Forze elastiche ( )

Esperienza n.2
Forze elastiche
Cenni teorici
Si dicono elastici i corpi che quando vengono deformati con una compressione o dilatazione
reagiscono con una forza di richiamo proporzionale alla deformazione. Tale forza tende a far
riacquisire al corpo le dimensioni originali. Per i dettagli si faccia riferimento al Capitolo 11 del
corso di Fisica A – Forze nella pratica.
La forza elastica può essere espressa dalla seguente relazione, nota come legge di Hooke
F = − Kx
dove x rappresenta la deformazione (espressa come quantità vettoriale) e K è detta costante
elastica; essa ha le dimensioni di [MT-2] e si misura in Newton⋅m-1.
La costante K dipende dal materiale di cui è costituito il corpo e microscopicamente dalle proprietà
dei legami chimici tra gli atomi costituenti il materiale. Quando un corpo elastico è deformato esso
genera quindi una forza di richiamo proporzionale alla deformazione stessa.
Se consideriamo un corpo di massa m soggetto ad una forza elastica, l’equazione che ne determina
il moto è espressa dalla seguente relazione (per deformazione lungo l’asse X)
m
d2x
= − Kx
dt 2
che rappresenta l’equazione differenziale del moto armonico. La soluzione dell’equazione
differenziale è espressa come
x(t ) = x0 cos (ωt + ϕ )
dove x0 è l’ampiezza massima dell’oscillazione, ω =
2π
K
è la pulsazione e ϕ è la fase iniziale. Il
m
m
.
K
ω
Le molle sono dei corpi di forma opportuna (generalmente di forma elicoidale) sagomati in modo
tale da massimizzare, fissate le caratteristiche di elasticità del materiale, la forza elastica.
periodo di ogni oscillazione è dato da T =
= 2π
Misura della costante elastica di una molla
Da quanto visto, la misura della costante di elasticità di una molla può essere effettuata in due modi
differenti:
1. Si sottopone la molla ad una forza nota e si misura la deformazione da questa risentita. Da
tale deformazione, in base alla legge di Hooke, si ricava il valore della costante della molla.
In questo caso infatti la forza esterna è controbilanciata dalla forza elastica dovuta al
materiale. Per una corretta valutazione possono essere applicate forze note differenti e in
corrispondenza di queste possono essere misurate le elongazioni. Si possono poi riportare in
un grafico i dati e verificare che tra questi sussista una relazione lineare. Dalla pendenza
della retta che meglio interpola i dati si ricava la costante K, qualora non sia stato superato il
limite elastico del sistema. Per applicare alla molla forze differenti è possibile appendere la
molla verticalmente e agganciare al suo estremo inferiore corpi di massa crescente. In questo
caso la forza sarà data da mg .
2. Si misura il periodo di oscillazione di una massa m attaccata alla molla e da questo si ricava
la costante di elasticità. Operativamente, si può procedere appendendo la molla
verticalmente e attaccando all’estremo inferiore una massa nota. Il sistema viene quindi
posto in oscillazione e si misura il periodo. In questo caso l’equazione del moto diventa
m
d2x
= − Kx + mg
dt 2
che è un’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea.
La soluzione in questo caso è data dalla soluzione dell’omogenea associata più una
soluzione particolare della equazione completa1. La soluzione dell’omogenea fornisce
x(t ) = A cos (ωt + ϕ ) ,
mentre come soluzione particolare della completa può essere presa la seguente
x ( t ) = xs =
mg
.
K
Tenendo conto delle condizioni al contorno ( x(t = 0) = xs + ∆xs , dove ∆xs è la deformazione
applicata inizialmente dall’esterno per mettere il sistema in oscillazione, e
dx
dt
= 0 ) si
t =0
ha
x(t ) = xs + ∆xs cos ωt .
La soluzione è sempre di tipo oscillatorio, con oscillazioni che avvengono attorno alla
2π
m
mg
posizione di equilibrio statico xs =
e con periodo T =
= 2π
.
K
ω
K
1
Si veda la sezione ‘Appendice’ del testo Fisica A, S. Nannarone, L. Pasquali, Ed. Athena, 2006 .
Materiale occorrente
N. 2 basi d’appoggio
Aste metalliche
Morsetti
Molle a spirale
Metro millimetrato
Nastro adesivo
Indicatore meccanico
Pesetti
Cronometro
Procedimento esecutivo
Montaggio apparecchiatura
Dopo aver collocato un’asta metallica sulla base d’appoggio preventivamente fissata sul bordo di un
tavolo con un morsetto di bloccaggio, si dispone, tramite il secondo morsetto, una seconda astina
metallica a circa 120 cm dal pavimento.
Sull’estremità inferiore della molla si fissa tra due spire l’indicatore meccanico e si dispone
l’estremo superiore della molla così preparata in prossimità del punto medio dell’asta metallica
orizzontale. Si fissa poi parallelamente alla molla il metro, che sarà bloccato sull’asta metallica
tramite nastro adesivo in modo che l’indicatore meccanico sia posto molto vicino al metro stesso.
