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 Corso di laurea in matematica
Anno accademico 2004/05
B 1 LHM N("O 9LTE 9L 4#UQS<2L
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LHN*"O
D
1
C
&%(I
1DC eL2. L $. X Cf1 eL C . L b. X Cf1hg
Combinazioni lineari
Situazione 25.1.
sia la nostra ma. Come nella nota
trice di dati con
24.7 e quando non indicato diversamente,
siano
gli autovalori di
con
ed
una batale che
se ortonormale di
Inoltre sia
Nota 25.2. Sia
nizione
.
con
. Per defi-
Numero 7
In questo numero
25
In particolare abbiamo
per ogni
.
è
La -esima componente principale di
quindi una combinazione lineare delle colonne di
con i coefficienti dell’autovettore .
26
27
28
£9¤H£
Combinazioni lineari
Autovalori
La matrice
Un metodo con molti nomi
Componenti principali
Inversione al cerchio unitario
La lemniscata ellittica
La traccia
Ortoregressione su iperpiani
Bibliografia
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ybr2t#o$u i#v by r2i2z${ nb| v
}l‡ ~i2jbqk#t$u#i$m{ nƒr2‚`t"„ no mnb|o"pj=qsw&r2t"€lobu"u mKi#z$vb{wlxj n „ mhƒ‚`„Sv"j ~#~ wl…3† ~"™ n nb| n ® g ˜ J ˜ ˜ Dg ˜ vl} ~ lp ~"~ bin { | j"zbw2nl|v#j "~ ~ †bylr2t"o$u i2nvlˆ ~"~ }l‹‡l~š n q~t$qu2w2tbu#{‹ ~{n r2qŠr2ibz {#iln ~{"{ {nbŠ|’ jŽ† j= š wGn ~ €l„Su"v#m3j ~"zb{~ jwlxKhm†bˆ Š’3†
‡ i2jbqk#t$u#i$m{ ƒr2‚`ib„S{"vb{p ~#~ ibj={ wP| j#€lzbu"w2mKv"z$j {~#j~ †bm‰ybr2i2Š‚`z${„Sv"nbj| v"ˆ wl…3† ‹ ~"~ ™ wG€lu"m3z${3j n m‘~#™Š’3† n nb|
‹ kqŠz"i$mŠ’ †b›2—b›#‹ qt$u#{ r2ib{"{ jŽŠ’3†™ ~"™
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è la lunghezza con segno (calcolata a partire
dal baricentro ) della proiezione ortogonale del punto
sulla retta generata da .
Per l’osservazione 24.9 abbiamo
Questa, per la nota 22.15, è una combinaziocon i coeffine lineare delle colonne di
cienti :
Osservazione 25.3.
.
per ogni
Dimostrazione. Siccome per
ab, dove il secondo
biamo
prodotto scalare è calcolato in
, possiamo
scrivere
che, tenendo conto della definizione di
,
possiamo scrivere in forma ancora più esplicita:
Autovalori
Osservazione 25.4. Sia
. Allora le
colonne di sono linearmente dipendenti se
e solo se esiste
tale che
.
Dimostrazione.
è una
e
combinazione lineare delle colonne di
ogni tale combinazione lineare può essere
scritta in questo modo.
Osservazione 25.5. Sia
. Allora la
è simmetrica. Inoltre:
matrice
(1)
(2)
è positivamente semidefinita.
è positivamente definita se e solo
se le colonne di sono linearmente indipendenti.
Dimostrazione. (1) Sia
In R gli autovalori di una matrice reale o
.
complessa si trovano con la funzione
Essa calcola, se non si pone l’opzione
anche un sistema di autovettori; ciò può rallentare il calcolo per matrici molto grandi. Il
risultato è una lista in R e le componenti si
e
.
ottengono con la sintassi
Creiamo due funzioni per la nostra libreria:
La matrice
. Allora
.
Siccome
per
è una matrice le cui colonne sono gli autovettori di
già normati e nell’ordine
desiderato (cioè corrispondenti agli autovalori elencati in ordine decrescente) e tenendo
conto del fatto che questi autovettori in R sono vettori colonna, possiamo trovare gli aucon
tovettori e i componenti principali di
le seguenti funzioni:
(2)
sia positivamente definita ed
tale che
. Ciò implica
e quindi
.
linearSiano viceversa le colonne di
mente indipendenti. Sia
, cioè
. Allora
e quindi
.
Corollario 25.6. Sia
. Allora gli
autovalori di
sono
. Essi sono tutti
se e solo se le colonne di sono linearmente indipendenti.
Un metodo con molti nomi
restituisce la lista degli autovalori di , in ordine decrescente (rispetto al
modulo se complessi).
restituisce una matrice le
cui colonne sono autovettori di corrispondenti agli autovalori nell’ordine indicato.
possiamo accelerare i
Con l’opzione
calcoli per matrici simmetriche.
potremmo usare la
Per il calcolo di
definidefinizione 24.2 e la funzione
ta a pagina 15; possiamo però anche usare
la relazione
con
Potremmo anche usare la funzione
di R:
L’istruzione
ha lo scopo di
ridurre gli attributi della matrice a quelli di
una matrice pura.
Per gli autovalori di
usiamo
L’analisi delle componenti principali appare in molti campi della matematica applicata con diversi nomi: Trasformazione sugli assi principali in geometria, trasformazione di Karhunen-Loève in ingegneria e
nella teoria del riconoscimento delle forme
e nell’elaborazione delle immagini, analisi
spettrale in fisica e analisi matematica (ad
esempio problemi agli autovalori per equazioni differenziali), analisi fattoriale in psicologia (anche se con questo termine spesso
si associano obiettivi più ambiziosi della sola riduzione delle dimensioni). Essa è spesso un primo passo preparatorio che permette di applicare altri metodi della statistica
multivariata, come l’analisi dei raggruppamenti e la ricerca di funzioni discriminanti.
STATISTICA MULTIVARIATA
a.a. 2004/05
Componenti principali
!#"%$&&')*-( + *,(/+ .
!#"#$
0/12 3 054687
91 94 : ' * . : ' .
;=< ?> [email protected]
B> C
DDEFHGDIJLK?
1 PO
94
91
Nota 26.1. Consideriamo la matrice di dati
Con
e
Ad essi corrispondono gli autovettori ortonormali
S
*XV W*5UU ZY1 \[ V * @ 9 1 [ 9 1
5
!Q
91
NQ WU=] R Q 1 ZY^NQR 1
NM
!QR 1
R 1 1 uOR 1
S
R4 1
S
1
NMR 1
!Q
w%"#$
Inversione al cerchio unitario
~w | x ,y{z}| *5~‚U  y
€
~
Nota 26.3. Chiamiamo inversione al cerchio
che
unitario l’applicazione
manda ogni punto
nel punto che si
trova sulla semiretta che parte dall’origine
e passa per , avendo però un modulo che è
il reciproco di quello di , cioè tale che
91
PMR 1
NM
, cioè
. Quindi l’immagi-
è univocamente determina-
~
x
Questa applicazione è talvolta anche detta
riflessione al cerchio unitario.
è univocamente determinata dalla condizione enunciata e
x < ~ C ƒ~~ ƒ4 ~
, vediamo che
Verificare da soli che
; è invece chiaro direttamente dalla definizione che i
punti fissi di
sono esattamente i punti del
cerchio unitario e che ogni punto all’interno
del cerchio unitario viene trasformato in un
punto esterno e viceversa.
x <~ C
L’inversione al cerchio unitario possiede interessanti proprietà geometriche, molte delle quali sono descritte nel bellissimo libro
di Needham e di cui la più importante è
ogni cerchio
che
quella che attraverso
non passa per l’origine viene trasformato in
un cerchio
(anch’esso non passante per
l’origine).
6
/0 1- 3
0e4v7
1
R1
ƒ ~L ƒ ƒ ƒ
~
ciò è equivalente a
x

x <~ C

.
Sappiamo dalla nota 24.13 che la varianza di questi punti in
è uguale a
,
mentre la varianza della proiezione sul secondo asse principale è uguale a
e
quindi molto minore. Possiamo perciò sperare che
da solo ci dia sufficienti informazioni. Assumiamo che, in un altro esempio, le proiezioni sull’asse più importante
siano distribuite come nella seguente figura:
0/1
NQR 1
; essendo
~
Allora possiamo considerare i punti come
appartenenti a tre gruppi distinti e se gli
sono molto più
altri autovalori di
piccoli di , questo raggruppamento potrà,
con molta prudenza, essere considerato significativo. Si tenga conto del fatto che proprio l’analisi delle componenti principali è
molto sensibile alla scala usata, ad esempio
al cambio delle unità di misura nel rilevamento delle variabili.
