(V,g) uno spazio vettoriale euclideo, f un endomo

Esercizi proposti di GEOMETRIA 2
Corso di Laurea in Matematica
2a serie
1. Sia (V, g) uno spazio vettoriale euclideo, f un endomorfismo autoaggiunto,
λ1 , . . . , λh gli autovalori di f (a due a due distinti). Si provi che gli autospazi V1 , . . . , Vh di f relativi agli autovalori λ1 , . . . , λh rispettivamente,
sono a due a due ortogonali.
2. Siano V uno spazio vettoriale reale, G(V ) l’insieme dei prodotti scalari su
V.
(a) Fissati g, h ∈ G(V ) si verifichi che l’applicazione g + h : V × V → R
tale che
∀v ∈ V (g + h)(v) = g(v) + h(v)
è ancora un prodotto scalare su V ;
(b) si provi che la struttura algebrica (G(V ), +) non è un monoide.
a b
3. Sia A =
∈ M2 (R), di rango 1, con (a, b) 6= (0, 0). Si provi che
c d
allora esiste ρ ∈ R tale che c = ρa, d = ρb.
4. Sia Sn (R) l’insieme delle matrici simmetriche, ovvero:
A ∈ Sn (R) ⇐⇒ A = t A.
(a) Si verifichi che Sn (R) é un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale Mn (R)
(b) si determini una base di Sn (R) e si deduca che dim(Sn (R)) =
n(n+1)
.
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5. Si verifichi che l’insieme delle matrici simmetriche non é un gruppo rispetto
al prodotto righe per colonne.
6. Sia An (R) l’insieme delle matrici antisimmetriche, ovvero:
A ∈ An (R) ⇐⇒ A = −t A.
(a) Si verifichi che An (R) é un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale Mn (R)
(b) si determini una base di An (R) e si deduca che dim(An (R)) =
n(n−1)
.
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7. Si verifichi che Mn (R) = Sn (R) ⊕ An (R).
8. Sia V uno spazio vettoriale su R. Si verifichi che l’insieme β(V ) delle
forme bilineari simmetriche su V ha a sua volta una struttura di spazio
vettoriale su R.
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9. Una matrice A ∈ Sn (R) si dice A definita positiva se per ogni X ∈ Rn ,
X 6= 0Rn , risulta t XAX > 0. Si indica con Sn+ (R) l’insieme delle matrici
definite positive. Si verifichi che
Sn+ (R) = {A ∈ Sn (R) | gli autovalori di A sono tutti positivi}
10. Si verifichi che l’insieme Sn (R) delle matrici reali simmetriche é un sottospazio vettoriale di Mn (R) mentre l’insieme Sn+ (R) delle matrici simmetriche definite positive non lo è.
11. Fissati uno spazio vettoriale reale V ed una base B di V , per ogni A ∈
Sn (R) si puó considerare la forma bilineare simmetrica gA tale che per
ogni v, w ∈ V , gA (v, w) = t XAY , dove X e Y sono le matrici colonna
delle componenti dei vettori v e w, rispettivamente, nella base B.
(a) si verifichi che l’applicazione
ΨB : Sn (R) → β(V ) tale che ∀A ∈ Sn (R), ΨB (A) = gA
é un isomorfismo di spazi vettoriali
(b) indicato con G(V ) l’insieme
dei prodotti
scalari su V , si provi che
+
ΨB (Sn (R)) = G(V ) e che (ΨB )|Sn+ (R) : Sn+ (R) → G(V ) è un’ap]
plicazione bigettiva.
12. Siano (V, g) uno spazio vettoriale euclideo, B = {e1 , . . . , en } una base di
V , A la matrice di g rispetto a B. Si provi che detA > 0.
(Suggerimento: si tenga presente che g = gA )
α β
13. Sia A =
∈ S2 (R). Si dimostri che le seguenti proposizioni sono
β γ
equivalenti:
(a) A ∈ Sn+ (R)
(b) det(A) > 0 ∧ α > 0 ∧ γ > 0
(c) det(A) > 0 ∧ γ > 0
(d) det(A) > 0 ∧ α > 0.
Suggerimento per provare (d)⇒ (a): Si considerano gli autovalori λ1 , λ2
di A. Essi sono entrambi strettamente positivi o entrambi strettamente
negativi (perchè?). Sia fA l’endomorfismo di R2 avente A quale matrice
rispetto alla base canonica. Si suppone per assurdo che λ1 , λ2 siano negativi e si considera una base B = {e1 , e2 } di autovettori di fA , ortonormale
rispetto al prodotto scalare standard di R2 (perchè esiste B?). Sia gA la
forma bilineare simmetrica su R2 definita, per ogni X, Y ∈ R2 ∼
= M2,1 (R),
da gA (X, Y ) = t XAY . Si verifichi che, per ogni X = ξ1 e1 + ξ2 e2 ∈ R2 ,
risulta gA (X, X) = ξ12 λ1 + ξ22 λ2 < 0 e in particolare α = gA (ε1 , ε1 ) < 0.
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14. Data una matrice A = (Aij )i,j∈{1,...,n} ∈ Mn (R), si dice traccia di A il
numero reale
n
X
trA =
Aii .
i=1
(a) si verifichi che tr : Mn (R) → R è un’applicazione lineare
(b) si calcoli dim(Im tr)
(c) nei casi n = 2, n = 3, si determinino dim(ker tr) e una base di ker tr
(d) si provi che ∀A ∈ Mn (R), tr(t A) = trA
(e) si dimostri che ∀A, B ∈ Mn (R), tr(AB) = tr(BA)
(f) si provi che A e B sono due matrici simili, allora trA = trB
15. Si dimostrinino o si esibisca un controesempio per le seguenti proprietà:
(a) ∀ A ∈ Mn (R), detA = 0 ⇒ trA = 0
(b) ∀ A ∈ Mn (R), tr(AB) = (trA)(trB)
(c) ∀ A ∈ Mn (R), trA = 0 ⇒ detA = 0
16. Si dimostri che l’applicazione g1 : Sn (R) × Sn (R) → R tale che per ogni
A, B ∈ Sn (R) risulti g1 (A, B) = tr(AB) è un prodotto scalare.
