Somme di processi ARIMA

Combinazioni lineari
di processi ARIMA incorrelati
Matteo Pelagatti
25 giugno 2007
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Introduzione
Sia quando si prendono in considerazione modelli a componenti non osservabili,
sia quando si vuole fare regressioni che coinvolgono processi ARIMA è necessario
sapere che tipo di processi si ottengono combinando linearmente processi ARIMA.
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Combinazioni lineari di processi ARMA stazionari
Moltiplicare un processo ARMA(p, q) per una costante produce solamente un cambiamento della varianza, ma non modifica la struttura ARMA del processo. Sia Xt
un processo ARMA(p, q) e sia Yt = κXt ; allora
κXt = κφp (B)−1 θq (B)εt
Yt = φp (B)−1 θq (B)κεt
che è ancora un ARMA(p, q) le cui innovazione hanno varianza κ2 σε2 . Ovviamente
anche il cambio di segno non modifica la struttura ARMA del processo.
Pertanto, si prenderanno in considerazione solo somme di processi ARMA.
2.1
Somme di processi MA
Siano Xt un processo MA(q1 ) e Yt un processo MA(q2 ) incorrelati e con polinomi MA con radici distinte, e sia Zt = Xt + Yt . La funzione di autocovarianza di due processi stazionari incorrelati è data dalla somma delle due funzioni di
autocovarianza:
γz (k) = E(Zt Zt−k ) = E(Xt + Yt )(Xt−k + Yt−k )
= E(Xt Xt−k ) + E(Yt Yt−k ) = γx (k) + γz (k).
Segue immediatamente, quindi, il risultato Zt ∼ MA(max(q1 , q2 )), dato che la
funzione di autocovarianza di un processo MA(q) si annulla per k > q.
Se si volessero calcolare i coefficienti del processo MA Zt , basterebbe porre a
sistema le prime max(q1 , q2 ) autocrrelazioni derivate dalla somma delle covarianze
di Xt e Yt uguagliandole a quelle teoriche di un MA(max(q1 , q2 )).
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2.2
Somme di processi AR
Per ottenere somme di processi AR conviene usare le proprietà dei polinomi in B.
Sia φp1 (B)Xt = εt un processo AR(p1 ) e sia ϕp2 (B)Yt = ηt un processo AR(p2 )
incorrelato con radici distinte rispetto al primo. La loro somma Zt = Xt + Yt è
data da
Zt = φp1 (B)−1 εt + ϕp2 (B)−1 ηt
φp1 (B)ϕp2 (B)Zt = ϕp2 (B)εt + φp1 (B)ηt .
Il polinomio φp1 (B)ϕp2 (B) ha grado p1 + p2 , mentre i processi ϕp2 (B)εt e
φp1 (B)ηt sono, rispettivamente,
MA(p2 ) e MA(p1 ). Pertanto, il processo Zt è
ARMA p1 + p2 , max(p1 , p2 ) .
2.3
Somme di processi ARMA
Usando le tecniche viste le due precedenti sezioni possiamo ricavare la forma della
somma di due processi ARMA incorrelati e a radici distinte in tutti i polinomi AR
e MA.
Zt =
θq1 (B)
ϑq2 (B)
εt +
ηt
φp1 (B)
ϕp2 (B)
φp1 (B)ϕp1 (B)Zt = ϕp2 (B)θq1 (B)εt + φp1 (B)ϑq2 (B)ηt .
A sinistra dell’uguale si ha un polinomio di grado p1 + p2 , mentre a destra dell’uguale si hanno polinomi di grado, rispettivamente, pari a p2 + q1 e p1 + q2 . Zt è,
quindi, processo ARMA p1 + p2 , max(p2 + q1 , p1 + q2 ) .
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Combinazioni lineari di processi integrati
Sommando un processo integrato Xt = Xt−1 + εt ad un processo stazionario ηt si
ottiene un processo integrato. Infatti,
Xt + ηt =
t
X
εi + ηt
i=1
con εt e ηt stazionari, ha varianza proporzionale a t, mentre ∆Xt è stazionario.
Siano Xt e Yt i processi integrati di ordine uno (I(1)), rispettivamente,
Xt = Xt−1 + ηt
e
Yt = Yt−1 + ζt
dove ηt e ζt sono processi congiuntamente stazionari, volendo anche correlati.
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In genere, una combinazione lineare di questi due processi è I(1), infatti
αXt + βYt = αXt−1 + βYt−1 + αηt + βζt
Zt = Zt−1 + ξt ,
dove si è posto Zt = αXt + βYt e ξt = αηt + βζt , che essendo somma di processi
stazionari è stazionario. In alcuni casi, tuttavia, esiste la possibilità che una particolare combinazione lineare di due processi I(1) sia I(0). Questo succede quando
due processi condividono un trend stocastico comune.
Esempio 1.
Siano
Xt = µt + ηt
Yt = βµt + ζt
con
µt = µt−1 + εt ,
e ηt , ζt ed εt processi stazionari. È immediato verificare che i processi Xt e Yt
sono I(1), tuttavia ogni combinazione lineare proporzionale a
βXt − Yt = βηt − ζt
è stazionaria.
Esempio 2.
Siano
Xt = Xt−1 + α(Xt−1 − βYt−1 ) + ηt
Yt = Yt−1 + εt ,
con −2 < α < 0 e ηt ed εt processi stazionari.
È semplice verificare che Xt e Yt sono processi I(1), tuttavia combinazioni
lineari proporzionali a
Xt − βYt = Xt−1 + α(Xt−1 − βYt−1 ) + ηt − βYt−1 − βεt
Zt = (1 + α)Zt−1 + ξt ,
con Zt = Xt − βYt e ξt = ηt − βεt , sono stazionarie.
Quando esiste una combinazione lineare di due processi integrati che è stazionaria, allora i due processi si dicono cointegrati, e il vettore contenente i coefficienti
della combinazione lineare prende il nome di vettore di cointegrazione. Il concetto
di cointegrazione si estende naturalmente a più di due processi e ad ordini di integrazione superiori al primo, tuttavia lo studio dell’inerente teoria è lasciato ad un
corso di serie storiche più avanzato.
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