alcune attività per sviluppare idee intuitive sul concetto di infinito a

PICCOLE INTUIZIONI CRESCONO:
ALCUNE ATTIVITÀ PER SVILUPPARE IDEE INTUITIVE SUL
CONCETTO DI INFINITO A LIVELLO DI SCUOLA DELL'OBBLIGO
L. Grugnetti, A. Rizza
S. Dallanoce, S. Foglia, S. Gregori, C. Marchini, F. Molinari, A. Piccoli,
V. Vannucci
Unità locale di ricerca didattica, Dipartimento di Matematica, Università di Parma.
1. Introduzione
Secondo numerosi studiosi di didattica della matematica perché l’insegnamento
di un concetto risulti efficace non si può prescindere dalle conoscenze intuitive
dell’allievo acquisite in un contesto extrascolastico o negli studi precedenti. Esse
infatti possono facilitare o ostacolare in modo determinante l’apprendimento del
concetto stesso. In particolare Fischbein (1973, 1987) si riferisce a tali idee intuitive
come ad «intuizioni primarie» e sottolinea l’opportunità di sostenerle e rafforzarle in
modo che esse possano evolvere allo stadio di «intuizioni secondarie» e costituiscano
così un terreno propizio per l’acquisizione del concetto.
Tutto ciò risulta particolarmente importante nel caso dei concetti più complessi e
delicati della matematica, come ad esempio il concetto di infinito e quelli ad esso
strettamente collegati di infinitesimo, limite e continuità. Sulle difficoltà inerenti
l’apprendimento di tali concetti esiste una vasta letteratura, che mette in evidenza da
un lato la presenza di veri e propri «ostacoli epistemologici» (Brousseau 1976,
Sierpinska 1985, 1987, etc.), da un altro l’opportunità di particolari scelte didattiche
(ex. Furinghetti, Somaglia 1994; Hauchart, Schneider 1996; CREM 1995). Sono state
evidenziate anche difficoltà di natura linguistica (Andriani et al. 1999, Grugnetti e
Rizza, 1999) dovute allo stretto legame e alle ambiguità riscontrabili nell’uso
quotidiano dei termini "limite" e "infinito".
Una recente ricerca del nostro gruppo (Dallanoce, Grugnetti et al., 2000, Alberti,
Andriani et al. 2001) ha avuto come finalità l’esplorazione delle conoscenze intuitive
di studenti di età compresa tra i 10 e i 19 anni (nel caso di un quesito dai 6 ai 19 anni)
relative ai concetti di infinito, infinitesimo e continuità. L'analisi degli elaborati ha
evidenziato la presenza di intuizioni primarie a tutti i livelli di età considerati, in
particolare negli allievi più giovani. D’altra parte non è apparsa un'evoluzione degna
di nota né in senso quantitativo né in senso qualitativo: nel corso del processo
scolastico, cioè, tali intuizioni non solo sembrano non evolvere, ma in genere
tendono a regredire. La prassi didattica pare avere principalmente l’effetto di
innescare automatismi e di spostare l’attenzione degli studenti sul calcolo più che sul
1
ragionamento critico. Ad esempio una corretta idea di approssimazione presente,
sebbene in forma abbozzata, in alcuni protocolli di allievi della scuola elementare,
tende a scomparire nei successivi gradi scolastici per lasciare il posto ad una
ossessiva e impropria ricerca di un risultato esatto.
2. La ricerca
2.1 Le ragioni della ricerca
Lo sfondo teorico della nostra ricerca è costituito da recenti ricerche sull'apporto
del socio-costruttivismo all'apprendimento (ex. Grugnetti 1997, Rouche 1991) di cui
condividiamo i presupposti fondamentali e soprattutto l’invito a proporre problemi
significativi, che non si riducano soltanto all’applicazione di una formula o di una
tecnica particolare e nei quali sia richiesto più di congetturare ed argomentare che di
calcolare. Di notevole importanza riteniamo inoltre l’utilizzo delle nuove tecnologie
per stimolare, attraverso la visualizzazione, la produzione di congetture e sostenere
adeguatamente il processo di formazione dei concetti.
Lo scopo del nostro lavoro è quello di proporre, a partire da contenuti già
presenti nei programmi della scuola media, alcune attività idonee allo sviluppo delle
intuizioni degli allievi, sotto forma di situazioni aperte da esplorare con gli strumenti
più familiari (carta e matita) oppure con il computer.
