05-I sistemi di rappresentazione

i sistemi di rappresentazione
I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
Metodi di disegno di forme geometriche semplici
Di seguito sono riportate alcune procedure per la costruzione di alcune semplici forme geometriche spesso utili
nel disegno architettonico sia di rilievo che progettuale.
Pentagono regolare
Sia AB il lato dato. Da B si traccia la perpendicolare al lato AB; con centro in B si traccia un arco
di raggio AB intersecando la perpendicolare nel punto C; trovato il punto medio di AB, F si
traccia la perpendicolare al lato da questo punto; con centro in F e arco FC si trova il punto D sul
prolungamento del lato AB; con centro in A e arco AD si interseca il primo arco nel punto E. Il
segmento BE è il secondo lato del pentagono. Con centro in A e poi in B e arco AE si trova sulla
perpendicolare in F il punto H; EH è il terzo lato del pentagono; di conseguenza si trova il punto
G e si conclude il poligono.
Nota: l’angolo del pentagono è uguale a 6/5 di un angolo retto, ovvero 90° + 18° = 108°
Esagono regolare
Sia AB il lato dato. Con centro in A e poi in B e raggio AB si individua il punto O centro della
circonferenza in cui l’esagono è inscritto, con raggio AB e centro nei vertici via via trovati si
completa la figura.
Nota: l’angolo dell’esagono è uguale a due angoli di triangolo equilatero, ovvero 120°
Costruzione di un poligono di N lati
Sia AB il lato dato dal quale si vuole costruire un poligono regolare per esempio di 7, 8, 9 lati.
Tracciata la mediana perpendicolare di AB, si fa centro in A e poi in B con raggio AB e si
individua il punto C, si divide l’arco CB in 6 parti uguali. Facendo centro in C e con raggio C1,
C2, C3, C4, C5 e C6 si individuano i punti 1', 2', 3', 4', 5', e 6' sull’asse della mediana. Questi
ultimi punti sono i centri delle circonferenze di raggio 1’A, 2’A, 3’A, 4’A, 5’A e 6’A, in cui,
rispettivamente è inscritto un poligono regolare di 7, 8, 9, ecc.. lati di lunghezza AB.
Divisione di una circonferenza in un qualsiasi numero parti (nell’esempio in 7)
Preso in considerazione il diametro 07 lo si divide in 7 parti eguali e con centro in 0 e in 7
con raggio eguale al diametro della circonferenza si individua il punto A. Si unisce A con
l’estremo della seconda divisione del diametro (il numero 2) con una retta da prolungarsi
sino alla circonferenza che verrà intersecata nel punto B. L’arco 0B sarà la settima parte
della circonferenza data.
Retta tangente per A posto sulla circonferenza
Sia A il punto dato. Si traccia la retta AO e la si prolunga fino al punto B, tale che AB sia
uguale a OA. Con centro in O e poi in B e raggio superiore a OA si individua il punto C, la
retta passante per C ed A è la retta tangente cercata.
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I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
Retta tangente per A esterno alla circonferenza
Si traccia la retta di unione con O, e su questa si individua il suo punto medio B, con
centro in B e raggio BO si traccia l’arco che interseca la circonferenza nei punti C e D, le
rette passanti per AC e AD sono rette tangenti alla circonferenza.
Divisione di un angolo in un numero pari di parti uguali
Dato l’angolo A si traccia un arco che intersechi i due segmenti dell’angolo in 0 e 4, quindi
con centro in 0 e poi in 4 si trova il punto C e lo si congiunge con A, dividendo in due parti
l’angolo; l’asse AC interseca il primo arco in 2. Con centro in 0 e 2 e in 2 e 4 si può passare
a dividere ulteriormente l’angolo.
Raccordo tra due rette orientate a piacere
Si prolungano le due rette a partire dai loro estremi fino ad intersecarsi nel punto A, con
centro in A si individuano i punti B e C, da B e da C si tracciano due rette ortogonali che si
intersecano in D si tracci la retta DA e con centro in D e raggio DB si tracci il raccordo tra i
due segmenti.
Ovale disegnato a partire da due assi tra loro ortogonali
Siano AB e CD due segmenti tra loro ortogonali, si fa centro in O e si traccia una
circonferenza di raggio OC, questa intersecherà AB nel punto F, quindi si traccia il
congiungimento AD e su questo si riporta, a partire da D la misura di AF, il punto
individuato si chiamerà E. Si passa a trovare il punto medio di AE e in questo si traccia
una retta P ortogonale ad AE, tale retta intersecherà AB e CD rispettivamente nei punti G
ed N, tali punti sono i centri di due delle circonferenze costituenti l’ovolo.
Il procedimento si potrà quindi ripetere per specularmente per permettere il completamento
della figura.
