conseguenza proporzioni

Corso di laurea: BIOLOGIA
Tutor: Floris Marta
PRECORSI DI MATEMATICA
CONSEGUENZA PROPORZIONI
PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE
Le conoscenze acquisite sui rapporti e sulle proporzioni possono essere applicate per la risoluzione di molti problemi di tipo pratico, tecnico, economico
e scientifico.
Una delle principali applicazioni della proporzionalità tra due grandezze
riguarda i problemi del tre semplice, cioè problemi in cui sono noti tre valori
corrispondenti a due grandezze proporzionali ed occorre determinarne il quarto.
Se le due grandezze sono direttamente proporzionali si ha un problema
del tre semplice diretto, se sono inversamente proporzionali si ha un problema del tre semplice inverso.
Vediamo separatamente il metodo di risoluzione di questi tipi di problemi, incominciando da quelli del tre semplice diretto.
Problema: Nonna Adele ha raccolto nel suo giardino 10 kg di pesche
e vuole fare la marmellata. Non conosce la dose di zucchero da usare per
ogni kg di pesche, ma ricorda che per 4 kg di pesche ha sempre usato 3 kg di
zucchero. Quanto zucchero le occorre ora?
Per la risoluzione seguiamo questo schema risolutivo:
1
Individuare le grandezze coinvolte
Stabilire se tra queste grandezze esiste
un legame di proporzionalità diretta
pesche (kg), zucchero (kg)
le due grandezze sono direttamente
proporzionali perché, raddoppiando o
triplicando la quantità di frutta, deve
raddoppiare o triplicare la quantità di
zucchero
Predisporre uno schema in cui trascrivere
i valori noti delle due grandezze e l’incognita
pesche (Kg)
10
4
zuchero (Kg)
x
3
pesche (Kg)
↓10
4
zuchero (Kg)
x↓
3
(x), cioè il valore da trovare
Poiché le due grandezze sono direttamente
proporzionali disegnare due frecce aventi
lo stesso verso, quello che va dalla
x verso il termine noto
Scrivere la proporzione seguendo il verso
delle frecce
Risolvere la proporzione
10 : 4 = x : 3
x=
10·3
4
= 7, 5
Lo zucchero occorrente a nonna Adele corrisponde a 7,5 kg.
Problema: Il signor Russo, dovendo recarsi in Gran Bretagna, decide di
cambiare 700 euro in sterline. Sapendo che al momento del cambio 1 euro
vale 0,6939 sterline, quante sterline riceverà?
Le grandezze coinvolte sono euro e sterlina e sono direttamente proporzionali: infatti raddoppiando gli euro cambiati raddoppiano anche le sterline
ottenute. Abbiamo cosı̀ il seguente schema:
euro sterline
700
x
1
0,6939
e la corrispondente proporzione:
700 : 1 = x : 0, 6939
da cui
x=
700 · 0, 6939
= 485, 73
1
2
Il signor Russo riceverà quindi 485,73 sterline.
PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE INVERSO
Sono analoghi ai precedenti: varia solo la proporzionalità che non è diretta,
ma inversa.
Problema. Per piastrellare i pavimenti di una casa a più piani 8 piastrellisti impiegano 24 giorni. Quanti giorni occorrerebbero a 12 piastrellisti
per compiere lo stesso lavoro?
Lo schema risolutivo è simile a quello utilizzato per i problemi del tre semplice diretto per cui:
Individuare le grandezze coinvolte
n◦ pistrellisti, n◦ giorni di lavoro
Quale tipo di proporzionalità esiste
le due grandezze sono inversamente
tra queste grandezze
proporzionali; infatti, raddoppiando o
triplicando il numero dei piastrellisti
i giorni di lavoro diventano 1/2 o 1/3 di
quelli iniziali
Costruire lo schema con i dati (i tre valori
n◦ pistrellisti n◦ giorni
noti) e l’incognita x e disegnare le frecce
↓8
24 ↑
12
x
aventi verso contrario, perchè le grandezze
sono inversamente proporzionali
Scrivere la proporzione seguendo il verso
8 : 12 = x : 24
delle frecce
Risolvere la proporzione
x=
8·24
12
= 16
Quindi lo stesso lavoro potrebbe essere eseguito da 12 piastrellisti in 16
giorni.
3
PERCENTUALI
La percentuale è un modo per esprimere un rapporto tra due grandezze
(generalmente, ma non sempre, una parte rispetto ad un tutto), come se il
denominatore valesse 100. Si tratta di una semplice proporzione.
