo (e nasce dalla combinazione di oscillazioni con
periodi di 0 . 1 2 sec e 0 . 0 8 1 sec, r i s p e t t i v a m e n t e ) .
I n t u t t e le dighe a v e n t i il coronamento s o v r a s t a t o d a s t r u t t u r e a
f o r m a di ponte, si verifica la registrazione di oscillazioni, con periodi
dell'ordine di quelli sopra riportati, sviluppate sopra t u t t o sulla componente verticale.
5. - I n occasione d e l l ' a p e r t u r a degli scarichi di u n a diga, la s t r u t t u r a , come è noto, e n t r a in vibrazione propria. I n alcune dighe q u e s t a
vibrazione raggiunge a c c e n t u a t e caratteristiche dinamiche (diga del
Lumiei, p. es.).
L a determinazione rigorosa, per via teorica, dei periodi p r o p r i
di u n a diga — considerata come s t r u t t u r a v i b r a n t e — non è certo
agevole. B a s t i pensare che, in realtà, u n a diga è u n complesso di strutture, ciascuna con periodi propri, geometricamente asimmetriche, di
spessori variabili; e le reciproche influenze v a r i a n o n o n solo al v a r i a r e
del tipo di eccitazione, m a anche dell'intensità e del luogo di eccitazione.
D ' a l t r o n d e poiché in misure del genere è l'ordine di grandezza
che conta, il perseguire soluzioni rigorose è spesso illusorio; diviene
quindi preferibile ricorrere a schematizzazioni che, p u r g a r a n t e n d o una
sufficiente attendibilità, h a n n o il notevole v a n t a g g i o della semplicità e
r a p i d i t à di applicazione.
È q u a n t o a b b i a m o r i t e n u t o o p p o r t u n o di f a r e n
U n a l a r v a t a approssimazione del periodo f o n d
diga, come u n complesso v i b r a n t e , p u ò determinarsi
m a n u f a t t o come u n arco circolare.
Già l l o r a c e L a m b , nel 1888, si era occupato — d a
vibrazioni di u n a s b a r r a c u r v a ( 3 ). Il p r o b l e m a f u
H a r t o g , il quale, nel 1928, pubblicò u n lavoro sulla più
n a t u r a l e di archi circolari, i n c a r d i n a t i o fissati ai loro
senza o in assenza di estensione del materiale (4).
N a t u r a l m e n t e , n o n ci soffermeremo su a r g o m e n t
t i a m o a r i p o r t a r e la f o r m u l a che d à la pulsazione m
in funzione del modulo di Y o u n g E del m a t e r i a l e v
m e n t o d'inerzia I della sezione trasversa della m a s
lunghezza della linea di centro y e del raggio R dell'
Si lia (nel caso di inestensione) ( 5 ):
C3 i ¡El
dove Gs è d a t o dalla t a v o l a :
a...
0°
Gz. .
oo
a...
200°
Gi..
3.31
20°
10"
60"
80"
504
124 53.8
29.2
220°
240" 260" 280"
2.54
1.98
1.57
1.25
100" 120"
17.9
i l .85
300" 320"
1.01 0.821
essendo a l'angolo al centro che s o t t e n d e all'arco a
Dalla [12], se n esprime la densità e S l'area della
sa, si t r a e per il periodo:
' .
-, ! I
1
fi3
a
I 8
Nel caso eli sezione t r a s v e r s a r e t t a n g o l a r e , di
larghezza b, si p u ò scrivere:
i '
I S
"
.
2 13
P e r t a n t o , sarà:
=
b
R*
C3
-, !je
1/ "
I Q
P e r la diga di Pieve di Cadore, p e r es., f a t t o R
i
— e q u i n d i Ga =
10 — ,
'E
1/
all'incirca:
= ni 162, a = 130°
= 5.000m/sec., p e r b =
T = 1.26 sec .
V.'AV»-
' .'.WW.-,-vV/»."A'/,' '.W//,','V ' VM'ilWw.WAW^.'/rf.'-, '—•.