17. Si provi che l’applicazione g2 : An (R) × An (R) → R) tale che per ogni
A, B ∈ An (R) risulti g2 (A, B) = −tr(AB) è un prodotto scalare.
18. Siano V un R-spazio vettoriale, g1 e g2 un prodotto scalare su V , B =
{e1 , . . . , en } una base di V . Si provi che le seguenti proprietà sono equivalenti:
(a) g1 = g2
(b) ∀ i, j ∈ {1, . . . , n}, g1 (ei , ej ) = g2 (ei , ej )
(c) ∀ v ∈ V, g1 (v, v) = g2 (v, v).
19. Siano (V, g) un spazio vettoriale euclideo, v1 , v2 ∈ V , B = {e1 , . . . , en } una
base di V . Si dimostri che le seguenti proprietà sono equivalenti:
(a) v1 = v2
(b) ∀ v ∈ V, g(v1 , v) = g(v2 , v)
(c) ∀ i ∈ {1, . . . , n}, g(v1 , ei ) = g(v2 , ei ).
20. Siano (V1 , g1 ) e (V2 , g2 ) due spazi vettoriali euclidei, B = {e1 , . . . , en }
una base ortonormale di V1 . Sia G : Hom(V1 , V2 ) × Hom(V1 , V2 ) → R
l’applicazione tale che
∀f1 , f2 ∈ Hom(V1 , V2 ), G(f1 , f2 ) =
n
X
i=1
3
g2 (f1 (ei ), f2 (ei )) .
(a) Si provi che la definizione di G non dipende dalla scelta della base
ortonormale
(b) si verifichi che G è un prodotto scalare su Hom(V1 , V2 ), che si dice
di Hilbert-Schmidt
(c) fissata una base ortonormale v1 , . . . , vn di V2 , allora è possibile considerare fji ∈ Hom(V1 , V2 ) tali che fji (ek ) = δki vj ; si verifichi che
(fji )i,j∈{1,...,n} è una base di Hom(V1 , V2 ).
21. Indicato con g0 il prodotto scalare standard di Rn , e fissata A ∈ Mn (R),
si dimostri che risulta:
(a) per ogni X, Y ∈ Rn ∼
= Mn,1 (R),
g0 (AX, Y ) = g0 (X, t AY ), g0 (AX, AY ) = g0 (X, t AAY )
(b) t AA è diagonalizzabile
(c) gli autovalori di t AA sono maggiori o uguali a 0
(d) se A 6= 0, allora t AA ammette almeno un autovalore strettamente
positivo
(e) l’applicazione g : Rn × Rn → R tale che g(X, Y ) = g0 (AX, AY ),
per ogni X, Y ∈ Rn è una forma bilineare simmetrica; inoltre g è un
prodotto scalare se e soltanto se il rango di A è massimo.
22. Sia V uno spazio vettoriale reale, B = {e1 , . . . , en } una base di V . Si
dimostri che esiste un unico prodotto scalare g su V rispetto al quale B
sia ortonormale.
Suggerimento: Per ogni v, w ∈ V , si ponga g(v, w) = t XY , dove con X e
Y si sono indicati i vettori colonna delle componenti di v e w, rispettivamente, rispetto a B.
23. Siano (V, g) uno spazio vettoriale euclideo, b ∈ V . L’applicazione αb : V →
V tale che per ogni v ∈ V αb (v) = v + b si dice traslazione di ampiezza b.
Si verifichi che αb è lineare se e solo se è l’applicazione identica.
24. Sia (V, g) uno spazio vettoriale euclideo. Un’applicazione R : V → V
che conservi il prodotto scalare si dice trasformazione ortogonale di V .
Quindi R è una trasformazione ortogonale se e solo se per ogni v, w ∈ V
g(R(v), R(w)) = g(v, w). Si dimostri che:
(a) ∀α ∈ R, v ∈ V g(R(αv), R(αv)) = α2 g(v, v) = α2 g(R(v), R(v))
(b) ∀α ∈ R, v ∈ V g(R(αv) − αR(v), R(αv) − αR(v)) = 0
(c) ∀v, w ∈ V g(R(v) + R(w) − R(v + w), R(v) + R(w) − R(v + w)) = 0
(d) R è lineare
(e) R è un automorfismo.
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25. Sia V uno spazio vettoriale reale. Si indica con Aut(V ) l’insieme degli automorfismi di V , che è un gruppo rispetto a ◦. Si dimostri che (Aut(V ), ◦)
è isomorfo a (Gl(n, R), ·).
Suggerimento: Fissata B base di V , si definisce Φ : Aut(V ) → Gl(n, R) in
modo che per ogni f ∈ Aut(V ), Φ(f )=la matrice di f relativa alla base
B, e si prova che Φ è un isomorfismo di gruppi.
26. Sia (V, g) uno spazio vettoriale euclideo. Si indica con T (V ) l’insieme delle
trasformazioni ortogonali di V . Si dimostri che:
(a) T (V ) è un sottogruppo di Aut(V )
(b) fissata una base B di V ortonormale, risulta che Φ(T (V )) = O(n),
dove Φ è definita nell’esercizio 25. e con O(n) si indica il gruppo
ortogonale , ovvero il gruppo delle matrici (reali) ortogonali
(c) il gruppo (T (V ), ◦) è isomorfo a (O(n), ·).
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