attraverso la simmetria assiale - Liceo Scientifico G. Marinelli

17. Il caleidoscopio: dal caos al cosmos
… attraverso la simmetria assiale
Aspetti generali
Contesto
L’attività didattica può essere proposta nella seconda parte dell’anno scolastico a una
classe I Liceo Scientifico o all’inizio dell’anno ad una classe II di un Istituto tecnico, nel
modulo di geometria, nell’ unità didattica dedicata alle trasformazioni geometriche.
Obiettivi
Ci si propone di introdurre il concetto astratto e delicato di trasformazione geometrica e in
particolare di simmetria assiale a partire da una situazione stimolante la curiosità; l’aspetto
che si vuole far cogliere è il legame della matematica con la bellezza e la semplicità delle
leggi adatte a descrivere situazioni apparentemente complesse. Si intende favorire in
particolare l’aspetto osservativo e la capacità di cogliere il valore della matematica nella
spiegazione dei fenomeni fisici. L’attività si presta inoltre a collegamenti interdisciplinari con
Storia dell’Arte e Fisica.
Prerequisiti
Conoscenze dei contenuti minimi della geometria elementare, utilizzo delle più semplici
funzioni di “Cabri geometre”, conoscenza elementare del concetto di funzione.
Attività proposte
1. Osservazione di un caleidoscopio e “smontaggio”
2. Analisi del fenomeno della riflessione con uno specchio piano per determinare la legge di
riflessione della luce e poi con due specchi rettangolari montati con un lato coincidente su
un goniometro, con la possibilità di variare l’angolo tra essi.
3. Definizione matematica di simmetria assiale
4. Osservazioni con due specchi a diedro
5. Costruzione di caleidoscopio classico (con tre specchi), ma anche di caleidoscopi a 4,6,8
specchi.
6. Fotografia e proiezione dell’immagine ottenuta
7. Attività in laboratorio di informatica: simulazione dei fenomeni osservati con Cabri
Géomètre
Modalità
Osservazione, conversazione guidata, lezione frontale, attività di gruppo, attività individuale
in laboratorio con scheda di lavoro.
Strumenti e materiali necessari
• Un caleidoscopio “bello” e uno da smontare, una tavoletta di dimensione 30x40,
goniometro, fogli riflettenti in materiale plastico, carta millimetrata, perline o pezzetti di
plastica colorata molto piccoli, un piccolo foglio di carta (plasticata) trasparente scotch,
spilli, luce laser.
• I materiali si possono comprare a modico prezzo in: negozi di giocattoli, negozi di
“bricolage”
• Precauzioni: utilizzo del laser rosso senza puntarlo sugli occhi; utilizzo del taglierino per il
materiale plastico riflettente.
Tempo totale dell’attività: 4-5 ore.
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Suggerimenti costruttivi
Con un taglierino ricavare dal foglio di plastica riflettente due specchi di dimensioni 10x15 cm
circa. Unire i due specchi con il nastro adesivo (applicato sul retro), in modo che possano aprirsi e
chiudersi a libro e formino così un diedro..
Incollare sulla tavoletta un foglio di carta millimetrata.
Incollare il goniometro al centro del foglio oppure disegnare un goniometro sul foglio (il vantaggio
sta nello spessore nullo, e si può rinunciare all’accuratezza della misura per gli obiettivi
prefissati).
Preparare con lo stesso materiale 3 strisce rettangolari delle stesse dimensioni (1,5x20 cm circa),
altre 4 uguali tra loro (1x20 cm), altre 5, altre 6 ecc., per i vari caleidoscopi che si vorranno
costruire.
Indicazioni operative
Per la riflessione con un solo specchio è sufficiente posizionare uno specchio verticalmente (con
un opportuno sostegno sul retro) in modo che lo spigolo di appoggio sia allineato con una riga
principale della carta millimetrata.
Per la riflessione con due specchi si colloca il diedro sul foglio di carta, in posizione verticale, in
modo che la cerniera coincida con il centro del goniometro.
Si colloca un oggetto davanti agli specchi.
Cambiando l’angolo tra gli specchi, si cercano le posizioni che producono un numero intero di
immagini.
Per ogni posizione si annotano l’ampiezza dell’angolo, la posizione dell’oggetto, il numero delle
immagini.
