sedimentazione Il processo della sedimentazione descrive il moto di

sedimentazione
Il processo della sedimentazione descrive il moto di caduta di un corpo all’interno di un fluido
viscoso. Il fenomeno si manifesta se il corpo ha una densità maggiore di quella del fluido, in
questo caso la forza peso è maggiore della spinta di Archimede e il corpo è sottoposto ad una
forza risultante diretta verso il basso.
Ne deriva un moto con accelerazione costante cioè con velocità crescente.
La forza viscosa, che si oppone al moto, è, per velocità non troppo elevate, proporzionale alla
velocità stessa secondo dei parametri che dipendono dalla forma del corpo e dalla viscosità
del fluido
!
!
(1)
F = -k l η v
con k una costante che dipende dalla forma del corpo, l una sua dimensione trasversale, η il
!
coefficiente di viscosità del fluido e v la velocità di caduta. Il segno – tiene conto che la
forza viscosa è opposta al verso del moto.
Le forze agenti sul nostro corpo sono tre, la forza peso, p, la spinta di Archimede, A, e la
forza viscosa. Queste tre forze hanno la stessa direzione ma versi opposti. La spinta di
Archimede e la forza viscosa sono dirette verso l’alto mentre la forza peso verso il basso.
Dando verso positivo alla forza peso, la somma delle tre forze si scrive
p–A–F=R
(2)
dove R è il modulo della forza risultante.
All’inizio del moto , quando F è nulla, la risultante è la differenza fra i moduli della forza peso
e della spinta di Archimede. Man mano che il corpo scende la velocità aumenta ed aumenta
anche il modulo della forza viscosa. A poco a poco il modulo di F cresce fino a che la somma (2)
si annulla
p – A – F = 0.
(3)
Da quel momento in poi l’accelerazione è nulla ed il moto diventa rettilineo uniforme.
Il valore di tale velocità limite è calcolata esplicitando i moduli delle forze
p = mc g
A = ml g
F=klηv
(4)
da cui
mc g - ml g - k l η v = 0
(5)
e quindi
V( ρ c - ρ l ) m - ml
v= c
g=
g
(6)
kl η
kl η
con ρc e ρl le densità del corpo e del liquido.
L’espressione (6) contiene la dimensione trasversale a denominatore e il volume del corpo al
numeratore. Un qualunque corpo ha una forma più o meno allungata e in generale presenta una
sezione all’avanzamento con una certa dimensione. Il rapporto V/l dipende quindi grosso modo
dalla dimensione trasversale e dalla lunghezza del corpo. Se ne deduce che un corpo grande ha
una velocità di caduta maggiore di un corpo piccolo e un corpo con un fattore di forma k
piccolo (quindi un corpo dalla forma aerodinamica) ha una velocità di caduta maggiore di un
corpo poco aerodinamico, cioè con k grande).
Dalla (6) si osserva che velocità di sedimentazione risulta proporzionale all’accelerazione di
gravità; il coefficiente di proporzionalità contiene le informazioni sul tipo di fluido e sulla
forma e densità del corpo.
Tale coefficiente è indicato con la lettera S ed è indicato col nome di coefficiente di
sedimentazione
v = S g
(7)
Il coefficiente di sedimentazione S ha la dimensione di un tempo e in campo biologico la sua
unità di misura è lo Svedbrg (S): 1 S = 10-13 s
Dall’analisi del processo di sedimentazione di può dedurre la forma di un generico corpo che
scende all’interno di un fluido viscoso.
La legge di Stokes
Nel caso di forme sferiche la forza viscosa ha una espressione determinata. E’ la forza di
Stokes
!
!
F = -6π r η v
(8)
con 3 il fattore di forma k e 2r, il diametro, la dimensione trasversale del nostro corpo.
