DOMANDE PER L`ESAME ORALE

DOMANDE PER L’ESAME ORALE
1) Nell’esame orale lo studente deve dimostrare di aver acquisito, in particolare, le seguenti capacità:
a) saper spiegare cos’è una proposizione e saper utilizzare la logica delle proposizioni;
b) saper definire un concetto e saper distinguere una definizione da un teorema;
c) saper collegare due proposizioni tramite un teorema di cui si sappia scrivere correttamente l’enunciato e si sappiano riconoscere l’ipotesi e la tesi;
d) SAPER COLLEGARE IN MODO LOGICO LE CONOSCENZE ACQUISITE PER FUTURE APPLICAZIONI NEI SUCCESSIVI ESAMI DEL PROPRIO CORSO DI STUDIO.
2) Nota bene: si consiglia di affrontare ogni domanda nella forma in cui l’argomento è stato trattato in
aula. Tutti gli argomenti affrontati in aula e riportati di seguito nell’elenco delle domande per l’esame orale
sono trattati nel libro di testo di riferimento o nella mia nota scaricabile come file .pdf dalla mia pagina web.
Per alcuni argomenti vi sono anche delle registrazioni audio-video utilizzabili sempre nella mia pagina web.
TUTTE LE DOMANDE RIPORTATE DI SEGUITO, SULLE QUALI VERTERA’ SEMPRE L’ESAME
ORALE, SONO DA INTENDERSI, SALVO AVVISO CONTRARIO, CON DIMOSTRAZIONE.
Nell’esame orale verranno poste le seguenti domande.
1. Concetto di numero razionale, irrazionale, reale, complesso, proprietà dei polinomi e teorema di Ruffini,
proprietà delle potenze e dei logaritmi;
2. teorema di Rouché-Capelli: soltanto enunciato e discussione del suo significato;
3. definizione di spazio vettoriale e concetto di insieme di vettori linearmente dipendente e indipendente:
proposizioni equivalenti che caratterizzano i due concetti;
4. dimostrazione della proprietà per cui se un insieme di m + 1 vettori ha rango m, allora almeno uno di tali
vettori è esprimibile in modo univoco come combinazione lineare dei rimanenti;
5. concetto di applicazione lineare tra spazi vettoriali e dimostrazione del teorema sull’applicazione lineare
che trasforma solo il vettore nullo nel vettore nullo;
6. dimostrare che le funzioni lineari conservano qualsiasi combinazione lineare, mentre quelle affini conservano solo particolari combinazioni lineari, tra cui quelle convesse;
7. grafico di una funzione, definizione di funzione crescente e decrescente, convessa e concava, composta e
inversa, calcolo della funzione inversa di una funzione assegnata;
8. definizioni generali dei limiti MEDIANTE DISUGUAGLIANZE: divergenza al finito e all’infinito, convergenza al finito e all’infinito, concetto di prolungamente di una funzione, concetto di asintoto, concetto
di forma indeterminata e di funzione continua, classificazione dei punti di discontinuità, concetto di ordine
d’infinito e d’infinitesimo;
9. teoremi sulle funzioni continue (senza dimostrazione, ma solo enunciato e significato geometrico): teorema
di Weierstrass, teorema degli zeri, teorema della permanenza del segno e teorema dei valori assunti;
10. definizione del numero “e“ e limiti notevoli (con dimostrazione):
sin x
,
x→0 x
lim
log(1 + x)
,
x→0
x
lim
1
ex − 1
;
x→0
x
lim
11. grafico qualitativo delle funzioni elementari: potenza, polinomio, logaritmica, esponenziale, circolare;
12. concetto di successione numerica e di serie numerica, comportamento della serie telescopica, della serie
geometrica al variare della ragione e della serie armonica generalizzata al variare dell’esponente;
13. definizione di derivata e suo significato geometrico, equazione della retta tangente;
14. calcolo della derivata delle funzioni elementari xn , ex , log x, sin x mediante limite del rapporto incrementale, regole di derivazione;
15. dimostrazione del teorema che lega continuità e derivabilità di una funzione in un punto, concetto di
differenziale;
16. teoremi sulle funzioni derivabili (con dimostrazione): teorema di Rôlle, teorema di Cauchy, teorema di
Cauchy con derivate n-esime, teorema di Lagrange, teorema della formula di Taylor;
17. espressione e proprietà del polinomio di Taylor di una funzione in un punto e del resto, calcolo del
polinomio di Taylor delle funzioni elementari ex , sin x, cos x, log(1 + x), irrazionalità del numero e;
18. ruolo del teorema di Lagrange per la dimostrazione del teorema che lega il segno della derivata prima di
una funzione e il suo comportamento crescente e decrescente;
19. definizione di estremo locale, condizione solo necessaria, condizione solo sufficiente del secondo ordine e
condizione solo sufficiente di ordine n per massimi e minimi locali nei punti interni di un intervallo;
20. definizione di flesso, condizione solo necessaria, condizione solo sufficiente del terzo ordine e condizione
solo sufficiente di ordine n per i flessi;
21. relazione tra i segni della derivata seconda di una funzione e il suo comportamente concavo e convesso;
22. funzione integrale di una data funzione, integrale indefinito e primitiva, enunciato e dimostrazione del
teorema di Torricelli-Barrow con applicazioni al calcolo delle aree, regola dell’integrale definito.
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