Supponiamo di volere stabilire che percentuale rappresenta a rispetto a b:
¿ percentuale À: 100 = a : b
La percentuale esprime quindi un rapporto, oppure, se volete, una frazione:
p=
a
b
Per convenzione, la percentuale si esprime riferita a 100 (non c’è motivo,
se non storico, per avere preferito il 100 per esprimere un denominatore
normalizzato). E’ cioè quel numero che risolve la proporzione indicata sopra.
Matematicamente parlando, non c’è quindi differenza tra:
12%
e
0, 12
Entrambi i numeri esprimono la stessa cosa, sono lo stesso numero, solamente rappresentato secondo una convenzione diversa.
Esattamente come 10/3 e 3,33333... sono lo stesso numero, solamente scritto
in due modi diversi.
Se a è minore di b (non sempre è cosı̀, però!), la percentuale è un numero
compreso tra 0 e 1, un numero minore di 1 (ovvero, minore di 100%).
Facendo i calcoli a mano, siamo abituati a fare:
a
∗ 100
b
Questo porta molti a confondere il numero con la sua rappresentazione.
Quella moltiplicazione per 100 non ha un significato quantitativo, serve solo
a cambiare rappresentazione (esattamente come la conversione di un numero
da decimale a binario cambia la sua rappresentazione, non il numero stesso).
4
Dire che un negoziante realizza un tanto per cento, ad esempio il 12%
dalla vendita di una certa merce, significa dire che su ogni 100∈ di merce
venduta ha un guadagno di 12∈.
Il tanto per cento si dice tasso percentuale e si indica con la lettera r.
CALCOLO DELLA PERCENTUALE.
Supponiamo ad es. di voler determinare qual è il guadagno, cioè la percentuale P realizzata dalla vendita di di N ∈ di merce se il tasso percentuale
di guadagno è r. Si forma il seguente quadro:
importo della vendita
100
N
Scriviamo la proporzione risultante:
percentuale
r
p
100 : N = r : P
da cui si ottiene la percentuale P:
P =
N ·r
100
Per calcolare la percentuale di un numero N basta moltiplicarlo
per il tasso percentuale e dividere il risultato ottenuto per 100.
Esempio: Un paio di scarpe costano 70 ∈. Durante i saldi il negoziante
applica lo sconto del 30%. Quanto sarà il risparmio per il cliente?
In questo caso si ha che la quantità totale è N=70∈ e r=30%; applicando la
formula appena vista si ha
P =∈
70 · 30
7·3
=∈
= 21 ∈
100
1
Esempio: Quanto zolfo è contenuto in 85Kg di polvere pirica se questa
contiene il 12% di zolfo?
In questo caso si ha che la quantità totale è N=85Kg e r=12%; applicando
la formula appena vista si ha
P = Kg
17 · 6
85 · 12
= kg
= Kg10, 2
100
10
5
CALCOLO DEL TASSO PERCENTUALE.
Supponiamo ora che una libreria piena pesi 350Kg. Dopo aver tolto i libri
in essa contenuti ne pesa 70. Vogliamo sapere quant’è la percentuale del peso
originario dovuta ai libri.
Tornando alla proporzione di prima
100 : N = r : P
ora la nostra incognita è la r. Perciò si ha:
r=
P × 100
N
Consideriamo il rapporto ”70 su 350”, possiamo usare la proporzione per
calcolare il rapporto percentuale:
70 : 350 = x : 100
da cui
x=
70 · 100
= 20
350
e scriveremo che ”70 è il 20% di 350 ”.
Poiché per ottenere il numero 20 abbiamo dovuto eseguire materialmente
la divisione fra numeratore (7 000) e denominatore (350), possiamo semplificare l’operazione senza dover ogni volta impostare la proporzione, ricordando
che è sufficiente eseguire la divisione tra il primo termine del rapporto, al quale siano aggiunti due zeri, e il secondo termine.
Ad esempio, per calcolare il rapporto percentuale di 60 su 240 si può
eseguire direttamente l’operazione:
6000 : 240 = 25
e infati 60 è il 25% di 240.
CALCOLO DEL VALORE INTERO DATA LA PARTE PERCENTUALE
E IL TASSO PERCENTUALE.
Sempre dalla proporzione iniziale
100 : N = r : P
ora la nostra incognita è la N. Perciò si ha:
N=
P × 100
r
6
Esempio: Sappiamo che 35 è il 25% di un dato numero. Vogliamo
trovare questo numero.
25 : 100 = 35 : x
da cui
x=
35 · 100
= 140
25
Anche in questo caso si vede facilmente che si può evitare di impostare la
proporzione: per calcolare il valore dell’intero, data la parte percentuale e il
tasso, è sufficiente aggiungere due zeri alla parte percentuale (cioè moltiplicarla per 100) e dividere il numero risultante per il tasso.
Esercizio svolto: Per calcolare la parte intera, sapendo che il numero
18 ne è il 30%, si può eseguire direttamente l’operazione:
N : 1800 = 30 : 60
e infatti 18 è il 30% di 60.
Esempio: Un mediatore ha ricevuto 152.000 ∈ quale compendo per la
vendita di un appartamento. Se il tasso percentuale di mediazione è il 2%,
qual è il costo dell’appartamento?
N=
152.000 · 100
= 7.600.000
2
ESERCIZIO. Calcola l’intero, date le parti percentuali e i tassi percentuali:
25 è il 20% di ....................
400 è il 50% di ..................
il 30% di ................. è 450
il 14% di ..................è 112
76 è il 19% di ................
94 è il 20% di ................
il 33% di .............. è 297
il 65% di ................è 299
7
• Trasformare un numero percentuale in un numero decimale
Per trasformare un numero percentuale in un numero decimale è sufficiente eseguire la divisione per 100:
5% = 5:100 = 0.05
83.5% = 83.5: 100 = 0.835
271% = 271:100 = 2.71
• Trasformare un numero decimale in un numero percentuale
Per trasformare un numero decimale in un numero percentuale occorre riscrivere il numero decimale come frazione con denominatore
100. Possiamo dunque moltiplicarlo per 100/100 (cioè per 1):
0.05=0.05· 100
=
100
0.456
6.7 =
5
=5%
100
100
= 0.456· 100 = 45.6
= 45.6%
100
100
670
6.7-· 100 = 100 = 670%
• Trasformare un numero percentuale in frazione
Un numero percentuale, se non ha la parte decimale, può essere visto
come una frazione con denominatore 100, poiché x% è soltanto un modo
x
alternativo di scrivere 100
. Nel caso in cui x sia decimale, occorre invece
trasformarlo in frazione. Quindi, per esempio:
200% =
3.7% =
200
100
3.7
100
=2
=
37
10
100
=
37
10
·
1
100
=
37
1000
. . a proposito di genetica
La genetica è, tra le scienze, una delle più giovani: la sua nascita può
essere datata nell’anno 1866, quando l’abate agostiniano Giorgio Mendel formulò per la prima volta le leggi che regolano la trasmissione dei caratteri
ereditari.
Egli scoprı̀ che vi sono caratteri dominanti e caratteri recessivi. Infatti, incrociando piselli a seme liscio con piselli a seme rugoso ottenne, per la prima
generazione, solo piselli a seme liscio, mentre nella seconda generazione ottenne sia piselli a seme liscio che piselli a seme rugoso (ma non nella stessa
percentuale!). Questi risultati permisero a Mendel di formulare la prima
legge fondamentale sulla trasmissione dei caratteri ereditari: ”Di due caratteri ereditari diversi uno è dominante (seme liscio), l’altro è recessivo (seme
8
rugoso); il primo prevale sull’altro nella prima generazione, mentre il secondo
riappare soltanto nella seconda generazione”.
Anche il colore degli occhi è un carattere ereditario in cui si presentano
un carattere dominante e uno recessivo, non nella stessa percentuale.
La chimica: proporzioni e rapporti percentuali
L’acqua è formata da idrogeno e ossigeno (H2 O); in peso, 2 g di
idrogeno si combinano chimicamente con 16 g di ossigeno.
Quanti grammi di idrogeno sono necessari per formare acqua
combinandosi con 80 g di ossigeno? Calcola anche la percentuale
di ossigeno presente in peso nell’acqua.
... Quanti grammi dı̀ idrogeno sono necessari, e quanti di
ossigeno, per ottenere 90 g di acqua?
Quanti grammi di ossigeno sono necessari per formare l’acqua
combinandosi con 96 g di idrogeno?
In 24,45 g di sale da cucina (cloruro di sodio) 10 g sono costituiti
dal sodio. Quanti grammi dı̀ sodio sono presenti in 122,25 g di sale
da cucina? Qual è la percentuale di sodio, in peso, presente nel
sale da cucina?
Limatura di ferro e polvere di zolfo mescolate insieme e scaldate
reagiscono, dando origine a un composto chimico detto solfuro di
ferro. Sapendo che queste due sostanze si combinano secondo un
rapporto in peso definito e costante di 7:4, calcola quanti grammi
di ferro reagiscono con 32 g di zolfo. Esprimi in percentuale la
parte di zolfo presente nel solfuro di ferro.
