Esercizi settimana n.2 - Dipartimento di Fisica e Geologia

ESERCIZI Settimana n.2
1. Un modellino di auto è libero di muoversi lungo un binario. La velocità viene
rilevata essere: 0 m/s per i primi 5 s, 8 m/s per i 4 s successivi, 0 m/s per 3 s a
seguire, ed infine -4 m/s per 6 s. Se il modellino parte dall'origine O, qual è la
distanza finale dall'origine ?
RISPOSTA: 8 m
2. Un sasso viene lasciato cadere in un pozzetto e cade per 6 s prima di
raggiungere il fondo. Considerando la caduta nel pozzetto esclusivamente come
un moto unidimensionale uniformemente accelerato con accelerazione di gravità
g=9,8 m/s2 e trascurando qualunque attrito, stimare la profondità del pozzetto.
RISPOSTA: 176 m
3. Calcolare l'accelerazione centripeta di un pilota d'aereo che viaggia alla
velocità di 2500 Km/h mentre effettua una traiettoria circolare di raggio 5,8 km.
RISPOSTA: 83 m/s2 ovvero 8,5g (con g=accelerazione di gravità)
4. Utilizzando l'analisi dimensionale individuare l'espressione corretta per la
frequenza di oscillazione f (=l'inverso del periodo) del pendolo semplice
(lunghezza L, massa m, accelerazione gravitazionale g).
RISPOSTA: f∝√(g/L)
5. (La crescita dei capelli)
I capelli crescono in media con un tasso costante di circa 1.5 cm al mese (ovvero,
v=5.8⋅10-6 m/s). Quale distanza in metri percorreranno le punte dei vostri capelli
durante una lezione di Fisica di 50 minuti?
RISPOSTA: 1.7⋅10-5 m
Qual è la rapidità di crescita del volume dei capelli?
RISPOSTA: I capelli umani sono di forma cilindrica con un diametro tipico d=1⋅10-5
m=10µm. Il loro volume si calcolerà dunque come V=πr2l, dove l è la loro lunghezza
e r=d/2. La rapidità di variazione del volume sarà dV/dt= πr2dl/dt, dove dl/dt è la
velocità di crescita sopra citata. Quindi, dV/dt=4.6⋅10-16 m3/s
[NB: L’aumento del volume di un vostro capello in un secondo è un numero
piccolissimo, meno del volume di una cellula umana. L’aumento del volume in un’ora
è ∆V=4.6⋅10-16 3600 m3=1.6⋅10-12 m3. Questo valore corrisponde al volume di alcune
migliaia di cellule umane, considerandole sferiche con diametro di circa 10µm]
6. (Palloncino gonfiato)
Il raggio di un pallone sfeico cresce con una rapidità costante mentre viene
gonfiato. Il volume del pallone cresce ugualmente con una rapidità costante?
7. Se si lascia cadere un sasso, con velocità iniziale nulla, in un pozzo profondo 100
m, in quanto tempo il sasso raggiunge il fondo? Con quale velocità tocca il fondo?
(Ignorare qualunque attrito)
RISPOSTA: Il moto del sasso si svolge, trascurando ogni attrito, sotto l’azione
della sola forza di attrazione gravitazionale, è dunque un moto rettilineo
uniformemente accelerato con accelerazione costante g (modulo 9.8 m/s2)
diretta verso il basso.
Indico con h (=100 m) la profondità del pozzo, e introduco un asse di riferimento
unidimensionale x, di direzione verticale, orientato verso il basso, con origine
nell’ingresso del pozzo.
La cinematica del moto rettilineo uniformemente accelerato ci insegna che:
la posizione del sasso varia nel tempo secondo la legge
x(t)=x(0)+vx(0)t+1/2axt2
e la velocità lungo la direzione x varia nel tempo secondo la legge
vx(t)= vx(0)+ axt
Nel nostro caso x(0)=0, vx(0)=0 e ax=g, quindi
x(t)= 1/2gt2
vx(t)= gt.
Adesso siamo pronti a fornire le risposte ai quesiti del problema: Quando tocca il
fondo? Con quale velocità?
Il primo quesito chiede di trovare l’istante di tempo t in corrispondenza del quale
la posizione del sasso (nel riferimento da noi scelto) assume il valore h, cioè il
tempo che soddisfa la condizione
h= 1/2gt2
t=(2h/g)1/2= 4.5 s
Il secondo quesito chiede di trovare il valore della velocità in corrispondenza
dell’istante di tempo così trovato
vx =44.1 m/s
8.
Due corpi cadono da uno stesso punto, ad altezza
h=10m rispetto al pavimento, sotto l’azione del loro
peso. Il primo parte da fermo, mentre il secondo è
lanciato in orizzontale verso destra con velocità
iniziale v0=5 m/s.
A quale distanza cadranno i due corpi? Arriveranno a
terra insieme o ad istanti diversi?
9.
Un oggetto di massa m=200 g viene lasciato cadere da una torre alta 30 m. Durante la
caduta, a causa di un forte vento, al corpo viene impressa una componente orizzontale
dell’accelerazione pari a 5 m/s2.
(a) Determinare la traiettoria descritta dall’oggetto.
Calcolare inoltre:
(b) il tempo impiegato per toccare il suolo;
(c) la distanza d dalla base della torre in cui tocca il suolo;
(d) il modulo della velocità all’impatto col suolo.
10.
L’attrazione di un luna park è costituita da un anello circolare di raggio 15 m lungo
cui una navicella viaggia a circa 15 m/s. I passeggeri della navicella quale
accelerazione ‘sentono’? (Si esprima il risultato in multipli di g=9.8 m/s2)
RISPOSTA: circa 3.1g
11.
Nel film 2001: Odissea nello spazio stazioni spaziali ad anello simulavano la
gravità per mezzo di una loro rotazione. La stazione spaziale immaginaria è
descritta come avente un diametro di circa 275 m. Se l’accelerazione nella parte
più esterna dell’anello fosse g (9.8 m/s2), quanto tempo impiegherebbe la
stazione per fare un giro completo?
RISPOSTA: il periodo della rotazione sarebbe T=23.5 s
12.
Le ultracentrifughe commerciali possono ruotare a 100000 rpm (roots per
minute=giri al minuto). Di conseguenza, esse possono produrre accelerazioni
dell’ordine di 800000g. Trovare la distanza dall’asse di rotazione della camera
del campione in tali dispositivi. Calcolare il modulo della velocità per un oggetto
che si muove in tali condizioni.
RISPOSTA:
Dalla frequenza di rotazione si deduce che il periodo della rotazione è T=6⋅10-4 s.
Tale periodo sarà legato alla velocità v con cui ruota il campione e al raggio R
della traiettoria secondo la relazione T=(2πR)/v.
L’accelerazione che sperimenta il campione sarà centripeta, di modulo a=v2/R;
quindi possiamo esprimere v in termini di a e di R come v=(aR)1/2 e andare a
sostituire questa espressione nell’espressione per il periodo:
T=(2πR)/v= (2πR)/(aR)1/2=2π(R/a)1/2
da cui si ricava:
R=T2a/(4π2)=0.071 m
La camera con il campione si trova a circa 7 cm dall’asse di rotazione
Inserendo questo valore nell’espressione per la velocità si trova:
v=(aR)1/2 =746 m/s
Il campione ruota ad una velocità di circa 2686 Km/h