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7 Sistemi PCM
7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Quantizzazione uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Calcolo del rapporto segnale-rumore di quantizzazione . . . . . . .
7.2.2 Prestazioni del PCM in presenza di errori sul canale digitale di
trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Confronto con i sistemi analogici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Quantizzazione non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Calcolo dell’errore di quantizzazione nel caso di quantizzazione non
uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Tecniche di ”companding” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Conclusioni e riferimenti bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Riassunto formule principali sul PCM
93
95
. 95
. 96
. 98
. 101
. 108
. 109
. 112
. 115
. 117
119
94
Capitolo 7. Sistemi PCM
Dispense Comunicazioni Elettriche, M. Beardo. Ultimo aggiornamento: 30 settembre 2010.
Capitolo 7
Sistemi PCM
7.1
Introduzione
Il PCM (Pulse Code Modulation) è il sistema più usato per trasmettere un segnale analogico
in modo digitale, ed è di fatto un altro modo per indicare il meccanismo di conversione
Analogico-Digitale (A/D) e Digitale-Analogico (D/A).
Le operazioni base della conversione A/D sono le seguenti:
Operazioni base
conversione A/D
1. Campionamento nel tempo;
2. Quantizzazione sulle ampiezze;
3. Codifica su uno stream seriale di bit.
In questo corso ci focalizzeremo principalmente sul punto 2, cioè sulla quantizzazione. Il
punto 1 (campionamento nel tempo) è infatti già stato trattato nel corso di Teoria dei
Segnali, il lettore interessato a ripassarlo può consultare [2]. Per il punto 3, considereremo
solo un caso molto semplice, in quanto la sua trattazione generale è complessa e esula
dagli scopi di questo corso. Chi fosse interessato ad approfondire l’argomento 3 può far
riferimento a [1].
La figura 7.1 mostra lo schema a blocchi di un generico sistema PCM. Si tratta del sistema di trasmissione che nella prima lezione avevamo chiamato ”misto analogico-digitale”.
Si ricorda che lo scopo di un sistema di questo tipo è la trasmissione affidabile del segnale
analogico. Un sistema PCM progettato bene deve dunque fornire in uscita un segnale
Vout (t) che sia il più possibile simile al segnale di ingresso Vin (t).
Sistemi PCM
Ricordiamo brevemente il teorema del campionamento. Si desidera campionare un
segnale il cui spettro abbia frequenza massima pari a fmax (vedi figura 7.2). In tal caso
devo campionare almeno a:
fc ≥ 2 · fmax
Teorema del
campionamento
Per ciascun istante di campionamento, si deve poi quantizzare il segnale. Si deve cioè
mappare la tensione corrispondente Vin (che assume valori continui) su numero finito di
tensioni Vout , detti ”livelli”.
Occorre essere ben consapevoli della differenza tra campionamento e quantizzazione:
• Campionamento: significa passare da V (t) continuo alla sequenza di numeri reali
V (i Tc ). Questa operazione non comporta (almeno in teoria) perdita di informazione.
95
Differenza tra
campionamento
e quantizzazione
96
Figura 7.1: Schema a blocchi sistema PCM (misto analogico-digitale).
Figura 7.2: Esempio spettro segnale da campionare. Lo spettro ha frequenza massima
pari a fmax .
• Quantizzazione: significa passare da ciascuno dei numeri reali V (i Tc ) ad un insieme discreto e finito di ampiezze. Anticipiamo che questa operazione comporta
sempre una perdita di informazione.
7.2
Quantizzazione uniforme
Iniziamo a esaminare il caso più semplice (e più comune), detto della quantizzazione uniforme. Consideriamo la figura 7.3. Supponiamo che il segnale di ingresso campionato Vin
sia compreso nell’intervallo [−V , +V ]. Dal lato A/D, il range [−V , +V ] viene suddiviso
in M intervalli uguali, e a ciascun intervallo viene associata una stringa di bit. Per ragioni
pratiche, M è sempre scelto pari ad una potenza di 2:
M = 2nbit
dove nbit rappresenta il numero di bit necessario a ”contare” in binario il numero M di
intervalli.
7.2. Quantizzazione uniforme
97
Figura 7.3: Quantizzatore uniforme. Ho un intervallo [−V , +V ] suddiviso in M sottointervalli tutti della stessa lunghezza. Ad ogni sotto-intervallo viene associata una stringa
di bit.
Figura 7.4: Convertitore A/D seguito da convertitore D/A.
A ogni valore campionato Vin viene poi associata la stringa di bit relativa all’intervallo
a cui appartiene Vin .
Dal lato D/A, per ciascuna stringa di bit si ricostruisce un valore di tensione. Per
ragioni che saranno più chiare tra poco, si sceglie come valore di tensione il punto centrale
dell’intervallo di partenza.
Si consideri ora l’effetto complessivo della cascata di un A/D ed un D/A, assumendo
ideale il sistema di trasmissione. Si faccia riferimento alla figura 7.4. Ipotizziamo di
lavorare con:
Effetto
complessivo di
A/D e D/A
• Vin nel range [−8, +8];
• Quantizzazione su M = 8 livelli.
La cascata di una conversione A/D e D/A è equivalente ad un sistema (non lineare, senza memoria) che opera la trasformazione ingresso-uscita rappresentata in figura 7.5. Ad
esempio, se Vin appartiene a [0, 2], ne deriva che Vout = 1. Si noti che un intero intervallo
in ingresso viene ”mappato” in uscita su un singolo valore. Conseguentemente, Vin sarà
sempre (salvo casi eccezionali) diverso da Vout . Mentre il campionamento (in teoria) non
introduce perdita di informazione, la quantizzazione introduce sempre un errore di
quantizzazione che va calcolato e tenuto sotto controllo.
