Appunti di Logica Matematica (2)

Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini)
[# Aii [10 pagine]]
Algebre di Boole
1. Definizione e proprietá
Un’ algebra di Boole è una struttura
B =< B, ∨, ∧, ν, 0, 1 >
in cui B è un insieme non vuoto, ∨, ∧ sono operazioni binarie in B, ν è un’ operazione
unaria in B, 0, 1 sono costanti e sono soddisfatti i seguenti assiomi: per tutti gli a, b, c ∈
B:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(commutative) a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a;
(associative) a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c, a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c;
(distributive) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c), a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c);
(elementi neutri) a ∨ 0 = a, a ∧ 1 = a;
(complementazione) a ∨ (νa) = 1, a ∧ (νa) = 0.
Nella precedente definizione, non si esclude che B abbia un solo elemento; significa
(come vedremo) che 1 = 0 in una tale struttura (algebra degenere). Nel seguito, tuttavia,
ci occuperemo solo di algebre di Boole con almeno due elementi. Spesso scriviamo B per
indicare l’ algebra B.
2. Esempi.
(1) La struttura 2 =< 2, ∨2 , ∧2 , ¬2 , 0, 1 > dei valori di veritá è un’ algebra di Boole.
Ricordiamo che 2 denota l’ insieme {0, 1}. Le operazioni sono date dalle tavole
di veritá: per a, b ∈ 2 :
(a) ∧2 (a, b) :=: 1 sse a = b = 1;
(b) ∨2 (a, b) :=: 0 sse a = b = 0;
(c) ¬2 (a) :=: 1 sse a = 0.
(2) Per ogni insieme X 6= ∅, sia PX (anche indicato con P(X)) l’insieme dei sottinsiemi di X. La struttura < PX, ∪, ∩, {, ∅, X > in cui {Y = X \ Y per Y ⊆ X
(complementazione), è un’algebra di Boole.
(3) FBF / ≡ si puó strutturare come algebra di Boole.
La relazione di equivalenza logica, denotata da ≡, tra due formule è definita da:
P ≡ Q se |= P ↔ Q : ossia dal fatto che v(P ) = v(Q) per ogni interpretazione
v. Ricordiamo il teorema di sostituzione: se Pi ≡ Qi , i = 0, . . . , n, allora
~ ≡ R[Q/
~ A].
~
R[P~ /A]
1
2
Lemma 1. La relazione ≡ è una relazione d’equivalenza in FBF , e rispetta i
connettivi, ossia se P ≡ P 0 , Q ≡ Q0 , allora anche (P
Q) ≡ (P 0
Q0 ), (per
= ∧, ∨) e ¬P ≡ ¬P 0 .
DIM . Si tratta di stabilire che P ↔ P ∈ T AU T ; che se P ↔ Q, Q ↔ R ∈
T AU T allora anche Q ↔ P, P ↔ R ∈ T AU T, e tutto ció è quasi ovvio. Inoltre
c’è da verificare che se P ↔ P 0 , Q ↔ Q0 ∈ T AU T, allora anche (P
Q) ↔
(P 0 Q0 ) ∈ T AU T, ed analogamente per ¬. Si considerino la formula R = (A0
A1 ) e le sostituzioni [P, Q/A0 , A1 ], [P 0 , Q0 /A0 , A1 ]. Per il teorema di sostituzione
avremo:
P
Q = R[P, Q/A0 , A1 ] ≡ R[P 0 , Q0 /A0 , A1 ] = P 0
Q0 .
Analogamente per la negazione.
Il lemma consente di definire nel quoziente FBF / ≡ operazioni corrispondenti
ai connettivi; se con P≡ denotiamo la classe di equivalenza di P :
(a) P≡ Q≡ := (P Q)≡ ;
(b) ¬(P≡ ) := (¬P )≡ ;
(c) 0 := ⊥≡ .
