Larghezza di Banda di sistemi retroazionati

0.0.
3.6 1
Banda passante dei sistemi retroazionati
• Consideriamo un sistema retroazionato con retroazione unitaria:
R(s)
C(s)
X(s)
G(s)
Y(s)
Il guadagno di anello del sistema Ga (s) e la funzione di trasferimento
ingresso-uscita G0(s) risultano:
Ga(s) = C(s)G(s)
G0(s) =
Y (s)
C(s)G(s)
Ga(s)
=
=
R(s) 1 + C(s)G(s) 1 + Ga(s)
• La larghezza di banda del sistema retroazionato G0(s) può essere stimata
conoscendo il guadagno d’anello Ga(s).
• Per le pulsazioni ω tali che |Ga(jω)| ≫ 1, vale l’approssimazione:
|G0(jω)| =
|Ga(jω)|
≃1
|1 + Ga(jω)|
mentre per le pulsazioni ω tali che 1 ≫ |Ga(jω)| ≥ 0, si ha:
|G0(jω)| =
|Ga(jω)|
≃ |Ga(jω)|
|1 + Ga(jω)|
⇒
1 ≫ |G0(jω)| ≥ 0
Indicativamente dunque le pulsazioni di taglio che delimitano la banda del
sistema retroazionato G0(s) sono intorno alle pulsazioni ω per le quali
|Ga(jω)| ≃ 1.
• La banda passante di un sistema in retroazione unitaria corrisponde indicativamente alle pulsazioni ω per le quali il modulo del guadagno di anello
|Ga(jω)| è maggiore di 1.
• Nel caso che non ci siano pulsazioni ω per le quali il modulo del guadagno
di anello sia |Ga(jω)| > 1, la banda del sistema in retroazione unitaria
coincide con quella del guadagno di anello.
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3. ANALISI ARMONICA
3.6. FOURIER
3.6 2
• Anche per il sistema retroazionato G0(s) valgono le stesse considerazioni
che legano la prontezza del sistema alla sua larghezza di banda. Pertanto
per massimizzare la velocità di risposta occorre allargare il più possibile la
banda del sistema retroazionato G0(s).
• Dato che il guadagno di anello Ga(s) = C(s)G(s) contiene come fattore
la funzione di trasferimento del controllore C(s) è evidente che generalmente conviene (compatibilmente con la stabilità del sistema e con altre
specifiche di controllo) progettare il controllore C(s) con guadagno maggiore possibile. In questo modo si allarga la banda (e quindi aumenta la
prontezza) del sistema retroazionato.
• ATTENZIONE! Progettando in modo opportuno il controllore C(s)
è generalmente possibile, mediante controllo in retroazione, allargare a
piacere la banda di un sistema G(s).
Il problema pratico è che l’allargamento di banda di un sistema lento implica l’applicazione di segnali di ingresso di elevata ampiezza che potrebbero
non rientrare nelle specifiche del sistema controllato (esempi: saturazioni,
limiti meccanici o fisici, limiti energetici,...).
• È quindi consigliabile progettare il sistema da controllare
G(s) in modo coerente con le necessità di controllo.
• Consideriamo ad esempio il seguente sistema retroazionato:
R(s)
K
X(s)
G(s)
Y(s)
G(s) =
ωH
s + ωH
Il guadagno di anello Ga(s) e la funzione di trasferimento ingresso-uscita
G0(s) risultano:
K ωH
s + ωH
Y (s)
K G(s)
K ωH
G0(s) =
=
=
R(s) 1 + K G(s) s + (K + 1)ωH
Ga(s) = K G(s) =
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3. ANALISI ARMONICA
3.6. FOURIER
3.6 3
• Esempio di allargamento della banda tramite retroazione per un guadagno
Ampiezza
di anello di tipo passa-basso.
wH
20dB
banda passante
guadagno d’anello
| Ga ( jw ) |dB
w
0dB
-20dB
| G0 ( jw ) |dB
banda passante
sistema retroazionato
wH0
• Esempio di allargamento della banda tramite retroazione per un guadagno
di anello di tipo passa-banda.
wL
20dB
banda passante
guadagno d’anello
wH
| Ga ( jw ) |dB
0dB
w
| G0 ( jw ) |dB
wL0
banda passante
sistema retroazionato
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wH0
3. ANALISI ARMONICA
3.6. FOURIER
3.6 4
• La funzione di trasferimento del sistema retroazionato è ancora del primo
ordine
K G(s)
K ωH
Y (s)
=
=
G0(s) =
R(s) 1 + K G(s) s + (K + 1)ωH
quindi ponendo
ωH0
−1
ωH
la larghezza di banda del sistema retroazionato passa da ωH a ωH0.