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.
,
v
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9m risulta,
/
^
v
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-
V
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V
.
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v
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'
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/ X
e.
e..4.
4 ? ¿ 5 -
Pig. 7 - Registrazioni di vibrazioni della diga di Pieve di Cadore, associate
ad apertura degli scarichi, a bacino pieno, registrate dalla stazione sismica
sita in cabina comandi ad una quindicina di metri dalla diga.
P e r la diga del V a j o n t (nelle a t t u a l i condizioni), f a t t o 7?
ft = 6 m , p e r a = 90° (C 3 = 25), si o t t i e n e :
90m,
T = 0.24 sec .
Con lo stesso v a l o r e p e r a , f a t t o i? = 100 m e i
T
=
= 5 m, risulta:
0.35 sec .
L e osservazioni d a n n o p e r la diga di P i e v e di C a d o r e u n v a l o r e
medio di 1.2 sec. p e r il periodo, m e n t r e p e r la diga del V a j o n t , si ottiene, in m e d i a , 2' = 0.4-0.5 sec (Figg. 7, 8).
zato da u n modulo di Y o u n g E e da u n r a p p o r t o di Poisson
cando con vi la velocità delle onde longitudinali, è:
E
1 ( l + f f )
a
( 1 - 2
a)
--V.
•
- • * ».
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.
,
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.
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Fig. 8
V
^
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«
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.
< O
,
—
4 . / X
Esempi di registrazione come da Fig. 7.
In 1111 mezzo finito invece, la velocità delle onde longitud
Vi —
e
Poiché
0
<
a <
ne segue che è sempre:
Vi > Vi
1
---
Si spiega questo risultato osservando che u n a s b a r r a (mezzo limitato) non subisce variazione di volume q u a n d ' è a n i m a t a d a u n ' o n d a
longitudinale, in q u a n t o — a v e n d o le facce laterali libere — si contrae
l a t e r a l m e n t e q u a n d o s'allunga, e si dilata q u a n d o si accorcia; le tensioni laterali nulle n o n generano variazioni nelle dimensioni della sezione r e t t a . Al contrario, il mezzo indefinito non può m u t a r e di dimensioni: occorre quindi una tensione normale maggiore per p r o d u r r e
lo stesso a l l u n g a m e m t o relativo
(con manifesto significato dei
simboli).
Ai fini della propagazione delle onde elastiche, un mezzo lim i t a t o (sbarra) si c o m p o r t a quindi come fosse e s t r e m a m e n t e rigido
(a = 0).
P e r t a n t o , la velocità vs delle onde trasversali sarà, in esso, espressa da:
=
Ne viene:
V
l/l
T
®
„ •
Vi
— = i/2 •
Va
[13]
Possiamo ritenere un concio di u n a diga come u n mezzo limitato.
P e r t u r b a z i o n i elastiche, longitudinali e trasversali, condotte da un
concio di u n a diga devono perciò soddisfare alla [13].
Nelle varie c a m p a g n e geodinamiche, condotte presso grandi dighe,
a b b i a m o a v u t o modo di ottenere gran copia di vibrogrammi, rilevati
nell'interno dei conci centrali di u n a diga, in occasione di piccole
esplosioni p r o v o c a t e al piede del m a n u f a t t o . L a media dei valori ott e n u t i soddisfa, in modo egregio , alla [13]. Qualche esempio di onde
l ed s è d a t o dalle Figg. 9, 10, 11, 12.
I n conclusione, in u n a diga si verificano i seguenti, c o n t r a s t a n t i
fenomeni.
a) - D a l basso all'alto, lungo u n singolo concio, si h a u n addens a m e n t o di energia verso il coronamento, t a n t o più m a r c a t o q u a n t o
maggiore è l'assottigliamento del concio verso la p a r t e alta. Tale
a d d e n s a m e n t o di energia, che si t r a d u c e in 1111 a u m e n t o degli spostam e n t i associati alle onde elastiche, noi definiamo con la qualifica di
« effetto di convogliamento ».
b) - Alla superficie del piano stradale, con cui u n a diga h a termine, si m a n i f e s t a u n ulteriore a u m e n t o degli spostamenti (analogo
narie onde sismiche). È questo il fenomeno conosciuto sott
« effetto di ¡superficie ».