A questo punto i segni di connettivo ∨, ∧, ¬ assumono ancora un altro senso: per
denotare le operazioni nell’ algebra quoziente PROP/ ≡ .
Ponendo ulteriormente 0 = ⊥≡ , 1 = (¬⊥)≡ , il lettore verifichi che la struttura
FBF / ≡ gli assiomi di algebra di Boole.
[Si tratta di controllare una serie di tautologie; per esempio, che per ogni
P, Q ∈ P ROP,
|= (P ∨ (R ∨ Q)) ↔ ((P ∨ R) ∨ Q),
|= P ∨ (¬P ),
|= ¬(P ∧ ¬P ).]
(4) Dato un insieme X, un sottinsieme Y ⊆ X dicesi cofinito (in X) se X \ Y é
un insieme finito. Con le usuali operazioni insiemistiche, dato un insieme X, la
famiglia
{Y |Y ⊆ X, Y finito oppure cofinito}
è un’ algebra di Boole.
(5) Dato uno spazio topologico < X, T >, la famiglia {Y |Y ⊆ X, Y aperto e Y chiuso},
con le usuali operazioni insiemistiche (come in 2), è un algebra di Boole (algebra
dei clopen di X).
3. Alcune proprietá.
Nello scrivere termini con le operazioni booleane, useremo la convenzione per cui ν ha
la prioritá su ∨, ∧ : per esempio, νa ∧ b sta per (νa) ∧ b.
La complementazione é caratterizzata univocamente dall’ assioma (5):
Proposizione 1. Se a ∨ x = 1, e a ∧ x = 0, allora x = νa.
3
Si ha una sequela di uguaglianze (tra parentesi indichiamo l’ assioma o l’ipotesi applicata):
νa = [4]νa ∧ 1 = [ip.]νa ∧ (a ∨ x) = [3](νa ∧ a) ∨ (νa ∧ x) = [1](a ∧ νa) ∨ (νa ∧ x)
= [4]0 ∨ (νa ∧ x) = [ip.](a ∧ x) ∨ (νa ∧ x) = [1](x ∧ a) ∨ (x ∧ νa)
= [3]x ∧ (a ∨ νa) = [5]x ∧ 1 = [4]x.
Proposizione 2. Si ha ννa = a.
Infatti dagli assiomi (1) e (5) si ha νa∨a = 1, νa∧a = 0; dalla proposizione precedente,
si ricava a = ννa.
Principio di dualitá. Si noti che se in un assioma si scambiano tra loro tutti i segni di
operazione ∨ e ∧, e 0 con 1, si ottiene ancora un assioma. Pertanto se si ha un’ identitá
t = t0 che vale in tutte le algebre di Boole, e se in t, t0 si fa lo stesso scambio, si ottiene
ancora un’ identitá valida in tutte le algebre di Boole.
Proposizione 3. In un’ algebra di Boole valgono le proprietá:
(1) (idempotenza) a ∨ a = a, a ∧ a = a;
(2) (assorbimento) a ∨ (a ∧ b) = a, a ∧ (a ∨ b) = a;
Infatti: a = a∨0 = a∨(a∧νa) = (a∨a)∧(a∨νa) = (a∨a)∧1 = a∨a. Allora a∧a = a
si ottiene per dualitá. Inoltre a ∨ (a ∧ b) = (a ∧ 1) ∨ (a ∧ b) = a ∧ (1 ∨ b) = a ∧ 1 = a.
L’altra si ottiene per dualitá.
In una algebra di Boole si definisce la relazione binaria ≤ (o ≤B ) ponendo a ≤ b se
a ∨ b = b.
Inoltre si pone per definizione a → b = (νa) ∨ b; a ↔ b = (a → b) ∧ (b → a). Spesso
scriviamo anche a0 per νa.