Spirale circolare con passo dato
Sia AB il passo dato, si disegna il quadrato di estremi C, D, E, ed F con lato uguale ad un
quarto di AB. Si tracciano i prolungamenti dei lati per una distanza sufficiente a descrivere
la spirale voluta. Facendo centro in E si traccia l’arco di raggio EF sino ad intersecare il
prolungamento del lato EC, con centro in C si traccia l’arco dal punto appena trovato, e si
ripete l’operazione in D ed in F per poi riprenderla in E.
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I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
Arco a tutto sesto
Dati i due piedritti dell’arco, si individua il punto medio della retta che ne congiunge i due
estremi, facendo centro qui si traccia un arco che connetterà i due estremi; la retta
congiungente si dirà corda o luce, il raggio a questa ortogonale, freccia.
Arco a sesto ribassato
Dati i due piedritti dell’arco, si individua il punto medio della retta che ne congiunge i due
estremi, una volta tracciato l’asse perpendicolare alla luce, si individua su questo un punto che
sarà il centro della circonferenza congiungente gli estremi dei due piedritti.
Arco arabo o a ferro di cavallo
Dati i due piedritti dell’arco, se ne traccia un prolungamento che servirà sia a delimitare le
mensole che l’arco stesso, su queste si individuano i punti A e B e si traccia il segmento che li
congiunge, dal punto medio D di AB si traccia un asse a questo perpendicolare, sul quale si
individua il punto C centro dell’arco di cerchio costituente l’arco, lo si interromperà alla sua
intersezione con il segmento AB; si procederà quindi a congiungerlo con gli estremi dei piedritti.
Arco a sesto acuto
Dati i due piedritti dell’arco, si individua il punto medio della retta che ne congiunge i due
estremi, una volta tracciato l’asse perpendicolare alla luce, si passa quindi a fare centro in B e
con raggio AB si traccia la prima curva dell’arco, che staccherà sull’asse precedentemente
tirato il punto C, si ripete l’operazione con centro in A e si completa l’arco. Per avere un arco
rialzato sarà sufficiente prolungare il segmento AB e trovare il centro esternamente alla luce,
per esempio in E e in E1 da cui tracciare l’arco con raggio AE e AE1.
Arco acuto circonflesso
Dati i due piedritti dell’arco, si individua il punto medio della retta che ne congiunge i due
estremi, quindi una volta definito il riquadro contenente l’arco, si traccia l’asse centrale medio di
AC; si congiungono i punti A con B e C con B, quindi con centro in E e raggio BE si traccia un
arco fino ad intersecare BC in F, quindi con centro in C e arco CF si traccia un arco fino ad
individuare l’intersezione G su AC, con centro G e arco GA si traccia il completamento di questa
metà dell’arco. Ripetendo la stessa procedura simmetricamente si completa la figura.
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I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
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Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
Disegnare significa rappresentare per mezzo di segni
grafici figure immaginate o oggetti reali. Quando si
compie questa operazione, di fatto si “proietta” sopra
una superficie l’immagine che abbiamo concepito nella
nostra mente, sia attraverso l’immaginazione, sia
attraverso l’osservazione della realtà. Tra i vari
significati di proiezione quello che ha la più stretta
attinenza con le specificità disciplinari di un architetto
è la “rappresentazione della forma di una figura
spaziale su di un piano usando sistemi diversi”.
La rappresentazione è quella operazione conoscitiva
in base alla quale un oggetto risulta più o meno
chiaramente presente alla coscienza; rappresentare
significa “rendere visibile, percepibile, evidente la realtà
mediante una costruzione grafica .... “
Per effettuare una proiezione, secondo le regole
codificate della geometria descrittiva, occorrono tre
elementi fondamentali che sono:
- un oggetto da rappresentare;
- un fascio di raggi proiettanti che provengono da un
centro di proiezione;
- un piano di proiezione o quadro.
I raggi proiettanti possono essere paralleli, convergenti
o divergenti, a seconda che il centro di proiezione sia
posto a distanza infinita, ovvero in posizione finita nello
spazio. Le variabili, in entrambi i casi, dipendono dalle
relazioni che intercorrono tra i tre elementi, a seconda
della posizione del centro di proiezione, della
inclinazione dei raggi proiettanti rispetto al quadro, ed
infine della posizione ed inclinazione del quadro rispetto
all’oggetto da rappresentare.
Le proiezioni parallele sono denominate generalmente
cilindriche, mentre quelle divergenti/convergenti
vengono normalmente definite coniche.
Per proiezioni cilindriche si intendono quelle formate
da fasci di rette parallele, che provenendo da un punto
posto all’infinito in una determinata direzione, vanno
ad intersecare una superficie piana detta quadro.
Appartengono a questa categoria l’assonometria e le
proiezioni ortogonali.
