Fenomeni periodici.3 documento PDF

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Progetto Matematica&Realtà – Polo Innovamatica Perugia
Corso Avanzato – VI lezione
Tema D2: Fenomeni e funzioni periodici
Proponiamo alcune situazioni che si modellano mediante funzioni trigonometriche.
Strade pericolose
Se durante un tragitto in auto incontriamo uno di questi segnali che cosa pensiamo?
Discesa pericolosa
Salita pericolosa
Presegnala un tratto di
strada in discesa secondo
il senso di marcia.
La pendenza è espressa in
percentuale
Presegnala un tratto di
strada in salita secondo il
senso di marcia.
La pendenza è espressa in
percentuale
I segnali indicano una pendenza stradale del 10%.
Cercando in rete otteniamo la seguente definizione di pendenza stradale:
La pendenza m media di una strada è definita dal rapporto tra il dislivello Δy tra il punto di partenza e quello di
arrivo e la distanza orizzontale Δx. La distanza orizzontale Δx è la proiezione sull'orizzontale del percorso, non la
distanza effettivamente percorsa Δs.
La pendenza in percentuale si ottiene moltiplicando m per 100. Un valore maggiore della pendenza corrisponde
ad una maggiore ripidità del tratto di strada. Fonte: Wikipedia
Ci possiamo chiedere: qual è l’angolo d’inclinazione della strada?
Proviamo a determinare la relazione funzionale fra pendenza e angolo di inclinazione della strada.
Tema proposto dall’Unità Locale Liceo Classico Galluppi, Catanzaro. Coordinatore: Prof. Anna Maria Canepa
Analisi della
situazione
Dalla definizione di pendenza stradale si ha
∆y
m=
∆x
∆y
Grazie alla trigonometria possiamo esprimere m in funzione dell’angolo di inclinazione
della strada α :
α
∆x
m= tg α
Ci chiediamo quale angolo di inclinazione corrisponde ad una pendenza del 10%?
m= 0.1= tg α ⇒ α= arctg 0.1 ≅ 0,099 radianti
360
=
α 0,099 ⋅
≅ 5,71 gradi
2π
In definitiva la relazione fra pendenza percentuale m e l’angolo di inclinazione della strada
in gradi è (vedi grafico seguente)
360
m
α = α ( m) =
⋅ arctg
2π
100
Tabuliamo alcuni valori del grafico:
2
Pendenza Inclinazione
( %)
(gradi)
10
5,71
20
11,31
30
16,70
40
21,80
50
26,57
60
30,96
70
34,99
80
38,66
90
41,99
100
45,00
Apertura alare
Nei moderni aerei di linea supersonici varia, durante il volo, l’angolo formato dalle
ali con la carlinga.
Di quanto varia l’apertura delle ali se l’angolo passa da 70° durante il decollo a 30°
durante il volo supersonico? [lunghezza di ciascun ala 16 m]
Costruzione
del modello
Servendoci di una rappresentazione
geometrica (cfr. immagine a lato),
denotiamo con OA l’ala dell’aereo e
con 
AOH = α l’angolo fra l’ala e la
carlinga.
L’apertura alare (distanze fra le punte
delle ali) è quindi pari a
=
AB 2 AH + HH '
Tenuto conto della risoluzione dei triangoli rettangoli, si ha
AH
= OA ⋅ sin =
α 16sin α
Pertanto l’apertura alare durante il decollo e il volo è
rispettivamente pari a
apertura alare=
decollo 32sin 700 + HH '
apertura alare
=
volo 32sin 300 + HH '
Si osservi che
=
AH 16sin
=
300 8 m
=
A ' H ' 16sin 700 ≅ 16 ⋅=
0.94 15.04 m
Soluzione del
quesito
Di conseguenza la differenza dell’apertura alare nelle due situazioni è
differenza apertura alare= 32 ( sin 700 − sin 300 ) ≅ 14.08 m
3
Osservazione
Il grafico a lato, che rappresenta la funzione
=
y 16sin α
descrive come varia l’ampiezza del segmento AH in
funzione dell’angolo α .
