FORMULAZIONE E VALIDAZIONE DI UN NUOVO

FORMULAZIONE E VALIDAZIONE DI UN NUOVO MODELLO
COSTITUTIVO PER ROCCE TENERE
Angelo Amorosi
Dipartimento di Ingegneria Civile, Ambientale, del Territorio, Edile e di Chimica, Politecnico di Bari
[email protected]
Stefano Aversa
Dipartimento di Ingegneria, Università di Napoli Parthenope
[email protected]
Daniela Boldini
Dipartimento di Ingegneria Civile, Chimica, Ambientale e dei Materiali, Università di Bologna
[email protected]
Marco Valerio Nicotera
Dipartimento di Ingegneria Civile, Edile e Ambientale, Università di Napoli Federico II
[email protected]
Sommario
In questa nota viene presentato un nuovo modello costitutivo sviluppato nell’ambito della meccanica dello stato
critico in grado di riprodurre i principali aspetti caratteristici del comportamento meccanico delle rocce tenere. Il
modello è stato usato per simulare una serie di prove di carico su piastra condotte sul Tufo Giallo Napoletano
negli anni ’70, che, grazie alla realizzazione di cicli di carico, scarico e ricarico con piastre di diametro diverso,
avevano messo in evidenza il ruolo dei fenomeni di destrutturazione nella risposta osservata. La calibrazione dei
parametri e delle variabili di stato del modello è stata condotta con riferimento ad una serie di prove di
laboratorio condotte sullo stesso materiale ed utilizzando il primo ciclo di carico e scarico di due delle prove di
carico su piastra. Il confronto tra la simulazione numerica e le successive fasi di ricarico, fino ad elevati livelli di
tensione, e scarico è risultato piuttosto soddisfacente ed ha quindi permesso di validare la formulazione
costitutiva messa a punto.
1. Introduzione
Il comportamento meccanico delle rocce tenere si caratterizza per degli aspetti peculiari che lo
differenziano da quelli tipici dei terreni e delle rocce dure. Questi materiali, infatti, pur essendo dotati
di coesione e di resistenza a trazione, si contraddistinguono per l’attingimento della condizione di
snervamento già durante percorsi di compressione isotropa e non, per il manifestarsi di fenomeni di
destrutturazione nella fase post-snervamento, che ne riducono la resistenza e modificano la forma della
superficie di snervamento (Aversa e Evangelista, 1998; Aversa e Lagioia, 2000), per la forte influenza
del valore della tensione media sul comportamento tensione-deformazione lungo percorsi di taglio,
con comportamento elastico lineare quasi fino ad una rottura fragile per valori ridotti della tensione
media e con rigidezza elastica non lineare e successiva risposta duttile nel caso di tensioni medie
elevate (Pellegrino, 1968).
Modelli costitutivi capaci di tenere conto di tutte queste caratteristiche sono a tutt’oggi poco sviluppati
in ambito accademico e non sono presenti nelle librerie dei codici di calcolo commerciali. Questo
determina una limitata possibilità di poter analizzare il comportamento di opere geotecniche
interagenti con questa classe di materiali, la cui progettazione è ancora basata su un elevato grado di
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empirismo.
In questa nota viene presentato un nuovo modello costitutivo per le rocce tenere recentemente
implementato nel codice agli elementi finiti Plaxis. Esso è stato validato con riferimento a delle prove
di carico su piastra condotte da Pellegrino (1974) all'interno di una galleria realizzata a fine anni '60 a
Napoli e scavata nella formazione del Tufo Giallo Napoletano.
2. Il nuovo modello costitutivo per le rocce tenere
Il modello costitutivo messo a punto è formulato nell’ambito della meccanica dello stato critico.
Il comportamento reversibile è descritto da una formulazione iperleastica che permette di tenere conto
della non linearità e della dipendenza dallo stato tensionale della rigidezza (Houlsby et al., 2005).
