rapporti e proporzioni

MATEMATICA
RAPPORTI E
PROPORZIONI
Prof.ssa M. Rosa
Casparriello
Scuola media di Fontanarosa
• PREREQUISITI
• Conoscere e saper applicare la proprietà
invariantiva della divisione e la proprietà
fondamentale delle frazioni;
• Saper eseguire le operazioni in N e Q+;
• CONOSCENZE E ABILITA’
• Apprenderemo il concetto di rapporto tra numeri e
grandezze e applicheremo queste conoscenze per
risolvere problemi;
• Acquisiremo il concetto di proporzione e di catena di
rapporti;
• Capiremo e sapremo utilizzare i termini ed i simboli
relativi al rapporto e alla proporzione;
• CONOSCENZE E ABILITA’
• Conosceremo e quindi sapremo applicare le proprietà
delle proporzioni, anche per la risoluzione di problemi;
• Infine, saremo in grado di calcolare il termine incognito di
una proporzione.
• Problema
Alex e Piero giocano nella stessa squadra di
pallacanestro e sono sempre in lotta per il primato
di miglior realizzatore. Nelle ultime due partite Alex
ha realizzato 21 canestri su 84 tiri effettuati, Piero
18 su 54 tiri. Qual è il migliore realizzatore?
• PROBLEMA
facciamo il rapporto fra il numero dei canestri ed il numero dei tiri
effettuati, abbiamo la seguente situazione:
Alex: 21 su 84 o in frazione 21/84 cioè 1/4
Piero: 18 su 54 o in frazione 18/54 cioè 1/3
Chi è più grande 1/4 o 1/3?
• Problema
Piero is winner !!!!!
Questo esempio ci mostra come in molti casi si possa
ottenere una informazione corretta considerando un dato
numerico in collegamento con un altro: cioè il
RAPPORTO esistente tra i due dati.
Il RAPPORTO tra due dati è il loro QUOZIENTE.
DEF . Dati due numeri a e b (con b ≠0), si dice rapporto tra i
due numeri il quoziente ottenuto dividendo il primo per il
secondo
• Termini del rapporto
Antecedente
a
:
b
conseguente
Termini del rapporto
I numeri a e b sono i termini del rapporto. Il primo numero è
l’antecedente, il secondo è il conseguente
• IL RAPPORTO
• Oltre che sotto forma di divisione e di frazione, un
rapporto può essere scritto sotto forma di decimale.
• Quindi questi sono tre modi per scrivere un rapporto:
• 3/5 come frazione;
• 3:5 come divisione;
• O.6 come numero decimale.
• Rapporto inverso
Se in un rapporto scambiamo l’antecedente con
il conseguente otteniamo il RAPPORTO
INVERSO
Considerando ad esempio i numeri 8 e 5:
8:5 o 8/5 o 1.6 è il rapporto diretto;
5:8 o 5/8 o 0.625 è il rapporto inverso;
REGOLA
• Regola:
Il prodotto di qualsiasi rapporto per il suo inverso è uguale
a1
8/5 x 5/8 =1
Regola
Moltiplicando o dividendo antecedente e conseguente per
un numero qualsiasi diverso da zero si ottiene un
rapporto uguale a quello dato
(proprietà invariantiva)
• Proprietà invariantiva
Esempio:
21:14=21/14=1.5 operiamo nel seguente modo:
moltiplichiamo entrambi i termini per 3
(21x3) : (14x3)= 63:42= 63/42= 1.5
Dividiamo entrambi i termini per 7:
(21:7) : (14:7)=3:2=3/2= 1.5
dunque dato il rapporto 2/5 sappiamo che i rapporti 4/10, 6/15…
20/50 sono uguali a 2/5 perché ottenuti moltiplicando
rispettivamente per 2, 3,…10 i suoi termini
Rapporti fra grandezze omogenee
• Consideriamo il rapporto fra due grandezze omogenee,
cioè dello stesso tipo ed espresse nella stessa unità di
misura
• PROBLEMA
Lo zaino di Anna pesa 4.2 Kg, quello di Paola pesa 8.4. qual è il
rapporto fra i due pesi?
4.2:8.4=4.2/8.4=1/2=0.5
Esprimendo i pesi in grammi
4200:8400=1/2=0.5
Rapporti fra grandezze omogenee
DEF. Il rapporto fra due grandezze omogenee (con
la seconda diversa da zero) è il quoziente fra le loro
misure espresse nella stessa unità di misura.
Il rapporto fra grandezze omogenee è un numero
puro, ovvero privo di unità di misura.
Appartiene all’insieme dei numeri R e può essere
razionale o irrazionale
PROBLEMA
Calcolare il rapporto fra la
lunghezza di due segmenti
lunghi rispettivamente 27 cm
e 81cm
A
Il rapporto tra le due
grandezze è 1/3
Possiamo osservare che:
Il rapporto è un numero
razionale;
B
C
D
Le due grandezze
ammettono un
sottomultiplo (il loro
M.C.D. è 27) e si dicono
COMMENSURABILI
PROBLEMA 2
• Dato un quadrato il cui lato misura 5 cm, calcolare il rapporto
tra la lunghezza della diagonale e del lato
• Calcoliamo la misura della diagonale del quadrato applicando
il teorema di Pitagora:
D
C
• d=l∙√2=5 ∙√2
• Il rapporto tra d e l è: 5 ∙√2 :5= √2
l
• Possiamo osservare:
A
B
• Il rapporto è un numero irrazionale;
• Le due grandezze non ammettono multipli in comune e si
dicono incommensurabili
rapporti fra grandezze omogenee
DEF. Se due grandezze omogenee ammettono un sottomultiplo
comune ed il loro rapporto è un numero razionale sono
commensurabili.