Si fa presente che la suddivisione del processo di conversione A/D nelle 3 fasi:
1. Campionamento;
2. Quantizzazione su un numero finito di livelli;
3. Associazione a ciascun livello di una stringa di bit;
serve soprattutto dal punto di vista teorico. Nella pratica, nella stragrande maggioranza
dei casi, le tre operazioni sono svolte da un unico chip (convertitore A/D).
Errore di
quantizzazione
98
Figura 7.5: Caratteristica ingresso-uscita del sistema di figura 7.4, cioè della cascata di un
convertitore A/D e di un convertitore D/A.
7.2.1
Calcolo del rapporto segnale-rumore di quantizzazione
Scopo della seguente trattazione è quello di trovare un formalismo per quantificare il degrado delle prestazioni dovuto alla cascata di A/D e D/A, dovuta al solo effetto della
quantizzazione1 . Questa operazione è fondamentale, in quanto permetterà di ottenere
dei criteri per dimensionare il convertitore A/D. In particolare, si troverà un criterio per
scegliere il numero di livelli M .
Errore di
Facendo riferimento alla figura 7.4, definiamo l’errore di quantizzazione come:
quantizzazione
4
Errore di quantizzazione = eq = Vin − Vout
e se l’intervallo coperto da ciascuno dei livelli è pari a ∆, allora:
max |eq | =
Rumore di
quantizzazione
Calcolo S/N di
quantizzazione
∆
2
per il quantizzatore uniforme. Per quanto riguarda l’errore di quantizzazione, possiamo
allora modellare il sistema di figura 7.4 come in figura 7.6. Nell’ipotesi di utilizzare un
numero elevato di livelli di quantizzazione, eq è modellabile come un processo casuale
stazionario bianco e indipendente dal segnale di ingresso. Queste caratteristiche sono
analoghe a quelle del rumore termico, per tale ragione possiamo pensare di modellare
l’errore di quantizzazione come un rumore, che nel seguito chiameremo rumore di quantizzazione.
Definiamo il rapporto segnale-rumore di quantizzazione, che nel seguito indicheremo con (S/N )Q , come la potenza del segnale utile diviso per la potenza dell’errore di
quantizzazione. Cerchiamo ora di calcolarlo. A tale scopo serve fare le seguenti ipotesi.
1. Quantizzazione uniforme (gradini tutti uguali) in [−V , +V ] a M livelli: ∆ = 2V /M .
1
Non si considerano cioè gli errori di trasmissione sul canale.
99
Figura 7.6: Equivalente di cascata di convertitore A/D e D/A, dal punto di vista dell’errore
di quantizzazione.
Figura 7.7: Densità di probabilità dell’errore di quantizzazione con quantizzatore uniforme
e segnale con densità di probabilità uniforme e con la stessa dinamica del quantizzatore.
2. Segnale con densità di probabilità uniforme all’interno di un certo range uguale a
quello del quantizzatore: [−V , +V ].
3. Segnale a valor medio nullo.
Per le ipotesi fatte, si avrà che eq = Vin − Vout avrà una distribuzione uniforme che va da
−∆/2 a +∆/2, essendo ∆ la larghezza dell’intervallo (vedi figura 7.7). Notiamo che, su
un certo intervallo, l’errore di quantizzazione è a valor medio nullo. Inoltre, la statistica è
la stessa su qualunque intervallo.
Possiamo allora valutare il rapporto segnale-rumore di quantizzazione come rapporto
delle varianze:
µ ¶
σ2
S
= V2in
(7.1)
N Q
σeq
Facendo riferimento alla figura 7.7 e ricordando che ∆ = 2V /M , si trova che la varianza
dell’errore di quantizzazione vale:
h i
E e2q = σe2q
=
=
Z +∞
−∞
x2 feq (x) dx =
Z +∆
2
−∆
2
1
1
x2 dx =
∆
∆
"
x3
3
∆2
(2V /M )2
V2
=
=
12
12
3M 2
#+ ∆
2
=
−∆
2
(7.2)
A questo punto è chiaro perché nella conversione D/A si è scelto di prendere come valore di
tensione in uscita il punto centrale dell’intervallo di partenza. Questa scelta mi permette
infatti di minimizzare la potenza dell’errore di quantizzazione.
100
Ricordando poi che il segnale ha densità di probabilità uniforme in [−V , +V ], si trova
che la potenza di segnale risulta:
h
E
2
Vin
i
=
σV2in
=
=
(S/N )Q con
Z +V
1
1
x
dx =
2V
2V
2
−V
"
x3
3
#+V
=
−V
V2
1 V3
·
·2=
2V
3
3
(7.3)
Possiamo ora sostituire le espressioni (7.3) e (7.2) nella (7.1) e trovare il rapporto segnalerumore relativo alla sola quantizzazione:
quantizzatore
³
uniforme
´
S
N Q
=
V 2 /3
V 2 /3M 2
= M2
(7.4)
Supponiamo che, dovendo mappare su parole digitali di n bit sia M = 2n . Allora:
µ
(S/N )Q in dB
con
quantizzatore
uniforme
S
N
¶
= 22n
Q
Passando ai dB:
³
S
N
´ ¯¯
¯
Q¯
dB
= 10 log10 (22n ) = 2n · 10 log10 (2) ≈ 6n [dB]
(7.5)
In generale succede che, anche in situazioni più complesse, aumentare di 1 bit il numero di
livelli, fa aumentare di 6 dB le prestazioni in termini di (S/N )Q . Questo famoso risultato
è solitamente indicato come ”6-dB law”. Indica il fatto che ogni bit di quantizzazione in
più migliora di 6 dB le prestazioni.
Esempio: PCM telefonico
Segnale vocale, qualità ”telefonica”. Si ”forza” una occupazione spettrale da 300 a 3400
Hz.
