Assegnazione degli autovalori mediante retroazione

Assegnazione degli autovalori mediante retroazione
In questa nota si espongono alcuni esercizi svolti sullo spostamento di autovalori utilizzando l’algoritmo
visto a lezione. Per le notazioni utilizzate ed i dettagli del procedimento, si fa riferimento agli appunti presi a
lezione e alle note disponibili in libreria (dal titolo “Retroazione dallo stato, stabilizzazione e assegnazione degli
autovalori ”).
Si noti che
• le matrici A degli esempi hanno struttura triangolare a blocchi che rende immediato il computo degli
autovalori;
• anche se non sempre indicato, è possibile (come verifica dell’efficacia del metodo e -soprattutto- della
correttezza dei conti svolti) calcolare gli autovalori del sistema a ciclo chiuso;
• anche se tutti gli esempi seguenti sono a tempo continuo, il metodo si applica invariato anche a problemi
riguardanti sistemi a tempo discreto;
• in tutti gli esempi, almeno uno dei due elementi di fa può essere scelto arbitrariamente (l’equazione
γa = λa + (va0 B)fa per la scelta di fa è una sola equazione lineare in due incognite [fa1 , fa2 ]);
• in tutti gli esempi, il sistema di partenza è instabile avendo un autovalore nella regione di instabilità;
tuttavia, dopo lo spostamento di tale autovalore all’interno della regione di stabilità, il sistema a ciclo
chiuso che si ottiene ha tutti gli autovalori all’interno della regione di stabilità ed è asintoticamente stabile.
Esempio 1 Per il sistema a tempo continuo ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)



1
−2 0 1
A =  2 −1 1 , B = 0
1
0
0 4
avente:

0
1 ,
0
si utilizzi una retroazione dallo stato del tipo u = F x per spostare, se possibile, l’autovalore λ = 4 (nella regione
di instabilità) al valore λ = −2 (nella regione di stabilità).
Soluzione
Il sistema è raggiungibile, quindi sicuramente l’autovalore può essere spostato tramite retroazione.
Il testo fornisce l’indicazione che λa = 4, γa = −2.
Occorre trovare l’autovettore sinistro va0 , ovvero un vettore tale che:
va0 (A − λa I) = 0

−6 0 1



va0 
 2 −5 1  = 0
0
0 0

⇒
va0 = [0 0 1]
h
i
Si ha quindi che va0 B = [1 0] e l’equazione λa + va0 Bfa = γa diventa (essendo fa = ffa1
): 4 + fa1 = −2
a2
ovvero fa1 = −6. (Si noti che, in questo esempio, fa2 è completamente arbitrario e può essere fissato ad esempio
uguale a zero.)
La matrice di retroazione cercata è quindi data da:
−6 0 0 −6
0 0 1 =
Fa =
0
0 0 0
e il sistema a ciclo chiuso è caratterizzato dalla seguente dinamica:


−2 0 −5
A + BFa =  2 −1 1  .
0
0 −2
1
Esempio 2 Per il sistema a tempo continuo

1
A = 2
3
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)


0
0
0
−3 2  , B = 0
0 −4
1
avente:

1
0 ,
0
si utilizzi una retroazione dallo stato del tipo u = F x per spostare, se possibile, l’autovalore λ = 1 (nella regione
di instabilità) al valore λ = −3 (nella regione di stabilità).
Soluzione
Il sistema è raggiungibile, quindi sicuramente l’autovalore può essere spostato tramite retroazione.
Il testo fornisce l’indicazione che λa = 1, γa = −3.
Occorre trovare l’autovettore sinistro va0 , ovvero un vettore tale che:
va0 (A − λa I) = 0

0 0
0



va0 
 2 −4 2  = 0
3 0 −5

⇒
va0 = [1 0 0]
h
i
Si ha quindi che va0 B = [0 1] e l’equazione λa + va0 Bfa = γa diventa (essendo fa = ffa1
): 1 + fa2 = −3
a2
ovvero fa2 = −4. (Si noti che, in questo esempio, fa1 è completamente arbitrario e può essere fissato ad esempio
uguale a zero.)
La matrice di retroazione cercata è quindi data da:
0 0 0 0
0 0 1 =
Fa =
−4
−4 0 0
e il sistema a ciclo chiuso è caratterizzato dalla seguente dinamica:


−3 0
0
A + BFa =  2 −3 2  .
3
0 −4
Esempio 3 Per il sistema a tempo continuo ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)



2 −2 0
0
A = 0 −3 0 , B = 1
0
1 2 1
avente:

1
0 ,
0
si utilizzi una retroazione dallo stato del tipo u = F x per spostare, se possibile, l’autovalore λ = 1 (nella regione
di instabilità) al valore λ = −1 (nella regione di stabilità).
Soluzione
Il sistema è raggiungibile, quindi sicuramente l’autovalore può essere spostato tramite retroazione.
Il testo fornisce l’indicazione che λa = 1, γa = −1.
Occorre trovare l’autovettore sinistro va0 , ovvero un vettore tale che:
va0 (A − λa I) = 0

−3 −2 0



va0 
 0 −4 0  = 0
1
2 0

2
⇒
va0 = [1 1 3]
Si ha quindi che va0 B = [1 1] e l’equazione λa +va0 Bfa = γa diventa (essendo fa =
ovvero fa1 + fa2 = −2. Una scelta possibile è dunque fa1 = fa2 = −1.
La matrice di retroazione cercata è quindi data da:
−1 −1 −1 −3
1 1 3 =
Fa =
−1
−1 −1 −3
h
fa1
fa2
i
): 1+fa1 +fa2 = −1
e il sistema a ciclo chiuso è caratterizzato dalla seguente dinamica:


−3 −3 −3
A + BFa = −1 −4 −3
1
2
1
avente autovalori Λ(A + BFa ) = {−1, −2, −3}.
Esempio 4 Per il sistema a tempo continuo ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)



−3 1 1
0
A =  0 −2 0 , B = 0
0
1 3
1
avente:

0
1 ,
0
si utilizzi una retroazione dallo stato del tipo u = F x per spostare, se possibile, l’autovalore λ = 3 (nella regione
di instabilità) al valore λ = −1 (nella regione di stabilità).
Soluzione
Il sistema è raggiungibile, quindi sicuramente l’autovalore può essere spostato tramite retroazione.
Il testo fornisce l’indicazione che λa = 3, γa = −1.
Occorre trovare l’autovettore sinistro va0 , ovvero un vettore tale che:
va0 (A − λa I) = 0

−6 1 1



va0 
 0 −5 0  = 0
0
1 0

⇒
va0 = [0 1 5]
Si ha quindi che va0 B = [5 1] e l’equazione λa +va0 Bfa = γa diventa (essendo fa =
ovvero 5fa1 + fa2 = −4.
Scegliendo fa1 = −1, fa2 = 1 si ha:
−1 0 −1 −5
0 1 5 =
Fa =
1
0 1
5
h
fa1
fa2
i
): 3+5fa1 +fa2 = −1
e il sistema a ciclo chiuso è caratterizzato dalla seguente dinamica:


−3 1
1
A + BFa =  0 −1 5  .
0
0 −2
Si noti che, dalla teoria, si sa che gli autovalori destri corrispondenti agli autovalori non modificati devono
rimanere invariati. Verifichiamo la proprietà ricordata per l’autovettore destro relativo a λ = −2:




−1 1 1
−4







(A + 2I)v = 0 ⇔ 
 0 0 0  v = 0 ⇒ v =  −5 
0 1 5
1
3
mentre per la dinamica a ciclo chiuso:

(A + BFa + 2I)w = 0
⇔
−1

 0

0
1 1
1
0



5 
v
0
=0
Esempio 5 Per il sistema a tempo continuo ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)



−1 0 0
1
A =  1 2 −1 , B = 0
1 0 −2
0
⇒
−4




w=
 −5  = v
1
avente:

