Prova scritta del 16/05/14

Controllo Digitale - A.A. 2013/2014
Prova scritta parziale n. 1 del 16.05.2014
Tempo per la soluzione: 2 ore
Nome
PC
Problema 1. In un sistema di realtà virtuale, l’utente è interfacciato attraverso un joystick con un simulatore digitale. Il
simulatore, in accordo con un dato modello dell’ambiente virtuale con cui l’operatore deve interagire, esercita mediante
gli attuatori presenti sul joystick un ritorno di forza (force feedback) fh (t), in modo tale che l’utente percepisca le
caratteristiche dinamiche dell’oggetto o dell’ambiente simulato. Con riferimento alla figura, sia f (t) la forza esercitata
dall’operatore e G(s) il modello meccanico del joystick, che può essere visto come un oggetto di massa m che si muove
senza attrito sotto l’azione della forza risultante f (t) − fh (t). Sia infine x(t) la posizione del joystick, la cui dinamica è
quindi data da
mẍ(t) = f (t) − fh (t)
Il simulatore digitale campiona la posizione x(t) con periodo T e genera, in accordo con la dinamica dell’ambiente
virtuale descritta dalla funzione di trasferimento H(z), il ritorno di forza. La forza aggiuntiva d(kT ) rappresenta un
disturbo simulato.
Si supponga che l’utente debba “toccare” un oggetto con determinate caratteristiche di elasticità e viscosità. Si assuma
quindi che il modello dell’ambiente virtuale sia dato dall’approssimazione discreta (col metodo di Eulero all’indietro) di
un sistema meccanico costituito da una molla di costante K e da uno smorzatore di costante B. Tale sistema è descritto
nel continuo dall’equazione differenziale
fh (t) = Kx(t) + B ẋ(t)
1. Si assuma il sistema inizialmente a riposo. All’istante t = 0 l’operatore urta il joystick imprimendo un impulso
di forza (f (t) = δ(t)). Calcolare, in corrispondenza di questa sollecitazione, i primi due valori della posizione x(t)
che vengono campionati dal simulatore (x(0) e x(T )).
2. Calcolare la funzione di trasferimento W (z) = X(z)/D(z) tra il disturbo simulato d(kT ) e la posizione campionata
x(kT ).
3. Si ponga m = 0.5 e B = 0.5/T . Studiare qualitativamente la stabilità del sistema, ovvero della funzione di
trasferimento W (z), al variare della costante K della molla virtuale. In particolare, mostrare che il sistema è
stabile per valori di K sufficientemente piccoli e instabile per valori di K sufficientemente grandi1 .
f (t)
K
x(t)
f (t)
Joystick
_
fh (t)
fh (t)
B
m
x(t)
G(s)
Joystick
ZOH
H(z)
T
Ambiente simulato
d(kT )
Ambiente simulato
Problema 2. Progettare un controllore digitale C(z) con opportuna scelta del passo di campionamento per l’impianto
s − 10
P (s) =
in modo da soddisfare le seguenti specifiche:
s(s + 4)
• sistema di controllo internamente stabile,
• errore a regime di inseguimento nullo in corrispondenza ad un’uscita desiderata yk0 a rampa,
• parametri del transitorio della risposta al gradino unitario ts ≈ 1 s, ŝ ≤ 0.4.
Ripetere il progetto con l’impianto P (s) =
1 Nei
s − 10
(Attenzione!)
s2 (s + 4)
sistemi di realtà virtuale, è noto che le caratteristiche di stabilità peggiorano all’aumentare della rigidezza degli oggetti simulati.