• Frequenza di campionamento minima: fc = 2 · 3400 = 6.8 kHz. Lasciando un
margine, è stato standardizzato: fc = 8 kHz.
• Numero di bit: per avere valori accettabili: n = 8 (256 livelli). Il bit-rate complessivo
è dunque dato da R = 8fc = 64 kbit/s.
• Il risultante valore di (S/N )Q = 48 dB.
Nella realtà, per il PCM telefonico non si usa una quantizzazione uniforme (vedi prossimo
paragrafo sulla quantizzazione non uniforme). A causa della sua enorme diffusione, il PCM
telefonico ha ”standardizzato” anche in altri contesti i seguenti due parametri:
1. Campionamento a 8 kHz (periodicità 125 µs).
2. Quantizzazione a 8 bit.
101
Esempio: segnale musicale
Standard CD audio: segnale fino a 20 kHz.
• E’ stato scelto: fc = 44.1 kHz.
• Quantizzazione: n = 16 bit (65000 livelli).
• Bit-rate complessivo = 705.6 kbit/s (per canale, si raddoppia per l’effetto
stereofonico: 1411.2 kbit/s = 1.4 Mbit/s).
• (S/N )Q = 96 dB. Lo standard base per il PCM audio prevede una quantizzazione
uniforme.
Notare che è necessario, senza compressione, un bit-rate estremamente elevato. Proviamo
infatti a calcolare il bit-rate netto:
Bit-rate = 44.1 [ksamples/s] · 32 [bit/sample] = 1.41 [Mbit/s]
Di fatto, tutte le moderne soluzioni che prevedono lo scambio di segnali musicali su rete,
utilizzano qualche forma di compressione. Ad esempio, con il formato MP3 si ottengono
compressioni elevate, tipicamente con fattori da 12 a 16.
Consideriamo la quantità di dati memorizzati su un CD audio da 80 minuti:
¸
·
·
¸
bit
ksample
· 32
· 60 [sec] · 80 [min] =
44.1
sec
sample
= 6.774 · 109 [bit] = 846.7 · 106 [byte] ≈ 807.5 [Mbyte]
Curiosità: tipicamente un CD-R è specificato per 80 minuti di audio, e per 700 Mbyte
di dati. Abbiamo appena visto che a 80 minuti corrispondono circa 800 Mbyte. La
discrepanza si spiega con il fatto che per i dati si usa uno standard diverso che per l’audio
PCM. In particolare, si usa lo standard CD-ROM, che usa una protezione aggli errori più
”forte” rispetto allo standard CD-AUDIO, e dunque diminuisce lo ”spazio” equivalente
disponibile.
7.2.2
Prestazioni del PCM in presenza di errori sul canale digitale di
trasmissione
In precedenza, si è trovata la formula per il S/N di quantizzazione. Tuttavia, un’altra
fonte di degrado delle prestazioni di un sistema PCM riguarda i possibili errori sui bit
durante la trasmissione digitale. In questo contesto, ci interessa caratterizzare il sistema
di trasmissione digitale nel modo più semplice possibile. Questo è possibile tramite il
modello del canale binario simmetrico (BSC, Binary Symmetric Channel).
Cenni al canale BSC
Un sistema di trasmissione digitale è essenzialmente caratterizzabile, dal punto di vista
sistemistico, come un sistema che trasmette dei bit con una certa probabilità di errore.
Rivediamo dunque brevemente il modello del BSC, già introdotto nel precedente corso di
Teoria dei Segnali.
La figura 7.8 mostra una rappresentazione schematica del BSC. p0 è detta probabilità
di transizione del canale BSC, ed è definita come:
4
p0 = P (0 RX| 1 T X) = P (1 RX| 0 T X)
Canale BSC
102
Figura 7.8: Rappresentazione schematica di un BSC.
Figura 7.9: Trasmissione di segnale quantizzato su canale BSC.
La probabilità di errore complessiva sul bit può essere calcolata col teorema della probabilità totale nel seguente modo:
Pb (e) = P (e| 1 T X) P (1 T X) + P (e| 0 T X) P (0 T X)
Se anche la sorgente è simmetrica, cioè se emette in maniera equiprobabile ”1” e ”0”,
allora:
1
P (1 T X) = P (0 T X) =
2
e conseguentemente:
Pb (e) = p0
La probabilità di errore complessiva sul bit è anche alternativamente indicata come Pe
oppure BER (Bit Error Rate). Di fatto, la probabilità di errore sul bit è l’unico parametro
che utilizzeremo nel seguito di questo capitolo per caratterizzare il sistema di trasmissione
digitale.
Calcolo del rapporto segnale-rumore dovuto ai soli errori sui bit sul canale di
trasmissione
Si vuole adesso calcolare il valore di S/N risultante dalla trasmissione di uno stream di
bit generato con un sistema PCM su un canale BSC con una certa probabilità di errore Pe .
Facciamo riferimento alla figura 7.9. La deduzione della formula per SNR dovuto agli
errori sui bit è abbastanza lunga, ma porterà ad un risultato molto semplice e compatto.
La dimostrazione della formula è utile per capire più nel dettaglio alcuni aspetti importanti del PCM.
103
Figura 7.10: Caratteristica ingresso-uscita di un quantizzatore uniforme con M = 8 e [−V ,
V ] = [−8, +8]. Nei riquadri sono specificate le codifiche assegnate ai vari intervalli.