Se due grandezze omogenee non ammettono un sottomultiplo
comune e il loro rapporto è un numero irrazionale sono
incommensurabili
Rapporto tra grandezze non omogenee
Consideriamo il rapporto tra grandezze di diverso tipo e non esprimibili con le stesse
unità di misura.
PROBLEMA
Un ciclista professionista percorre 80 Km in 2 ore. Qual è la sua
velocità media oraria.
V=s:t
80km:2h=40km/h
Otteniamo una nuova grandezze la velocità media vm espressa
in kilometri all’ora.
Quindi il rapporto fra due grandezze non omogenee non è un
numero puro, ma una nuova grandezza.
rapporti fra grandezze non omogenee
DEF. Il rapporto fra due grandezze non omogenee è il quoziente
tra le loro misure e costituisce una nuova grandezza (grandezza
derivata) espressa in una nuova unità di misura
rapporti fra grandezze non omogenee
ESEMPI:
Un cubo di ferro ha il volume di 50 dm3 e pesa
393 kg. Qual è il peso specifico? (peso/volume)
In Sardegna vi sono 1 657 375 abitanti distribuiti
su una superficie di 24 090 km2 . Quanti abitanti
sono presenti, in media, su ogni km2 ?
PROBLEMA
Dato il segmento AB lungo 10 cm,
costruiamo il segmento A’B’ lungo
5 cm ed il segmento A’’B’’ lungo
2,5 cm
A
A’B’/AB= 5cm/10cm=1/2;
A’’B’’/AB=2,5cm/10cm=
B
B’
A’
A’’
Consideriamo i rapporti tra
i segmenti ottenuti:
B’’
=25/100=1/4
Quindi il segmento A’B’ è la
metà del segmento AB,
mentre il segmento A’’B’’ è
un quarto di AB.
Concludiamo:
Il rapporto fra il segmento ridotto ed il segmento di partenza si dice rapporto
di riduzione ed è minore dell’unità
PROBLEMA
Dato il segmento CD lungo 2 cm,
costruiamo il segmento C’D’ lungo
4 cm ed il segmento C’’D’’ lungo 6
cm
C
C’
C’’
D
Consideriamo i rapporti tra
i segmenti ottenuti:
C’D’/CD= 4cm/2cm=2;
C’’D’’/CD=6cm/2cm=3
Quindi il segmento C’D’ è Il
doppio del segmento CD,
mentre il segmento C’’D’’ è
il triplo di CD
D’
D’’
Concludiamo:
Il rapporto fra il segmento INGRANDITO ed il segmento di partenza si dice
rapporto di INGRANDIMENTO ed è MAGGIORE dell’unità
INGRANDIMENTI E RIDUZIONI
•
Le rappresentazioni in cui le dimensioni degli oggetti vengono tutte
ugualmente ridotte o ingrandite, secondo lo stesso rapporto sono
dette rappresentazioni in scala.
DEF. La scala è il rapporto tra la misura di una distanza sulla
carta (distanza grafica) e la misura della stessa distanza
nella realtà (distanza reale) espresse nella stessa unità di
misura.
Scala 1: 800 000 significa che 1 cm sulla carta corrisponde a
800 000 cm nella realtà cioè 8 km
1:1 dimensioni reali
2:1 dimensioni raddoppiate
3:1 dimensioni triplicate
La Proporzione
PROBLEMA
Nella prima partita del torneo estivo di pallacanestro Alex ha realizzato 12
canestri su 24 tiri e Piero 15 canestri su 30 tiri chi è stato il miglior
realizzatore della partita?
Dobbiamo calcolare il rapporto canestri realizzati/ tiri effettuati:
Alex 12/24=1/2
Piero 15/30= ½
I due rapporti sono uguali quindi i due giocatori sono stati ugualmente bravi.
Poiché i due rapporti sono uguali possiamo scrivere:
12/24 = 15/30 oppure
12:24=15:30
Cos’è una proporzione?
Proporzione
Uguaglianza tra due
rapporti
Termini di una proporzione
Si legge:
a sta a b come c sta a d
a
:
b
=
medi
estremi
c
:
d
Quarto
proporzionale
Termini di una proporzione
antecedenti
a
:
b
=
c
:
conseguenti
d
Particolare proporzione
medi uguali
a
:
b
=
b
:
c
Se i medi (oppure gli estremi) sono uguali la
proporzione è continua
Proprietà fondamentale delle
proporzioni
La proprietà fondamentale è collegata alla
definizione di frazioni equivalenti.
I “ prodotti in croce” sono uguali.
A : B=C : D
A D  B C
Proprietà dell’invertire
• a : b = c: d
b:a=d:c
Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il suo
conseguente si ottiene ancora una proporzione
Proprietà del permutare
• a:b=c:d
• a:b=c:d
d:b=c:a
a:c=b:d
Se in una proporzione si scambiano tra loro i medi e/o gli
estremi si ottiene ancora una proporzione
Proprietà del comporre
• a:b=c:d
• a:b=c:d
(a+b):a = (c+d):c
(a+b):b = (c+d):d
In ogni proporzione la somma dei primi due termini sta al
primo ( o al secondo termine come la somma degli altri due sta
al terzo (o al quarto termine)
Proprietà dello scomporre
• a:b=c:d
• a:b=c:d
(a - b):a = (c - d):c
(a - b):b = (c - d):d
Se in una proporzione il primo termine è maggiore del secondo
termine (e quindi il terzo maggiore del quarto), la differenza del
primo e secondo termine sta al primo (o al secondo) come la
differenza del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto
termine).
Applica la proprietà fondamentale
6 : 16 = x :40
x : 7 = 6 : 14
6  40
x
16
76
x
14
Prova
tu
Applica la proprietà del comporre
3