Proposizione 4. Sia B un’ algebra di Boole; per ogni a, b, x ∈ B si ha:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
a ≤ b sse a ∧ b = a;
se a ≤ b allora a ∧ x ≤ b ∧ x ed a ∨ x ≤ b ∨ x;
≤ è un ordine parziale in B;
a ∧ b = inf≤ {a, b}, a ∨ b = sup≤ {a, b};
0 ≤ a ≤ 1, 0 ∧ a = 0, 1 ∨ a = 1;
a ≤ b sse a → b = 1 sse a ∧ b0 = 0; a = b sse a ↔ b = 1;
a ∧ x ≤ b sse x ≤ a → b;
a ∧ b = 0 sse a ≤ b0 sse b ≤ a0 ;
a0 = b0 sse a = b;
a → b = b0 → a0 ;
a ≤ b sse b0 ≤ a0 ;
0
a ∧ b0 = (a ∨ b)0 , a0 ∨ b0 = (a ∧ b)0 .
4
Dim. 1.Sia a∨b = b; allora a = a∧(a∨b) = a∧b. Sia a∧b = a; allora a∨b = (a∧b)∨b = b.
Sia a ≤ b; allora a ∧ x = (a ∧ b) ∧ x = a ∧ (b ∧ x) = a ∧ (x ∧ b) = a ∧ ((x ∧ x) ∧ b) =
a ∧ (x ∧ (x ∧ b)) = (a ∧ x) ∧ (b ∧ x); ossia a ∧ x ≤ b ∧ x. Similmente per ∨.
2. ≤ è riflessiva (per l’idempotenza); antisimmetrica (per la commutativita’) e transitiva (per l’ associativitá).
3.Si ha (a ∧ b) ∧ b = a ∧ b onde a ∧ b ≤ b. Similmente si vede a ∧ b ≤ a. Sia ora
x ≤ a, x ≤ b; avremo x ∨ (a ∧ b) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ b) = a ∧ b, onde x ≤ a ∧ b. Cioè
a ∧ b = inf≤ {a, b}. Similmente per ∨.
4. è pressochè ovvio.
5. Sia a ≤ b; allora a → b = a0 ∨ b = a0 ∨ (a ∨ b) = (a0 ∨ a) ∨ b = 1 ∨ b = 1.
Sia a → b = 1, allora a = a ∧ 1 = a ∧ (a0 ∨ b) = (a ∧ a0 ) ∨ (a ∧ b) = a ∧ b; onde
a ≤ b. Sia a ≤ b; da a = a ∧ b otteniamo a ∧ b0 = a ∧ b ∧ b0 = 0. Sia a ∧ b0 = 0; allora
a = a ∧ 1 = a ∧ (b ∨ b0 ) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ b0 ) = a ∧ b, onde a ≤ b.
6. Sia a ∧ x ≤ b; allora x ≤ a0 ∨ x = (a0 ∨ a) ∧ (a0 ∨ x) = a00 ∨ (a ∧ x) ≤ a0 ∨ b. Sia
x ≤ a0 ∨ b, allora a ∧ x ≤ a ∧ (a0 ∨ b) = a ∧ b ≤ b. Sia a ∧ b = 0; allora a ≤ b → 0 = b0 .
Viceversa sia a ≤ b0 ; allora a ∧ b ≤ b0 ∧ b = 0.
7. Da a00 = a si ottiene che se a0 = b0 allora a = a00 = b00 = b. Inoltre a → b = a0 ∨ b =
00
b ∨ a0 = b0 → a0 . Infine a ≤ b sse a → b = 1 sse b0 → a0 = 1 sse b0 ≤ a0 .
8. è presto visto che (a ∨ b) ∧ (a0 ∧ b0 ) = 0 e che (a ∨ b) ∨ (a0 ∧ b0 ) = 1. Infine
(a ∧ b)0 = (a00 ∧ b00 )0 = (a0 ∨ b0 )00 = a0 ∨ b0 .