Iniziamo a dare un’espressione che lega il segnale quantizzato Q(x) (cioè quello su M
livelli e usando n bit per campione) e la corrispondente n-upla di bit che saranno da inviare
sul sistema di trasmissione digitale. Indichiamo la n-upla di bit come:
a = [a1 , · · · , an ]
Per comodità, assumiamo che ciascun elemento della stringa valga +1 o −1 (e non ”0” e
”1”). La codifica più semplice è data da:
Q(x) = V ·
n
X
µ ¶j
aj
j=1
1
2
(7.6)
La formula (7.6) va compresa bene, si consideri dunque la figura 7.10. La figura riporta
il caso M = 8, n = 3, ∆ = 2, [−V , +V ] = [−8, +8]. Si supponga di contare i livelli di
uscita in decimale, e poi di convertirli in binario puro:
0 → [000]
1 → [001]
···
7 → [111]
Si convertano poi gli 1 in +1 e gli 0 in −1. Considerando un valore di n generico, se
104
a = [1, 1, · · · , 1], la (7.6) mi dà:2
Q(x) = V ·
n µ ¶k
X
1
k=1
2
·
µ ¶n ¸
=V 1−
1
2
=V −
V
2n
In generale, ricordando che ∆ = 2V /M , si ottiene che:
V
2n
V
V
=
=
di livelli
M
∆
Step di quantizzazione
=
2
2
=
n◦
=
(7.7)
Nel caso particolare di figura 7.10:
• ∆ = 2.
• V = 8.
• Livello massimo = 8 − 8/23 = 7.
Per gli altri livelli si possono trovare i valori con conti analoghi.
Il ”vettore” di bit a passa sul canale BSC, dando luogo ad un vettore b. Tuttavia, a
causa degli errori sul canale di trasmissione digitale, si avrà in generale b 6= a. E’ questo
l’effetto che ci proponiamo di studiare. Il segnale ricostruito sarà poi semplicemente:
y=V ·
n
X
µ ¶j
bj
j=1
1
2
(7.8)
Dobbiamo allora confrontare le espressioni Q(x) e y per valutare il ”rumore” dovuto agli
errori sui bit. Questo ”rumore” lo definisco come:
4
eb = y − Q(x)
Usando la (7.6), la (7.8) e la linearità del valor medio, si trova che il valore quadratico
medio di eb vale:
h i
E e2b
h
i
= E (y − Q(x))2 =



= E V 2 
n
X
 
µ ¶j 2
1  
(bj − aj )
=
2
j=1

= V2·E
= V2·
= V2·
n
X
(bj − aj ) 2−j ·
j=1
n
n
XX
j=1 k=1
n X
n
X
n
X

(bk − ak ) 2−k  =
k=1
2−j−k (E[(bj − aj )(bk − ak )]) =
2−j−k (E[bj bk ] − E[aj bk ] − E[bj ak ] + E[aj ak ])
(7.9)
j=1 k=1
2
Ricordando questa ridotta della serie geometrica:
k1
X
k=k0
zk =
z k0 − z k1 +1
1−z
aj
+1
+1
−1
−1
105
bj
+1
−1
+1
−1
P (aj bj )
1
2 (1 − Pe )
1
2 Pe
1
2 Pe
1
2 (1 − Pe )
aj bj
+1
−1
−1
+1
Tabella 7.1: Valori per risolvere i termini misti della (7.9).
Per tutti i termini con j diverso da k, grazie al fatto che le medie sono nulle:
E[bj ] = E[bk ] = E[aj ] = E[ak ] = 0
e grazie all’indipendenza statistica, si ha:
E[bj bk ] = E[bj ] · E[bk ] = 0
E[aj ak ] = E[aj ] · E[ak ] = 0
E[bj ak ] = E[bj ] · E[ak ] = 0
Invece, per j = k si ottiene:
E[aj aj ] = E[bj bj ] = 1
(7.10)
Allora nella (7.9) rimane solo una singola sommatoria dove j = k che va da 1 a n. Inoltre
sono importanti, per j = k i termini misti:
E[aj bj ]
Dobbiamo esaminare 4 combinazioni. Consideriamo la tabella 7.1.
1
1
1
1
E[aj bj ] = (+1) (1 − Pe ) + (−1) Pe + (−1) Pe + (+1) (1 − Pe ) =
2
2
2
2
= (1 − Pe − Pe ) = 1 − 2 Pe
(7.11)
Mettiamo ora insieme i risultati appena trovati. Sostituiamo la (7.10) e la (7.11) nella
(7.9), ricordando che gli altri termini misti valgono 0. Otteniamo:
h i
E
e2b
2
= V ·
= V2·
= V2·
n X
n
X
j=1 k=1
n
X
−2j
2
j=1
n
X
j=1
2
2−j−k (E[bj bk ] − E[aj bk ] − E[bj ak ] + E[aj ak ]) =
= 4 V Pe ·
³
´
E[b2j ] − 2E[aj bj ] + E[a2j ] =
2−2j (1 − 2 + 4Pe + 1) =
n µ ¶j
X
1
j=1
4
e utilizzando la formula per la serie geometrica ricordata alcune pagine fa si ottiene:
E[e2b ] =
4 2
M2 − 1
V Pe ·
3
M2
Consideriamo ora la potenza di segnale per arrivare alla formula sul rapporto segnalerumore:
h i Z +V
1
V2
2
E Vin
=
x2
dx =
2V
3
−V
106
e mettiamo insieme i risultati, calcolando il rapporto segnale-rumore dovuto agli errori sui
bit:
µ ¶
S
V 2 /3
1
= 4
2 −1 =
2
M
2
N e
4 Pe M −1
2
2
3 V Pe
M
Rapporto
M
Notare che, almeno per M À 1, si ha in sostanza:
segnale-rumore
³
´
S
N e
dovuto ai soli
errori sui bit
1
4Pe
≈
(7.12)
Questo risultato è molto importante: il rapporto segnale-rumore ”di errore” dipende solo
da Pe .
Riassunto
Riassumendo: abbiamo trovato finora due cause di degrado delle prestazioni nei sistemi
PCM:
³ ´
S
N
• L’effetto della quantizzazione:
³
• L’effetto degli errori sui bit:
S
N
Q
´
e
≈
= M 2.