Fig. 9
Esempio di onde longitudinali (p) [corrispondenti ad
e traversali (s) registrate nel concio di una diga. Le ampie oscillaz
periodo che seguono, sono dovute alle oscillazioni libere de
(vedi paragrafo 4).
Fig. 10
Altro esempio come da Fig. 9.
c) - Trasversalmente alla diga, alla stessa q u o t a d a
nistra. (o viceversa), si verifica invece una sensibile diffusione
d i n a m i c a f r a concio e concio. La progressiva
estinzione
di energia
in q u e s t a p r o p a g a z i o n e t r a s v e r s a è d a a t t r i b u i r e , nella s u a p a r t e pre-
C^rtoU^fo
T-7?r
^ òl*
f
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>1
Pig. 11
flftCe
K¿?ULI ^
[Xilolo
'
\
interiore esempio come da Fig. 9
^
/fV^
7
(1
ig. 12 - Ancora un esempio come da Fig. 9
p o n d e r a n t e , a f e n o m e n i di riflessione in c o r r i s p o n d e n z a delle superfìcie a c c e n n a t e .
d) - O l t r e a c o n d u r r e energia elastica, i conci di u n a diga possono
divenire sede di oscillazioni
proprie, c a r a t t e r i z z a t e da periodi d'oscil-
lazione n e t t a m e n t e superiori a quelli associati alle ond
e trasversali, condotte dal mezzo.
e) - L ' i n t e r a diga può entrare in oscillazione lìbe
sollecitazioni capaci di interessarla nella sua totalità,
in genere nell'apertura degli scarichi di fondo, di mezzo
perficie. nette oscillazioni presentano naturalmente i peri
di cui il manufatto è capace (per es. dell'ordine di 1111 se
nel caso della diga di Pieve di Cadore).
f) - La propagazione delle onde spaziali, longitud
sali, verificandosi hi mezzi definiti, si realizza come s
estremamente rigido (a = 0).
Q u a n t o è s t a t o sopra riassunto, si riferisce alla
dighe ad una brusca alterazione del campo elastico.
razioni — rilevabili sopra t u t t o oon clinografi — assoc
termici, climatici, gravimetrici, tettonici, e c c . . . son
dicate numerose indagini ( 6'7-8).
BIBLIOGRAFIA
P., Dispersione
delle onde sismiche nell'ambito d
quenze. « Rend. Acc. Naz. Lincei, Classe Scienze f
serie V i l i , X X I V , 3 (1958).
(')
CALOI
(2)
GUTENBERG
(3)
LAMB
(4)
DEN
B., Energy Ratio of Reflected and Refracted
« Bull. Seismol. Soc. Am. », 34. 85-102, (1944).
I L , On the Flexure
and the Vibrations of a Cur
London Math. Soc.», X I X , 365-376, (1888).
H A R T O G J . P . , The Lowest
Phil. Mag., 5, 400-408, (1928).
Natural
Frequency
o
(5)
DEN
(6)
P., Aspetti della dinamica di rocce, calcestruzzo e
di Geofisica», X V , 2,135-158, ( 1962) - (contiene una
sui lavori, compiuti dall'A., sull'argomento).
C A L O I P., La geodinamica
al servizio delle grandi dighe.
fìsica », X V I , 4, 449-462, (1965).
C A L O I P., S P A D E A M. C . , Principali
risultati conseguiti
zione geodinamica,
opportunamente
estesa nel tempo, d
sbarramento, e loro giustificazioni
teoriche. « Annali di
2, 261-286, (1966).
(')
(")
HARTOG J.
CALOI
P.,
I.
c.,
pag.
406.