Con questa espressione esplicita della forza viscosa si può calcolare in maniera diretta la
velocità di sedimentazione
Esplicitando il volume, quello una sfera, la velocità di sedimentazione diventa
v=
4
3
π r3 ( ρc - ρ l )
6πrη
(9)
che con alcuni passaggi diventa
2 ( ρc - ρ l) r2
v=
g
(10)
9
η
Nel caso di particelle sferiche il coefficiente di sedimentazione S, nella relazione (7) viene
esplicitato con la sua dipendenza dalle caratteristiche del corpo e del liquido in cui avviene la
sedimentazione.
Centrifugazione
Per corpi di interesse biologico la velocità di sedimentazione può risultare piccola e
comportare lunghi tempi di attesa, a volte poco compatibili con la vita media del nostro corpo;
il quale può andare incontro a processi di deterioramento che ne distruggono le proprietà.
L’aumento della velocità di sedimentazione può avvenire solo modificando l’accelerazione cui il
corpo è sottoposto ricorrendo ad una accelerazione artificiale come quella che si manifesta su
un corpo sottoposto a rotazione.
Su un corpo sottoposto a rotazione agisce una accelerazione centripeta data da
a c= ω 2 R
(11)
con R il raggio di rotazione e ω la velocità angolare. Se l’asse di rotazione è verticale il
movimento rotatorio avviene su un piano orizzontale e questa accelerazione si compone con
quella di gravità
In figura 1 è mostrato un disegno schematico di una provetta che si trova agganciata per
l’estremità superiore ad una ruota di raggio R. Messa in rotazione, la provetta è sottoposta ad
una accelerazione centrifuga ω2R, la quale si somma vettorialmente con l’accelerazione di
gravità dando luogo ad una nuova accelerazione la cui direzione rappresenterà la nuova
verticale in quel punto.
R
!
ω 2R
R
!
g
!
g
a)
!
!
g + ω 2R
Fig 1 – a) una provetta, in posizione di riposo; b) sottoposta ad una rotazione di velocità angolare ω
All’aumentare della velocità angolare il contributo dell’accelerazione di gravità diminuisce fino
a diventare trascurabile e la provetta si pone in posizione quasi orizzontale.
In effetti, il liquido all’interno della provetta,
!
!
!
2
2
g+ω R ≅ ω R
e gli elementi in sospensione nel liquido,
R
sperimentano accelerazioni centrifughe
differenti a causa della differente distanza
dall’asse di rotazione. Avremo quindi
un’accelerazione centrifuga media.
Per avere un’idea dei valori delle frequenze di
Fig 2 – Per velocità angolari alte il contributo di g è
rotazione possiamo pensare a quelle di una
trascurabile e la provetta si pone in posizione quasi
comune lavabiancheria; queste frequenze si
orizzontale. L’accelerazione è solo quella centrifuga.
aggirano sui 600 giri/min che corrispondono
ad una velocità angolare ω = 2πf = 2π · 600/60 = 62,8 rad/s. Se ipotizziamo un raggio medio
R = 7 cm si ottiene una accelerazione centrifuga a = ω2R = 62,82 · 0,07 = 276 m/s2 , circa 30
volte maggiore dell’accelerazione di gravità, che può quindi ritenersi trascurabile a queste
frequenze.
Nelle relazioni (4) l’accelerazione è adesso la somma vettoriale fra g e ω2R. Le relazioni che
portano alla velocità di sedimentazione rimangono le stesse con il risultato che nella relazione
!
!
(10) l’accelerazione g viene sostituita dal modulo della somma vettoriale g + ω 2R . Per g
trascurabile la (10) diventa
v=
ossia
2 ( ρc - ρ l) r2 2
ω R
9
η
v = S ω 2 R
(12)
(13)
Con l’uso delle centrifughe i tempi di sedimentazione si accorciano. Possiamo calcolare la
variazione media dei tempi confrontando le espressioni (7) e (13). Si ottiene
vc
v =
(14)
2
ω R g
avendo definito vc la velocità di sedimentazione con centrifuga.
Gli spazi da percorrere sono gli stessi per cui i tempi impiegati risultano inversamente
proporzionali alle accelerazioni per cui, con pochi passaggi
g tc = t 2
(15)
ω R dove t è il tempo ordinariamente impiegato e tc il tempo con centrifuga.