L’energia potenziale ha la seguente espressione:
(
W ε ,ε
e
v
e
s
)
p
(2 − n )/(1− n ) ⎡
e
= a k n /(2− 2 n ) (1 − n )
⎢k ε v
2−n
⎣
( )
2
2⎤
3g
+
ε se ⎥
1− n
⎦
( )
(2 − n )/(2 − 2 n )
(1)
dove εev e εes rappresentano la deformazione elastica volumetrica e deviatorica, pa è la pressione
atmosferica e n, k e g sono parametri adimensionali da determinarsi sperimentalmente.
La superficie di snervamento adottata nel modello, originariamente proposta da Bigoni e Piccolroaz
(2004), è funzione dei tre invarianti della tensione p, q e ϑ (angolo di Lode):
F (σ, q ) = f ( p ) +
f ( p ) = − Mpc
g (ϑ ) =
q
(2)
g (ϑ )
( Φ − Φ ) ⎡⎣ 2 (1 − α ) Φ + α ⎤⎦
(3)
m
1
(
cos π / 3 − βπ / 6 − (1 / 3) cos −1 ( γ cos 3ϑ )
)
(4)
con Φ=(p+c)/(pc+c) ∈ [0,1]. Essa può assumere forme molto diverse nel piano meridiano (attraverso
la funzione f) e deviatorico (attraverso la funzione g) mediante la specifica selezione dei valori dei
seguenti 7 parametri: M > 0, che controlla la dipendenza dalla pressione media; pc > 0 e c ≥ 0, che
corrispondono alle tensioni di snervamento in compressione ed estensione; 0 < α < 1 ed m > 1, che
definiscono la distorsione nel piano meridiano; 0 ≤ β ≤ 2 e 0 ≤ γ ≤ 1, che ne controllano la forma nel
piano deviatorico. La legge di flusso è di tipo associato.
Nel modello, a differenza di quanto originariamente proposto, M, pc e c non assumono valori costanti
ma sono variabili di stato la cui evoluzione è controllata da opportune leggi di incrudimento isotropo.
La legge di evoluzione della variabile pc è una versione modificata di quella proposta originariamente
da Kavvadas e Amorosi (2000):
pc = pc ⎡⎢ 1 ε vp - ξ v exp ( -η v ε vd ) ε vd - ξ s exp ( -η s ε sp ) ε sp ⎤⎥
⎣λ −κ
⎦
(5)
Essa è composta da due parti: il primo termine volumetrico corrisponde alla legge di incrudimento del
modello di Cam-clay modificato, qui riferito ad un piano di compressibilità bilogaritmico
caratterizzato dalle pendenze λ (indice di compressibilità) e κ (indice di rigonfiamento), mentre gli
altri termini tengono conto della degradazione della struttura indotta dalle deformazioni plastiche
volumetriche e deviatoriche, secondo delle leggi esponenziali negative controllate dai parametri ξv, ηv,
ξs ed ηs.
Analoghe leggi di incrudimento, solo negativo, sono definite per le due rimanenti variabili di stato:
c = c ⎡ -ξ vc exp ( -η vcε vd ) ε vd - ξ sc exp ( -η sc ε sp ) ε sp ⎤
⎣
⎦
(
)
(
(6)
)
= M ⎡ -ξ exp -η ε d ε d - ξ exp -η ε p ε p ⎤
M
vM v
v
sM
sM s
s ⎦
⎣ vM
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(7)
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3. Le prove di carico su piastra condotte sul tufo giallo napoletano
Le prove di carico su piastra prese in considerazione in questa nota sono state realizzate nella
formazione del Tufo Giallo Napoletano durante lo scavo di una galleria nella città di Napoli
(Pellegrino, 1974). In Figura 1 è possibile vedere l’apparecchiatura utilizzata.
Le curve carico-cedimento ottenute durante la campagna sperimentale sono rappresentate in Figura 2.
