di geometria

PROF. BARBERIS PAOLA –IIS BONA MOSSO –agg 2013
PROBLEMI DI GEOMETRIA RISOLUBILI CON SISTEMI DI PRIMO GRADO
1) In un rettangolo di perimetro 56 cm, la base supera di 4 il doppio dell'altezza.
Trova l’area ( NB: prima devi trovare i lati!)
Come prima cosa costruiamo la figura e scriviamo di fianco le relazioni del problema:
La prima relazione dice il perimetro è 56 e scrivo per esteso
AB + BC + DC + AD = 56
1 relazione
La seconda relazione dice che “la base supera di 4 il doppio dell'altezza” cioè
AB = 4+ 2*BC
2 relazione
------------------------------------------------------------------------------Per calcolare l'area devo trovare la base e l'altezza, quindi pongo
base = AB = x
altezza = BC = y
sostituisco nella 1 relazione: y + x + y + x = 56  2x + 2y = 56 divido tutto per 2 ed ottengo:
x + y = 28
sostituisco nella 2 relazione: x = 4 + 2y  e ottengo la seconda equazione
x - 2y = 4
Metto a sistema le due relazioni e risolvo con i metodo di sostituzione , ricavo la x dalla prima eq
" x + y = 28
#
$ x ! 2y = 4
" x = !y + 28
#
$ x ! 2y = 4
sostituisco nella seconda equazione e risolvo
" x = !y + 28
$
#
$!y + 28 ! 2y = 4; trasporto !3y = !28 + 4 sommo !3y = !24 dividoPer ! 3 y = 8
%
Sostituisco il valore della y che ho trovato,
"x = 4
"
x = !8 + 28; $
$ x = !y + 28;
#
#
$y = 8
$y = 8
%
%
ORA Devo trovare l'area (base per altezza)
nella prima equazione
base AB
altezza BC
A = AB*BC = 20 cm · 8 cm =
160 cm2
2) Calcola il perimetro di un rettangolo sapendo che la base e' tripla dell'altezza e che, se si
diminuiscono entrambe di 1 m la superficie del rettangolo diminuisce di 15 m2
Come prima cosa costruiamo la figura :
La prima relazione dice che la base e' tripla dell'altezza e scrivo :
AB = 3 BC
1 relazione
La seconda relazione dice che
“diminuendo di 1 sia la base che l'altezza  l'area diminuisce di 15 m2 “cioè
“la nuova area è uguale = a quella normale diminuita di 15 m2
( AB- 1) · ( BC- 1) = AB· BC - 15
2 relazione
----------------------------------------------------------------------------------Per calcolare il perimetro devo trovare la misura dei lati, quindi pongo: AB = x
BC = y
sostituisco nella prima relazione: x = 3y
sostituisco nella seconda relazione: (x-1)(y-1) = xy - 15 svolgi tu i calcoli e ottieni: x + y = 16
Metto a sistema le due relazioni osservando che nella prima la x è già ricavata
! x = 3y;
! x = 3y
sostituisco la x nella II eq :
"
"
# x + y = 16
# 3y + y = 16 $ 4 y = 16 $ y = 4
" x = 3y ! x = 3(4) ! x = 12 soluzioni: x = 12 misura di AB in m Y = 4
misura di BC in m
#
$y = 4
Devo trovare il perimetro: AB + BC + CD + AD = 12 + 4 + 12 + 4 =
32m
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4) In un triangolo isoscele la base è gli 8/5 del lato obliquo e il perimetro
misura 72 m .Trova l’area . ( NB: prima devo trovare base e lato obliquo!)
Come prima cosa costruiamo la figura
Scrivo le relazioni del problema in forma matematica:
La prima relazione dice che base è gli 8/5 del lato obliquo: AB = 8/5*CB
La seconda relazione dice il perimetro misura 72 m:
AB+CB+CB=72
--------------------------------------------------------------------------------------------------Devo trovare la misura della base e dei due lati uguali, quindi chiamo:
AB = x
BC = CD = y
sostituisco nella prima relazione x = 8/5*y
sostituisco nella seconda relazione x+y+y = 72
Metto a sistema le due relazioni osservo che la x è già ricavata
8
!
8
x= y
!
#
#x = y
#
5
sotituisco x nella 2eq "
5
"
#$ x + 2y = 72
# 8 y + 2y = 72 % 8y + 10y = 360 % 18y = 360 % y = 360 % y = 20
#$ 5
5
5
18
Sostituisco il valore della y trovato nell’altra equazione
! 8
!# x = 32
base Per trovare l’area devo PRIMA trovare l’altezza con il Teorema di PITAGORA:
# x = i(20)
" 5
"
lato
#$ y = 20
#$ y = 20
Osservo che AH = HB = metàBase = 16 m
trovo altezza h = CH =
Area =
BC 2 ! HB 2 = 20 2 ! 16 2 = 400 ! 225 = 175 ! 13, 23m
32i13, 23
= 221, 68m 2
2
4) Il perimetro di un triangolo isoscele e' 58 m e il lato supera di 4 il doppio
della base. Determinare l’area . ( NB: prima devo trovare base e lato obliquo!)
