La conduzione termica nei solidi

La conduzione termica nei solidi
La trasmissione del calore è un fenomeno complesso, in genere costituito dalla sovrapposizione degli effetti di più fenomeni
elementari ognuno dei quali può avere un ruolo prevalente o marginale a seconda delle proprietà del mezzo in cui ha luogo la
trasmissione del calore. Si distinguono tre diversi modi di trasmissione detti conduzione, convezione, irraggiamento.
Da un punto di vista macroscopico, la conduzione termica si manifesta come scambio di energia termica all’interno di corpi o
tra corpi solidi, liquidi o gassosi, in contatto tra di loro, senza movimento macroscopico di materia.
L’entità dell'energia termica, che si scambia o che si propaga in un corpo, dipende dalla geometria e dalle sue caratteristiche
fisiche oltre che dalla differenza di temperatura tra le regioni del corpo interessate allo scambio termico.
Per esempio, se si riveste un serbatoio di acqua bollente con lana di vetro (materiale isolante termico), si riduce
progressivamente l’entità della dispersione termica con l’aumentare dello spessore dell’isolante. Tale dispersione dipenderà
inoltre dalla differenza di temperatura tra acqua ed ambiente circostante e dall’estensione dell’area disperdente.
Per studiare il processo della conduzione da un punto di vista quantitativo, si considera un corpo solido a forma di
parallelepipedo (parete), di spessore L [m] e facce maggiori con superficie A [m2], tale che sia T1 la temperatura su una delle
facce maggiori e T2 quella sull’altra, con T2 > T1.
Si chiama gradiente termico (o di temperatura) ∆T/L la rapidità con cui la temperatura varia lungo la parete.
Si chiama flusso termico (o flusso di calore o corrente termica) Φ la rapidità con cui il calore viene condotto lungo la parete
∆Q
cioè il rapporto Φ=
, dove Q è la quantità di calore che attraversa in un tempo ∆t una superficie A della parete.
∆t
joule
=watt .
Dimensionalmente il flusso termico è una potenza, essendo
secondo
[
]
Sperimentalmente si constata che la quantità di calore che attraversa la parete nel
tempo ∆t:
- è direttamente proporzionale all'area della parete, A;
- è inversamente proporzionale al suo spessore, L;
- è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura tra i due lati, ∆T;
- dipende dal tipo di materiale di cui è costituita la parete.
Il flusso termico Φ che attraversa la superficie A è costante e direttamente
proporzionale al gradiente di temperatura e all’area A (legge di Fourier):
Φ=
A
∆Q
=k · ·(T 2 T 1 )
∆t
L
La legge spiega alcune osservazioni ben note come, per esempio:
a) maggiore è la differenza di temperatura ∆T tra l’interno e l’esterno di una abitazione, e quindi maggiore è ∆T/L, più grande
sarà il calore che transita attraverso le pareti (dispersione di calore);
b) minore è lo spessore L, e quindi maggiore è il gradiente termico ∆T/L, più grande sarà il calore che transita attraverso le
pareti;
c) si comprende anche perché si cerchi di rendere massima la superficie dei radiatori, quali i caloriferi o i radiatori delle auto
mediante corrugamenti e ripiegature; in tal modo, essendo massima la superficie A radiante, è massima la quantità di calore
emessa o dissipata.
La costante di proporzionalità k, misurata in W/(m·K), è chiamata
coefficiente di conducibilità termica.
Come è evidente, grandi valori di k definiscono buoni conduttori di calore e
viceversa. Si osservi, che l’aria ha un valore di k piccolo quanto quello dei
migliori isolanti in commercio, come la lana di roccia, la quale deve la sua
efficacia alla capacità di intrappolare celle isolate di aria.
Se siamo interessati ad isolare (coibentare) la nostra casa o a mantenere
fredda una bibita in lattina siamo più interessati ai cattivi conduttori di calore
che a quelli buoni.
La conduzione termica nei solidi è per molti versi analoga alla conduzione elettrica dei conduttori.
Infatti, la legge di Fourier definisce un legame tra il flusso termico Φ e il salto termico ∆T che si può esprimere nella forma:
(T T 1 )
L
Φ= 2
, indicando con RT (resistenza termica di conduzione) il termine RT =
.
k·A
RT
Se ne conclude che, nel modello matematico, la trasmissione di calore per conduzione ha una forte analogia con la legge di
(V V 1 )
Ohm i= 2
: il flusso della corrente elettrica (I) tra due punti in un conduttore è uguale alla differenza di potenziale
R
tra di essi (V2-V1) diviso la resistenza elettrica (R). Inoltre anche la definizione di resistenza termica RT è analoga alla seconda
legge di Ohm.
In un conduttore, il flusso di carica elettrica (corrente elettrica) è guidato da una differenza di potenziale, così come il flusso
termico è guidato da una differenza di temperatura.