  x: x  2:3
5

3

  x  x  : x  2  3 : 3
5

E quindi otteniamo
3
: x  5:3
5
3
3
x 5
5
Prova
tu
Applica la proprietà dello
scomporre
(4+x):x=5:3
(4+x-x):x=(5-3):3
E quindi:
4:x=2:3
x=
43
2
Prova
tu
Applica la proprietà del
permutare e del comporre
2:x=6:(x+3)
(x+3):x=6:2
E quindi
(x+3-x):x=(6-2):2
3:x=4:2
3 2
x
4
Prova
tu
Grandezze direttamente
proporzionali
DUE GRANDEZZE SONO DIRETTAMENTE PROPORZIONALI SE AL
RADDOPPIARE, TRIPLICARE, QUADRUPLICARE … DELL’UNA RADDOPPIA,
TRIPLICA, QUADRUPLICA ….. ANCHE L’ALTRA.
Ad esempio il prezzo di una merce e il suo peso sono direttamente
proporzionali. La quantità di benzina consumata e lo spazio percorso di
un’auto.
Legge di proporzionalità diretta
• Se due grandezze sono direttamente
proporzionali, il rapporto di due valori della prima
è uguale al rapporto di due grandezze della
seconda.
:
=
:
Grandezze inversamente
proporzionali
DUE GRANDEZZE SONO INVERSAMENTE PROPORZIONALI SE AL RADDOPPIARE,
TRIPLICARE, QUADRUPLICARE … DELLA PRIMA LA SECONDA DIVENTA UN
MEZZO, UN TERZO, UN QUARTO ……
Per esempio sono inversamente proporzionali il numero di ore giornaliere e
il numero di giorni per eseguire un lavoro.
La portata di un rubinetto e il tempo per riempire un recipiente.
La grandezza di un ingranaggio e il numero di giri effettuati in un
determinato tempo
Legge di proporzionalità inversa
Se due grandezze sono inversamente
proporzionali,il rapporto di due valori della prima
è uguale al rapporto inverso dei due valori della
seconda.
:
=
: