Modellizzazione di processi non stazionari

ELABORAZIONE dei SEGNALI nei SISTEMI di CONTROLLO
Lezione 9: Modellizzazione di processi non stazionari
• Motivazioni
• Processo di Wiener
• Proprietà qualitative
• Processi ARIMA
• Esempi di realizzazioni
7-1
Modellistica dei processi non stazionari: Motivazioni
I processi non stazionari sono, molto spesso, la risposta ad ingressi stazionari di sistemi
dinamici non lineari, o lineari ma instabili, o descrivono il comportamento durante il transitorio. Pertanto la loro caratterizzazione è strettamente collegata a quella del sistema
dinamico che li produce.
Tuttavia, in molte applicazioni, dove questa informazione non è disponibile, nasce la necessità di parametrizzare in maniera semplice famiglie di processi non stazionari, sulla falsariga
di quanto fatto per i processi stazionari. Questo può avvenire in due modi:
• Concentrando la non stazionarietà nella funzione di media: essa non è costante, ma
ad es., una sinusoide, una rampa etc.
• Usando filtri formatori marginalmente stabili (cioè con alcuni poli sul cerchio di raggio
1).
L’esempio più illustre di processo non stazionario del secondo tipo è il processo di Wiener.
7-2
Il processo di Wiener TD
Il processo di Wiener TD {W (t)}t∈Z è definito dall’equazione ricorsiva:
w(t) = w(t − 1) + e(t),
t > 0,
w(0) = 0
(1)
con {E(t)}t∈Z rumore bianco, gaussiano, a media nulla e di varianza φe . Formalmente
w(t) = H(z) e(t),
con H(z) = 1/(1 − z −1)
(2)
Tuttavia {W (t)} non può essere considerato un processo AR(1). Le proprietà delle sue
realizzazioni sono qualitativamente diverse. Infatti:
△
• W (t) non è stazionario; posto Rw (t, s) = E[ W (t) W (s) ] si ha:
Rw (t, t) = t φe
Rw (t, s) = min{t, s} φe
(3)
Si noti come la varianza del processo cresca col passare del tempo (diffusione), mentre
la sua memoria non va a zero al crescere di k = |s − t|.
• Il processo non è ergodico. Intuitivamente non si possono ricavare da una singola
realizzazione, ancorché protratta nel tempo, informazioni corrette sui valori medi (primo
e secondo momento) del processo stesso.
7-3
Realizzazione processo di Wiener
Processi di Wiener
1.5
3
1
2
y
y
0.5
1
0
0
−0.5
−1
0
20
40
60
80
−1
100
3
0
50
100
150
200
0
200
400
600
800
4
3
2
y
y
2
1
1
0
−1
0
0
100
200
300
400
−1
Realizzazioni di un processo su orizzonti temporali crescenti
7-4
Processi ARIMA (AutoRegressivi Integrati a Media Mobile)
I processi ARIMA sono una generalizzazione del processo di Wiener. Sono formalmente
definiti come generati, a partire da un rumore bianco, dal filtro formatore
H(z) =
1 C(z)
∆(z) A(z)
(4)
dove
∆(z) = 1 − z −1
(5)
∆(z) = 1 − 2 cos ω0 z −1 + z −2
(6)
per processi a carattere diffusivo;
per processi a carattere oscillatorio (intorno alla pulsazione ω0 ).
I processi ARIMA sono non stazionari e non ergodici. Tuttavia il processo filtrato:
Yf (k) = ∆(z) Y (k)
(7)
è un processo ARMA, quindi stazionario ed ergodico.
7-5
Esempi di realizzazioni
ARIMA
4
40
30
2
20
0
y
y
10
0
−2
−10
−4
−6
−20
0
20
40
60
80
−30
100
50
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
10
5
y
y
0
0
−5
−10
−50
0
20
40
60
80
100
−15
Realizzazioni di processi ARIMA
1
1−0.8z −1
π −1
z + z −2;
6
Fig 11: ∆ = 1; H = H0 =
.
Fig 12: ∆ = 1 − z −1; H = H0
Fig 21: ∆ = 1 − 2 cos
H = H0
Fig 22: ∆ = 1 − 2 cos π3 z −1 + z −2; H = H0 .
7-6