Riteniamo che la matematica «elementare» sia ricchissima di occasioni per
familiarizzare gradualmente con il concetto di infinito e che la scuola dell’obbligo
possa svolgere un ruolo fondamentale nello sviluppo di immagini mentali favorevoli
al suo apprendimento. Osserviamo tuttavia che spesso negli insegnanti prevale la
preoccupazione di «tenere nascosti» gli stimoli che porterebbero a parlare di infinito
piuttosto che approfondirli, per la paura che da essi possano nascere problemi
complessi e di difficile gestione. A titolo di esempio citiamo la questione della
divisione per zero: essa viene spesso frettolosamente risolta in un divieto scarsamente
motivato che rischia di produrre distorsioni ed
5
errori. Potrebbe invece diventare (figura 1)
= ???
0
un’occasione per iniziare a parlare di «numeri
che crescono oltre ogni limite prefissato» e per
Allora proviamo a calcolare:
suscitare domande e curiosità sull’infinito; in un
5
5
5
5
5
secondo tempo, quando si affronterà lo studio
,
,
,
,
...
0,1 0,01 0,001 0,001 0,0001
della funzione x→k/x, la questione potrà essere
ripresa ed approfondita.
2.2 Considerazioni sui libri di testo
figura 1
Abbiamo svolto una breve indagine esaminando alcuni libri di testo delle scuole
medie, allo scopo di trovare idee e stimoli per un primo approccio al concetto di
infinito. Abbiamo rilevato che, in generale, la maggiore preoccupazione degli autori è
2
quella di proporre un gran numero di esercizi molto simili fra loro e tutti con una
soluzione, piuttosto che addentrarsi in situazioni problematiche o ambigue anche da
un punto di vista linguistico (Jaquet 2000, Marchini 1999). Tuttavia abbiamo notato
la presenza di spunti interessanti, forse non adeguatamente sviluppati nella pratica
scolastica. Un esempio comune a vari testi riguarda il problema della misura e in
particolare l’area di figure a contorno curvilineo. Dopo aver trattato le aree delle
figure poligonali e del cerchio, ci si pone il problema più generale di misurare
l’estensione di una figura «irregolare». Vengono proposti vari metodi, fra i quali
quello di approssimazione mediante quadrettatura. Si tratta di un’attività ricchissima
di stimoli, che anche nel nostro gruppo abbiamo utilizzato per verificare la presenza
di idee intuitive negli allievi (Alberti, Andriani et al. 2001). Essa infatti, pur
presentando un elevato contenuto di concetti matematici superiori (infinitesimo,
infinito, limite, continuità, approssimazione, numeri reali,…), per il suo carattere di
concretezza e la possibilità di un continuo passaggio dal registro numerico a quello
grafico, si presta ad un approccio diretto e immediato da parte degli allievi.
Nei libri di testo esaminati, a parte i pochi in cui l’argomento non è presente, si
nota un atteggiamento molto conflittuale: alcuni autori evitano accuratamente termini
quali “infinito”, “limite”, “continuo”; altri utilizzano espressioni del tipo
“accontentarsi di...”, “avvicinarsi a ...”. Tuttavia la maggior parte dei libri conclude
l’argomento con la proposta di un calcolo effettivo dell’area attraverso una formula
che fornisce la media fra le aree di un poligono inscritto e di uno circoscritto. A
nostro parere in questo modo si perde il senso profondo del problema, cioè il fatto
che il risultato sia necessariamente approssimato e migliorabile a piacere con una
conveniente scelta della quadrettatura. Anche in questo caso sembra dunque
prevalere negli autori il timore di destabilizzare le rassicuranti conoscenze offerte da
metodi, regole e formule chiare.
2.3 Progressioni geometriche e omotetie
Un argomento che, a nostro avviso, può costituire una delle prime occasioni di
approccio ad un processo infinito e all’idea di limite è quello delle progressioni
geometriche che, peraltro, gli allievi incontrano già alla scuola elementare. Il fatto
poi che una progressione geometrica è una successione divergente (tendente
all’infinito) se la ragione è maggiore di 1 oppure infinitesima (tendente a zero) se la
ragione è minore di 1, fa di questo argomento, anche in un’accezione non formale,
un’interessante finestra sulla problematica dell’infinito. Particolare interesse hanno le
somme di numeri in progressione geometrica (serie), come ad esempio le somme:
1+ 1/2 + 1/4 + … oppure
1+2+4+8+16+…
che risultano convergenti nel primo caso e divergenti nel secondo. Le
progressioni geometriche hanno molte applicazioni in matematica, anche a livello
3
elementare: ad esempio un numero periodico, come è noto, è la somma dei termini di
una progressione geometrica di ragione 1/10.
Rispetto al problema della misura, l’argomento delle progressioni geometriche ci
è sembrato più semplice ed immediato perché opera nel discreto e coinvolge
prevalentemente un infinito di tipo
potenziale. E’ possibile inoltre visualizzare
grandezze in progressione geometrica o loro
somme, applicando più volte ad una figura
iniziale un’omotetia di rapporto fissato
(figura 2). In questo modo le successioni o
le serie numeriche diventano “concrete”
(Groupe aha 1999) e lasciano intuire il loro
comportamento all’infinito senza necessità
di conoscere i relativi concetti matematici.
figura 2
E’ stata quindi realizzata la scheda
riportata a fianco (figura 3) in cui, senza far
ricorso ai termini “infinito” e “limite”, si
chiede di immaginare il comportamento
finale della sequenza.
Scopo della scheda è quello di far
comprendere l’idea di iterazione e la
differenza fra un processo divergente
(domanda 1) e uno convergente (domanda
2). Nella nostra analisi a priori abbiamo
ipotizzato per il primo caso una buona
percentuale di risposte corrette, mentre per
il secondo abbiamo previsto che l’idea di
infinito legata al processo potesse
condizionare negativamente la risposta. Ci
sembrava che la convergenza fosse
difficilmente intuibile e che molto
improbabile fosse l’identificazione del
limite come il doppio del segmento
iniziale.
NOME E COGNOME……………………………
CLASSE……………SCUOLA………………………………
Domanda 1
Osserva la sequenza. Pensa di continuarla finché la tua
immaginazione te lo consente.
1.A Cosa succede di volta in volta al perimetro delle figure?
1.B Com’è il perimetro dell’”ultima” figura che riesci a
immaginare?
Domanda 2
Osserva la sequenza. Pensa di continuarla finché la tua
immaginazione te lo consente.
2.A Cosa succede di volta in volta alla lunghezza della
base (segmento più spesso)?
2.B Com’è la lunghezza della base dell’”ultima” figura che
riesci a immaginare?
figura 3
La scheda è stata distribuita a 11 classi dalla prima alla terza media per un totale
di 236 alunni. Per ogni domanda sono state previste a priori 2 o 3 tipi di risposte,
elencate nel seguito con le lettere a), b), c); le risposte impreviste sono state incluse
nella voce “altro” (d) e le risposte mancanti o del tipo “non si sa” sono state inserite
nella categoria e).
4
Domanda 1.A: a) AUMENTA, genericamente; b) AUMENTA, con la
specificazione non proprio “esatta” di quanto aumenta; c) RADDOPPIA.
Domanda 1.B: a) molto GRANDE, o comunque aumentato rispetto al primo; b)
INFINITO
Domanda 2.A: a) AUMENTA, genericamente; b) AUMENTA ogni volta della
metà rispetto alla “precedente”.
Domanda 2.B: a) INFINITA; b) LIMITATA, eventualmente con l’indicazione di
una misura anche “errata”, ma che comunque evidenzia l’esistenza di un limite per la
lunghezza finale; c) IL DOPPIO della prima.
Nella seguente tabella sono riportate le frequenze delle varie risposte:
a)
b)
c)
d)
e)
1.A
98
32
83
17
6
1.B
110
40
64
22
2.A
135
60
32
9
2.B
35
95
12
75
19
Si potrebbero fare molte considerazioni sui risultati ottenuti: intanto, dal numero
di risposte omesse appare chiaramente la maggiore difficoltà per gli studenti delle
domande “B” che, rispetto alle domande “A”, richiedono un maggiore ricorso
all’immaginazione, alla creatività, a procedimenti di iterazione. Appare limitato, ma
significativo, il numero di risposte corrette alle domande 1.B (40) e 2.B (12);
piuttosto alto risulta il numero delle risposte parzialmente corrette alle stesse
domande (rispettivamente 110 e 95). Pur non presentandosi differenze molto evidenti
nel numero di risposte accettabili, la seconda domanda sembra provocare maggiori
difficoltà: oltre al conflitto previsto fra la possibilità di iterare il procedimento
all’infinito e la lunghezza finita del segmento “finale”, emerge il problema di
individuare la quantità variabile: ben 57 risposte (all’interno di quelle classificate
come “altro”) affermano che la lunghezza diventa piccolissima, riferendosi al lato
dell’ultimo quadratino e non all’intero segmento. Notevoli ed impreviste resistenze
appaiono anche nella prima domanda: piuttosto che ammettere che il perimetro
diventa infinito, si preferisce usare altre espressioni, anche molto efficaci, come
“enormemente enorme”. In entrambi i casi spesso c’è il tentativo di produrre un
risultato espresso con un numero, confermando la presenza di automatismi e
l’abitudine ad esercizi di tipo tradizionale.
2.4 Visualizzazione mediante Cabri
La presenza contemporanea di buone intuizioni e di forti resistenze ci ha portato
a riflettere sull’opportunità di riproporre la stessa situazione in un ambiente in cui la
costruzione diventasse effettivamente dinamica e potesse essere esplorata
direttamente dagli studenti. La scelta più naturale ci è sembrata quella del software
Cabri Géomètre, largamente utilizzato nella scuola secondaria e al centro di
5
interessanti ricerche didattiche (ex. Capponi 2000, Laborde 2000). Tale prodotto
consente agli allievi la manipolazione diretta degli oggetti e la costruzione di
procedure iterative che possono favorire la produzione di congetture e la creazione di
immagini mentali significative. L’esperienza si è svolta in una classe seconda della
scuola media “G. Marconi” di Dovera (CR) e ha occupato un’ora di lezione per
ciascuno dei due gruppi di 10 allievi che sono stati formati per lavorare a coppie con i
5 computer della scuola. In seguito ad una fase di familiarizzazione con le principali
funzioni del programma, è stato proposto il disegno di un triangolo equilatero ed è
stato richiesto di applicare ad esso una omotetia di rapporto –2. Dopo aver constatato
l’effetto della trasformazione, gli alunni sono stati invitati a continuare allo stesso
modo sollecitati da domande come “fino a quando si può continuare?” e “come
diventa il triangolo?” Rispetto alla stessa attività con “carta e matita” svolta poco
prima in classe, gli allievi si sono spinti ad un maggiore livello di intuizione, sono
riusciti a distinguere meglio le variabili del problema e a formarsi una visione
d’insieme della situazione piuttosto che concentrare l’attenzione sui singoli passaggi.
Ancora più “convincente” è stata la seconda costruzione. Assegnato un quadrato
e il rapporto di omotetia 0,5, gli studenti hanno applicato più volte una “macro”
preventivamente creata dall’insegnante che realizza un’omotetia e una traslazione.
Mentre nel lavoro in classe alcuni allievi hanno risposto che la lunghezza del
segmento somma dei lati dei vari quadrati diventa infinita e molti si sono limitati a
dire genericamente che aumenta, nella costruzione al computer la maggior parte si è
resa facilmente conto che “non dovrebbe diventare molto lungo” (Angela), anche
perché diventa presto impossibile continuare a disegnare i quadratini.
Una volta convinti della convergenza del processo, gli allievi sono stati invitati a
cercare il limite della successione, attraverso domande come “quale sarà il secondo
estremo del segmento finale?”
Giorgio ha proposto di costruire la
retta che unisce i vertici dei quadrati
(figura 4) e i compagni si sono facilmente
convinti che il punto di intersezione di
essa con la base della figura dovesse
essere l’ultimo punto della costruzione.
L’attività si è quindi conclusa con
l’osservazione che, aumentando il
rapporto di omotetia, permane la
convergenza fino al valore 1.
figura 4
6
3. Conclusioni
Riteniamo che concetti complessi come quello di infinito possano essere
compresi a fondo solo in seguito ad un lungo lavoro che, a partire dalle intuizioni più
spontanee e immediate, riesca a creare in ciascun allievo un quadro coerente e solido
di immagini mentali. Come viene sottolineato anche dal Groupe aha (1999)
"L'apprendimento dei concetti dell'analisi interferisce inevitabilmente con le
intuizioni della maggior parte degli allievi. Se alcune di tali intuizioni possono
rappresentare il germe di uno sviluppo più formale, così come è avvenuto nel corso
della storia della matematica, altre, per contro, si oppongono alla teoria stabilita.
Troppo sovente l'insegnamento ha come effetto quello di giustapporre una teoria a
tali intuizioni senza appoggiarsi su quelle del primo tipo né correggere quelle del
secondo tipo".
Il computer può costituire uno strumento molto utile per proporre attività di
esplorazione che portino gli studenti a interrogarsi e a riflettere sul concetto di
infinito. Esso induce a fissare l’attenzione sul controllo di un processo piuttosto che
sulla realizzazione di un prodotto e pertanto richiede l’utilizzo di capacità elaborative
e progettuali piuttosto che semplicemente esecutive. Inoltre abitua gli studenti a
lavorare in termini di approssimazione e a controllare gli errori commessi.
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