Nelle proiezioni coniche, il fascio di rette converge in
un punto posto a distanza finita dal quadro. La
prospettiva, che si avvicina più delle precedenti alla
visione fisiologica dell’uomo, appartiene alla categoria
delle proiezioni coniche.
58
59
57.Visualizzazione assonometrica delle operazioni di proiezione e
sezione nelle proiezioni ortogonali
58.Rappresentazioni assonometriche oblique ed ortogonali
59.Esemplificazione del concetto di proiezione centrale o conica
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I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
Questo segmento è inclinato rispetto al piano
orizzontale p1 e al piano laterale p3, mentre è parallelo
al piano verticale p2.
In questo caso abbiamo in vera grandezza la proiezione
C’’D’’ sul piano verticale p2; le altre due proiezioni, C’D’
su p1 e C’’’D’’’ su p3, risultano essere in scorcio parziale.
Le proiezioni ortogonali
Sono proiezioni cilindriche con raggi perpendicolari ai
piani di proiezione. Questo metodo è il più idoneo a
risolvere il problema della rappresentazione in una
determinata scala (o rapporto), quindi misurabile, di un
oggetto reale o immaginato.
Si prenda in considerazione un oggetto giacente su di
un piano, come quello in figura, che rappresenta un
edificio di forma geometrica elementare.
Tale sistema si definisce TRIEDRO e ci consente di
rappresentare l’oggetto con immagini tra loro correlate
nel sistema spaziale di riferimento.
60.Rappresentazione in proiezione
ortogonale di un semplice oggetto
architettonico:
a)Rappresentazione di un punto
b)Rappresentazione di un segmento
parallelo al primo e secondo piano
di proiezione
c)Rappresentazione di un piano
parallelo al secondo piano di
proiezione e inclinato rispetto al
primo
Nella figura spaziale si nota come il TRIEDRO sia
composto da:
p1 = Piano Orizzontale
p2 = Piano Verticale
p3 = Piano Laterale
a)
Occorre ribaltare i piani p1 e p3 per ottenere un sistema
di riferimento complanare. La retta orizzontale che
separa p2 e p3 da p1 si dice LINEA DI TERRA [L - T].
Si consideri adesso il punto “P”, spigolo del tetto del
nostro edificio.Si può determinarne la posizione
attraverso le relazioni che intercorrono tra il punto e il
sistema di riferimento considerato (triedro).
Se si proietta ortogonalmente, con fasci di raggi
paralleli, il punto “P” rispettivamente sui tre piani di
proiezione si ottiene:
b)
- l’immagine P’ di P sul piano orizzontale p 1
- l’immagine P’’ di P sul piano verticale p2
- l’immagine P’’’ di P sul piano laterale p3
Consideriamo adesso il segmento di estremi AB, linea
di gronda del nostro edificio.
Il segmento, che è orizzontale, è inoltre posto
parallelamente rispetto al piano verticale e, di
conseguenza, è perpendicolare rispetto al piano
laterale.
Nei primi due casi risulterà rappresentato in vera
grandezza (sul piano orizzontale p1 e su quello verticale
p2), nel terzo (sul piano laterale p3) risulterà essere un
punto. La sua immagine appare in scorcio totale e le
proiezioni A’’’ e B’’’ dei suoi estremi A e B coincidono
(A’’’ = B’’’).
Vediamo adesso il caso di un segmento CD,
appartenente ad una falda del tetto e perpendicolare
alla gronda.
c)
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I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
Vera grandezza di un segmento obliquo rispetto ai
piani di proiezione
Consideriamo il segmento PD, spigolo tra due falde
del tetto (puntone angolare). Questo segmento è
inclinato rispetto ai tre piani di proiezione p1, p2 e p 3.
In questo caso le tre proiezioni del segmento, P’D’, P’’D’’
e P’’’D’’’ risultano in scorcio parziale, perciò, nelle tre
proiezioni, non è mai rappresentata la sua vera
grandezza.
Per trovare la vera grandezza del segmento PD,
basterà prendere un piano verticale a al quale
appartiene la retta r, che contiene il segmento PD.
Il piano a interseca ortogonalmente il piano orizzontale
p1 determinando su quest’ultimo una retta, detta traccia
a . La t’a
a coinciderà,
prima di a che chiameremo t’a
per un certo tratto, con la proiezione prima della retta
r, che chiameremo r’. Sulla r’ si troverà anche P’D’,
proiezione sul piano orizzontale del segmento PD.