0
1 ,
0
si utilizzi una retroazione dallo stato del tipo u = F x per spostare, se possibile, l’autovalore λ = 2 (nella regione
di instabilità) al valore λ = −4 (nella regione di stabilità).
Soluzione
Il sistema è raggiungibile, quindi sicuramente l’autovalore può essere spostato tramite retroazione.
Il testo fornisce l’indicazione che λa = 2, γa = −4.
Occorre trovare l’autovettore sinistro va0 , ovvero un vettore tale che:
va0 (A − λa I) = 0

−3 0 0



va0 
 1 0 −1  = 0
1 0 −4

⇒
va0 = [1 4 − 1]
Si ha quindi che va0 B = [1 4] e l’equazione λa +va0 Bfa = γa diventa (essendo fa =
e quindi una scelta ammissibile è data da fa1 = −2, fa2 = −1.
La matrice di retroazione cercata è quindi data da:
−2 −2 −8 2
1 4 −1 =
Fa =
−1
−1 −4 1
h
fa1
fa2
i
): 2+fa1 +4fa2 = −4,
e il sistema a ciclo chiuso è caratterizzato dalla seguente dinamica:


−3 −8 2
A + BFa =  0 −2 0  .
1
0 −2
Esempio 6 Per il sistema a tempo continuo ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) avente:




−1 0 −1
1 0
A =  2 −2 1  , B = 0 0 ,
0
0
2
0 1
si utilizzi una retroazione dallo stato del tipo u = F x per spostare, se possibile, l’autovalore λ = 2 (nella regione
di instabilità) al valore λ = −3 (nella regione di stabilità).
Soluzione
Il sistema è raggiungibile, quindi sicuramente l’autovalore può essere spostato tramite retroazione.
4
Il testo fornisce l’indicazione che λa = 2, γa = −3.
Occorre trovare l’autovettore sinistro va0 , ovvero un vettore tale che:
va0 (A − λa I) = 0

3 0 1


=0
−2
2
−1
va0 


0 0 0

⇒
va0 = [0 0 1]
h
i
Si ha quindi che va0 B = [0 1] e l’equazione λa + va0 Bfa = γa diventa (essendo fa = ffa1
): 2 + fa2 = −3
a2
ovvero fa2 = −5. (Si noti che, in questo esempio, fa1 è completamente arbitrario e può essere fissato ad esempio
uguale a zero.)
La matrice di retroazione cercata è quindi data da:
0 0 0 0
0 0 1 =
Fa =
−5
0 0 −5
e il sistema a ciclo chiuso è caratterizzato dalla seguente dinamica:


−1 0 −1
A + BFa =  2 −2 1  .
0
0 −3
Esempio 7 Per il sistema a tempo continuo ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)



1 4
0
1
A = 0 −1 0  , B = 0
2 −1 −3
0
avente:

0
−1 ,
0
si utilizzi una retroazione dallo stato del tipo u = F x per spostare, se possibile, l’autovalore λ = 1 (nella regione
di instabilità) al valore λ = −2 (nella regione di stabilità).
Soluzione
Il sistema è raggiungibile, quindi sicuramente l’autovalore può essere spostato tramite retroazione.
Il testo fornisce l’indicazione che λa = 1, γa = −.
Occorre trovare l’autovettore sinistro va0 , ovvero un vettore tale che:
va0 (A − λa I) = 0

0 4
0



va0 
 0 −2 0  = 0
2 −1 −4

⇒
va0 = [1 2 0]
Si ha quindi che va0 B = [1 − 2] e l’equazione λa + va0 Bfa = γa diventa (essendo fa =
−2 ovvero fa1 − 2fa2 = −3: è pertanto possibile scegliere ad esempio fa1 = 1, fa2 = 2.
La matrice di retroazione cercata è quindi data da:
1 1 2 0
1 2 0 =
Fa =
2
2 4 0
e il sistema a ciclo chiuso è caratterizzato dalla seguente dinamica:


2
6
0
A + BFa = −2 −5 0  .
2 −1 −3
5
h
fa1
fa2
i
): 1 + fa1 − 2fa2 =