Sistemi e Funzione di Trasferimento

Sistemi e FdT - 1
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Controlli Automatici L
Sistemi e Funzione di Trasferimento
Prof. Carlo Rossi
DEIS-Università di Bologna
Tel. 051 2093020
Email: [email protected]
URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi
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Sistemi e FdT - 2
Modelli matematici dei sistemi
¾ Sistemi orientati
ƒ ingressi (cause) e uscite (effetti): schematizzazione non sempre facile e
non univoca, dipende dal problema
ƒ perché l’interpretazione causa-effetto abbia senso l’uscita non deve
dipendere da valori futuri dell’ingresso: sistemi causali
ƒ l’uscita può però dipendere dai valori passati dell’ingresso
ƒ regolazione della temperatura dell’acqua in una doccia!
ƒ Sistemi statici: l’uscita al tempo t dipende solamente dal valore
dell’ingresso al tempo t
ƒ resistenza elettrica
ƒ Sistemi dinamici: l’uscita al tempo t dipende anche dai valori passati
dell’ingresso
ƒ sistema massa molla
ƒ legami tra segnali e non tra singoli valori
ƒ Per descrivere il sistema si utilizza un modello matematico, cioè un
insieme di relazioni matematiche che legano i segnali di uscita a quelli
di ingresso
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Sistemi e FdT - 3
Modelli matematici dei sistemi
¾ Un modello matematico permette in linea di principio di calcolare
l’uscita per ogni possibile segnale di ingresso
ƒ il numero di possibili segnali è infinito
ƒ si vuole caratterizzare il sistema senza dover analizzare tutte le possibili
risposte
ƒ studio della struttura del modello matematico
¾ Ci limiteremo a modelli dati da equazioni differenziali ordinarie
lineari e stazionarie
ƒ ordinarie: non compaiono derivate parziali, l’unica variabile
indipendente dei segnali è il tempo
ƒ Si: sistemi meccanici rigidi, sistemi elettrici a parametri concentrati, ecc..
ƒ No: descrizione delle onde, modelli propagatori, ecc… Normalmente in
questo caso si riesce a dare una descrizione dei fenomeni principali
utilizzando un modello approssimato ai valori medi
ƒ lineari: ipotesi forte, cercheremo di giustificarla tra poco
ƒ Si: sistema massa molla
ƒ No: pendolo
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Modelli matematici dei sistemi
ƒ stazionarie: i coefficienti dell’equazione lineare sono costanti e non
dipendenti dal tempo
ƒ ipotesi ragionevole in moltissimi casi, specialmente se l’intervallo temporale
non è molto lungo
ƒ detto u(t) l’ingresso e y(t) l’uscita, il modello generale è
d n y (t )
d n −1 y (t )
d n − 2 y (t )
d y (t )
+
+
+
…
+
+ a0 y (t ) =
a
a
a
n −1
n−2
1
n
n −1
n−2
dt
dt
dt
dt
d m u (t )
d m −1u (t )
d m − 2 u (t )
d u (t )
+
+
+
…
+
+ b0 u (t )
bm
b
b
b
m −1
m−2
1
m
m −1
m−2
dt
dt
dt
dt
ƒ L’enfasi è sulle proprietà del modello, non sulle soluzioni particolari
ƒ ordine dell’equazione: n,m, differenza n-m
ƒ valori dei coefficienti ai e bi
ƒ se il sistema e causale, si ha sempre n>m
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Sistemi e FdT - 5
Linearità e principio di sovrapposizione degli effetti
¾ L’ipotesi di linearità permette semplificazioni notevoli
ƒ evoluzione libera ed evoluzione forzata
n
m
n
m
∑ ai y (t ) = ∑ b j u (t )
( j)
a
y
(
t
)
=
b
u
∑ i
∑ j (t )
y ( i ) (0) = yi 0
i = 0,… , n − 1
y (fi ) (0) = 0
i = 0,… , n − 1
u ( j ) (0) = u j 0
j = 0,… , m − 1
u ( j ) (0) = u j 0
j = 0,… , m − 1
(i )
i =0
( j)
j =0
problema iniziale
i =0
(i )
f
j =0
evoluzione forzata
n
(i )
a
y
∑ i l (t ) = 0
y (t ) = yl (t ) + y f (t )
i =0
yl( i ) (0) = yi 0
i = 0,… , n − 1
soluzione completa
evoluzione libera
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Sistemi e FdT - 6
Linearità e principio di sovrapposizione degli effetti
¾ linearità applicata all’evoluzione forzata
∑ ai y (t ) = ∑ b j (α u1( j ) (t ) + β u2( j ) (t ) )
n
risposta a
combinazione lineare
di due ingressi
m
(i )
i =0
j =0
u1( j ) (0) = u1 j 0
n
∑a
i =0
i
u2( j ) (0) = u2 j 0
m
y (t ) = ∑ b j u (t )
(i )
1
j =0
( j)
1
u1( j ) (0) = u1 j 0
y (t ) = α y1 (t ) + β y2 (t )
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n
∑a
i =0
i
m
y (t ) = ∑ b j u2( j ) (t )
(i )
2
j =0
u2( j ) (0) = u2 j 0
combinazione lineare delle risposte
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Soluzioni di equilibrio
¾ Data una equazione differenziale ordinaria, anche non lineare, ed un
segnale di ingresso costante, una soluzione costante si dice
soluzione di equilibrio
ƒ segnale di uscita costante, se condizione iniziale dell’uscita pari alla
costante e condizioni iniziali su tutte le derivate dell’uscita nulle
ƒ le soluzioni di equilibrio possono non esistere, nel caso esistano possono
non essere uniche
ƒ calcolo semplice in linea di principio: si pongono tutte le derivate nulle
nell’equazione differenziale e si risolve l’equazione algebrica risultante
ƒ può essere complesso per sistemi non lineari
ƒ banale per sistemi lineari
ƒ Una soluzione di equilibrio si dice isolata se non ne esistono altre
arbitrariamente vicine
ƒ per sistemi lineari con ingresso nullo, la soluzione y(t)=0 è sempre di
equilibrio e può essere l’unica soluzione isolata
ƒ se l’origine è soluzione isolata del sistema con ingresso nullo, allora con
ingresso diverso da zero esiste una sola soluzione di equilibrio
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Sistemi e FdT - 8
Soluzioni di equilibrio per sistemi non lineari
¾ Data una equazione differenziale ed una soluzione di equilibrio
f ( y ( n ) , y ( n −1) ,… , y, y, u ( m ) , u ( m −1) ,… , u , u ) = 0
y (t ) = ye
u (t ) = ue
f ( 0, 0,… , 0, ye , 0, 0,… , 0, ue ) = 0
⇒
ƒ per piccoli spostamenti rispetto a questa soluzione nominale, la
soluzione è approssimabile con la soluzione di un’equazione lineare
u (t ) = ue + δ u (t )
y (0) = ye + δ y0
δ u (t )
⇒
y (t ) − ye < ε
n
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⇒ y (t ) ≈ ye + δ y (t )
m
( j)
a
δ
y
(
t
)
=
b
δ
u
(t )
∑ i
∑ j
(i )
i =0
δ u ( j ) (0) = δ u j 0
j =0
δ y ( i ) (0) = δ y j 0
ƒ sempre vero per tempi piccoli, ma interessante quando si rimane sempre
nell’intorno della soluzione di equilibrio
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Sistemi e FdT - 9
Linearizzazione
¾ Il processo che porta ad approssimare la soluzione nell’intorno
dell’equilibrio con la soluzione di un’equazione lineare si chiama
linearizzazione
¾ Lo studio dei sistemi lineari diviene importante per studiare anche
l’evoluzione dei sistemi non lineari nell’intorno di soluzioni di
equilibrio
ƒ sulla base della linearizzazione si può concludere anche se la soluzione
non lineare si manterrà nell’intorno valido per l’approssimazione allo
scorrere del tempo
ƒ sufficiente che la soluzione lineare non tenda all’infinito, ma rimanga limitata
ƒ la proprietà precedente non dipende dall’ampiezza dell’ingresso
ƒ il rimanere sufficientemente piccola dipende invece dall’ampiezza
dell’ingresso per la proprietà di linearità, oltre che da quanto è lontana la
condizione iniziale da quella di equilibrio
ƒ non è necessario risolvere l’equazione non lineare
ƒ importante perché non si conoscono metodi di soluzione generale per
equazioni non lineari
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Sistemi e FdT - 10
Esempio: linearizzazione pendolo inverso