Come osservato,
è la lunghezza con segno (calcolata rispetto al centro ) della
sulla retta geproiezione ortogonale di
nerata da :
Dimostrazione. Infatti dobbiamo avere
con
e inoltre deve valere
91
Il cerchietto bianco è qui l’origine di
91
.
ta. Osservando che
__Hb` c _ ab _/hai
J3de fDJHge 3
j li ak imj l lDl
onHk kprqk
j ikporqsDtk ll oonHnHkk
26
X~ „ yPz…|
< C ‡† †wˆ‰|
†x ~ ~ ƒ ƒ ~
†ŠˆZ|
~
† ƒ ~ ƒ ƒ ƒ †} ƒ ƒ 4
~
~
x < ~ C ƒ~~ ƒ4 ƒ ƒ4 ~ ~~
x < ~ C ~~~ ~ >
xŒ‹Šx ) Ž
x
per ogni
ne
in cui la prima colonna si riferisce all’asse
determinato da
. Usare un righello per
misurare (in cm) le lunghezze sull’ultima figura della nota 26.1 per convincersi che il
risultato è corretto.
su un’ascisse otRiportando i valori
teniamo un’immagine undimensionale dei
nostri dati:
Vediamo che effettivamente si ha l’impressione che la variazione maggiore avvenga
nella direzione , quella minore nella direzione , in accordo con quanto osservato
nella nota 24.13. Ciò si vede ancora meglio
se togliamo le leggende:
91
vengo-
ottenendo la matrice
Il baricentro è
; lo troviamo
con
oppure, in un esempio cosı̀
semplice, con un calcolo diretto.
94
S-T
Nell’esempio della nota 26.1 calcoliamo prima le lunghezze delle proiezioni sugli assi
principali con
sono
4
91
Nota 26.2. Una volta determinato (in una
delle possibili scelte)
, otteniamo una
proiezione
nella quale in particolare i punti
no proiettati secondo
otteniamo
Gli autovalori di
Numero 7
|
~ 

Si noti che il centro di
del centro di !
6
non è l’immagine
Vedremo adesso che, mentre l’inversione al
cerchio unitario trasforma cerchi in cerchi,
un’ellisse (che non sia un cerchio) con centro
nell’origine viene invece trasformata in una
curva di quarto grado (una lemniscata ellittica); infatti la geometria dell’ellisse è molto
più profonda e difficile della geometria del
cerchio.
STATISTICA MULTIVARIATA
La lemniscata ellittica
dove
è una forma quadratica
(reale) positivamente
defini "$#
scriviamo anche ! inveta. Per ! %
,
ce di
. Per ogni &('*) allora &+!
&
! . È ovvio inoltre che l’origine non ap.-%-/0
1-34
2
partiene all’ellisse, perché
.
Denotiamo di nuovo con 5 l’inversione al
cerchio unitario.
Siano adesso ! un punto dell’ellisse e
!
Allora
6
9
!
9:
!
!
9
9
!
9
!J 9 9
!
! J0_
\
! J
!J
_
\
!J
Il punto 6 che si ottiene da un punto !
dell’ellisse mediante inversione al cerchio
unitario è quindi quel vettore che si ottiene moltiplicando
il vettore unitario !/J con
\
la radice
del quoziente di Rayleigh
! J
in quella direzione.
K "`acbd
Nel
caso statistico
di
con
A
\
e
!HJ
il fattore
è uguale alla de`gf
viazione standard di
J .
La realizzazione in R è semplicissima.
Definizione 27.3. Sia ¢£')0¤ . Definiamo
la traccia di ¢ , denotata con ¤¥%¦¢ , come la
somma degli elementi della diagonale principale di ¢ , quindi
9
«
Si noti che
per definizione di 5 e quindi
I punti 6 dell’immagine dell’ellisse sotto
soddisfano quindi l’equazione
9:
96
6
9:
@C
che, se poniamo 6
con
può essere scritta anche nella forma
@E,FCGH%$
'D)
@CG
Otteniamo questa figura con il programma
h ikj/lnmVo/pVqnlrmHsVtVtVlBu=vxwHlyVz {}|{
3
~3r~njVuGqkw/pnvku8€‚ƒ/„
…H† G‡yVˆ/|xy †  † ƒV‰ …† ƒ‡y
Nota 27.2. Vediamo adesso che la lemniscata ellittica può essere utilizzata per rappresentare il quoziente di Rayleigh di una forma quadratica in due dimensioni.
Nelle ipotesi e con la notazione della nota
27.1 sia !HJ il punto sulla circonferenza uni
!
9 9 .
taria determinato da ! , cioè ! J
!
M
7
VUW
)
)
trico associato.
Allora X
ZT[
diamo che ! J
! J
ziente di Rayleigh di O in
!J
9
9
!
e quindi
9
!
]\
!
9
YS
X
è veè proprio il quo!HJ . D’altra parte
O
S
9
!HJ
!
!
9=
oppure, equivalen-
§«
X
¨©ª
\
'­)
¨
¬
! J
possiamo evidenziare i raggi tra i punti !/J
del cerchio unitario e i corrispondenti punti
6
sulla lemniscata.
! J
¨
¢
C
e
¤
'±)
R
´kC²
C
¤
'B)>«
´kCGCG´
¥%¦¢
.
.
¢
. Allora
'B)>«
¤
´ ¬
¬
°
´µ
´
¬
¥%¦
´
¬
R
§
23.7 abbiamo
§«
X
¨©cª
¨
¬
3
X
C
°
Xx¢
°©ª
$
"CG´
X
´ ¬
¬
´
´%C
¢0¢
e
. L’enunciato segue
dalla proposizione 27.4.
Nota 27.7. Sia
¥%¦¢
´
¢<'®)>«
¢
¤
¥¦¢0¢
¯ «
9
¯ «
. Allora
´
¨ 9
¢
¯ ¤
9
°k©cª
¯ ¤
°
¢
¨©cª °©ª
9
°
¢
¨ non è altro che il quadrato della lunghezza
di ¢ considerata come vettore di )0¤¶« .
Lemma 27.8. Sia
¨
§«
§ ¸
`
X
¨©ª °k©cª
. Allora
·Q'­)$¸
¤
° $
·
X
`
U
`rabd
¥%¦·
·
´
Dimostrazione. Dal corollario 27.6 abbiamo, usando anche la proposizione 22.13,
¯ ¸
¯ «
, dove
¬
'±)
¬
e
°
¨ ¢
¬
Dimostrazione. Per le proposizioni 23.5 e
¯ «
°k©cª ¨©cª
¥%¦
¢0¢
¤
$
X
X
¨©ª °©cª
³
"CG´
X
(2) Siano
¨©cª
Questa prima equazione mostra che
il moT
^
è
dulo di un punto
! dell’ellisse
!
uguale a
kC
°
Xx¢
¯ «
\
¯ ¤
9
temente,
9
°
°
¨©cª
l’operatore simmeS “ o {Y”/v  w  qko/pk”wE€V•}y–VˆVtVsk=ˆH|{Y”  •V‚}—‚}—/„
tlxo˜V–
pkuwHsxoV™/lVtVtVvn/q€}ˆVtVlno˜šVy‚›tVlxo˜šyH„
“ oE€›puw/sxoV™HlVttVv‚›puHwHsxoV™HltVtVvH„
ltx~Hln  s ‘ €œ‚›y † ”=p‚›tVskuH˜nwVHznœ/„
‹snx” €%|np † lVtn~HlH„
tHpu/s  €}‹/„
tHpu/s  €}‹šxoV~‹E€‹/„V„
tHpu/s  €}‹ † oV~‹E€‹/„V„
mHsx™{vx~~E€+„
o/ln˜V˜HpxVžn €›q€}‹‚‹ † o ~‹€‹/„‚
oHsk” €Ÿ ‚}tVsxuH˜nwn }
€ ‹/„V„V„‚o/px˜x/sV¡H„
tHpu/s  €oHln˜V˜HpH„
EN
7 QP RTS K
hŠHlnmHpqnsrmHpB~ €‹/„{
o~‹~VjVu=qkw/pVvku"€‹/„
Œ VnŠHs€}‹/„(ƒV=Ž% €‹/„
n‘ oVwE€~ €‚ƒ/„„x’
§
°©cª
Aggiungendo le righe
Siano
O
°
¢
¨
Corollario 27.6. (1) Siano ¢'B)0« e
R
Allora
,
Si osservi però che oltre ai punti riflessi
dell’ellisse anche l’origine soddisfa questa
equazione. Curve con questa equazione si
chiamano lemniscate ellittiche quando, come nella nostra ipotesi, la forma quadratica
è positivamente definita.
e
¬
¨ ¬
Corollario
27.5.
Siano
C²
C
¥%¦
.
Allora
@E,FCGH%$
[email protected],[email protected] CG
7 ?L ¯ ¤
°
¢
.
oppure, ancora più esplicitamente,
K
¨
¯ ¤
°©ª
5
.
¤
¨
¬
¢
¨©ª °k©cª
[email protected]"#C
¯ «
>
?9 6
«
¨©ª
9
6
,
'®)0«
¯ «
¬
¥%¦¢
;
<
96
¬
¢
Dimostrazione. Abbiamo
9=
!
¢8'B)0« e
¬
¤
¢ .
¬
mentre ¢'®)0¤
Proposizione 27.4. Siano
¬
¬
'­)0¤ . Allora ¥%¦¢
¥%¦
perché !
essendo ! un punto dell’ellisse. D’altra parte abbiamo
9
¨
È chiaro che l’applicazione ¥%¦ 7 )$¤ UW ) è
¤
lineare. La traccia gode però di molte altre
proprietà importanti, tra cui i sorprendenti
corollari 27.5 e 27.6.
9:
!
¨
§¤
¢
¨©ª
7
¥%¦¢
!
9
!
quindi
6
5
6
27
La traccia
Oltre a ciò abbiamo però anche
Nota 27.1. Consideriamo un’ellisse nel piano con centro nell’origine, descritta da
un’equazione
687 Numero 7
a.a. 2004/05
!HJ
è il vettore uni-
tario che mostra nella stessa direzione di ! .
¨
¯ «
`*
U
`
¥%¦·
¥%¦·
¥%¦·
`
¨
¨
`
`
abd
·
X
`T ´ `
U
¨©ª
°
·
`T ´ `
U
´
¨
`B
¨
U
U
´
·
`B%
·
´
STATISTICA MULTIVARIATA
Ortoregressione su iperpiani
!" $#%'&( ")#
* !+
,& -
./0
Per la proposizione 8.2 la proiezione 1 2 di
3 su è data da
1 2 & 4 5 87 "9!"
")6
in modo
Noi dobbiamo scegliere 5
;
8
7
1 2 ; < .
da minimizzare :
6 3
K
Dimostrazione. Infatti in questo caso
LSN9K ORP=Q UK T
&MLSN O=PRQ K T K/&MLSN O=P=Q
V
. Diciamo
Definizione 28.4. Sia K
che K possiede righe ortonormali e scrivia J G , se le righe di K hanno tutte
mo K
lunghezza F e sono ortogonali tra di loro.
. Allora
Osservazione 28.5. Sia K
K J GXWZY KUK T &/(
F
e quindi ( è la matrice
Si noti che KUK T
identica in .
G sia la
Definizione 28.6. [B\ ]>^
`
F
_
_ diagonamatrice diagonale i cui coefficienti
.
li sono _
_
X
, b J G
Lemma 28.7. Siano a
b F per
e tali che b a-&
_
_ c . Allora
_
ogni
bUadb T &[9\ ]>^ G
F`_ _
5
e quindi LSN9bUadb T &
.
")6 _ "
Dimostrazione. Per ogni c * abbiamo
baeb T G " & ba G b T G "
F
F
F
& b b "fG T & ( "
_ F
_
G
Osservazione 28.8. g&H[B\ ]>^
j
. Allora
_
sia una matrice diagonale e i Fh_
L)N9gkil& 5 " i " "
")6 _
; 3=7 1 2 ; < & ; 3=7 ; < 7 ; 1 2 7 ; <
Ma
; 1 2 7 ; < & 5 3=7 > "? <
"!6 cosicché
; 7 1 2 ; <
@ : ; 7 ; < 7 @ : @ 7 " <
6 6 ")6 5 ; 3A7 ; < però dipende soLa somma :
6 e non dai vetlo dalla matrice dei dati
tori " che vogliamo variare per ottenere il
5 ; 37 1 2 ; < e vediamo che
minimo di :
6 quest’ultima somma è minima se e solo se
5 : 5 387 "B < è massima.
6 ")6 Osserviamo adesso che
@ : @ 7 " <
6 ")6 @ @ : 7 " < @ &
&
"G
")6 6 ")6 ?C3DBEF
usando la nota 24.6. Dobbiamo quindi mas5
>" G , dove I vasimizzare
C
9
D
H
E
F
")6
ria tra i sistemi ortogonali di vettori di
Dimostrazione. Infatti
@
gki G &
F " # 6
@
&
#6
i "#
_
L)N9oUgpo T &MLSN?gko T oq& 5 " o T o
")6 _ F
; ;< .