Svolgimento della prova 1: Verifica della legge di Hooke e misura della costante elastica della
molla.
Si valuta inizialmente la lunghezza della molla in assenza di massa applicata. Si aggiungono in
sequenza all’estremità inferiore della molla masse di 50g fino al raggiungimento della massa
massima complessiva di 1500g. Si misura l’elongazione raggiunta dalla molla per ogni diversa
massa applicata.
Svolgimento della prova 2: misura della costante elastica della molla dalla misura del periodo
delle oscillazioni.
Per questa esperienza occorre scegliere valori di m opportuni: per corpi piccoli le oscillazioni sono
infatti rapide e difficili da misurare. È conveniente scegliere corpi di massa compresa tra 500g e
1000g. Per ogni massa si misura il tempo necessario affinché la molla compia 10 oscillazioni
complete. Si ripete questa misura più volte in modo da potere calcolare la media e la deviazione
standard. Il periodo andrà calcolato dividendo il tempo ottenuto per il numero di oscillazioni, in
modo tale da ridurre l’errore relativo.
La costante elastica della molla sarà calcolata usando la relazione
T=
2π
ω
= 2π
m
K
Misura della costante elastica di due molle collegate in serie.
Per poter verificare l’effetto della composizione delle costanti elastiche si utilizza una seconda
molla.
È innanzi tutto necessario caratterizzarla, misurandone la costante elastica utilizzando uno dei
metodi descritti precedentemente.
Si collegano quindi in serie le due molle fissandole una di seguito all’altra in modo da applicare la
stessa forza ad entrambe. Si procede come nei punti precedenti per la misura della costante elastica
di ciascuna molla. Cosa si può dire della costante elastica del sistema composto?
Verifica della legge di Hooke e misura della costante elastica di una molla
Schema della relazione
Sommario
Max 10 righe
Introduzione
(Max mezza pagina)
Apparato sperimentale
• Descrivere l'
apparato sperimentale utilizzato e il montaggio dell'
esperimento
• Disegnare lo schema dell'
apparato.
• Descrivere le caratteristiche degli strumenti utilizzati, ed in particolare la loro risoluzione.
Risultati
• Descrivere come sono state effettuate le misure di:
o Misura I: allungamento di una molla (molla1) in funzione della forza ad essa
applicata
o Misura II: periodo di oscillazione di una massa appesa alla molla1, molla2 e
(molla1+molla2).
Indicare in particolare quali procedure sono state eseguite per ridurre al minimo gli errori.
Misura I
• Riportare in una tabella i valori delle seguenti quantità misurate (ricordarsi di indicare
sempre l'
unità di misura della grandezza considerata):
o Masse utilizzate m
o Forza peso corrispondente F = mg (utilizzare valore di g = 9.81 m/s2)
o Corrispondente allungamento della molla l
o Incertezze su ciascuna di queste quantità (le masse fornite, per le quali l'
incertezza è
sull'
ultima cifra significativa, sono rispettivamente di 50.0 g, 500 g e 1000 g.)
• Riportare le misure effettuate in grafico
Misura II
• Scelta una opportuna massa, appenderla alla molla1 e misurare il periodo di oscillazione
del sistema molla-massa. Per ridurre l'
errore relativo, misurare il periodo di 10 oscillazioni
complete.
• Ripetere la misura 50 volte
• Riportare in una tabella i valori del periodo misurati.
• Calcolare valore medio e deviazione standard delle misure
• Riportare in un grafico l'
istogramma relativo, indicando il valore medio e la deviazione
standard
• Fornire la migliore stima del periodo e la sua incertezza.
Ripetere le operazioni sopra descritte per valutare il periodo di oscillazione della seconda
molla fornita (molla2) e del sistema di molle in serie (molla1+molla2).
Discussione
Misura I
•
Utilizzando il metodo dei minimi quadrati, calcolare la migliore stima della costante elastica
della molla K e del termine noto A della relazione lineare y = Bx + A.
• Calcolare la deviazione standard sui valori di l in base alla dispersione dei dati rispetto alla
retta dei minimi quadrati e dire se è maggiore l'
errore strumentale o quello statistico.
• Utilizzare il maggiore fra errore statistico ed errore strumentale per calcolare l'
incertezza sui
coefficienti K e A.
• Riportare sul grafico la retta dei minimi quadrati
• Calcolare il coefficiente di correlazione r dei dati misurati e dire (sulla base della tabella
fornita) qual è la probabilità che le due grandezze misurate siano effettivamente correlate
linearmente. La legge di Hooke è verificata?
Misura II
• Utilizzare la migliore stima sul periodo T per calcolare il valore di K.
• Calcolare, utilizzando la propagazione degli errori, l'
incertezza sulla determinazione di K.
Discutere le differenze fra i due metodi di valutazione K. Gli errori giustificano la differenza
fra i risultati?
• Utilizzare le medie pesate per ottenere dai due metodi una miglior stima di K.
• Discutere il risultato ottenuto per il sistema di molle in serie e dire se esiste una relazione
semplice che lega i valori di K delle sue molle a quello del sistema in serie.
Conclusioni
(max mezza pagina)