M l 2θ ( t ) + h l θ ( t ) + M g l sin θ ( t ) = Cm ( t )
θ (t ) = −
(
h
g
1
Cm ( t ) = f θ , θ , Cm
θ ( t ) − sin θ ( t ) +
2
Ml
l
Ml
)
Cm ( t ) = C
Punto di equilibrio
θ (t ) = 0
θ (t ) = θ
M g l sin θ = C
θ ( t ) = θ + δθ (t )
δθ =
Sistema linearizzato
∂f
∂θ
θ =0
θ =θ
Cm = C
δθ +
Cm (t ) = C + δ C (t )
∂f
∂θ
θ =0
θ =θ
Cm = C
δθ +
∂f
∂Cm
θ =0
θ =θ
δ Cm
Cm = C
1
h
g
δθ = −
δθ − cos (θ ) δθ +
δ Cm
2
Ml
l
Ml
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Sistemi e FdT - 11
Sistemi lineari
¾ Nel corso ci si limita allo studio dei sistemi lineari stazionari
¾ Tutto quello detto in precedenza vale anche se i segnali di ingresso
e di uscita hanno dimensione maggiore di uno: si parla di sistemi
MIMO (Multiplo Input Multiple Output)
u (t ) = ⎡⎣u1 (t ) … uq (t ) ⎤⎦
T
y (t ) = ⎡⎣ y1 (t ) … y p (t ) ⎤⎦
T
¾ Ci limiteremo allo studio di sistemi SISO (Single Input Single Output)
in cui i segnali hanno dimensione unitaria
ƒ in realtà avremo sistemi con più ingressi, ma singolarmente la variabile
manipolabile, i disturbi in ingresso ed in uscita ed il rumore di misura
saranno monodimensionali
ƒ considereremo più propriamente sistemi costituiti da interconessione di
sistemi elementari SISO, ed in cui gli ingressi ai singoli sottosistemi
saranno somma di segnali monodimensionali
ƒ processo, controllore, sensore
ƒ si richiami lo schema in retroazione della introduzione
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Sistemi e FdT - 12
Funzione di trasferimento
¾ Sistema con modello matematico descritto da ODE lineare
stazionaria
ƒ utilizzo della trasformata di Laplace per lo studio
ƒ già visto per il calcolo della soluzione ad ingresso fissato
ƒ enfasi sulla struttura delle soluzioni
¾ Condizioni iniziali nulle
ƒ applicando la trasformata ad entrambi i membri si ottiene
n
∑a
i =0
i
m
m
y (t ) = ∑ b j u (t )
(i )
( j)
j =0
n
m
i =0
j =0
∑ ai siY (s) = ∑ b j s jU (s)
⇒
Y (s) =
∑b
j =0
n
j
sj
i
a
s
∑ i
U (s)
i =0
m
H (s) =
j
b
s
∑ j
j =0
n
∑a s
i =0
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i
i
bm s m + bm −1 s m −1 + … + b1 s + b0 N ( s )
= n
=
n −1
D( s)
s + an −1 s + … + a1 s + a0
Funzione di
trasferimento
FdT
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Funzione di traferimento
¾ Descrive l’uscita forzata di un sistema
¾ Zeri e poli della FdT si dicono rispettivamente zeri e poli del sistema
H (s) =
∑b
j =0
n
j
s
∑a s
i =0
∏(s − z )
m
m
i
j
= bm
i
j =1
n
j
∏(s − p )
i =1
n≥m
i
ƒ il termine costante è detta costante di trasferimento
ƒ insieme alla conoscenza di poli e zeri descrive completamente la FdT
¾ obiettivo: studiare le caratteristiche del sistema al variare del
numero e della posizione dei poli e zeri e della costante di
trasferimento
¾ i poli definiscono la struttura delle risposte elementari del sistema,
gli zeri come esse contribuiscono alla costruzione della soluzione
complessiva, la costante di trasferimento quanto essa viene
amplificata
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Sistemi e FdT - 14
Struttura della risposta forzata
¾ Se la trasformata del segnale di ingresso è una funzione razionale
fratta, anche la trasformata dell’uscita lo è
mu
∏(s − z )
∏ ( s − zu )
m
Y ( s ) = H ( s ) U ( s ) = bm
j
j =1
n
∏(s − p )
umu
i
i =1
j =1
j
nu
∏ ( s − pu )
i =1
i
ƒ Caso generale: poli semplici nella Y(s) e non ci sono cancellazioni tra
poli e zeri del sistema e dell’ingresso
ƒ l’uscita presenta parti dipendenti solo dai poli del sistema e parti dipendenti
solo dall’ingresso
nu
ki
kui
Y ( s ) = H ( s ) U ( s ) = bm umu ∑
+ bm umu ∑
i =1 s − pi
i =1 s − pui
n
nu
⎛ n
⎞
pi t
y (t ) = bm umu ⎜ ∑ ki e + ∑ kui e pui t ⎟
i =1
⎝ i =1
⎠
modi dell’ingresso