Il piano a , essendo perpendicolare rispetto a p 1,
interseca il piano verticale p2, determinando una traccia
a perpendicolare al piano
che chiameremo t’’a
orizzontale, che ha origine nel punto della Linea di Terra
a. Sul medesimo piano
dove ha origine anche la t’a.
verticale, la proiezione della retta r, che chiameremo
r”, passerà per i punti P” e D”, estremi della proiezione
su p2 del segmento PD. Il punto di intersezione tra la
a sarà la traccia seconda di r, che
r” e la t’’a
chiameremo t”r. Questo punto è un PUNTO UNITO,
cioè un punto dove la retta r coincide con la sua
proiezione. Si tratta adesso di trovare la traccia prima
di r sul piano orizzontale. Sappiamo che essa si troverà
a ma dobbiamo determinarne la posizione per
sulla t’a
trovare l’altro PUNTO UNITO.
A questo scopo ritorniamo sulla proiezione verticale e
vediamo dove l’immagine r” della retta r incontra il
piano orizzontale p 1. Tale immagine corrisponderà al
punto di intersezione della r” con la Linea di Terra.
Se, inversamente, proiettiamo perpendicolarmente
rispetto a p2 quel punto individuato sulla Linea di Terra
determineremo sulla t’r il punto appartenente alla retta
r su a, che coincide con la sua stessa proiezione.
Abbiamo così determinato, sui due piani di proiezione
p1 e p2, la posizione delle due tracce t’r e t”r della
retta r che contiene il segmento PD. A questo punto
sappiamo che, nello spazio, i due piani di proiezione
p1 e p2 sono tra loro perpendicolari, quindi anche le
a e t’’a
a sono perpendicolari.
tracce del piano a, t’a
a ribaltiamo sul piano
Se, mantenendo ferma la t’a
a, che è perpendicolare rispetto a p 1
orizzontale la t’’a,
a, otteniamo una semiretta con
e quindi anche alla t’a
a con la
origine coincidente con l’intersezione della t’a
Linea di Terra e con direzione perpendicolare rispetto
61.Rappresentazione di un segmento inclinato rispetto ai piani di
proiezione
62.Procedimento per la ricerca
della vera grandezza di un
segmento inclinato rispetto ai
piani di proiezione
a. Tale semiretta sarà la traccia seconda
alla stessa t’a.
a ). Su di essa,
di a ribaltata e la chiameremo (t’’a
puntando nell’origine comune alle tracce di a e
tracciando un arco di circonferenza, riporteremo la t”r
nel punto (t”r). Unendo t’r con (t”r) otteniamo (r),
immagine in vera grandezza della retta r.
A questa immagine in vera grandezza (r) appartiene
anche l’immagine in vera grandezza del segmento PD.
Infatti, proiettando ortogonalmente da r’ su (r) gli
estremi P’ e D’ giacenti sulla proiezione orizzontale r’
della retta r, determineremo (P) e (D), che sono gli
estremi del segmento considerato, rappresentato in
vera grandezza nella sua immagine ribaltata.
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I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
Pianta di un edificio
L’ edificio è posto al centro di un giardino (piano a).
Immaginiamo di “sezionarlo” con un piano b parallelo
ad a ad una determinata altezza da quest’ultimo.
Proiettando la parte sezionata sul piano orizzontale
p1 si ottiene la pianta.
Le linee che rappresentano la sezione dovranno
essere disegnate più spesse di quelle che
rappresentano oggetti e cose che stanno al di sotto
del piano a.
63. Rappresentazione in proiezione ortogonale della pianta di un
edificio, intesa come sezione con un piano parallelo al primo piano di
proiezione
Sezione di un edificio
Con un piano g , parallelo ad uno dei piani verticali
p2 o p3 si “sezioni” l’edificio nella parte in cui sono
presenti il maggior numero possibile dei suoi elementi
caratteristici.
Si proietti la parte sezionata sui piani verticali p2 o p3
rappresentando anche oggetti e cose che stanno
dietro il piano g facendo attenzione a differenziare lo
spessore delle linee tra quelle che rappresentano le
sezione e quelle che rappresentano altri oggetti o cose
che sono dietro al piano.
64. Rappresentazione in proiezione ortogonale della sezione di un
edificio, ottenuta con un piano perpendicolare ai due piani di proiezione
Prospetto di un edificio
Posto un piano verticale d, parallelo ad uno dei piani
p2 o p3), in prossimità del fronte da
del TRIEDRO (p
rappresentare, questo “seziona” il terreno sul quale
l’edificio è situato.
Si proietteranno sul piano verticale, p2 o p3 la linea
di sezione tra il piano d ed il terreno e tutto ciò che è
posto dietro lo stesso piano d, facendo attenzione a
differenziare lo spessore della linea che rappresenta
la sezione del terreno e quelle che rappresentano
oggetti o cose che sono dietro il piano.