La Figura 2(a) riporta le misure relative a 7 prove di carico condotte con una piastra di diametro
d = 500 mm fino ad una pressione di 9 MPa. Esse mostrano una certa dispersione, probabilmente a
causa delle irregolarità presenti sul piano di appoggio e dell’eterogeneità del materiale. Ulteriori 7
prove sono state condotte con una piastra di dimensioni minori (d = 300 mm) sulla stessa impronta di
carico delle prove precedenti, arrivando alla rottura (Figura 2(b)). E’ possibile osservare in questo caso
una minore dispersione delle curve, in virtù della maggiore regolarità del piano di appoggio dovuta
alla fase di carico precedente. Un’unica prova (prova B di Figura 2(b)) è stata condotta direttamente
con la piastra più piccola su una porzione di superficie vergine. Essa mostra un comportamento
diverso dalle altre prove, sia in termini di tensione di snervamento che di rigidezza.
a)
struttura di contrasto
barre
dywidag
b)
martinetto
trave di sostegno
comparatori
martinetto
testa palo
di ancoraggio
piastra
binario per
movimentazione
trave di sostegno
comparatori
Fig 1. Apparecchiatura utilizzata per le prove di carico su piastra (modificato da Aversa et al., 2007).
PIASTRA d=500 mm
cedimento normalizzato w /d (-)
0.00
PIASTRA d=300 mm
0.0
Prova:
A
B
C
D
E
F
G
H
0.03
0.2
0.06
0.4
0.09
0.6
0.12
0.15
0.8
0
2500
5000
7500
10000
tensione verticale media σv (kPa)
0
7500
15000 22500 30000
tensione verticale media σv (kPa)
Fig 2. Curve carico-cedimento ottenute durante le prove di carico su piastra condotte con la piastra da 500 mm (in sinistra)
e con la piastra da 300 mm (in destra).
Angelo Amorosi, Stefano Aversa, Daniela Boldini, Marco Valerio Nicotera
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4. Calibrazione del modello costitutivo e risultati numerici
tensione deviatorica q (kPa)
La calibrazione del modello è stata condotta inizialmente utilizzando i risultati di prove di laboratorio
condotte sullo stesso materiale (Evangelista e Pellegrino, 1990).
La dimensione iniziale e la forma della superficie di snervamento nel piano meridiano è stata fissata
considerando i punti di snervamento osservati durante prove di compressione isotropa e triassiale
(Figura 3). La forma richiama quella del modello di Cam-clay modificato (m = 2, α = 0) ed il valore
iniziale delle variabili di stato è risultato essere pari a M = 1.2, pc = 8 MPa e c = 5 MPa. In assenza di
specifiche informazioni è stata trascurata l’influenza dell’angolo di Lode (β = 1, γ = 0).
I parametri iperelastici sono stati calibrati prendendo a riferimento i percorsi tensionali delle prove di
compressione uniassiale (Figura 4(a)) e isotropa (Figura 4(b)), ottenendo k = 54820, n = 0.2 e
g = 75191. Queste ultime sono state inoltre utilizzate anche per determinare i parametri di
incrudimento attraverso la pendenza delle curve di carico e ricarico ( λ = 0.04, κ = 0.0089). Per
entrambi i percorsi di carico la formulazione costitutiva è in grado di riprodurre il comportamento
elastico non-lineare osservato sperimentalmente.
I parametri di destrutturazione sono stati infine ottenuti mediante una procedura “trial and error” in
modo da riprodurre l’andamento delle curve di carico e scarico ottenute durante la prima fase delle
prove C e D, caratterizzata dall’uso della piastra con diametro d = 500 mm (Figura 5(a)).
Superficie di snervamento
Punti di snervamento
6000
3000
0
-6000
-3000
0
3000
6000
pressione media p (kPa)
9000
Fig 3. Punti di snervamento e superficie di snervamento iniziale nel piano meridiano.
6000
simulazione
numerica
Prove sperimentali:
75b
75b'
75c
75c'
4000
1.20
indice dei vuoti e (-)
tensione assiale σa (kPa)
5000
75d
75d'
75e
77c
77d
3000
Prove sperimentali:
800-1
850-2
850-3
850-5
850-6
2000
1000
1.10
simulazione
numerica
1.00
0
0
0.005
0.01
0.015
deformazione assiale εa (-)
0
(a)
5000
10000
15000
pressione media p (kPa)
20000
Fig 4. Confronto tra risultati sperimentali e simulazione numerica: prova di compressione uniassiale (a) e prova di
compressione isotropa (b).