(forzanti)
modi del sistema
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Sistemi e FdT - 15
Struttura della risposta forzata
¾ Nella risposta forzata sono presenti sia i modi del sistema, sia quelli
dell’ingresso
ƒ se i modi del sistema tendono a zero, essi influiscono solamente sul
transitorio della risposta
ƒ dopo un tempo sufficiente, sono presenti solamente i modi dell’ingresso:
risposta in regime permanente
ƒ i modi dell’ingresso sono moltiplicati per delle costanti (i residui) che
stabiliscono quanto essi sono singolarmente attenuati o amplificati: i residui
dipendono dagli zeri del sistema e della trasformata del segnale di ingresso
ƒ il sistema si dice stabile: vero se tutti i poli del sistema hanno parte reale
negativa
mi (t ) = ki e pi t
modo corrispondente ad un polo reale
mi (t ) = 2 M i eσ i t cos (ωi t + ϕi ) modo reale corrispondente ad
una coppia di poli complessa coniugata
ƒ se i modi del sistema divergono, la risposta forzata del sistema
divergerà indipendentemente da quale ingresso sollecita il sistema
ƒ in questo caso il sistema si dice instabile
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Sistemi e FdT - 16
Struttura della risposta forzata
¾ Caso particolare: un modo dell’ingresso coincide con un modo del
sistema (risonanza)
ƒ nello sviluppo in fratti semplici della risposta forzata compaiono poli
multipli
ƒ la risposta diverge anche quando la parte reale del polo è nulla
ƒ sistema instabile, nel senso che in presenza di un ingresso limitato la
risposta può divergere, anche se la parte reale dei poli è nulla
¾ Caso particolare: uno zero del sistema coincide con un modo
dell’ingresso
ƒ il modo non è più presente sull’uscita: proprietà bloccante degli zeri
ƒ in caso di sistema stabile, la risposta a regime permanente può essere nulla
ƒ la risposta in transitorio è comunque diversa da zero, i modi del sistema
vengono eccitati e poi decadono naturalmente a zero
ƒ se il sistema è instabile, l’uscita diverge poiché i modi instabili sono eccitati
anche se l’eventuale modo divergente dell’ingresso è bloccato da uno zero
del sistema
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Sistemi e FdT - 17
Struttura della risposta forzata
¾ Caso particolare: uno zero dell’ingresso coincide con un polo del
sistema
ƒ il modo instabile del sistema non è più presente sull’uscita forzata
ƒ vero in linea di principio, ma in realtà esiste sempre una componente di
errore che anche se piccolissima porta l’uscita a divergere
ƒ vedremo in seguito anche altre motivazioni: non è possibile evitare che
l’uscita diverga in presenza di un modo instabile cancellando il modo stesso
con uno zero dell’ingresso
¾ Caso poli multipli nel sistema
ƒ valgono le stesse considerazioni, solamente che ora in presenza di poli
multipli con parte reale nulla l’uscita diverge
ƒ matematicamente identico al caso della risonanza
ƒ non è necessario eccitare il modo del sistema con un modo analogo
dell’ingresso
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Introduzione della risposta libera
¾ La trasformata della risposta libera ha esattamente la stessa
struttura della risposta forzata
n
∑a
i =0
i
y (t ) = 0
(i )
⇒
Y ( s ) = L0 ( s ) =
Y0 ( s )
n
∑a s
i =0
i
Y0 ( s )
=
D( s)
i
ƒ Y0(s) è un polinomio di ordine n-1 i cui coefficienti dipendono dalle
condizioni iniziali
ƒ I poli della risposta libera sono esattamente, con la stessa molteplicità, i
poli del sistema
ƒ la risposta libera è data da una combinazione lineare dei modi del
sistema
ƒ se i modi sono stabili, la risposta libera tende a zero e l’effetto delle
condizioni iniziali non nulle si esauriscono nel transitorio