1
4Pe .
Calcolo del rapporto segnale-rumore complessivo dovuto alla quantizzazione e
agli errori sui bit
Vogliamo ora riportare le due formule ad un’unica formula che tenga conto dell’insieme
dei due effetti.
Chiamiamo l’errore totale eout . E’ ragionevole supporre che l’errore introdotto dalla
quantizzazione e quello introdotto dagli errori di trasmissione siano indipendenti, essendo
dovuti a cause diverse. Possiamo allora sommarli in potenza e trovare cosı̀ la varianza
dell’errore totale:
E[e2out ] = E[e2b ] + E[e2q ] =
=
Ricordando inoltre che:
2
E[Vin
]
SNR
complessivo
sistemi PCM
Facendo
2 ]/E[e2 ]
E[Vin
out
=
Z +V
−V
V2
4 2 M2 − 1
V Pe
+
=
3
M2
3M 2
i
V2 h
2
4P
(M
−
1)
+
1
e
3M 2
x2
1
V2
dx =
2V
3
si ottiene il rapporto segnale-rumore totale:
³
´
S
N out
=
M2
1+4(M 2 −1)Pe
(7.13)
La figura 7.11 presenta due curve di (S/N )out in funzione di Pe , uno per n = 8, l’altro per
n = 10. Notare che, dato un certo numero di bit di quantizzazione n, è determinata la
quantità:
µ ¶
S
= 6n
N Q
Soglia sistemi
PCM
Osservando il grafico 7.11, si nota che:
• Al di sotto di una certa Pe , le prestazioni sono costanti al variare di Pe .
• Al di sopra di una certa soglia di Pe , le prestazioni in termini di (S/N )out peggiorano
drasticamente.
107
Figura 7.11: Rappresentazione S/N complessivo dovuto a quantizzazione e errori sul
canale, in funzione della probabilità di errore Pe . Sono considerati i due casi n = 8
bit e n = 10 bit. Si osservi come per bassi valori di Pe le prestazioni dipendano solo da n,
mentre per elevati valori di Pe dipendono solo da Pe .
I sistemi PCM tendono a comportarsi ”a soglia” rispetto alla probabilità di errore sul bit,
e cioè:
• Per una Pe inferiore ad una soglia critica, le prestazioni non dipendono da Pe e
inoltre coincidono con quelle dovute alla sola quantizzazione.
• Per una Pe superiore ad una soglia critica, le prestazioni tendono a dipendere solo
da Pe e inoltre crollano drasticamente al crescere di Pe . Sostanzialmente, in queste
condizioni in sistema PCM non funziona.
Definiamo ora la probabilità di errore di soglia Pe∗ come il valore di Pe che dà un peggioramento di 3 dB (cioè di un fattore 1/2 in lineare) rispetto al SNR massimo. Considerando
la figura 7.12 si ottiene:
µ
S
N
¶
¯
¯
¯
¯
out Pe∗
1
=
2
µ
S
N
¶
⇒
Q
M2
1
= M2
2
∗
1 + 4(M − 1)Pe
2
e infine:
Pe∗ =
1
4(M 2 −1)
In conclusione, un sistema PCM è detto:
• ”Sopra soglia” se Pe < Pe∗ .
Condizioni regolari di funzionamento.
• ”Sotto soglia” se Pe > Pe∗ .
Condizioni di cattivo funzionamento del sistema PCM.
(7.14)
108
Figura 7.12: Definizione di probabilità di errore di soglia per sistemi PCM.
I sistemi PCM presentano dunque un comportamento ”a soglia” tipico di gran parte dei
sistemi digitali. Tendono cioè a funzionare perfettamente fino a un certo valore di soglia,
al di là del quale tuttavia le prestazioni crollano drasticamente. Valori tipici di Pe∗ :
• 8 bit ⇒ 3.8 · 10−6 .
• 16 bit ⇒ 5.8 · 10−11 .
Notare che all’aumentare del numero di bit di quantizzazione, si richiede una Pe∗ inferiore.
Questo si vede anche dalla figura 7.11.
7.2.3
Confronto con i sistemi analogici
Dal momento che lo scopo dei sistemi PCM è la trasmissione affidabile di un segnale
analogico, come lo era per i sistemi AM e FM/PM, ha senso confrontare tra di loro questi
tipi di sistemi. Occorre però prestare attenzione a una differenza. Per AM/FM/PM il
termine di disturbo (il ”rumore” del rapporto segnale-rumore) è costituito solamente dal
rumore introdotto dal sistema di trasmissione. Per i sistemi PCM le cose funzionano un
po’ diversamente, e comunque le cause di disturbo sono 2:
Cause disturbo
in sistemi PCM
Confronto PCM
con
AM/FM/PM
1. L’errore di quantizzazione.
2. Il rumore introdotto dal sistema di trasmissione ma in modo diverso dai sistemi
analogici. Abbiamo infatti visto che, lavorando sopra soglia, le prestazioni sono
indipendenti da P (e), e dipendenti solo dal numero di bit usati per la quantizzazione.
Nel corso di Trasmissione Numerica si dimostrerà che, dato un certo sistema di
trasmissione digitale, la P (e) dipende dal rapporto segnale-rumore sul canale di
trasmissione cioè in un certo senso da (S/N )BB .
La figura 7.13 mostra un confronto tra le prestazioni dei sistemi PCM e quelle dei sistemi
AM, PM e FM. Si noti tuttavia che il grafico è puramente qualitativo. Per il PCM i valori
”reali” della curva dipendono fortemente dal sistema digitale utilizzato per il trasporto dei
bit, come si vedrà nel successivo corso Trasmissione Numerica.