Angelo Amorosi, Stefano Aversa, Daniela Boldini, Marco Valerio Nicotera
(b)
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Il modello numerico agli elementi finiti adottato per simulare le prove di carico su piastra è stato
assunto avente una dimensione di 5 m per 5 m, con asse di simmetria radiale corrispondente ad uno
dei due bordi laterali. L’azione esercitata dalla piastra è stata simulata attraverso un campo di
spostamento di estensione pari al raggio della piastra.
I valori così determinati sono stati i seguenti: ξv = 20, ηv = 2, ξs = 3, ηs = 3, ξvc = 80, ηvc = 365, ξsc = 0,
ηsc = 0, ξvM = 4, ηvM = 4, ξsM = 0, ηsM = 0, mettendo in luce l’importanza della destrutturazione della
componente coesiva per effetto delle deformazioni plastiche volumetriche. La simulazione numerica,
indicata con il nome di PLT1, è in grado di cogliere tutti gli aspetti salienti delle prove, ovvero la
concavità verso l’alto mostrata dalla curva carico-cedimento nel tratto di ricompressione ed il
ginocchio in corrispondenza del quale ha inizio lo snervamento. Anche la risposta in scarico è non
lineare, anche se in maniera meno pronunciata rispetto a quanto osservato sperimentalmente.
La Figura 5(b) mostra il confronto tra le prove di carico su piastra C e D, complete anche della
seconda fase condotta con la piastra più piccola, e la simulazione numerica PLT1. La calibrazione del
modello, effettuata considerando solo il primo ciclo di carico-scarico, è in grado di cogliere
correttamente la risposta complessiva ed in particolare la variazione non lineare del ginocchio della
curva verso valori maggiori.
L’evoluzione delle variabili di stato del modello, attraverso le leggi di incrudimento, è risultata
essenziale per poter cogliere il comportamento sperimentale. A titolo di esempio si riporta in Figura
6(a) la distribuzione dei valori della variabile coesiva c all’interno della porzione del modello più
vicino alla piastra (500 mm di raggio per 500 mm di altezza) in corrispondenza delle fasi B, C ed E di
Figura 5. La coesione subisce una riduzione iniziale (punto B) soprattutto in corrispondenza dello
spigolo della piastra; la zona di destrutturazione si estende poi significativamente all’aumentare del
carico ed in corrispondenza del punto C ha una profondità pari al raggio della piastra e valori minimi
di poco inferiori ai 4 MPa. Durante la fase di ricarico con la piastra di dimensioni ridotte fino al punto
E la zona destrutturata non cambia di estensione, ma si manifestano ulteriori modeste diminuzioni
della coesione al di sotto della nuova piastra.
Per meglio mettere in evidenza il ruolo della esecuzione della prima fase di prova (piastra da 500 mm,
fasi A, B, C e D) è stata simulata una nuova prova, denominata PLT2, caratterizzata dalla sola fase di
carico con la piastra di diametro d = 300 mm, assunta eseguita su roccia vergine. Il confronto con la
curva carico-cedimento del secondo ciclo della prova PLT1, per omogeneità rappresentato
A
0.00
0.000
E
D
0.05
0.005
cedimento normalizzato w /d (-)
cedimento normalizzato w /d (-)
simulazione
numerica PLT1
D
0.010
B
0.015
0.020
Prove:
C
D
0.025
0
0.10
0.15
0.20
0.25
simulazione
numerica PLT1
C
2500
5000
7500
10000
tensione verticale media σv (kPa)
(a)
Prove:
C
D
F
0.30
0
8000
16000
24000
tensione verticale media σv (kPa)
(b)
Fig 5. Confronto tra le prove di carico su piastra C e D e la simulazione numerica PLT1: prima parte della prova condotta
con la piastra da 500 mm (a) e tutta la prova condotta prima con la piastra da 500 mm e poi con la piastra da 300 mm (b).