ƒ se i modi sono instabili, l’uscita diverge comunque, indipendente
dall’ingresso
ƒ prima ragione per cui la cancellazione del modo instabile con uno zero
dell’ingresso non è fattibile
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Sistemi e FdT - 19
FdT e caratteristiche della risposta
¾ Struttura complessiva della risposta
Y ( s ) = H ( s ) U ( s ) + L0 ( s ) =
Y (s)
N ( s)
U (s) + 0
D( s)
D( s)
¾ Caratteristiche di stabilità del sistema
ƒ Tutti i poli del sistema a parte reale negativa
ƒ risposta limitata ad un ingresso limitato
ƒ dopo l’esaurimento del transitorio risposta a regime permanente
ƒ ingresso costante -> uscita costante
ƒ ingresso sinusoidale -> uscita sinusoidale alla stessa frequenza (ma
diversa ampiezza e fase)
ƒ Presenza di poli semplici con parte reale nulla
ƒ possibile risonanza: esistono ingressi limitati che portano ad uscite divergenti
ƒ Poli multipli a parte reale nulla o poli a parte reale positiva
ƒ l’uscita del sistema diverge indipendentemente dall’ingresso
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Sistemi e FdT - 20
Forme standard della FdT
¾ Forma con poli e zeri
2
2
s
−
z
s
+
2
ζ
α
s
+
α
(
)
(
ρ ∏i
i ∏k
k
n,k
n,k )
H (s) = g
s ∏ ( s − pi )∏ ( s 2 + 2 δ k ωn , k s + ωn2, k )
i
k
ƒ ρ costante di trasferimento, g tipo del sistema
ƒ αn,k , ωn,k pulsazioni naturali
ƒ ζk , δk coefficienti di smorzamento
⎛
ζk
s2 ⎞
s+ 2 ⎟
(1 + Ti si )∏ k ⎜1 + 2
∏
i
α n,k
α n,k ⎠
µ
⎝
H (s) = g
s
⎛
δk
s2 ⎞
∏ i (1 + ti s )∏ k ⎜1 + 2 ω s + ω 2 ⎟
n, k
n,k ⎠
⎝
Ti = −
1
zi
ti = −
1
pi
ƒ µ costante di guadagno
ƒ Ti , ti costanti di tempo
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Sistemi e FdT - 21
Schemi a blocchi
¾ Spesso il modello complessivo si può derivare come
interconnessione di sistemi (FdT) elementari
ƒ Diviene importante definire come ricavare la FdT complessiva della
conoscenza delle singole FdT
ƒ Esempio: Altoparlante
di
+ Ri = u − e
dt
M v + h v = f − fe
f = ki e = kv
L
x=v
u
f e = ke x
1
Ls+ R
e
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fe
i
f
k
ke
1
M s+h
v
1
s
x
k
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Sistemi e FdT - 22
Algebra degli schemi a blocchi
¾ Serie
F1 ( s )
F2 ( s )
F1 ( s ) F2 ( s )
¾ Parallelo
F1 ( s )
+
F1 ( s ) + F2 ( s )
F2 ( s )
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Sistemi e FdT - 23
Algebra degli schemi a blocchi
¾ Retroazione negativa
+
−
F1 ( s )
F1 ( s )
1 + F1 ( s ) F2 ( s )
F2 ( s )
¾ Retroazione positiva
+
F1 ( s )
+
F1 ( s )
1 − F1 ( s ) F2 ( s )
F2 ( s )
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Sistemi e FdT - 24
Algebra degli schemi a blocchi
u2
¾ Spostamento nodo somma
u2
u1
F1 ( s )
+
u1
F1 ( s )
F1 ( s )
+
u2
1
F1 ( s )
u2
u1
Prof. Carlo Rossi
F1 ( s )
+
u1
+
F1 ( s )
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Sistemi e FdT - 25
Algebra degli schemi a blocchi
u2
¾ Spostamento nodo diramazione
1
F1 ( s )
u2
u1
u1
F1 ( s )
F1 ( s )
u2
F1 ( s )
u2
u1
Prof. Carlo Rossi
F1 ( s )
u1
F1 ( s )
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Sistemi e FdT - 26
Esempio: altoparlante
ke
fe
1
Ls+ R
u
e
i
f
k
1
Ls+ R
e
Prof. Carlo Rossi
1
s
x
k
fe
u
v
1
M s+h
i
f
k
ke
s
1
M s+h
v
k
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Sistemi e FdT - 27
Esempio: altoparlante
i
1
Ls+ R
u
k
e
u
s
s ( M s + h ) + ke
v
k
f
k
Ls+ R
e
Prof. Carlo Rossi
f
s
s ( M s + h ) + ke
v
k
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Sistemi e FdT - 28
Esempio: altoparlante
ks
( L s + R ) ( s ( M s + h ) + ke )
u
e
u
Prof. Carlo Rossi
v
k
ks
( L s + R ) ( s ( M s + h ) + ke ) + k 2 s
v
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