Nella conduzione elettrica, la carica elettrica viene trasportata da un punto in un conduttore ad un altro dal movimento degli
elettroni. Nella conduzione termica, il calore viene trasportato da un punto di un solido ad un altro dalla vibrazione delle
molecole del solido dovute all'incremento di energia. Lo scambio termico è dovuto alla cessione di energia cinetica molecolare
(vibrazionale) da zone ad alta temperatura verso zone adiacenti a più bassa temperatura.
Nel caso particolare dei solidi metallici, oltre a tale meccanismo si deve considerare anche la componente di energia trasportata
grazie al moto degli elettroni.
Due sistemi si dicono analoghi quando sono retti da equazioni simili ovvero se l’equazione che descrive il comportamento di
un sistema può essere trasformata nell’equazione dell’altro sistema cambiando semplicemente i simboli delle variabili.
Se nell’equazione I=∆V/R (legge di Ohm), si sostituisce I con Φ , ∆V con ∆T , R con R T si ottiene la legge del flusso termico
Φ=∆T/R, che è detta talvolta equivalente termico della legge di Ohm. Essa afferma che la quantità di calore scambiata
nell’unità di tempo, ossia il flusso termico, è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura che causa lo scambio di
calore. In sintesi:
Fenomeni termici
→
Fenomeni elettrici
∆T = RT ·Φ
→
∆V = R · I
Flusso termico (Φ )
→
Corrente (I)
Differenza di temperatura (∆T)
→
Differenza di potenziale (∆V)
Resistenza termica (RT)
→
Resistenza elettrica (R)
Avendo stabilito questa analogia fondamentale, si possono applicare ai problemi di trasmissione del calore alcuni risultati della
teoria della corrente continua: ogni circuito elettrico ha un circuito termico corrispondente e viceversa.
Ad esempio, se due elementi sono attraversati dalla stessa corrente termica, si dicono in serie; invece se lo scambio di calore è
dovuto alla stessa differenza di temperatura, si dicono in parallelo.
Consideriamo un tipico muro di una casa, costituito da tre strati di materiale differente, in cui le due superfici (esterna e
interna) sono a temperature diverse: il calore in questo caso è scambiato unicamente per conduzione e la resistenza termica
totale è Rtotale= RcementoRisolanteRmattoni . Note le caratteristiche geometriche e la conducibilità termica di ciascuno strato, si
possono determinare le resistenze termiche di ciascuno dei tre strati, che sono collocati in serie. Allora è chiaro che il calore
dissipato in questo caso è minore rispetto ad una parete costituita solo da mattoni e cemento, e questo è appunto il principio
seguito dai costruttori edili per minimizzare le perdite di calore.
Esercizi.
1. Tra le due facce piane parallele di una parte di muro di area 12 m 2 e spessore 30 cm esiste una differenza di temperatura di
15° C. Il coefficiente di conducibilita termica del muro è 0,0013 J/(s·cm·°C).
Calcola la quantita di calore che viene dispersa attraverso il muro ogni secondo e in un giorno.
Ripeti l’esercizio supponendo di accostare alla parete un pannello di legno dello spessore di 1,0 cm con k = 0,20 W/(m·K).
Quanta energia viene dispersa in meno ogni 24 ore?
Se un metro cubo di metano libera bruciando 36,3 MJ e costa 0,40 euro, quanto risparmio ogni giorno grazie al legno?
Quanto risparmio nel corso di 4 mesi annuali nei quali il clima è più rigido?
2. Si consideri una parete di mattoni alta 4 m, larga 6 m e spessa 0,3 m, la cui conducibilità termica è k = 0, 8 W/(m·°C). In un
certo giorno i valori misurati delle temperature della superficie interna e della superficie esterna della parete sono 14°C e 6°C,
rispettivamente. Si determini la potenza termica dissipata attraverso la parete in quel giorno.
3. In uno strato composto da un materiale edile di spessore 10 cm e conducibilità 1 W/(m·K), uno strato di isolante di
conducibilità 0,04 W/(m·K) ed un successivo strato di materiale edile di spessore 15 cm e conducibilità 0,9 W/(m·K), calcolare
lo spessore del materiale isolante affinché la resistenza termica di 1m2 di parete sia 1,27 K/W.
4. Una parete di superficie complessiva 8,0 m2 costituita per i 4,0 m2 inferiori da muratura (kM=0,13 W/(m·K)) e per i 4,0 m2
superiori da legno (kL=0,22 W/(m·K)). Calcola la resistenza termica dell’una e dell’altra parte, sapendo che lo spessore del
muro è 35 cm e quello del legno 2,0 cm. Calcola la resistenza termica complessiva. Se la temperatura interna è di 20°C e
quella esterna di 4,0°C calcola la potenza dispersa.