Ma o T o G " & o
"
"
F
, s
p
Osservazione 28.10. Siano r
p
)
R
z
t
r
e u/v &xw
s9; y ; < ; ; < . ; ; <
Allora u
& r
s . ; ;< ;
u
Ciò implica in particolare r
Dimostrazione. Per l’osservazione 28.8
Definizione 28.2.
sia l’insieme delle
matrici ortogonali di rango . È chiaro che
una matrice
appartiene ad
se e solo se le righe
costituiscono una base ortonormale di
.
Corso di laurea in matematica
g #
( #
i "# & i "
_
G
Osservazione 28.9. gm&n[9\ ]f^
jF`_ U . Allora
_
sia una matrice diagonale e o
5
;
;
<
L)N9oUgpo T & " o "
")6 _
lunghezza .
J G
F
K K
K @
")6 @
K "G &ML)N O=PRQ
9
D
E
?
C
F
")6
Vediamo cosı̀ che questa espressione non dipende da .
Anche qui abbiamo
@:
6
&
@:
6
&
1 2
K J G . Allora
F
7 K " <
Osservazione 28.3. Sia
Nota 28.1. Vogliamo adesso dimostrare
, l’iperpiano
che, per
minimizza la somma dei
quadrati delle distanze dei punti
da un
iperpiano -dimensionale
di
. Chiamiamo un iperpiano con questa proprietà
un -iperpiano di regressione ortogonale per
; si può dimostrare anche in questo caso
che esso passa per il baricentro . Possiamo quindi trovare vettori
con
per ogni
e
Numero 7
a.a. 2004/05
J G
F
Ž
Statistica multivariata
G ""
t
;< .
28
o J G.
F
LSN{o T o/&q
j
, per cui
Dimostrazione. oo T &/(
L)N9o T oq&MLSN?oUo T &|L)N?(&q .
Lemma 28.12. Siano dati numeri reali
} } , f tali che siano sod_
_
disfatte le seguenti
condizioni:
}
(1) ~k
per ogni * .
5 } " &q .
(2)
")6  "  (3)
_ 5
_ 5 }

Allora
.
")6 _ " ")6 _ " "
Lemma 28.11. Sia
Allora
.
Dimostrazione. L’enunciato può essere interpretato come l’affermazione che il compito di ottimizzazione
€ } } G &‚Z]fƒ
f
}
}
G v & F 5 " } " sotto le concon €
F
")6 _
dizioni (1) e (2) possiede la soluzione
} & & } &n } )z= & & } &M~
}
Ciò è evidente, perché significa che dobbianei primi
mo concentrare le risorse“
”
posti dove la rendita è massima, esaurendo
in questo modo però la risorsa totale .
"
Teorema 28.13. Siano a
ed
„… J G . Sia b /
la matrice
con le
†
„
>
)
„
F
righe
. Allora b
J G e per
J G vale LSN?badb T  LSF N?KUadK T .
ogni K
F
J G.
Dimostrazione. Sia K
„
una baSiccome le righe di costituiscono
, per ogni c esiste unaF rappresentase di
& 5 o „ " . I coefficienti o forzione K
")6 " per cui Kq&/" o „ .
mano una matrice o
G .
Sia g‡v &M[B\ ]>^
Fh_
_
Per il lemma 28.7 abbiamo
„
„
KadK T &/o a T o T &/oUgko T , cosicché
28.9 segue
dall’osservazione
L)N9KUaeK T & 5 " ; o " ; < .
")6 _
„ T e quindi
Abbiamo inoltre oq&/K
„
„
oo T &/ K T K T &MKK T &/( , per cui
o J G.
F
J †ˆ G
Esiste perciò una matrice F
o tale che ‰Šv & w
3y J ; F ; < G . Per; l’osserva;<
zione 28.10 ciò implica o
" ‰ " &‹
per ogni * .
LSN9o T oŒ&x e quindi,
Per il lemma 28.11
5 ; o ; < &q .
per la nota 27.7,
")6 "
5 .
Per il lemma 28.7 LSN{badb T &
"!6 _ "
L’enunciato segue dal lemma 28.12.
‡
f=lI|
è un
Teorema 28.14.
-iperpiano di regressione ortogonale per .
Bibliografia
17123 A. Coffman/M. Frantz: Möbius transformations and ellipses. Internet 2004, 9p.
15993 I. Jolliffe: Principal component analysis. Springer 2002.
(16783) T. Needham: Visual complex analysis. Oldenbourg 2001.
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Docente: Josef Eschgfäller

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