Considerata l’algebra di Boole B come struttura parzialmente ordinata, si ha pertanto
che a ∧ b (risp.a ∨ b) é l’estremo inferiore (risp. superiore) dell’ insieme {a, b}. Inoltre
a → b = inf {x ∈ B|a ∧ x ≤ b}. Sono spesso utili rappresentazioni grafiche per algebre
di Boole finite: si dice che b copre a se a ≤ b ma non esiste alcun x con a < x < b;
questo si indica segnando a aldisotto di b ed unendoli con un trattino. Per esempio:
5
Esercizio. Dimostrare che non puo’ esistere un’ algebra di Boole di 3 elementi, né di
5 elementi, né di 6 elementi.
3.1. Algebre atomiche e algebre finite
Il caso finito si riduce presto alla considerazine delle sole algebre della forma P(X)
con X insieme finito.
Un atomo di B ∈ Boole è un elemento a 6= 0 e tale che 0 ≤ y ≤ a implica y = 0
oppure y = a; ossia un elemento che copre 0.
Si ha: a 6= 0 è un atomo di B sse per ogni x ∈ B o si ha a ≤ x oppure a ≤ x0 . Invero sia
a un atomo; se a 6≤ x allora a ∧ x ≤ a, a ∧ x 6= a, onde a ∧ x = 0, onde a ≤ x0 . Viceversa,
sia y ≤ a, y 6= a; allora a 6≤ y; per ipotesi, a ≤ y 0 , ossia y ≤ a0 onde y ≤ a ∧ a0 = 0.
Si noti che se a, b sono atomi distinti, a ∧ b = 0 : invero sara’ a 6≤ b oppure b 6≤ a; nel
primo caso, a ≤ b0 cioè a ∧ b = 0; e similmente nell’ altro caso.
Un algebra è detta atomica se per ogni x 6= 0 esiste un atomo a con a ≤ x. Si vede
facilmente che B è atomica se e solo se per ogni b ∈ B esiste sup≤ {a|a atomo e a ≤ b} ed
è eguale a b. Siccome un verso è ovvio, supponiamo che B sia atomica; se b = 0 avremo
b = sup≤ ∅. Sia b 6= 0; ovviamente b è un maggiorante di {a|a atomo e a ≤ b}; sia x un
maggiorante di tale insieme; se fosse b 6≤ x, avremmo b ∧ x0 6= 0; ci sarebbe allora una
atomo a ≤ b ∧ x0 ; allora a ≤ b e pertanto a ≤ x; ma allora a ≤ x ∧ x0 = 0 : assurdo.
Onde effettivamente b = sup≤ {a|a atomo e a ≤ b}.
Proposizione 5. Un’ algebra di Boole B finita è atomica, e se A è l’insieme dei suoi
atomi, B è isomorfa all’ algebra insiemistica PA.
Dim. Dato b ∈ B, b 6= 0, se b non è un atomo, ci sarebbe y0 ∈ B con 0 < y0 < b;
ripetendo il ragionamento con y0 , se y0 non è un atomo troveremmo y1 con 0 < y1 < y,
etc.. Ma l’ algebra è finita, onde qualche yn sara’ un atomo ≤ b. L’ isomorfismo da B
a P(A) si costruisce come segue: a b ∈ B associamo f (b) = {a ∈ A|a ≤ b}. Intanto
tale f è iniettiva; se b 6= c, sarà b 6≤ c oppure c 6≤ b; nel primo caso, b ∧ c0 6= 0; se
a è un atomo ≤ b ∧ c0 , allora a ∈ f (b) \ f (c); similmente nell’ altro caso. Inoltre f è
suriettiva: se Y ⊆ A, esiste, in quanto Y è finito, b = sup≤ Y ; ora b = 0 sse Y = ∅;
sia b 6= 0; se a ∈ A, a ∈ Y = {a1 , . . . , an }, allora a ∈ f (b); se poi a ≤ b, avremmo
(a ∧ a1 ) ∨ · · · ∨ (a ∧ an ) = a; ma ciascun ai è un atomo, e se fosse a 6= ai , i = 1, . . . , n
allora a∧ai = 0; , ed allora a = 0; pertanto sarà a = ai per qualche i. Infine f conserva le
operazioni: basterà controllare che conserva ∧, ¬ (perchè ?). Invero ovviamente a ≤ b∧c
sse a ≤ b ed a ≤ c; e se a ∈ A, a 6≤ b sse a ≤ b0 .