Come si vede, il segmento è massimo in corrispondenza ad
α = π/ 2
Cancello automatizzato
Si vuole automatizzare l’apertura di un cancello a due ante, lunga ciascuna
mediante un dispositivo elettronico che consenta tre modalità:
a) passo pedonale ( 1m )
2,5 m ,
b) passo carrabile ridotto ( 2,5m )
c) passo carrabile (apertura completa)
Dovendo progettare il dispositivo, determinare i rispettivi angoli di apertura.
Costruzione
del modello
Servendoci di una rappresentazione geometrica (cfr.

immagine a lato), denotiamo con BAH
= α l’angolo di
apertura dell’anta del cancello.
Si osservi innanzi tutto che la posizione c)corrisponde ad un
angolo di apertura α =900 .
Tenuto conto della risoluzione dei triangoli rettangoli, si ha
AH = AB ⋅ cos α = 2.5 ⋅ cos α
per cui negli altri due casi si ha rispettivamente:
2
a)
AH
= 2 ⇒ cos =
α
= 0.8
2.5
1.25
b) AH
= 1.25 ⇒ cos=
α
= 0.5 ⇒ =
α 600
2.5
Osservazione
Si osservi che il passo del cancello è pari a
BC =
5 − 2 AH =
5(1 − cos α)
Il grafico a lato, che rappresenta la funzione
y = 5(1 − cos α)
descrive come varia il passo del cancello in funzione
dell’angolo di apertura.
Come si vede, il segmento è massimo in corrispondenza ad
α = π/ 2
L’immagine mostra chiaramente che l’ampiezza del passo non varia in modo lineare al
crescere dell’angolo di apertura!
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Statua della libertà
La statua della libertà, uno dei più noti monumenti di New York, è il simbolo della città.
Situata in un isolotto chiamato “Liberty Island”, è alta 92 m , compreso il piedistallo di
46 m ed è visibile fino a 40 km di distanza.
Raffigura una donna che regge una fiaccola, simbolo della libertà, e con l’altra mano tiene
un libro in cui è incisa la data dell’indipendenza americana “4 luglio 1776”.
Progettata e costruita a Parigi (progetto F. A. Bartholdi – realizzazione G. Eiffel) fu donata
dalla Francia agli Stati Uniti d’America per celebrare il centenario dell’indipendenza.
Descrivere in che modo l’angolo di visuale varia in funzione della distanza dalla statua.
Determinare qual è l’angolo di visuale corrispondente a 70 m .
Costruzione
del modello
Schematizziamo la situazione mediante la figura seguente. L’osservatore si trova nel punto P,
i segmenti AB e BC rappresentano il piedistallo e la statua rispettivamente.
ˆ può essere valutato mediante le
L’angolo di visuale CPB
formule di sottrazione della tangente.
Precisamente, posto
ˆ =
ˆ =
CPA
α BPA
β
si ha
tg α − tgβ
ˆ
tg CPB=tg
( α-β ) =
1 + tg α tgβ
Inoltre posto AP = x , risulta
=
tg α
92
46
=
tgβ
x
x
da cui
ˆ =
tg CPB
46 x
x + 4232
2
ˆ = arctg  46 x  radianti
CPB
 2

 x + 4232 
ˆ = 360 arctg  46 x  gradi
CPB
 2

2π
 x + 4232 
Funzione
razionale
Così la tangente dell’angolo di visuale è una funzione razionale della distanza dal piedistallo,
mentre a lato è riportato l’andamento dell’angolo di visuale (in gradi) in funzione della
distanza x dal piedistallo.
In particolare, per x = 70 m si ottiene
360
 46 ⋅ 70 
ˆ
=
CPB
arctg  2
 ≅ 19, 42 gradi
2π
 70 + 4232 
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ALLENAMENTO ALLA GARA DI MODELLIZZAZIONE
Quesito D9 (New light) La Signora Rossi sta arredando la sua nuova casa e per
illuminare il tavolo da pranzo vorrebbe acquistare una lampada da appendere al soffitto in
corrispondenza del centro del tavolo.