7.3. Quantizzazione non uniforme
109
Figura 7.13: Confronto prestazioni sistemi PCM con sistemi AM e FM. Il grafico è
puramente qualitativo.
Dal grafico si vede bene che i sistemi PCM, FM/PM hanno un comportamento a soglia,
i sistemi AM invece no. Possiamo quindi concludere che per valori elevati di rapporto
segnale-rumore i sistemi PCM, FM/PM hanno prestazioni migliori. Per bassi valori di
SNR invece con AM si ottengono prestazioni migliori.
7.3
Quantizzazione non uniforme
Nel paragrafo precedente abbiamo ottenuto l’espressione (7.4) che mi dice che, per una
quantizzazione uniforme su un segnale con densità di probabilità uniforme:
µ
S
N
¶
= M2
Q
La quantizzazione uniforme è semplice, ma non sempre risulta essere la migliore. In
particolare, la quantizzazione non uniforme può essere d’interesse per segnali con
densità di probabilità non uniformi. Molti segnali di interesse pratico, quali ad esempio la
voce, tendono ad avere una densità di probabilità concentrata verso il valor medio (vedi
figura 7.14). Nella trattazione che segue, si presti particolare attenzione al fatto che si
devono separare bene i concetti di:
• Densità di probabilità del segnale di ingresso (ad esempio, uniforme);
• Tipo di schema di quantizzazione adottato (ad esempio, uniforme);
che sono due cose ben distinte.
Si può dimostrare che in tutti i casi in cui la distribuzione non è uniforme, il rapporto
segnale-rumore risultante è peggiore che nel caso di distribuzione uniforme. Matematicamente, per il caso di quantizzazione uniforme si dimostra che:
1. La varianza dell’errore di quantizzazione è indipendente dalla densità di probabilità
del segnale di ingresso;
Quantizzazione
non uniforme
110
Figura 7.14: Esempio di densità di probabilità non uniforme. In questo caso i valori più
probabili sono concentrati intorno al valor medio.
2. A parità di range, tuttavia, la potenza del segnale utile è inferiore.
Supponiamo cioè di confrontare l’effetto della quantizzazione uniforme su due segnali:
• Segnale 1 con densità di probabilità uniforme in [−V , +V ].
• Segnale 2 con densità di probabilità non uniforme in [−V , +V ].
Si otterrà che nell’espressione:
µ
S
N
¶
=
Q
σV2in
σe2q
la varianza di errore è uguale nei due casi:
¯
¯
¯
¯
σe2q ¯ = σe2q ¯
1
tuttavia:
¯
¯
2
¯
¯
σV2in ¯ > σV2in ¯
1
e dunque:
µ
S
N
2
¶ ¯¯
µ ¶ ¯¯
S
¯
¯
¯ >
¯
¯
N
Q
Q¯
1
2
Vediamo ora di svolgere i calcoli.
Esempio: segnale con densità di probabilità esponenziale bilatera troncata
Consideriamo un segnale con densità di probabilità esponenziale bilatera troncata in [-1,
+1] (vedi figura 7.15):
fv (x) = k · e−α|x|
affinché
R +1
−1
fv (x) dx = 1 si ottiene:
k=
α
2(1 − e−α )
⇒
fv (x) =
α
· e−α|x|
2(1 − e−α )
Svolgendo i calcoli, si ottiene che la potenza (varianza, visto che il valor medio è nullo) di
questa densità di probabilità vale:
h
i
E V2 =
h
³
´i
1
−α
2
·
2
−
e
α
+
2α
+
2
α2 (1 − e−α )
(7.15)
111
Figura 7.15: Densità di probabilità esponenziale bilatera troncata tra −1 e +1.
Figura 7.16: Grafico della funzione (7.15): varianza dell’esponenziale bilatera troncata, in
funzione di α.
In funzione di α, questa funzione ha l’andamento mostrato in figura 7.16. Si nota cioè che
si ha sempre, per qualunque valore di α, la seguente disuguaglianza:
h
i
E V2 ≤
1
3
Si noti ora che, sullo stesso range [−1, +1] una densità uniforme ha potenza (varianza,
visto che il valor medio è nullo) pari a 1/3. Si vede dunque in questo caso che, ad esempio, a parità di range, qualunque esponenziale bilatera troncata ha potenza inferiore alla
distribuzione uniforme.
Per le considerazioni appena fatte, ha interesse studiare leggi di quantizzazione diverse
dalla quantizzazione uniforme. L’idea base che andremo a dimostrare è che conviene
quantizzare più fittamente nelle zone dove il segnale è più probabile (vedi figura 7.17).
Segnale con dinamica minore della dinamica del quantizzatore
Si consideri un primo caso semplice:
• Quantizzazione uniforme su range [−V , +V ];
• Segnale Vin uniforme nel range [−W , +W ], con W < V .
112
Figura 7.17: Per i segnali con densità di probabilità non uniforme, conviene quantizzare
più fittamente nelle zone dove il segnale è più probabile.
(S/N )Q si calcola con la (7.2) e la (7.3) mettendo però in quest’ultima W al posto di V
(visto che ora il segnale di ingresso è uniforme in [−W , +W ]). Si ottiene:
³
´
S
N Q
³
= M2
W
V
S
N
¶
µ
Q
≈ 6n + 10 log10
W
V
³
¶2
(7.16)
W
V
¶
´
Essendo W < V , la quantità in dB 20 log10 W
è negativa, e rappresenta la ”perdita”
V
che si ha a causa del fatto che la dinamica del segnale [−W
³ , +W
´ ] è minore della dinamica
W
del quantizzatore. Se ad esempio W = V /2, ho 20 log10 V = 20 log10 (1/2) = −6 dB e
ottengo che:
µ ¶ ¯¯
S
¯
¯ ≈ 6 (n − 1)
N Q ¯dB
che equivale ad avere ”perso” 1 bit di quantizzazione. Il risultato è comprensibile: in
sostanza, non si usa un bit del convertitore A/D.