Corollario 1. Ogni algebra di Boole finita ha cardinalità 2n dove nè il numero dei suoi
atomi. Due algebre di Boole finite con lo stesso numero di elementi sono isomorfe.
OSSERVAZIONI.
1 In generale, data un’ algebra atomica anche infinita, si puó costruire la funzione f
come nella dimostrazione precedente; essa risulta essere un omomorfismo iniettivo, ma
in generale non sarà suriettiva. Per ottenere l’ isomorfismo, occorrerà che l’ algebra sia
6
anche completa, ossia che ogni sottinsieme ammetta sup≤ nell’ algebra. Cosı́ si otterrebbe
la caratterizzazione, a meno di isomorfismi, delle algebre della forma P(X) con X un
insieme: sono tutte e sole le algebre di Boole atomiche e complete.
2.L’ algebra dei finiti e cofiniti di ω è atomica (gli atomi sono i singoletti) ma non
completa : l’ insieme {{2n}|n ∈ ω} non ha un sup in tale algebra. D’altronde, tale
algebra ha ℵ0 elementi, e nessun’ algebra della forma P(X) è di cardinalitá numerabile:
se X e’ finito, anche P(X) è finito; se X è infinito, P(X) è piú che numerabile (teorema
di Cantor).
3. Un ’algebra è detta priva di atomi se non possiede atomi.
L ’algebra FBF / ≡ è priva di atomi. Invero sia Q≡ 6= 0, ossia esista una valutazione v
tale che v(Q) = 1. Se A è una lettera proposizionale che non occorre in Q, sia R = Q∧A.
Allora si ha ovviamente |= R → Q; mentre 6|= Q → R : invero se v 0 coincide con v salvo
che manda A in 0, si ha v 0 (Q → R) = 0. Inoltre A≡ 6= 0 : la valutazione che coincide
con v salvo a mandare A in 1, valuterá R in 1. E cosı́ 0 6= R≡ < Q≡ ; cioè Q≡ non è un
atomo.
La seconda osservazione mostra che non possiamo aspettarci che le algebre di Boole
infinite siano tutte del tipo P(X). Tuttavia, ogni algebra di Boole è (isomorfa ad) una
sottalgebra di P(X) per un qualche insieme X, (teorema di M.H.Stone), come vedremo
tra poco.
3.2. Filtri ed ultrafiltri booleani
Data B ∈ Boole, un filtro di B è un sottinsieme non vuoto di B tale che per ogni
x, y ∈ B,
x ∧ y ∈ U sse x ∈ U ed y ∈ U.
Si noti che allora 1 ∈ U : invero esiste qualche a ∈ U, ed allora a = a ∧ 1 ∈ U, onde
anche 1 ∈ U. Un filtro U è un filtro proprio se U 6= B. Se U è un filtro proprio di B e
per ogni x, y ∈ B
x ∨ y ∈ U sse x ∈ U oppure y ∈ U,
allora U è detto un ultrafiltro di B.
ESEMPI. 1. Per ogni a ∈ B l’ insieme {x ∈ B|a ≤ x} é un filtro. Esso é proprio se e
solo se a 6= 0. Si osservi (esercizio) che esso é un ultrafiltro se e solo se a é un atomo di
B.
2. Nell’ algebra Pω dei sottinsiemi di ω, {A ⊆ ω|3 ∈ A} é un ultrafiltro.
3. In Pω, la famiglia dei sottinsiemi cofiniti Cof é un filtro proprio.
Proposizione 6. i. Per U ⊆ B le seguenti sono equivalenti:
(1) U è un filtro;
(2) Se x, y ∈ U, x ≤ z allora anche x ∧ y ∈ U, z ∈ U.