Per formare del solfuro di ferro, quanti grammi di zolfo sono
necessari per reagire con 392 g di ferro?
L’acido solforico è rappresentato dalla formula H2SO4: per ottenere
una molecola di acido solforico sono, cioè, necessari 2 atomi di
idrogeno (H), l’atomo di zolfo (S), 4 atomi di ossigeno (O).
Sapendo che i pesi dell’atomo di idrogeno, zolfo, ossigeno, sono
proporzionali ai numeri 1, 32 e 16, calcola il peso di questi tre
componenti in 245 g di acido solforico.
9
[10 g; 88,8%]
[10 g; 80 g]
[768 g]
[50 g; 40,9%]
[56 g; 36,4%]
[224 g]
[5 g; 80 g; 160 g]
L’anidride carbonica (CO2) è il gas che noi eliminiamo attraverso
la respirazione; è costituito da 1 atomo di carbonio (C) e 2 atomi
di ossigeno (O).
Questo gas è pericolosoperché irrespirabile, nocivo per l’uomo, ma
di importanza vitale per le piante che l’utilizzano nella sintesi
clorofilliana.
Sapendo che 12 g di carbonio si combinano con 32 g di ossigeno
per formare l’anidride carbonica, calcola quanti grammi di
carbonio e quanti di ossigeno sono presenti in 220 g di anidride
carbonica. Esprimi anche, in percentuale, la parte di carbonio
presente nell’anidride carbonica.
Un blocco di bronzo pesa 36,900 kg. Sapendo che il bronzo è
costituito mediamente per il 40% di stagno e per il resto
di rame, calcola quanto stagno e quanto rame, in chilogrammi,
sono contenuti in quel blocco.
Nell’edilizia si fa uso di cemento e di calce; la calce, che il
muratore utilizza soprattutto nell’intonaco dei muri, va
preparata di volta in volta aggiungendo acqua alla cosiddetta
calce viva (CaO): l’operazione è detta ”spegnimento della calce”
in quanto provoca una reazione chimica e sviluppa molto calore.
Per spegnere la calce viva occorre aggiungere 33,3% del suo peso
di acqua. Quanti litri di acqua saranno necessari per spegnere
la calce viva contenuta in un sacco di 40 kg?
. . . Quanti litri d’acqua sono stati necessari per ottenere 400 kg
di calce spenta?
Sapendo che l’ottone è una lega metallica composta per il 40% da
zinco (simbolo chimico Zn) e per il 60% da rame
(simbolo chimico Cu), calcola quanto zinco e quanto
rame sono presenti in due blocchi di ottone del peso,
rispettivamente, di 80 kg e 150 kg.
[60 g;
160 g; 27,3%]
[14,760 kg;
22,140 kg]
[13,32 kg]
[∼99,9 kg]
[32 kg di zinco
e 48 kg di rame;
60 kg di zinco
e 90 kg di rame]
La respirazione e il ricambio dell’aria
L’uomo, respirando, emette in un’ora circa 20 l di anidride carbonica
(CO2 ). La respirazione diventa faticosa quando nell’aria di un ambiente è
presente l’1% in volume di anidride carbonica: si ha mal di testa, sensazione
di soffocamento e, in individui più deboli, si può arrivare allo svenimento.
• Calcola il massimo intervallo di tempo durante il quale si possono tenere
chiuse porta e finestre, in una stanza da letto di circa 36 m3 , nella quale
10
dormano 2 persone. (Per semplicità di calcolo considera trascurabile la
quantità di CO2 presente anche nell’aria pura: circa 0,03%.) [9h ]
• Per quanto tempo calcoli di poter rimanere chiuso in un baule nel quale
sia presente, oltre al tuo corpo, un volume d’aria di 300 dm3 ? [9’]
• Quanto tempo 3 persone potrebbero resistere chiuse in un ascensore che
misuri (120X165X250)cm, considerando che i corpi delle tre persone
occupino, complessivamente, un volume di 150 dm3 ? [48’]
• Dopo quante ore sarebbe necessario aprire le finestre di un soggiorno
di 100 m nel quale siano presenti contemporaneamente 6 persone, considerando che le persone e i mobili occupino complessivamente uno
spazio di 800 dm3? [8h 16’]
• In un ascensore lungo 150 cm, 110 cm e alto 300 cm, viene a mancare
la corrente per la durata di 30’; al suo interno restano cosı̀ bloccate
due persone. Considerando che il volume per ogni persona sia di 50
dm3 , sai dire se le due persone potrebbero resistere, se l’ascensore fosse
ermeticamente chiuso fino al ritorno della corrente? Giustifica la tua
risposta.
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