7.3.1
range diverso da
quello del
segnale
µ
= 6n + 20 log10
quantizzazione
uniforme su
´2
che, passando ai dB diventa (ricordando la (7.5)):
µ
(S/N )Q
Calcolo dell’errore di quantizzazione nel caso di quantizzazione
non uniforme
Fatte le premesse del paragrafo precedente, affrontiamo ora il problema nel caso generale.
Ci proponiamo cioè di valutare la varianza dell’errore di quantizzazione nel caso generale
di:
• Quantizzatore non uniforme;
• Segnale di ingresso con densità di probabilità generica.
Supponiamo sempre di avere M = 2n intervalli sul range di ingresso [−V , +V ]. La
”novità” è che ora supporremo ciascun intervallo di quantizzazione di larghezza arbitraria.
Consideriamo la figura 7.18. I parametri relativi all’i-esimo intervallo di quantizzazione
sono:
• ∆i = larghezza i-esimo intervallo.
• Vi = punto centrale i-esimo intervallo.
113
Figura 7.18: Rappresentazione grafica intervallo i-esimo per un quantizzatore non
uniforme. Ogni intervallo ha una larghezza diversa.
Figura 7.19: Rappresentazione grafica dell’errore di quantizzazione per quantizzatore non
uniforme, nel caso in cui il segnale di ingresso V cada all’interno dell’intervallo i-esimo.
Figura 7.20: Nel caso che gli intervalli di quantizzazione ∆i siano sufficientemente piccoli,
posso approssimare la densità di probabilità fv (x) del segnale di ingresso all’interno di
ogni intervallo come costante.
Consideriamo ora la figura 7.19. Sia V il generico segnale di ingresso nel caso in cui cada
nell’intervallo i-esimo. L’errore di quantizzazione, sull’intervallo i-esimo, è dato da:
h i
ei = V − Vi
⇒
E e2i =
Z Vi + ∆i
2
∆
Vi − 2i
(V − Vi )2 · fV (V | V ∈ i-esimo) dV
(7.17)
Si consideri la figura 7.20. Se gli intervalli sono ragionevolmente piccoli, posso considerare
che la densità di probabilità fV (x) sia pressoché costante su un intervallo. In particolare,
per la densità di probabilità condizionata all’intervallo i-esimo si ha:
fV (V | V ∈ i-esimo) ≈
1
∆i
Allora posso sostituire la (7.18) nella (7.17) e trovare:3
(7.18)
114
Figura 7.21: Curva di quantizzazione per la densità di probabilità della figura 7.17.
Z Vi + ∆i
2
h i
E e2i
=
∆
Vi − 2i
∆
Vi + 2i
(V − Vi )2 · fV (V | V ∈ i-esimo) dV =
Z
=
∆
Vi − 2i
Z + ∆i
2
=
−
1
dV =
∆i
"
1 x3
1
dx =
x
∆i
∆i 3
#+∆i /2
2
=
−∆i /2
∆2i
12
=
Formula per
∆i
2
(V − Vi )2
L’errore di quantizzazione totale sarà legato a tutti i vari E[e2i ] pesati per la probabilità
che V cada nell’intervallo i-esimo:
l’errore di
h
E e2Q
quantizzazione
i
=
nel caso generico
≈
=
M
X
i=1
M
X
i=1
M
X
i=1
P (V ∈ i-esimo) ·
fV (Vi ) ∆i
fV (Vi )
∆2i
=
12
∆2i
=
12
∆3i
12
(7.19)
Si dimostra che, a parità di M , (S/N )Q viene minimizzato nella situazione in cui i termini
della sommatoria tendono ad essere uguali. La dimostrazione di questo risultato è difficile,
ed esula dagli scopi di questo corso. In sostanza si cerca di ottenere:
fV (Vi ) ·
∆3i
= Costante
12
3
Nei conti che seguono si passa dalla seconda alla terza riga effettuando il cambio di variabile: x = V −Vi ,
che rende l’integrale più semplice da risolvere.
115
Figura 7.22: Schema realizzativo di convertitore A/D non uniforme utilizzando tecnica di
companding.
Figura 7.23: Illustrazione di come lo schema di figura 7.22 equivalga a realizzare un
quantizzatore non uniforme.
Siamo dunque giunti al seguente importante risultato: le prestazioni sono ottimizzate
se si quantizza più fittamente dove fV (Vi ) è più elevato. Questo risultato è rappresentato graficamente in figura 7.17. In pratica, la curva di quantizzazione per la densità di
probabilità di figura 7.17 diventa qualitativamente quella di figura 7.21.
7.3.2
Tecniche di ”companding”
Gran parte dei convertitori A/D e D/A commerciali (in chip) sono di tipo uniforme. Per
ottenere un quantizzatore non uniforme partendo da un quantizzatore uniforme si usa una
tecnica detta di ”companding”. Si fa cioè precedere il convertitore A/D uniforme da un
dispositivo con curva di ingresso-uscita non lineare scelta opportunamente, come mostrato
in figura 7.22. La figura 7.23 mostra come con tale tecnica si ottenga un quantizzatore
non uniforme.
Dal lato del ricevitore, si dovrà poi utilizzare un dispositivo non lineare con la curva
complementare per ricostruire il segnale di partenza.
Le tecniche di companding sono utili anche per controbattere un problema che per ora
non avevamo affrontato. In particolare, nei casi pratici il range del segnale in ingresso non
è noto a priori. Ad esempio, il segnale vocale all’uscita di un microfono ha una densità
116
Figura 7.24: Caratteristica ingresso-uscita di un compander generico. Si noti come per
elevati valori dell’ingresso, l’uscita tenda a saturare.
di probabilità esponenziale bilatera troncata (in prima approssimazione) ma su un range
che dipende sia dal ”volume” del suono emesso, che dalle caratteristiche del microfono.
