legame costitutivo

LEGAME COSTITUTIVO
• Crea un legame matematico tra mondo statico (sforzi σij) e mondo cinematico
(deformazioni εij);
• Si tratta di un modello fenomenologico, che coglie il comportamento del materiale
alla macroscala; non si tratta di una semplice interpolazione di dati sperimentali,
ma del loro inquadramento in un modello basato su certi postulati fisico/meccanici
(v. teoria assiomatica) e dipendenti da un certo numero di parametri, il cui valore
è desunto da opportune prove sperimentali;
Vi sono tre comportamenti fondamentali:
• elastico, il legame σij=f(εij) è reversibile, lo sforzo quindi dipende solo dal valore
corrente della deformazione; la maggior parte dei materiali presenta inizialmente
un comportamento di questo tipo.
• plastico, le deformazione non sono più totalmente reversibile, ma una parte di esse
è irreversibile per effetto di una avvenuta modifica della microstruttura (reticolo
cristallino nei metalli); lo sforzo dipende dal valore corrente della deformazione e
dalla storia seguita per raggiungerla.
• viscoso, nei primi due la deformazione consegue istantaneamente all’applicazione
del carico; nei materiali viscosi sforzi e deformazioni variano nel tempo a condizioni
esterne immutate; il creep è l’aumento della deformazione a sforzo costante
(calcestruzzo); il rilassamento è la diminuzione di sforzo a deformazione costante.
Comportamento viscoso
Comportamento
elastico
Comportamento
elasto-plastico
Il legame elastico – Aspetti energetici
L’ipotesi: esistenza di un potenziale della deformazione (energia di deformazione
ω). Il lavoro compiuto per deformare un solido è immagazzinato sotto forma di
energia. Quando la causa è rimossa le deformazioni vengono recuperate e
l’energia di deformazione viene rilasciata.
(Energia per unità di volume)
Si ipotizza un legame lineare tra sforzo e deformazione (81 costanti):
Simmetria del tensore di sforzo e deformazione (36 costanti)
ω dipende solo dal valore finale di deformazione e NON dalla storia di carico:
σijdεij è un differenziale esatto (21 costanti)
In forma matriciale:
Dove:
σ = Dε
• Legame elastico lineare anisotropo
⎧σ11 ⎫ ⎡D1111 D1122 D1133 D1112
⎪σ ⎪ ⎢
D2222 D2233 D12212
⎪ 22 ⎪ ⎢
⎪⎪σ 33 ⎪⎪ ⎢
D3333 D3312
⎨ ⎬=⎢
D1212
⎪τ12 ⎪ ⎢
⎪τ13 ⎪ ⎢
simm.
⎪ ⎪ ⎢
⎪⎩τ 23 ⎪⎭ ⎣⎢
D1113
D2213
D3313
D1213
D1313
D1123 ⎤⎧ ε11 ⎫
D2223⎥⎥⎪⎪ ε 22 ⎪⎪
D3323⎥⎪⎪ ε 33 ⎪⎪
⎥⎨
⎬
D1223 ⎥⎪2ε12 ⎪
D1323 ⎥⎪2ε13 ⎪
⎥⎪
⎪
D2323⎦⎥⎪⎩2ε 23 ⎪⎭
materiale anisotropo = le proprietà (rigidezza, resistenza, coefficiente di espansione
termica) variano al variare della direzione o dell’orientamento degli assi
(assenza di piani di simmetria)
materiale ORTOTROPO ⇒ simmetrico rispetto a tre
piani mutuamente ortogonali
(9 costanti)
materiale TRASVERSALMENTE ISOTROPO ⇒ uguale
comportamento in tutte le direzioni di un piano, diverso
comportamento in direzione ortogonale al piano di
isotropia (e.g. legno, composito unidirezionale)
(5 costanti)
Il legame elastico lineare isotropo
In forma matriciale:
Costanti ingegneristiche:
• Legame elastico lineare isotropo
D è una matrice 6x6 simmetrica; quindi nel
caso di materiale completamente anisotropo
σij = Dijklεkl
ho 21 costanti indipendenti.
• Se il comportamento del materiale è simmetrico
rispetto a tre assi mutuamente ortogonali, si parla
di ortotropia (9 costanti).
⎡ σ11 ⎤
⎡ ε11 ⎤
• Se il materiale presenta anche simmetria di
⎢σ ⎥
⎢ε ⎥
rotazione attorno ad uno di questi assi, si dice
⎢ 22 ⎥
⎢ 22 ⎥
trasversamente isotropo (5 costanti).
