Diapositiva 1 - "PARTHENOPE"

Regimi finanziari:
interesse semplice
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Legge finanziaria
TASSO PERIODALE
tasso riferito all’unità di tempo
interesse i(1), oppure sconto d(1)
REGIME FINANZIARIO formula che restituisce il
montante a scadenza di 1 euro in
dipendenza dal tasso periodale e
dalla durata dell’investimento
LEGGE FINANZIARIA
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ogni qualvolta si definisce il tasso
periodale in un fissato regime, si
individua una legge finanziaria
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Regime dell’interesse semplice (sconto razionale)
IPOTESI L’interesse maturato fino al tempo t è
proporzionale al capitale iniziale ed al tempo trascorso
dall’inizio dell’operazione, secondo un fattore di
proporzionalità pari al tasso periodale di interesse.
I (t ) = C i t
Tasso periodale
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Regime dell’interesse semplice (cont.)
i (t ) = i ⋅t
formazione del montante
M (t ) = C + I (t ) = C + Cit = C (1 + it )
capitalizzazione semplice
r (t ) = 1 + i ⋅t
1
ν (t ) =
1 + it
it
d (t ) = 1 − ν (t ) =
1 + it
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Grafici del montante e dell’interesse
M = Cit + C
I = Cit
Ci coefficiente
angolare di entrambe
le rette ⇒ parallele
All’aumentare di i e/o
C aumenta la pendenza
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Proprietà dell’interesse
I=CitÎ è funzione lineare del capitale, della durata
dell’investimento e del tasso periodale di interesse
I (i, C1 + C2 , t ) = i (C1 + C2 )t =
= iC1t + iC2t = I (i, C1 , t ) + I (i, C2 , t )
I (i, C , t1 + t2 ) = iC (t1 + t2 ) =
= iCt1 + iCt2 = I (i, C , t1 ) + I (i, C , t2 )
I (i1 + i2 , C , t ) = (i1 + i2 )Ct =
= i1Ct + i2Ct = I (i1 , C , t ) + I (i2 , C , t )
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Proprietà dell’interesse
In generale:
I (i, kC , t ) = kI (i, C , t )
I (i, C , kt ) = kI (i, C , t )
I ( ki, C , t ) = kI (i, C , t )
I (i, C , kt ) = C (1 + kit )
anche se l’investimento ha durata maggiore di un periodo,
l’interesse è proporzionale al capitale investito inizialmente
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Esempio
L’interesse prodotto dal tasso del 9,85% può ottenersi
come somma di quello prodotto dal tasso del 9% e di quello
prodotto dal tasso dello 0,85%
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Tassi equivalenti
TASSI EQUIVALENTI ⇒ tassi periodali che descrivono la
stessa legge, con riferimento a
diverse unità di misura del tempo
applicati allo stesso capitale per la stessa durata
fruttano lo stesso interesse
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Tassi equivalenti (cont.)
ta
tempo in anni
ia (ta ) = ia ta
ia = ia (1)
Tasso annuo
di interesse
1 semestre = 0,5 anni
is = ia (0,5) = 0,5ia
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Tassi equivalenti (cont.)
tm
tempo in mesi
im (tm ) = imtm
im = im (1)
Tasso mensile
di interesse
1 semestre = 6 mesi
is = im (6) = 6im
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1
1
1 1
im = is = × ia = ia
6
12
6 2
11
Tassi equivalenti (cont.)
C (1 + ia ) = C (1 + im 12)
1 + ia = 1 + im 12
ia = im 12
1
im = ia
12
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Tassi equivalenti (cont.)
In generale:
se h è un numero reale positivo qualunque,
il tasso periodale ih riferito al periodo “h anni”
è collegato a quello annuo ia dalla relazione:
ih = ia (h) = hia
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Esempio
Calcolare il tasso bimestrale ibm equivalente, nel regime
dell’interesse semplice, al 12% annuo.
12
ia = 0,12
12% =
= 0,12
100
1
1 bimestre =
anno = 0,16666667 anno
6
⎛1⎞
ibm = ia ⎜ ⎟ = ia (0,1666667)
⎝6⎠
1
1 12
2
= × 0,12 = ×
=
= 2%
6
6 100 100
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Osservazione
L’interesse prodotto da 1 euro impiegato per un anno
al tasso del 2% bimestrale ammonta a
1× 0,02 × 6 = 0,12
ed uguaglia quello prodotto se l’impiego avviene per lo
stesso periodo al 12% annuo
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Esempio
Calcolare l’interesse I prodotto da un capitale C=100.000
impiegato per 7 anni in regime di capitalizzazione semplice
al tasso quadrimestrale del 6%.
Tasso e tempo devono essere riferiti alla stessa unità temporale
1 anno = 3 quadrimestri ⇒ 7 anni = 7×3 quadrimestri
Quindi
I = Cit = 100.000 × 0, 06 × 21 = 126.000
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Esempio
Calcolare l’interesse I ed il montante M prodotto da un capitale
C=100.000€ impiegato per 2 anni e 5 mesi in regime di
capitalizzazione semplice al tasso semestrale del 3%.
Esprimiamo il tempo in semestri
1 anno = 2 semestri ⇒ 2 anni = 4 semestri
5 mesi ⇒
Quindi
5
6
semestri
5⎞
⎛
I = Cit = 100.000 × 0,03 × ⎜ 4 + ⎟ = 14.500
6⎠
⎝
M = C + I = 100.000 + 14.500 = 114.500
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Esempio
Calcolare il tasso di interesse mensile al quale è stato impiegato
in regime di capitalizzazione semplice un capitale C=200.000€
se ha generato in 7 mesi un montante M=203.500€.