Si tracciano gli schemi dei cammini della luce relativi alle situazioni più semplici - tre immagini,
quattro immagini - cercando di giustificarne l’apparizione.
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Descrizione delle attività
Fase 1: Osservazione di un caleidoscopio e “smontaggio”
Foto 1. Caleidoscopio molto particolare in cui l’immagine è
formata da una pallina di vetro a colori variegati e irregolari,
che può essere ruotata manualmente e fornisce
all’obbiettivo una diversa immagine a seconda della
posizione. I caleidoscopi classici mostrano sul fondo una
scatoletta trasparente che contiene piccoli oggetti colorati,
liberi di muoversi al suo interno.
L’insegnante porta in classe due caleidoscopi, uno più raffinato (non smontabile) e uno più povero,
smontabile.
Ogni alunno lo esamina, e viene invitato a considerare il contrasto tra quanto appare dall’esterno,
sul fondo: il “caos” dei frammenti colorati, e la bellezza dell’immagine osservata dall’interno. Poi
l’insegnante pone la domanda: “Cosa c’è dentro? Come funziona? Cosa trasforma il disordine in
ordine armonioso, il caos in cosmos?”. Per verificare la validità delle risposte sul funzionamento si
passa allo smontaggio: si constata che la struttura è molto più semplice del previsto.
a)
b)
c)
Foto 2. Caleidoscopio di scarso valore
a) i pezzi che lo compongono
b) visione del fondo con scatoletta contenente perline e piccoli oggetti
c) immagine quando è ri-montato (il suo valore lo dimostra tutto!)
L’insegnante chiede qual è il fenomeno fisico alla base del fenomeno; dalle scuole medie
dovrebbe essere noto il fenomeno della riflessione, in ogni caso si può far riferimento
all’esperienza comune.
Fase 2: La riflessione su uno specchio
Si pone uno specchio appoggiato a dei libri su un
foglio su un banco e si segna con una matita la
“retta “ di appoggio. Si pongono diversi oggetti
davanti allo specchio e si osservano le immagini,
ad esempio una penna inclinata con cappuccio. Si
toglie lo specchio e i libri e si chiede di disegnare
l’immagine sul foglio. Si lasciano i ragazzi liberi di
provare. Foto 3. Riflessione con un solo specchio
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La riflessione come fenomeno fisico
L’insegnante guida gli studenti alla scoperta della legge della riflessione della luce mediante le
seguenti azioni: si posiziona un unico specchio verticalmente sul foglio di carta millimetrata con
goniometro, in modo che il lato di appoggio si trovi sulla congiungente dell’angolo di 90° con quello
di 270° (o -90° a seconda della taratura del goniometro).
Osservando l’immagine di un qualsiasi oggetto (spillo ad esempio) con l’immagine riflessa della
carta millimetrata i ragazzi misurano la distanza dell’immagine virtuale.
Foto 4. Studio del fenomeno della riflessione con uno specchio, per scoprire la legge fisica
Posizionando la luce di laser sul piano con diverse angolature, è possibile misurare l’angolo di
incidenza del raggio sullo specchio e verificare la direzione del raggio riflesso.
Avvertenze: meglio rappresentare il goniometro graficamente e raccomandare ai ragazzi le
precauzioni nell’uso del laser.
L’insegnante dopo aver raccolto le osservazioni presenta le leggi della riflessione fisica (vedi
appendice 2).
Fase 3: La definizione di simmetria assiale
L’insegnante propone di rappresentare alla lavagna quanto sperimentato. Disegna una retta r e
chiede di interpretarla come “bordo” dello specchio, rappresenta un punto P e chiede di dare
indicazioni sufficienti per disegnare l’immagine di P, che propone di chiamare P’,(sottolineando
anche che il termine “immagine” ha un preciso significato quando si parla di funzioni). I ragazzi
danno le indicazioni, finchè emerge, eventualmente con la guida dell’insegnante, che la retta r è
asse del segmento PP’.L’insegnante propone agli studenti di disegnare sul quaderno il simmetrico
di un segmento e poi di un triangolo. L’insegnante verifica i quaderni. A questo punto l’insegnante
propone di definire rigorosamente cosa si intende per simmetrico di un punto e di una figura e
dopo aver raccolto e migliorato progressivamente le definizioni degli studenti legge sul libro di
testo quanto emerso nella attività comune e in quella individuale. L’insegnante conclude facendo
notare come la simmetria assiale risulti modello efficace del fenomeno fisico della riflessione su
uno specchio piano.