K=
• Con ωH = 10 e ωH0 = 100 i diagrammi delle ampiezze di Ga(jω) e
G0(jω) risultano:
Diagramma delle Ampiezze con ωH=10 e K=9
20
|Ga(jω)| (b−−), |G0(jω)| (r) [dB]
15
10
5
0
−5
−10
−15
−20
0
10
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1
10
2
ω
10
3
10
3. ANALISI ARMONICA
3.6. FOURIER
3.6 5
• Con ωH = 10 e ωH0 = 100 i diagrammi delle ampiezze di Ga(jω) e
Gdelle
0 (jω) risultano:
Diagramma delle Ampiezze con ω =10 e K=9
H
20
|Ga(jω)| (b−−), |G0(jω)| (r) [dB]
15
10
5
0
−5
−10
−15
−20
0
10
1
10
2
ω
3
10
10
• Con ωH = 30 e ωH0 = 100 i diagrammi delle ampiezze di Ga(jω) e
G0(jω) risultano:
Diagramma delle Ampiezze con ω =30 e K=2.33
H
20
|Ga(jω)| (b−−), |G0(jω)| (r) [dB]
15
10
5
0
−5
−10
−15
−20
0
10
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1
10
2
ω
10
3
10
3. ANALISI ARMONICA
3.6. FOURIER
3.6 6
• Con
delleωH = 10 e ωH0 = 100 le risposte all’impulso rettangolare del sistema
Ampiezza
G(s)
e del sistema retroazionato G0(s) risultano:
anello aperto(r−−), retroazione e comp.(g)
Confronto risposte all’impulso(b)
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo [s]
• Con ωH = 30 e ωH0 = 100 le risposte all’impulso rettangolare del sistema
G(s) e del sistema retroazionato G0(s) risultano:
anello aperto(r−−), retroazione e comp.(g)
Confronto risposte all’impulso(b)
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo [s]
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3. ANALISI ARMONICA
3.6. FOURIER
3.6 7
• Con ωH = 10 e ωH0 = 100 gli ingressi al sistema G(s) e al sistema
delle
Ampiezza G0(s) risultano:
retroazionato
Confronto segnali di controllo
anello aperto(r−−), retroazione e comp.(g)
15
10
5
0
−5
−10
−15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo [s]
• Con ωH = 30 e ωH0 = 100 gli ingressi al sistema G(s) e al sistema
retroazionato G0(s) risultano (attenzione alla scala verticale!):
Confronto segnali di controllo
anello aperto(r−−), retroazione e comp.(g)
6
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo [s]
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3. ANALISI ARMONICA
3.6. FOURIER
3.6 8
• Con ωH = 10 e ωH0 = 100 le risposte all’impulso rettangolare del sistePulsazione
gradoni
ma G(s) e del sistema retroazionato G0(s) con e senza SATURAZIONE
sull’ingresso:
Sistema con (−) e senza(−−) saturazione
Confronto risposte all’impulso(b)
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo [s]
• Con ωH = 30 e ωH0 = 100 le risposte all’impulso rettangolare del sistema G(s) e del sistema retroazionato G0(s) con e senza SATURAZIONE
sull’ingresso:
Sistema con (−) e senza(−−) saturazione
Confronto risposte all’impulso(b)
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo [s]
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3. ANALISI ARMONICA
3.6. FOURIER
3.6 9
Banda passante e velocità di risposta
• La larghezza di banda di un sistema è in relazione con i tempi di assestamento e di salita che identificano la velocità di risposta.
• Per un sistema del primo ordine (e per estensione per i sistemi con un
polo dominante) il tempo di assestamento e la larghezza di banda sono
inversamente proporzionali:
G(s) =
ωH
s + ωH
Ta =
3
ωH
• Per un sistema del secondo ordine con poli complessi e coniugati (e per
estensione per i sistemi con poli complessi e coniugati dominanti), a pari
coefficiente di smorzamento, il tempo di assestamento e la larghezza di
banda sono inversamente proporzionali:
ωn2
G(s) = 2
s + 2δωn s + ωn2
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ωH ≃ ωn
Ta =
3
δωn
3. ANALISI ARMONICA
3.6. FOURIER
3.6 10
• Qualitativamente il tempo di salita Ts di un sistema di tipo passa basso è
inversamente proporzionale alla banda passante.
Diagramma di Nyquist
risposta nel tempo
1.5
1.8
1.6
1
1.4
0.5
1.2
1
1
0
0.82
0.68
1.2 1.5
2.2
1
0.68
0.56
0.47
0.8
0.39
0.33
−0.5
0.6
0.27
0.56
0.4
0.22
−1
0.18
0.47
0.2
0.15
−1.5
−2
0
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
0
10
20
30
40
50
secondi
60
Quelli riportati in figura sono i diagrammi di Nyquist dei seguenti due
sistemi:
10
2
,
G
(s)
=
G1(s) =
2
s(s + 1)2(s + 10)
s(s + 1)2(s + 10)
A fianco, sono riportati gli andamenti temporali della risposta al gradino
dei corrispondenti sistemi in retroazione unitaria. Come si può vedere
dai grafici, nei due casi il tempo di salita (Ts1 ≃ 1.7 e Ts2 ≃ 7 s) è
“circa” inversamente proporzionale alla larghezza di banda dei due sistemi
retrazionati (ωH01 ≃ 0.68 e ωH02 ≃ 0.19) cioè alle pulsazioni ωH0 di
intersezione dei diagrammi di Nyquist con il cerchio unitario.
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