(3) Se x, y, x → z ∈ U allora anche x ∧ y, z ∈ U.
ii.Per U filtro di B le seguenti sono equivalenti:
(1) U è un filtro proprio;
7
(2) 0 ∈
/ U;
(3) Per ogni x ∈ U si ha x0 ∈
/ U.
Dim. i.1 ⇒ 2.Se x ≤ z, allora z ∧ x = x ∈ U, ed allora anche z ∈ U. 2 ⇒ 3. Avremo:
z ≥ x ∧ z = x ∧ (x → z) ∈ U, onde z ∈ U. 3 ⇒ 1. Se x ∧ y ∈ U, avremo ovviamente
x, y, inU.
ii. Questo è un semplice esercizio.
Diremo che un filtro proprio U di B è un filtro massimale di B se é massimale (per l
’inclusione) tra i filtri proprii di B, ossia se l’unico filtro che contenga propriamente U è
B.
Proposizione 7. Per U filtro proprio di B le seguenti sono equivalenti:
(1) U è un ultrafiltro;
(2) U è un filtro massimale .
(3) Per ogni x ∈ B, o x ∈ U, oppure x0 ∈ U.
Dim. Dimostreremo che 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1.
1 ⇒ 2. Sia V un filtro che includa propriamente U ; sia a ∈ V \U. Siccome a∨a0 = 1 ∈ U,
ed a ∈
/ U, avremo a0 ∈ U, onde a0 ∈ V, ed allora a, a0 ∈ V, e quindi 0 = a ∧ a0 ∈ V , quindi
V = B.
2 ⇒ 3. Sia a ∈
/ U ; dobbiamo dimostrare che a0 ∈ U. Consideriamo l’ insieme
F = {x ∈ B|a → x ∈ U }.
Si ha:
(1) F é un filtro di B : invero a → 1 = 1 ∈ U, sicché 1 ∈ F ; si ha a → (x ∧ y) =
(a → x) ∧ (a → y) [esercizio!]; per cui x ∧ y ∈ F se e solo se x ∈ F ed y ∈ F.
(2) U ⊆ F : se u ∈ U, siccome u ≤ a → u, avremo a → u ∈ U.
(3) Inoltre a → a = 1 ∈ U, onde a ∈ F .
Quindi F contiene propriamente U ; onde F = B; cioé 0 ∈ F : ossia νa = a → 0 ∈ U.
3 ⇒ 1. Supponiamo a ∨ b ∈ U, a ∈
/ U : dimostriamo che b ∈ U. Per l’ ipotesi (3),
0
0
a ∈ U quindi a ∧ (a ∨ b) ∈ U, ossia a0 ∧ b ∈ U ; ma a0 ∧ b ≤ b, pertanto b ∈ U.
Ricordiamo ora il seguente importante risultato di teoria degli insiemi (é equivalente
all’ assioma di scelta) :
LEMMA DI ZORN. Sia dato un insieme parzialmente ordinato non vuoto S, ≤ . Assumiamo che per ogni catena non vuota C ⊆ S ( ossia, per ogni x, y ∈ C si ha x ≤ y
oppure y ≤ x) esista in S un maggiorante di C ( ossia esiste un c ∈ S tale che per ogni
x ∈ C, x ≤ c). Allora esiste almeno un elemento massimale in S (ossia, un m ∈ S tale
che per ogni s ∈ S, se m ≤ s, allora s = m).
(Si noti che in generale l’ asserzione che esista un siffatto massimale non viene ottenuta
con un metodo che permetta di indicare concretamente un tal m; ed inoltre possono
essercene piú di uno.)
8
Lemma 2. Sia B un’ algebra di Boole. Sia a ∈ B, a 6= 0. Allora esiste un ultrafiltro U
di B, tale che a ∈ U.