65. Rappresentazione in proiezione ortogonale del prospetto di un
edificio, inteso come sezione non passante per l'oggetto, ottenuta
con un piano parallelo ad uno dei piani del triedro
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I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
Le proiezioni assonometriche
Sono proiezioni cilindriche che possono essere
ORTOGONALI, cioè con raggi perpendicolari rispetto
al piano di proiezione, oppure OBLIQUE, cioè con raggi
inclinati rispetto al piano di proiezione. Questo metodo,
che deriva dagli studi sulla prospettiva dal punto
all’infinito, consente, poste determinate condizioni, di
risolvere il problema della rappresentazione in scala,
quindi misurabile, di un oggetto reale o immaginato.
Come per le proiezioni ortogonali occorre innanzi tutto
stabilire che un oggetto, per renderne possibile la
misurazione, va collocato in un preciso sistema di
riferimento. Si considerino perciò come sistema di
riferimento i piani di un TRIEDRO e le tre semirette
generate dalla loro intersezione , perpendicolari tra loro,
con origine comune in O. Come per un sistema spaziale
di assi cartesiani si chiamino X e Y le due semirette
risultanti dalla intersezione del piano orizzontale p1 con
i piani verticali, e Z la semiretta formata dalla
intersezione dei due piani verticali p2 e p3.
Si consideri poi un quarto piano di proiezione p (quadro)
che sia obliquo rispetto ai tre piani del triedro e sia
posizionato in modo tale che, intersecando i tre piani
del triedro, formi un triangolo acutangolo che
chiameremo “triangolo fondamentale”.
Si stabilisca, infine, la direzione di una semiretta “d”
con origine in O che intersechi la superficie racchiusa
all’interno del triangolo fondamentale, che sarà la
“direzione” d dei raggi di proiezione paralleli.
Chiameremo gli assi del triedro X, Y e Z assi obbiettivi.
Se proiettiamo, con un fascio di raggi paralleli alla
direzione d, gli assi obbiettivi sul piano di proiezione p,
otteniamo sul quadro l’immagine dei tre assi X, Y e Z,
aventi l’origine comune O, ovvero X’, Y’ e Z’, aventi
l’origine comune O’.
Chiameremo gli assi X’, Y’ e Z’ assi assonometrici.
Se “d” è perpendicolare rispetto a p si ha una
assonometria ortogonale.
Se “d” è inclinato rispetto a p si ha una assonometria
obliqua.
Sia “m” un segmento di misura unitaria posto sugli assi
X, Y, Z, assi obiettivi: chiameremo il segmento m unità
obiettiva.
Siano i segmenti mx, my, mz le immagini di m su gli
assi X’, Y’ e Z’, chiameremo i segmenti mx, my e mz
unità assonometriche.
II rapporto tra le singole unità assonometriche e l’unità
obiettiva mx/m, my/m, mz/m si chiama rapporto
assonometrico.
Si prenda ora in considerazione un oggetto
tridimensionale come quello rappresentato nella figura
e lo si collochi nel sistema cartesiano di riferimento. Si
66.Rappresentazione del triangolo fondamentale generato
dall'intersezione fra il quadro ed il triedro di riferimento
67.Rappresentazione di un semplice oggetto tramite proiezione
assonometrica
scelga poi il piano di proiezione p e una direzione
qualsiasi della semiretta d.
Se si proietta sul piano p nella direzione di d, si ottiene
l’immagine assonometrica dell’oggetto e degli assi del
sistema cartesiano di riferimento.
p , t’’p
p , t’’’p
p con i piani del triedro formano
Le tracce t’p
il triangolo fondamentale detto anche triangolo delle
tracce di p . L’unità di misura obiettiva m su gli assi
obiettivi X, Y e Z diventa rispettivamente mx, my e mz
sopra gli assi assonometrici,
I tre angoli, con vertice in O’, che le semirette X’, Y’ e Z’
formano su p , variano sia modificando l’inclinazione
del quadro rispetto al triedro, sia al variare della
direzione d della semiretta con origine in O. Di
conseguenza si modificano anche, sui singoli assi X’.
Y’. Z. le rispettive lunghezze delle unità assonometriche
mx, my e mz.
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I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
Assonometria ortogonale
Quando la semiretta d cade nell’ortocentro del triangolo
fondamentale significa che la direzione dei raggi di
proiezione da V∞ è perpendicolare al quadro p.
Vediamo ora come si determinano sopra gli assi
assonometrici X’, Y’, Z’, arbitrariamente scelti, le
rispettive unità assonometriche, mx, my, mz, che
derivano da una unità obiettiva m comune ai tre assi
del triedro X, Y, Z.
Siccome sappiamo che gli assi obiettivi formano tra
loro a due a due angoli retti, sarà sufficiente ribaltare
O’ sul quadro p per trovare (O).
Le semirette ottenute (nella figura dell’esempio
X’(O),(O)Z’) sono perpendicolari tra loro e
rappresentano gli assi X e Z del triedro; su questi si
pongono le unità obiettive m che, proiettate
rispettivamente su gli assi assonometrici X e Z che
avevamo arbitrariamente scelti, consentono di
determinare su di essi la dimensione delle unità
assonometriche mx e mz.
I rapporti assonometrici saranno:
rispetto a X - mx/m
rispetto a Y - my/m
rispetto a Z - mz/m
Il triangolo fondamentale risulta essere equilatero ovvero ha la
medesima inclinazione rispetto ai tre piani del triedro.In questo caso
i rapporti assonometrici saranno:
mx/m = my/m ≠ mz/m
Quindi mx = my ≠ mz
L’assonometria risulterà essere ortogonale isometrica (o
monometrica).
Quando p ha la medesima inclinazione rispetto a due piani del triedro
e diversa rispetto al terzo, risulterà che i rapporti assonometrici
saranno:
mx/m ≠ my/m ≠ mz/m
Quindi mx ≠ my ≠ mz
L’assonometria è ortogonale dimetrica.
L’assonometria è ortogonale quando:
La direzione d da V∞ è perpendicolare a p ;
Gli assi assonometrici X’, Y’, Z’ coincidono con le altezze del
triangolo; O’ è nell’ortocentro,
II piano (quadro) p è obliquo rispetto ai piani e a gli assi del triedro.
Quando infine il piano p ha una diversa inclinazione rispetto ai
tre piani del triedro, risulterà che i rapporti assonometrici saranno:
mx/m = my/m = mz/m
Quindi mx = my = mz
L’assonometria è ortogonale trimetrica.
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I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
B
A
Assonometria obliqua
Quando i raggi provenienti dal centro di proiezione V∞
risultano essere inclinati rispetto al quadro p ,
l’assonometria si dice obliqua.
Esistono diversi tipi di assonometrie oblique.
Assonometria cavaliera
Si assuma un quadro p parallelo o coincidente con
due dei tre assi del triedro, l’asse X e l’asse Z, quindi
un piano di proiezione verticale. II quadro
generalmente verrà posto parallelamente ad uno delle
facce piane verticali dell’oggetto.
Si proietti su di esso l’oggetto con raggi di proiezione
obliqui. La faccia parallela al quadro rimarrà invariata,
mantenendo il parallelismo delle rette e l’uguaglianza
degli angoli, ma si vedranno altre due facce del solido
rappresentato.
C
A) rapporti 1 / 1 / 1
B) rapporti 1 / 1 / 1
C) rapporti 1 / 1 / 1
Assonometria cavaliera militare (o pratica)
Qualora la direzione d da V∞ sia su di un piano inclinato a 45°
rispetto a p abbiamo una assonometria ISOMETRICA con rapporti
assonometrici del tipo:
mx/m = my/m = mz/m cioè 1 / 1 / 1
In questa generalmente assumiamo p parallelo o coincidente con
il piano orizzontale del triedro. In questo caso è conveniente
assumere l’asse Z’ verticale (parallelo alle rette verticali dell’oggetto
da rappresentare) in modo che gli assi X’ e Y’, perpendicolari tra
loro, risultino rivolti verso il basso rispettivamente a sinistra e a destra.
O = O’
Y = Y’
Z = Z’
mz = m
my = m
Obliqua
Ortogonale
L’assonometria cavaliera è generalmente dimetrica. Unica variabile:
mx che dipende dalla direzione d di V∞.
Nella pratica, relativamente alla posizione degli assi assonometrici,
conviene assumere:
Z’ sempre perpendicolare a Y’
68. Le proiezioni assonometriche più consuete
X con angolo tra 90° e 180° a destra di Y’
40
I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
70
69. C.Van Eesteren, Theo Van Doesburg. Assonometria di una casa
unifamiliare, 1923
70. Giangiacomo D'Ardia. Disegno architettonico, 1979
71. Esempio di spaccato assonometrico
69
71
41
I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
La prospettiva
Altri elementi di definizione della prospettiva sono:
La prospettiva è una proiezione conica con un centro
“V” posto in posizione finita nello spazio, rispetto al
quadro p.
-un piano di riferimento (o piano geometrale) pl
disposto orizzontalmente; (può assumere la quota che
più ci conviene per la costruzione)
-la retta L, intersezione del quadro con il piano di
riferimento, si chiamerà retta di riferimento;
Variabili fondamentali della prospettiva lineare
-il punto principale P che è la proiezione ortogonale
di V su p; la distanza VP è detta distanza principale;
-la retta O (orizzonte) è l’intersezione con il quadro
del piano orizzontale passante per V;
-il raggio principale perpendicolare al quadro
corrisponde alla retta per V e P;
-sono raggi proiettanti tutte le rette passanti per V
nella proiezione conica;
-il cerchio visivo f sul quadro corrisponde alla base
del cono retto con angolo al vertice in V.