⎢ σ33 ⎥
⎢ ε33 ⎥
⎢ ⎥ = D6x6 ⎢ ⎥
• Se il comportamento del materiale è simmetrico
σ
ε
12
12
⎢ ⎥
⎢ ⎥
rispetto a qualunque asse, si parla allora di
⎢ σ13 ⎥
⎢ ε13 ⎥
isotropia (2 costanti).
⎢ ⎥
⎢ ⎥
σ23 ⎥⎦
ε 23 ⎥⎦
⎢⎣N
⎢⎣N
σ
ε
ν
ν
0
⎡1 − ν
⎢ ν
1− ν
0
ν
⎢
⎢ ν
1− ν
0
ν
⎢
(1 − 2ν )
E
⎢ 0
0
0
D=
2
(1 + ν )(1 − 2ν ) ⎢
⎢
⎢ 0
0
0
0
⎢
⎢
0
0
0
⎢ 0
⎣
0
0
0
0
(1 − 2ν )
2
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
(1 − 2ν ) ⎥
⎥
2 ⎦
0
0
0
•Alcuni valori:
• Legame elastico lineare isotropo
σ = Dε
ε = Cσ
Matrice di cedevolezza
Matrice di rigidezza
0
0
0 ⎤
ν
ν
⎡(1 − ν)
⎡1 −ν −ν
⎥
⎢
⎢
⎧ ε11 ⎫⎧ ε11 ⎫
⎧σ11 ⎫
(
1
)
0
0
0
−
ν
ν
1
−ν
⎥⎪
⎢
⎢
⎪
⎪σ ⎪
⎪
⎪
⎢
(1 − ν)
0
0
0 ⎥⎪ ε 22 ⎪⎪ ε 22 ⎪
1
⎢
⎪ 22 ⎪
⎥
⎢
⎢
(1 − 2ν)
⎪ ε ⎪⎪ ε ⎪
⎪⎪σ33 ⎪⎪
E
0
0 ⎥⎪⎨ 33 ⎪⎬⎨ 33 ⎬ = 1 ⎢
⎢
⎨ ⎬=
2
⎥⎪2ε12 ⎪⎪2ε12 ⎪ E ⎢
⎪ τ12 ⎪ (1 + ν)(1 − 2ν) ⎢
(
1
2
)
−
ν
⎢
⎢ simm.
⎪ τ13 ⎪
0 ⎥⎪2ε13 ⎪⎪2ε13 ⎪
simm.
⎥⎪
⎢
⎢
2
⎪⎪
⎪ ⎪
⎪
⎢
⎪⎩ τ 23 ⎪⎭
(1 − 2ν) ⎥⎪⎩2ε 23 ⎪⎭⎩2ε 23 ⎭
⎢
⎥
⎢
⎢⎣
2 ⎦
⎣
0
0
0
E
G
0⎤
0 ⎥⎧σ11 ⎫
⎥⎪ ⎪
0 ⎥⎪σ 22 ⎪
⎥⎪σ ⎪
0 0 ⎥⎨ 33 ⎬
⎥⎪τ12 ⎪
E
0 ⎥⎪τ13 ⎪
⎥⎪ ⎪
G
E ⎥⎩τ 23 ⎭
G ⎥⎦
0
0
0
• Legame elastico lineare isotropo
E
⎧
σ
=
⎪ 11 (1 + ν)(1 − 2ν) [(1 − ν)ε11 + νε22 + νε33 ]
⎪
E
⎪
σ
=
⎪ 22 (1 + ν)(1 − 2ν) [νε11 + (1 − ν)ε 22 + νε33 ]
⎪⎪
E
⎨σ =
[νε + νε22 + (1 − ν)ε33 ]
⎪ 33 (1 + ν)(1 − 2ν) 11
⎪
⎪τ12 = Gγ12
E
⎪τ = Gγ
G
=
13
⎪ 13
2(1+ν )
⎪⎩τ23 = Gγ 23
1
⎧
ε
=
⎪ 11 E [σ11 − νσ22 − νσ33 ]
⎪
⎪ε = 1 [− νσ + σ − νσ ]
11
22
33
⎪ 22 E
⎪
⎪ε 33 = 1 [− νσ11 − νσ22 + σ33 ]
⎪
E
⎨
⎪ε12 = 1 τ12
⎪
2G
⎪
1
⎪ε13 =
τ13
2G
⎪
⎪
1
τ 23
⎪ε 23 =
2G
⎩
E = modulo elastico (di Young)
ν = coefficiente di contrazione
traversale (di Poisson)
σ11 = σ
ε11 = ε
σ
E=
ε
ε 22 = ε 33 = ε t
εt
ν =−
ε
F
E >0
F
E
E
<G≤
3
2
0 ≤ ν < 0.5
• Deformazioni termiche