Si segue allora un altro approccio: si scelgono delle leggi di compensazione tali per cui
(S/N )Q sia il più possibile indipendente dal range del segnale di ingresso.
PCM telefonico: le leggi ”µ-law” e ”A-law”
Il PCM telefonico utilizza sempre una tecnica di companding. Le ”leggi di companding”
utilizzate sono diverse tra Europa, Stati Uniti e Giappone, ma il principio è lo stesso. In
tutti i casi, la legge è indicativamente del tipo di figura 7.24. Si usa cioè una curva che
”satura” per ingressi crescenti.
A-law
• ”A-law” Europa:


|Vout | =
A |Vin |
1+log(A)
1+log(A |Vin |)
1+log(A)

h
per |Vin | ∈ 0,
1
A
i
altrove
dove: Vin ∈ [−1, +1] e A = 87.56.
µ-law
• ”µ-law” (USA):
|Vout | =
log(1 + µ|Vin |)
log(1 + µ)
dove: Vin ∈ [−1, +1] e µ = 255.
(S/N )Q per
legge di
companding
generica
Si può dimostrare (anche se esula dagli scopi di questo corso) che per qualunque legge di
companding ”ragionevole” si ha una legge di questo tipo:
µ
S
N
¶ ¯¯
¯
¯
Q¯
≈ 6n − a
dB
dove a è un parametro che dipende dal segnale in ingresso e dalla legge scelta. Rimane
cioè ancora vera la ”6 dB law”, cioè il fatto che ogni bit di quantizzazione in più migliora
di 6 dB le prestazioni.
7.4. Conclusioni e riferimenti bibliografici
7.4
117
Conclusioni e riferimenti bibliografici
Questo capitolo ha introdotto la trasmissione PCM con particolare attenzione alle tecniche
di quantizzazione.
L’argomento della conversione A/D e D/A sarà ripreso nei corsi di Elettronica per le
Telecomunicazioni, dove verranno esaminati diversi modelli circuitali per la realizzazione di
convertitori A/D e D/A. Dopo questo corso l’argomento della quantizzazione non verrà mai
più ripreso nel corso di Laurea. Verrà ripreso durante la Laurea Specialistica, durante i corsi di compressione dati, dove si affronteranno argomenti più avanzati, come il quantizzatore
di Lloyd Max, la quantizzazione vettoriale e la quantizzazione entropy-constrained.
L’argomento delle trasmissioni digitali sarà trattato approfonditamente nel corso di
Trasmissione Numerica e in diversi altri corsi della Laurea Specialistica.
Si riportano qui di seguito alcuni testi di riferimento che consigliamo al lettore interessato ad ulteriori approfondimenti. Alcuni di questi testi saranno utili in corsi successivi.
• [1] Khalid Sayood, Introduction to Data Compression, Morgan Kaufmann
Publishers In.
Si tratta di un libro abbastanza semplice e molto ben fatto, che descrive i fondamenti
della compressione dati e le varie tecniche di quantizzazione. Sarà molto utile anche
per i corsi di compressione dati della laurea specialistica.
• [2] Massimiliano Laddomada, Marina Mondin, Elaborazione Numerica dei Segnali, Pearson, 2007.
Si tratta di un testo didattico molto ben fatto che tratta le tecniche di elaborazione
dei segnali.
• [3] Sergio Benedetto e Ezio Biglieri, Principles of Digital Transmission with
Wireless Applications, Kluwer Academic/Plenum Publishers, New York, 1999.
Si tratta di un testo abbastanza difficile e molto ben fatto, che tratta l’argomento
delle trasmissioni numeriche. Sarà utile per il corso Trasmissione Numerica e per
diversi altri corsi della Laurea Specialistica.
• [4] http://www.tlc.polito.it/garello/
Sito del professor Garello del Politecnico di Torino. Contiene parecchio materiale
ben fatto sulle modulazioni numeriche. Utile soprattutto per corsi successivi.
Riferimenti
bibliografici
118
Appendice A
Riassunto formule principali sul
PCM
Si riportano in questa appendice le formule principali che sono state ottenute in questo
capitolo. Tali formule possono essere utili per lo svolgimento degli esercizi delle esercitazioni.
Si ricorda che è fondamentale, ed è compito dello studente, conoscere a fondo sia le
ipotesi sotto le quali sono state ottenute le varie formule, sia il significato esatto dei vari
parametri.
Per facilitare il ritrovamento di queste formule all’interno del capitolo, quando sono
state ottenute, sono state messe all’interno di un riquadro per evidenziarle meglio.
• (S/N )Q quantizzatore uniforme e segnale con densità di probabilità uniforme:
µ
S
N
¶
= M 2 ≈ 6n [dB]
Q
• (S/N )Q dovuto agli errori sui bit:
µ
S
N
¶
≈
e
1
4Pe
• (S/N ) complessivo in presenza di errori sul canale, e probabilità di errore alla soglia:
µ
S
N
¶
=
out
M2
,
1 + 4(M 2 − 1)Pe
Pe∗ =
1
4(M 2 − 1)
• (S/N )Q quantizzatore uniforme, ma su range diverso da quello del segnale:
µ
S
N
¶
µ
= M2
Q
W
V
¶2
• Errore di quantizzazione per quantizzatore non uniforme:
h
E e2Q
i
=
M
X
P (V ∈ i-esimo) ·
i=1
≈
M
X
fV (Vi ) ∆i
i=1
=
M
X
fV (Vi )
i=1
119
∆3i
12
∆2i
=
12
∆2i
=
12

Indice - Politecnico di Torino

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