II cono ha una apertura massima di 60°. Entro tale
cerchio l’immagine si ritiene non aberrata;
-Posizione del centro di proiezione V (quando si è scelta
non si può più cambiare)
-il cerchio di distanza d sul quadro è un cerchio con
centro P e raggio VP. Tale cerchio individua su O i punti
D1 e D2 e, sulla verticale per P, i punti D3 e D4.
-La distanza, di V dall’oggetto si determina
considerando un cono visivo con angolo al vertice di
60°. L’asse del cono è il raggio principale.
-Posizione del quadro p perpendicolare al raggio
principale, come per la fotografia il piano della pellicola
è perpendicolare all’asse ottico. Se vogliamo
inquadrare bene l’oggetto bisogna proiettare il raggio
principale il più possibile in posizione baricentrica
rispetto all’oggetto stesso.
-Distanza del quadro p da V. Spostando il quadro
parallelamente.a se stesso avremo sempre immagini
simili.
72. Elementi caratterizzanti la prospettiva
- Se p coincide con V avremo di qualsiasi oggetto una
proiezione puntiforme.
II punto P è il punto nel quale, nell’immagine
prospettica, convergono tutte le rette perpendicolari
al quadro (punto di “fuga” delle rette perpendicolari al
quadro)
La retta O, orizzonte, è quella nella quale convergono,
nell’immagine prospettica, tutti i piani orizzontali. Tale
retta è detta di “fuga” dei piani orizzontali. Ogni retta
giacente su ciascuno dei detti piani orizzontali ha il
suo punto di fuga sull’orizzonte O.
Tutte le rette parallele al quadro hanno la fuga in punti
impropri (infinito). Nella prospettiva a quadro verticale,
tutte le rette verticali hanno fuga in punti impropri
(infinito).
- Maggiore è la distanza di p da V, più grande è
l’immagine.
- Normalmente si pone p tra V e l’oggetto, ma lo si può
porre oltre l’oggetto, oppure dietro V (in quest’ultimo
caso otterremo una immagine speculare)
-Converrà che il quadro p tocchi un elemento
dell’oggetto - punto, retta, piano. Avremo così un
elemento che sarà rappresentato in vera grandezza
(tenuto conto della scala di riduzione) che chiameremo
elemento unito.
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I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
B - uso delle rette proiettanti
Prospettiva centrale
Disposto l’oggetto, rispetto al quadro, in modo tale che
i segmenti principali che determinano la sua forma
risultino paralleli o perpendicolari al quadro stesso, si
stabilisca la posizione del punto di vista V rispetto al
quadro (in planimetria lo chiamiamo Vo), si stabilisca
poi l’altezza H dell’orizzonte dal piano di riferimento,
quindi si fissino sul disegno le parallele O ed L. Sulla
retta O individueremo P (punto di fuga delle rette
perpendicolari al quadro, mentre i punti di fuga delle
rette parallele al quadro saranno all’infinito a destra e
a sinistra), tracceremo, con centro in P, il cerchio di
distanza (individuando su O i punti di fuga delle rette
orizzontali inclinate a 45° rispetto al quadro), poi,
individuando su L le tracce delle rette che contengono
i segmenti che caratterizzano la forma dell’oggetto,
procediamo come illustrato nelle figure.
Prospettiva di un quadrato con i lati posti
parallelamente e ortogonalmente rispetto al quadro
A - uso del cerchio di distanza
Prospettiva centrale a quadro orizzontale
L’ uso della prospettiva centrale è assai opportuno per
la rappresentazione di ambienti interni e non presenta
particolari difficoltà.
E’ infatti possibile disporre il quadro in posizione
orizzontale, ottenendo così un modello prospettico detto
a quadro orizzontale, poi procedere con operazioni
analoghe a quelle illustrate per la prospettiva a quadro
verticale. L’immagine a fianco illustra una applicazione
con vista dal basso di un ambiente delimitato da un
colonnato e coperto da una cupola.
73.H.Vedreman de Vries(1527-1604). Prospettiva a quadro orizzontale
di un interno
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I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
Prospettiva accidentale
Disposto l’oggetto, rispetto al quadro, in modo tale che i segmenti verticali che determinano la sua forma risultino
paralleli al quadro stesso, mentre le principali linee orizzontali vengono poste in posizione sghemba, si stabilisca
la posizione del punto di vista V rispetto al quadro (in planimetria lo chiamiamo Vo), si stabilisca poi l’altezza H
dell’orizzonte dal piano di riferimento, quindi si fissino sul disegno le parallele O ed L. Sulla retta O individueremo
P - punto principale - (il punto P, proiezione di V sull’Orizzonte, è anche centro del cerchio visivo e del cerchio
di distanza oltre che punto di fuga delle rette orizzontali perpendicolari al quadro). Nella planimetria si traccino,
fino ad incontrare L (traccia del quadro verticale sul piano di riferimento), le rette che contengono i segmenti
orizzontali che definiscono la forma planimetrica dell’oggetto: fino a determinare sul quadro stesso un punto di
dette rette. Per proiettare, dal punto di vista V, un secondo punto della retta r si sceglie di proiettare il suo punto
improprio (all’infinito): la proiezione avviene ponendo l’osservatore in V con il raggio visuale parallelo alla retta r.