L’interesse è dato da
I = M − C = 203.500 − 200.000 = 3.500
Dalla relazione I=Cit si ricava il tasso mensile richiesto
I
3.500
i=
=
= 0, 0025 = 0, 25%
Ct 200.000 × 7
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Esempio
Un capitale C=240.000€, impiegato in regime di capitalizzazione
semplice al tasso del 3,25% semestrale, ha generato un
interesse I =23.250€. Calcolare la durata di impiego.
Dalla relazione I=Cit si trae
I
23.250
t=
=
= 2,9807
Ci 240.000 × 0,0325
2 semestri + 0,9807 semestri
x
= 0,9807
6
x=5,8442 mesi=5 mesi+0,8442 mesi
frazione di semestre
in termini di mesi
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Esempio
x
= 0,8442
30
x=25,326 giorni = 26 giorni
frazione di mese in
termini di giorni
Corrispondente a
2 semestri 5 mesi 26 giorni
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Tasso di sconto e fattore di anticipazione
i (t )
it
d (t ) =
=
1 + i (t ) 1 + it
i
d
dt
t
dt
−
d
1
1
−
d
=
d (t ) =
=
d
1 − d + dt 1 + (t − 1)d
t
1+
1− d
1− d
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Tasso di sconto e fattore di anticipazione
i (t )
it
dt
d (t ) =
=
=
1 + i (t ) 1 + it 1 + (t − 1)d
SCONTO
Kdt
Kit
D(t ) = Kd (t ) =
=
1 + (t − 1)d 1 + it
VALORE ATTUALE
K (1 − d )
K
P( K ) = K − D(t ) = K (1 − d (t )) =
=
1 + (t − 1)d 1 + it
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Tasso di sconto e fattore di anticipazione (cont.)
Al crescere del tasso di
interesse, la curvatura degli
archi aumenta
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Esempio
Calcolare nel regime dell’interesse semplice i tassi annuo
e semestrale di sconto equivalenti al tasso annuo di
interesse del 13,4%.
ia (1)
0,134
d a = d a (1) =
=
≅ 0,1181 = 11,81%
1 + ia (1) 1,134
Per quello semestrale, essendo ia(0,5)=0,134×0,5≅0,067
ia (0,5)
d s = d a (0,5) =
≅ 0,0628 = 6, 28%
1 + ia (0,5)
equivalentemente:
d a ⋅ 0,5
d s = d a (0,5) =
≅ 0,0628 = 6, 28%
1 + (0,5 − 1)d a
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Esempio
Calcolare lo sconto e il valore attuale di un capitale a scadenza
K=10.000€ da anticipare di 4 mesi in regime di
capitalizzazione semplice al tasso annuo di interesse del 13,4%.
d a = 11,81%
Quindi
10.000 × 0,1181× ( 4 12 )
Kdt
D=
=
= 426,91
1 + (t − 1)d
1 + 0,1181× ( 4 12 − 1)
P = K − D = 10.000 − 426,91 = 9.573, 09
Oppure:
10.000 = P [1 + 0,134 × 4 12]
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Alcune convenzioni
365 giorni
Anno civile
Anno commerciale
360 giorni
mesi di 30 giorni
Più vantaggioso per l’investitore
ia
ia
<
365 360
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Capitalizzazione dell’interesse
Gli interessi vengano riscossi ed investiti
C =1
M = 1 + is
con s durata complessiva
Consideriamo t1 < s, incassiamo in t1 M=1+it1 e reinvestiamolo
in s avremo:
C = 1 + it1
M = (1 + it1 ) [1 + ( s − t1 )i ] = 1 + it1 + ( s − t1 )i + t1 ( s − t1 )i 2
= 1 + it1 + is − it1 + t1 ( s − t1 )i 2 = 1 + is + t1 ( s − t1 )i 2
1 + is + t1 ( s − t1 )i 2 > 1 + is
conviene capitalizzare l’interesse
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Capitalizzazione dell’interesse
(i + i t1 ) > i
2
1 − i 2t12 + (i + i 2t1 ) s
1 − i 2t12 + (i + i 2t1 )t
velocità di crescita
più elevata
1 + is
1+it
1
t1
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s
t
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Capitalizzazione degli interessi (cont.)
Qual è l’istante “migliore” per capitalizzare l’interesse?
calcolo del massimo della funzione:
f (t1 ) = t1 ( s − t1 )i 2
f (t1 ) = si t1 − i t
2
2 2
1
f '(t1 ) = si − 2i t1
2
2
s
f '(t1 ) = 0 ⇔ t1 =
2
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Capitalizzazione degli interessi (cont.)
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C = 1, T periodo complessivo, i tasso interesse, n sottointervalli
n =1
n=2
n=3
n=k
1 + it
2
T ⎞⎛
T⎞ ⎛
T⎞
⎛
⎜1 + i ⎟⎜1 + i ⎟ = ⎜ 1 + i ⎟
2 ⎠⎝
2⎠ ⎝
2⎠
⎝
T ⎞⎛
T ⎞⎛
T⎞ ⎛
T⎞
⎛
⎜1 + i ⎟⎜ 1 + i ⎟ ⎜ 1 + i ⎟ = ⎜ 1 + i ⎟
3 ⎠⎝
3 ⎠⎝
3⎠ ⎝
3⎠
⎝
T⎞
⎛
⎜1 + i ⎟
k⎠
⎝
3
k
k
T⎞
⎛
lim ⎜ 1 + i ⎟ = eiT = exp(iT )
k →∞
k⎠
⎝
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