Fase 4:
Osservazioni con due specchi a diedro
Si dispongono due specchi rettangolari in posizione verticale su un foglio di carta millimetrata con
fissato un goniometro che permetta di osservare l’angolo tra gli specchi stessi; gli specchi devono
essere posizionati in modo che la cerniera coincida con il centro del goniometro. Si colloca uno
spillo o un altro oggetto sulla bisettrice dell’angolo. Variando l’angolo tra gli specchi, si cercano le
posizioni che producono un numero intero
di immagini.
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a)
b)
Foto 5. Osservazioni con 2 specchi montati a diedro: a) gli specchi formano un angolo di 60°
b) Gli specchi formano un angolo di 90°
Per ogni posizione si fa annotare agli studenti:
l’ampiezza dell’angolo, la posizione dell’oggetto, se le immagini sono intere o no e, nel caso lo
siano, il numero delle immagini.
Si chiede ai ragazzi:
a) di fare un’ipotesi sulla relazione tra numero delle immagini e ampiezza dell’angolo tra gli
specchi;
b) di immaginare i cammini dei raggi riflessi considerando la possibilità che la luce subisca
riflessioni multiple sui due specchi prima di giungere all’osservatore.
Al termine delle osservazioni l’insegnate propone di riassumere in un testo scritto condiviso che
 le immagine sono intere solo se l’angolo tra gli specchi è divisore dell’angolo giro,
 al diminuire dell’angolo α tra i due specchi cresce il numero delle immagini e che indicando
con N il numero di "oggetti visti", compreso l’oggetto, risulta N =
3 6 0°
.
α°
L’insegnante infine fa notare che la riflessione multipla matematicamente non è altro che una
composizione di simmetrie assiali.
Si può osservare che mettendo i due specchi paralleli (angolo tra gli specchi uguale a zero) si
sviluppa una successione di immagini tendente all’infinito. Si guidano gli studenti a ragionare sulla
loro esperienza e ad immaginare cosa si dovrebbe vedere se ci si trovasse in una stanza con le
quattro pareti, il soffitto e il pavimento tappezzati di specchi.
Si potrebbe poi far osservare che: la composizione di due riflessioni “su specchi piani” produce una
rotazione rispetto al vertice del diedro: quando i due piani sono perpendicolari, la rotazione è di
180° e corrisponde a una simmetria centrale.
Fase 5: Costruzione di un caleidoscopio
Si fanno costruire ai ragazzi piccoli
caleidoscopi come prismi di specchi a base
regolare di 3,4,6 8 lati fissando delle perline
col nastro adesivo sul fondo oppure con
perline mobili.
I ragazzi sono lasciati liberi di costruire a
gruppi curando anche l’aspetto estetico.
Foto 6. Fasi della costruzione di un
caleidoscopio e dellla documentazione
dell’attività.
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Fase 6: Fotografia
Ogni gruppo fotografa col cellulare le
immagini ottenute all’interno del proprio
caleidoscopio; vengono quindi proiettate
in classe utilizzando il computer e un
proiettore. L’insegnante fa notare come la
bellezza dell’immagine sia legata al
fenomeno della riflessione di cui la
simmetria assiale è modello matematico.
Foto 7. Immagine da caleidoscopio
costruito dai ragazzi (3 specchi)
Foto 8. Osservazioni dal caleidoscopio a 6 specchi
Foto 9. Immagine da caleidoscopio a 6 specchi
Foto 10. Immagine da caleidoscopio a 4
specchi.
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Fase 7: Simulazione di un caleidoscopio con Cabri-Geomètre
Con Cabri-geomètre in laboratorio di informatica si simula la riflessione con due specchi. Il docente
guida la costruzione come descritto nell'appendice 3.
La simulazione è interessante perché si rappresenta con un angolo la sezione sul piano
dell'angolo diedro tra gli specchi. Variando l'ampiezza dell'angolo si osservano le immagini
prodotte anche con angoli piccoli, che con gli specchi reali non sono osservabili.
Si tratta inoltre di un semplice esercizio con Cabri che rivela la potenzialità della generalizzazione
delle situazioni.
Fase 8. Ricerca su internet dell’origine del caleidoscopio e conclusioni.