DIM. Sia F la famiglia dei filtri proprii F di B, tali che a ∈ F ; essa non e’ vuota,
invero {x|a ≤ x} é un filtro, é proprio (essendo a 6= 0) e quindi esso ∈ F . Rispetto all’
inclusione ⊆, abbiamo un insieme parzialmente ordinato non vuoto. Vogliamo
applicare
S
il lemma di Zorn. Sia (Fi |i ∈ I) una catena in F; poniamo G = i∈I Fi : allora
G ∈ F. Infatti esso e’ non vuoto, ed é un filtro: se x ∧ y ∈ G, allora per qualche i ∈ I,
avremo x ∧ y ∈ Fi , allora x, y ∈ Fi ⊆ G; viceversa, siano x, y ∈ G; per certi i, j ∈ I
avremo x ∈ Fp , y ∈ Fj ; ma per ipotesi, avremo che Fi ⊆ Fj (oppure Fj ⊆ Fi ); allora
x ∧ y ∈ Fj ⊆ G. É chiaro che G é un filtro proprio, altrimenti 0 dovrebbe appartenere a
qualche Fi . Infine, ovviamente G é un maggiorante della catena: Fi ⊆ G per ogni i ∈ I.
Allora possiamo conludere che esiste un filtro proprio U ∈ F , che é massimale in
F. Ma allora U é un ultrafiltro di B : nessun filtro proprio P di B puo’ contenere
propriamente U (altrimenti avremmo a ∈ U ⊂ P , ossia P ∈ F : assurdo poiche’ U e’
massimale in F).
NOTE.
(1) Per esempio, nell’ algebra di Boole dei sottinsiemi di ω, se si fissa un numero naturale
k, l’insieme Uk = {A ⊆ ω|k ∈ A} é un ultrafiltro. In pratica, questi ultrafiltri (chiamati
principali) sono gli unici che siamo in grado si descrivere: nessuno é in grado di descrivere un
ultrafiltro in Pω che non sia di questa forma. In base al lemma precedente, se P é l’ insieme
dei numeri pari, deve esistere un ultrafiltro U di Pω tale che P ∈ U : e basta prendere Uk one
k ∈ P.
(2) Con una tecnica simile (via lemma di Zorn) si dimostra che per ogni filtro proprio F di
B, esiste un ultrafiltro U di B con F ⊆ U. Pertanto, se Cof é la famiglia dei cofiniti di ω, esiste
un ultrafiltro U di Pω con Cof ⊆ U. Sicuramente un tale U non é della forma Uk : non esiste
alcun k che appartenga a tutti i cofiniti. Non abbiamo alcuna idea su come si possa descrivere
o ”costruire” un siffatto ultrafiltro U.
Si noti che allora si ha anche: se a 6= 1, esiste un ultrafiltro U tale che a ∈
/ U. (Infatti,
allora νa 6= 0, esiste U con νa ∈ U, quindi a ∈
/ U.
Teorema 1. (Teorema di Stone). Per ogni algebra di Boole B esiste un insieme X tale
che B sia isomorfa ad una sottalgebra dell’ algebra di Boole PX dei sottinsiemi di X.
DIM. Sia X la famiglia degli ultrafiltri di B. Siccome per convenzione B ha almeno un
elemento 6= 0, esiste almeno un ultrafiltro: X 6= ∅. Consideriamo la funzione u : B 7→ PX
definita da
u(a) = {U ∈ X|a ∈ U }
(a ∈ B).
Intanto u é iniettiva: sia a 6= b, allora o a b oppure b a. Consideriamo il primo
caso ( nel secondo caso si ragiona allo stesso modo). Allora a ∧ νb 6= 0, onde esiste
U ∈ X, tale che a ∧ νb ∈ U per cui: a ∈ U, νb ∈ U, onde b ∈
/ U ; dunque u(a) 6= u(b),
poiche’ U ∈ u(a), U ∈
/ u(B).