Siccome il raggio visuale parallelo alla r ,incontrando questa all’infinito, determina un altro punto della r stessa
nel punto improprio, il raggio visuale da V al punto improprio di r , quando interseca il quadro, determina su di
esso l’immagine del punto all’infinito anche della r. Questo punto sul quadro è il punto di fuga della retta r e di
tutte le sue parallele.
Prendiamo ad esempio una retta r . Con il procedimento descritto si determina la traccia Tr della retta sul quadro
(punto unito appartenente alla retta r).
Prospettiva frontale e accidentale
Ds e Dd sulla retta di orizzonte O sono i punti di fuga
delle rette orizzontali inclinate a 45° rispetto al quadro.
Si ricorda che il cerchio di distanza (circonferenza di
base di un cono retto con angolo al vertice di 90° in V)
è il luogo geometrico dei punti di fuga delle rette
incidenti sul quadro p con un angolo di 45°.
Per determinare la misura prospettica dei segmenti
paralleli al quadro ma non coincidenti, basta riportare
sul quadro stesso le tracce delle rette orizzontali a 45°
(anche se scelte come rette “ausiliarie”) alle quali
appartengono i due estremi di ogni segmento, poi
mandare queste ultime a fuga nel punto di distanza D
corrispondente, posto sull’ orizzonte O. Per determinare
le altezze prospettiche di ogni singolo punto dal piano
di riferimento occorre riportare sul quadro (sulla retta
L) la giacitura sul piano di riferimento di ogni singolo
punto (traccia del punto T), poi elevare dalla traccia
l’altezza dei punto stesso e mandare alla relativa fuga
dalla quota determinata sul quadro.
74.Prospettiva frontale e accidentale di un cubo al variare della
posizione rispetto al quadro
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I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
75
76
75. Veduta prospettica frontale dell'interno della cattedrale di Noyon
76. Diverse immagini prospettiche di un oggetto al variare della
posizione del punto di vista
77.M.C.Escher. Prospettiva a quadro inclinato dell'interno di S.Pietro
a Roma
77
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I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche
Le ombre architettoniche
L’uso delle ombre nel disegno di architettura,
indipendentemente dal sistema di rappresentazione
impiegato, mette in risalto la volumetria degli oggetti,
rendendo percepibili in maniera immediata le
articolazioni plastiche delle superfici. La possibilità di
conferire realismo all’immagine per mezzo delle ombre,
è sfruttata sia nella rappresentazione dell’esistente, sia
in fase di composizione, dove possono divenire
strumento di controllo progettuale.
Da un punto di vista geometrico, si tratta di un
particolare tipo di proiezioni, per lo studio delle quali e
per la comprensione delle relative costruzioni grafiche,
si rimanda ai testi specifici citati in bibliografia. In questa
sede, ci si limita a ricordare come la collocazione della
sorgente luminosa rispetto all’oggetto possa
determinare proiezioni dei raggi luminosi – e quindi
delle ombre – parallele o coniche. In particolare, una
sorgente luminosa posta a distanza infinita, situazione
che approssima il caso del sole e quindi la provenienza
della luce naturale, comporterà una proiezione parallela
delle ombre, mentre nel caso di luce artificiale posta a
distanza finita rispetto all’oggetto, la proiezione sarà
conica, con i raggi luminosi divergenti dalla sorgente.
Ogni oggetto è caratterizzato da un’ombra propria,
determinata dai raggi luminosi tangenti al suo contorno,
che ne individuano una parte in luce ed una in ombra,
delimitate da una linea detta appunto separatrice
d’ombra. La proiezione di questa linea sui piani di
riferimento o su altri oggetti descrive il contorno
dell’ombra portata. Nelle proiezioni ortogonali, per
individuare l’ombra propria e l’ombra portata degli
oggetti, si ipotizza in genere una sorgente luminosa
posta all’infinito, con raggi diretti in modo da avere le
proiezioni a 45° rispetto ai piani di riferimento.
79. Procedimento per la determinazione dell'ombra architettonica data
la pianta ed il prospetto di un edificio
78. Esemplificazione dell'ombra come proiezione al variare della
posizione della sorgente luminosa
81. Rappresentazione dell'ombra su una base attica secondo la
costruzione geometrica e con effetti di chiaro-scuro
80. Rappresentazione delle ombre in un disegno prospettico
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