Il tavolo è rotondo (diametro 2 m) e la lampada che ha scelto, una volta montata, disterebbe
dal tavolo 1 m circa.
L’architetto le ha detto che l’illuminazione in un punto del tavolo è inversamente
proporzionale al quadrato della distanza dalla lampadina e direttamente proporzionale al
coseno dell’angolo di incidenza (angolo α in figura).
La Sig. Rossi si chiede quanto sarà l’intensità della luce sul bordo del tavolo.
Cosa le puoi suggerire?
A
α
H
P
Dopo aver studiato il problema, scegli la risposta esatta. Allega una breve motivazione della risposta.
D9 A
I =k 2
B
I =k2 2
C
I =k/ 2
Svolgimento. Seguendo il suggerimento dell’architetto si ha: I = k
I = k /2 2
D
cos α
AP 2
Poiché il triangolo AHP è rettangolo isoscele, si deduce immediatamente che AP = 2
ciò la risposta esatta.
e
cos α = 2 / 2 da
D2.3.1 Spazio figura
Quesito D2.2 (Metodo Fibonacci)
Il matematico Leonardo Pisano, detto
Fibonacci (Pisa, 1170-1250), aveva
trovato un modo semplice ed efficace
per stimare le distanze. Si serviva di
una cornice quadrata ABCD di lato
unitario con il lato BC graduato.
Sistemati i lati AD e BC in posizione orizzontale, Leonardo
traguardava la cima V di una montagna attraverso il vertice D fino
ad allineare il vertice C con i punti V e D. Successivamente,
tenendo ferma la cornice, spostando il punto di visuale, traguardava
la cima V attraverso il vertice A, individuando un punto E (allineato
con i punti V ed A) sul lato graduato BC. La lettura della lunghezza
del segmento BE gli permetteva di stimare la distanza CV ovvero la
distanza della cima della montagna dall’osservatore.
Riportare la figura nello spazio relativo e determinare la legge della distanza VC in funzione della lettura BE
N.B. [traguardare = guardare un punto lontano attraverso D2.3.2 Legge della distanza
punti fissi, segni o tacche di un dispositivo di mira, montato su
uno strumento, allo scopo di dare a quest’ultimo l'esatta
direzione (dizionario on-line Hoepli)]
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ESERCIZI PER CASA – ALLENAMENTO ALLA GARA DI MODELLIZZAZIONE
Altezza della nuvola
Di notte, per misurare l’altezza di una nuvola si può procedere come segue. Si punta da terra un fascio verticale di luce
laser contro la nuvola. Si osserva la macchia luminosa prodotta sulla nuvola da una località L, alla stessa altitudine della
sorgente laser e ad una distanza nota d.
Mostrare che l’angolo di elevazione della nuvola, vista da L, è correlato all’altezza h della nuvola da terra e determinare
la relazione funzionale fra l’angolo in gradi e l’altezza h in metri.
Traslochi difficoltosi
Il direttore del Rijksmuseum di Amsterdam deve spostare la Ronda di notte di
Rembrandt per lavori di ristrutturazione della sala. Pensa di collocare il quadro in una
stanza vicina.
Il collegamento fra le due sale prevede un corridoio a L. Prima di incaricare una ditta
di traslochi, vuole assicurarsi che l’operazione sia possibile.
[Dimensioni del quadro 363 cm × 473 cm , larghezza del due rami del corridoio 3 m e
2,80 m ].
Referenze
[1] P.Brandi-A.Salvadori, Matemati&Realtà. Percorso D – Le funzioni elementari strumento base della
modellizzazione del mondo reale, R.T. DPMI-UNIPG n.15/2010
[2] P.Brandi-A.Salvadori, Prima di iniziare (Conoscenze e competenze matematiche di base per l’Università)
Aguaplano, Officina del libro, Passignato s.T. (2011)