9
Inoltre u conserva le operazioni:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
u(0) = ∅;
u(1) = X;
u(a ∧ b) = u(a) ∩ u(B);
u(a ∨ b) = u(a) ∪ u(b);
u(νa) = X \ u(a).
Dimostriamo (4) e (5); il resto e’ un semplice esercizio. Per definizione di ultrafiltro, si
ha :U ∈ u(a ∨ b) sse a ∨ b ∈ U sse a ∈ U oppure b ∈ U sse U ∈ u(A) oppure U ∈ u(b)
sse U ∈ u(a) ∪ u(b). Infine U ∈ u(νa) sse νa ∈ U, sse a ∈
/ U sse U ∈
/ u(a).
Quindi la famiglia di insiemi {u(a)|a ∈ B} é una sottalgebra di PX, ed é isomorfa a
B tramite la funzione u.
Il precedente ”Teorema di rappresentazione di Stone” e’ solo l’inizio di una parte fondamentale della teoria delle algebre di Boole . . . . Si noti che esso generalizza il risultato
visto sopra per il caso delle algebre finite ( o anche per quelle atomiche) in cui peró tutto
é costruttivamente determinato.
ESERCIZI.
(1) Data un’ algebra di Boole B, dimostrare che:
i. a ∨ (a → b) = 1;
ii. (a → b) → a ≤ a;
iii. a ∨ b = (a → b) → b.
(2) Sia B un’ algebra di Boole. Un sottinsieme A ⊆ B é una sottalgebra di B
(ossia:0, 1 ∈ A e per ogni x, yinA, anche x ∨ y, x0 ∧ y, νa ∈ A) se e solo se 1 ∈ A
e per ogni x, y ∈ A, anche x ∧ (νy) ∈ A.
(3) Sia data una struttura < B, ∧,0 , 0 >, tale che siano soddisfatti i seguenti assiomi:
(a) ∧ é commutativa, associativa ed idempotente;
(b) a ∧ a0 = 0
(c) Se a ∧ b = 0 = a ∧ b0 allora a = 0
(d) Se a ∧ b0 = 0 = a0 ∧ b allora a = b.
Dimotrare che, ponendo a ∨ b := (a0 ∧ b0 )0 , 1 := 00 si ottiene un’ algebra di Boole.
(4) Sia B un’ algebra di Boole e sia F un filtro di B. Definiamo la relazione RF ⊆
B × B : a RF b se e solo se (a → b) ∧ (b → a) ∈ F. Dimostrare che RF é una
congruenza di B; ossia una relazione d’equivalenza compatibile con le operazioni.
Viceversa, se S é una congruenza, allora FS = {a ∈ B|aS1} é un filtro di B.
Dimostrare infine che se S é una congruenza, RFS = S, e che se F é un filtro,
FRF = F.
(5) (Difficile) Chiamiamo interpretazione booleana (i.b.) una funzione b da F BF
Q) = β(P )
b(Q), =
verso B ( una data algebra di Boole), tale che b(P
∨, →, ∧; b(¬P ) = νb(P ); b(⊥) = 0. Dimostrare che P é una tautologia se e solo
se b(P ) = 1 per ogni i.b. b.
(6) (Difficile) Dimostrare che un’ identita’ t = t0 vale in tutte le algebre di Boole se
e solo se vale nell’ algebra di due elementi 2.
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(7) Traduciamo le formule proposizionali in termini Booleani come segue: le lettere proposizionali A, B, .... diventano variabili x, y, ... (in modo iniettivo !); i
connettivi diventano il corrispondente operatore booleano. Allora una formula
P ∈ F BF si traduce nel termine tP . Dimostrare che |= P se e solo se tP = 1 é
valida in tutte le algebre di Boole.
Per approfondire:
P.R. Halmos, Lectures on Boolean Algebras, Springer Verlag 1974;
en.wikipedia.org/wiki/Boolean algebra (logic)
[- Wikipedia non sempre merita, ma questa non e’ male-]