Come prima cosa costruiamo la figura
Scrivo le relazioni del problema in forma matematica:
La prima relazione dice che il perimetro e' 58 m : AB + BC + AC = 58
La seconda relazione dice il lato supera di 4 il doppio della base : BC = 4 + 2AB
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Devo trovare la misura della base e dei due lati uguali, quindi chiamo:
AB = x
BC = CD = y
sostituisco nella prima relazione x + y + y = 58 sommo ed ottengo x + 2y = 58
sostituisco nella seconda relazione y = 4 + 2x
Metto a sistema le due relazioni scambiandole perché osservo che nella 2^ la y è ricavata
! y = 4 + 2x
! y = 4 + 2x
sost y nella 2eq "
"
# x + 2y = 58
# x + 2i(4 + 2x) = 58 $ x + 8 + 4x = 58 $ x + 4x = 58 % 8 $ 5x = 50 $ x = 10
Sostituisco il valore della x trovato nell’altra equazione
"% x = 10 base AB
" y = 4 + 2i(10) ! y = 4 + 20 ! y = 24
#
#
$ x = 10
%$ y = 24 lato BC
Per trovare l’area devo PRIMA trovare l’altezza CH con il Teorema di PITAGORA sapendo che HB = metàBase = 5
h = CH = BC 2 ! HB 2 = 24 2 ! 5 2 = 576 ! 25 = 551 ! 23, 47m
10i23, 47
Area =
= 117, 35m 2
2
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5)In un trapezio isoscele di area 150 m2 , l'altezza vale 5 metri e la base maggiore e' doppia
della minore. Calcolare la misura delle due basi.
Costruiamo la figura
Scrivo le relazioni del problema in forma matematica:
La prima relazione dice che La prima relazione dice che l'area e' 150 m2
Sapendo che l’altezza è 5 ottengo:
(AB+DC)*5/2=150
La seconda relazione dice la base maggiore e' doppia della minore: AB = 2DC
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Devo trovare la misura della baseMagg e della baseMin, quindi chiamo:
AB = x
CD = y
sostituisco nella prima relazione (x + y)*5/2=150
sostituisco nella seconda relazione x=2y
5
5
5
5x + 5y 300
"
=
! 5x + 5y = 300 dividoPer5
$(x + y)i = 150 ! x + y = 150 !
2
2
2
2
5
#
$
% x = 2y
scambio le equazioni e osservo che la x è già ricavata e la sostituisco nella 2 Equazione
! x = 2y
! x = 2y
! x = 2i(20) $ x = 40 !
% x = 40 baseMAgg
"
"
"
"
# x + y = 60 #2y + y = 60 $ 3y = 60 $ y = 20 # y = 20
%
# y = 20 baseMIN
x + y = 60
6) In un rombo la diagonale minore e' un terzo della maggiore e la somma delle diagonali
vale m. 32. Calcolarne l'area e perimetro. NB: ( prima devo trovare le diagonali e poi il lato )
costruiamo la figura :
Scrivo le relazioni del problema in forma matematica:
La prima relazione dice che AC=1/3*BD
La seconda relazione dice la somma delle diagonali è 32: AC+BD=32
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Devo trovare la misura della diagMin e della diagMAGG, quindi chiamo:
AC = x
BD = y
sostituisco nella prima relazione x= AC=1/3*y
sostituisco nella seconda relazione x+y=32
1
!
# x = y sostituisco
3
"
#
x
+
y
= 32
$
nella
1
!
x= y
2equazione #
#
3
"
# 1 y + y = 32 % y + 3y = 96 % 4 y = 96 % y = 24
#
3
3
$3
1
1
"
x = y ! x = i24 ! x = 8
$
$
3
3
#
$ y = 24
sostituisco y nella I
$
%
Trovo subito l’area
Area =
equazione
" x = 8 diagMIN AC
$
#
y = 24 diagMAGG BD
$
%
24 ! 8
= 96m 2
2
Trovo la metà delle diagonali: AH = 4 e BH=12
Applico il teorema di Pitagora al triangolo ABH trovando il lato:
AB =
BH 2 + AH 2 = 12 2 + 4 2 = 144 + 16 = 160 ! 12, 65m
Infine trovo il perimetro : Perimetro = 12, 65 * 4 = 50, 60m