Angelo Amorosi, Stefano Aversa, Daniela Boldini, Marco Valerio Nicotera
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Chieti e Pescara, 14-15-16 luglio
D'
0.000
2
5.20
cedimento normalizzato w /d (-)
0.050
5.05
4.90
4.75
B
C
4.60
4.45
4.30
4.15
0.100
0.150
0.200
Simulazione
numerica:
PLT1
PLT2
0.250
4.00
3.85
E
2
E'
1
(MPa)
F'
3
0.300
3.70
(a)
0
8000
16000
24000
tensione verticale media σv (kPa)
(b)
Fig 6. Evoluzione della coesione durante le due analisi PLT1 e PLT2 (a) e confronto tra le curve di cedimento ottenute nella
seconda parte della prova PLT1 e nella prova PLT2 (b).
considerando un cedimento iniziale nullo (punto D’), è riportato in Figura 6(b). Si può osservare un
cedimento maggiore a parità di carico applicato, in accordo con la risposta registrata sperimentalmente
durante la corrispondente prova B di Figura 2(b). Questo comportamento è da attribuire al fatto che la
preventiva esecuzione di un ciclo di carico e ricarico con piastra da 500 mm induce nel complesso un
prevalente incrudimento positivo della roccia, cui corrisponde una parallela riduzione, inizialmente più
rapida, della coesione. In ragione di ciò, la successiva esecuzione della prova PLT1 evidenzia un
ginocchio caratterizzato da valori di snervamento e coesione differenti rispetto a quanto si osserva
eseguendo direttamente la prova PLT2: in quest’ultima simulazione, infatti, il processo di
destrutturazione, che ha luogo a partire dalla condizione vergine, è caratterizzato da maggiore rapidità
e intensità dando luogo alla collocazione interna della relativa curva di Figura 6(b) ed, al contempo,
alla importante riduzione della variabile c registrata in corrispondenza del punto 2, rispetto a quella
calcolata a parità di carico in corrispondenza del punto E (Figura 6(a)).
Bibliografia
Aversa S, Evangelista A (1998). “Mechanical behaviour of a pyroclastic rock: yield, strength and destructuration
effects”. Rock Mechanics and Rock Engineering, 31, 25-41.
Aversa S, Lagioia R (2000). “Model requirements and design criteria in soft rocks”. Proc. Second International
Symposium on the Geotechnics of Hard Soils and Soft Rocks, 1483-1498.
Aversa S, Evangelista A, Nicotera M V (2007). “Analisi a posteriori di prove di carico su piastra eseguite su tufo
napoletano”. Proc. XXIII Convegno Nazionale di Geotecnica, Abano, 111-122.
Bigoni D, Piccolroaz A (2004). “Yield criteria for quasibrittle and frictional materials”. International Journal for
Solids and Structures, 41, 2855-2878.
Evangelista A, Pellegrino A (1990). “Caratteristiche geotecniche di alcune rocce tenere italiane”. Proc. III ciclo
di Conferenze di Meccanica e Ingegneria delle Rocce (MIR90), Torino, 32 pagine.
Houlsby G T, Amorosi A, Rojas E (2005). “Elastic moduli of soils dependent on pressure: a hyperelastic
formulation”. Géotechnique, 55(5), 383–392.
Kavvadas M, Amorosi A (200). “A constitutive model for structured soils”. Géotechnique, 50(3), 263–273.
Pellegrino A (1968). “Compressibilità e resistenza a rottura del Tufo Giallo Napoletano”. Proc. IX Convegno
Nazionale di Geotecnica, Genova, 59 pagine.
Pellegrino A (1974). “Surface footings on Soft Rocks”. Proc. 3rd ISRM Congress, Denver, 733-738.
Angelo Amorosi, Stefano Aversa, Daniela Boldini, Marco Valerio Nicotera