Al termine della ricerca individuale dopo breve discussione l’insegnante concorda un testo che
ogni ragazzo stamperà e inserirà nel quaderno.
Si prepara una scheda per gli studenti (vedi appendice 1)
Risultati e commenti
Il lavoro ha stupito anche noi insegnanti per il fascino che la bellezza delle immagini ottenute
suscitava non solo in noi e per la possibilità di far cogliere ai ragazzi un legame evidente tra
matematica e bellezza. Inoltre il lavoro si presta a molti possibili approfondimenti e collegamenti
interdisciplinari (fisica, arte).
Spunti per possibili approfondimenti
Fisica, Arte, Matematica:composizione di trasformazioni, tassellazione del piano.
Bibliografia e sitografia
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/Coxeter/Coxeter.htm
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APPENDICE N. 1
Presentazione elaborata dagli studenti
La scheda di presentazione dell’attività è stata elaborata dagli studenti, a seguito di una
discussione con il docente di Greco e Latino e la consultazione del sito del Politecnico di Torino
(vedi sitografia).
Il
CALEIDOSCOPIO
Il caleidoscopio (dal greco καλός, bello, ειδος, forma e σκοπέω, vedo) è uno strumento che si
serve di specchi e pezzetti di vetro colorati per creare infinite strutture simmetriche. Di solito è un
semplice tubo di cartone con all'interno una serie di specchi diversi per forma e colore.
La parola fa riferimento alla lingua greca, e significa letteralmente "vedere bello". Appoggiando un
occhio ad un'estremità (come un cannocchiale) e girando l'altra estremità, si possono vedere delle
figure interessanti con i pezzi di vetro o plastica colorati contenuti all'interno.Il caleidoscopio è
stato inventato nel 1816 dallo scozzese David Brewster mentre conduceva esperimenti sulla
polarizzazione della luce e successivamente brevettato nel 1817.
La bellezza delle immagini contrasta con la banalità degli oggetti con cui è costruito: da un
apparente disordine antiestetico nasce un’ immagine che stupisce per la sua armonia.All’ origine
di questo passaggio dal caos al “cosmo” c’è la legge fisica della riflessione e il suo modello
matematico che è la simmetria assiale.
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APPENDICE N. 2
Cos'è la riflessione?
È il fenomeno per cui un'onda che incide sulla superficie di separazione (interfaccia) tra due mezzi
differenti non attraversa l'interfaccia, ma cambia direzione di propagazione ritornando nel mezzo
da cui è venuta. In generale l'onda incidente viene in parte assorbita e in parte riflessa. La
riflessione può avvenire specularmente (riflessione speculare o regolare) cioè in una unica
direzione, oppure diffusamente (riflessione diffusa) cioè in varie direzioni.
Ci occuperemo della riflessione speculare.
L’angolo i tra il raggio incidente e la normale alla superficie riflettente nel punto di incidenza è
chiamato angolo di incidenza, e il piano formato da questa due rette è chiamato piano di incidenza.
Il raggio riflesso giace nel piano di incidenza e forma un angolo r con la normale chiamato angolo
di riflessione. La riflessione di onde elettromagnetiche è regolata da due leggi fondamentali,
ricavabili dal principio di Fermat e dal principio di Huygens-Fresnel:
•
•
Il raggio incidente ed il raggio riflesso giacciono sullo stesso piano
L'angolo di incidenza e l'angolo di riflessione sono uguali.
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I raggi provenienti dall’oggetto riflessi da uno specchio sembrano provenire dall’immagine posta
dietro allo specchio. L’immagine è simmetrica all’oggetto .
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APPENDICE N. 3
Simulazione con Cabri-Geomètre
Obiettivi della simulazione con Cabri:
- Previsioni sul fenomeno prima ancora di aver costruito gli specchi.
Semplice esercitazione per acquisire manualità nelle funzioni più semplici di Cabri
Costruzione e simulazione (con Cabri) della riflessione con due specchi
Angolo di 9° fra i due specchi
Angolo di 60°
Angolo di 120°
9
60
120
La costruzione permette di osservare il numero delle riflessioni di un punto materiale posto sulla
bisettrice dell’angolo formato da due specchi piani. La possibilità di usare la stessa costruzione e di
variare l’angolo permette una efficace comprensione del fenomeno.
L’attività può essere svolta sia con Cabri Geometre II sia con Cabri Geometre II Plus.
La costruzione è semplice e richiede conoscenze minime di Cabri.
-
-
-
Apri Cabri Geometre II (Cabri Geometre Plus)
Dai un titolo al lavoro: clicca sul penultimo tasto VISUALIZZA:TESTO, poi clicca sul foglio di
lavoro e si apre una finestra in cui puoi scrivere il titolo, ad esempio:
SPECCHI 60°
Puoi colorare l’etichetta: clicca sull’ultimo tasto DISEGNA: RIEMPIMENTO, scegli il colore e
avvicina la freccia alla finestra del titolo finchè compare la scritta “questo testo”: clicca sul testo.
Crea due punti sul piano: clicca sul secondo tasto PUNTO, e clicca due volte su due punti
qualsiasi del piano. Chiama O il primo di essi, e P l’altro.
Costruisci il segmento che congiunge i due punti: tasto PUNTO: SEGMENTO. (In questo modo
il segmento è fissato sula piano).
Costruisci una semiretta di origine O: RETTA: SEMIRETTA e clicca su O e poi su un qualsiasi
altro punto del piano: Segmento e semiretta rappresentano la sezione dei due specchi
rettangolari con uno dei loro lati coincidente.
Chiedi la misura dell’angolo: clicca sul terzultimo tasto MISURA: MISURA DELL’ANGOLO,
avvicina la matita a P e clicca, poi clicca su O e infine su un punto qualsiasi della semiretta
Costruisci la bisettrice dell’angolo formato dal segmento OP : quinto tasto TRASFORMA:
BISETTRICE: clicca su P poi su O infine su un punto qualsiasi della semiretta
Costruisci un punto sulla bisettrice: secondo tasto PUNTO: PUNTO SU UN OGGETTO.
Cambia colore al punto: ultimo tasto: MOSTRA/NASCONDI: COLORE: appare la mappa dei
colori, si clicca su uno di essi, si avvicina il pennello al punto e si clicca su di esso. Questo
punto rappresenta lo spillo di cui si vogliono simulare le immagini allo specchio. (d’ota in poi
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sarà chiamato così)
Nascondere la bisettrice: ultimo tasto: MOSTRA/NASCONDI: quando ci si avvicina alla
bisettrice appare la scritta: Quale oggetto? E la possibilità di scegliere: Bisettrice. La bisettrice
rimane, ma nascosta.
Il segmento e la semiretta rappresentano due specchi piani. Il punto sulla bisettrice lo spillo di
cui si vogliono osservare le immagini riflesse.
Con il sesto tasto: SIMMETRIA ASSIALE: avvicinarsi allo spillo (appare la scritta: questo
punto) cliccare su di esso, avvicinarsi al segmento che rappresenta uno dei due specchi
(appare la scritta: questo segmento), cliccare e si ottiene il punto simmetrico. Ripetere
l’operazione costruendo il punto simmetrico rispetto alla semiretta che rappresenta l’altro
specchio.
Si procede poi costruendo le immagini delle immagini: con un angolo di 60° tra gli specchi, dopo la
quinta immagine, le successive si sovrappongono a quelle già esistenti.
Si può infine variare l’angolo tra gli specchi: usare il primo tasto: PUNTATORE: ruota e dilata
cliccando lentamente sulla semiretta (finchè il puntatore diventa una mano che afferra la semiretta
stessa) e osservare quante immagini si formano al variare dell’angolo tra gli specchi (naturalmente
vanno ogni volta costruite tutte le immagini che si formano.)
1. Si osserva che al diminuire dell’angolo tra i due specchi cresce il numero delle immagini.
2. Nel costruire i cammini della luce dall’oggetto all’occhio si deve considerare la possibilità che la
luce subisca riflessioni multiple sui due specchi prima di giungere all’osservatore.
3. Se s’include nel conteggio anche l’oggetto (contando quindi N = n° immagini + 1) si intravede
un collegamento tra il numero di "cose viste", l’angolo compreso tra gli specchi e i poligoni
regolari di N lati. L’angolo tra gli specchi è sempre uguale all’angolo esterno di tali poligoni.
4. Ne deriva la possibilità di prevedere che l’angolo che produrrà un dato numero N di "cose
viste" sarà uguale a 360°/N e che se ci si mette tra due specchi paralleli (angolo tra gli specchi
uguale a zero) si vedranno infinite immagini.
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