La forza di interesse - "PARTHENOPE"

Teoria delle leggi finanziarie
S. Corsaro – Matematica Finanziaria – a.a. 2007/08
Intensità di interesse
L’intensità di interesse relativa al periodo da x ad y è
definita come
adimensionale
I ( x, y ) 1
i ( x, y )
γ ( x, y ) =
⋅
=
C
y−x
t
( dimensione di tempo-1)
L’intensità di sconto sullo stesso periodo è data da
D ( x, y ) 1
d ( x, y )
⋅
=
K
y−x
t
( dimensione di tempo-1)
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Intensità di interesse
I (t , t + dt ) = M (t + dt ) − M (t )
I (t , t + dt ) ΔM (t )
i (t , t + dt ) =
=
M (t )
M (t )
se dividiamo per l’ampiezza dell’intervallo di tempo
otteniamo l’intensità di interesse:
ΔM ( t )
M (t )dt
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La forza di interesse
se consideriamo intervalli di tempo infinitesimi:
ΔM ( t )
1
M (t + dt ) − M (t )
lim
=
lim
dt →0 M ( t )dt
M (t ) dt →0
dt
M '(t ) r '(t )
=
=
M (t ) r (t )
forza di interesse o
intensità istantanea di interesse o
tasso istantaneo di interesse
(adimensionale)
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La forza di interesse
poniamo:
r '(t )
δ (t ) =
= D[log r (t )]
r (t )
misura la sensibilità della funzione r
alle variazioni temporali
espressa in termini di variazione percentuale
per unità di tempo
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La forza di interesse
M '(t )
M (t )dt = M (t )δ (t )dt
ΔM (t ) ≈ M '(t )dt =
M (t )
interesse
δ (t )dt rappresenta l’interesse prodotto
da un capitale unitario nell’intervallo di tempo dt
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La forza di sconto
⎡ 1 ⎤ d
d
d
d
log [ r (t ) ] = log ⎢
= [ log1 − logν (t ) ] = − logν (t )
⎥
dt
dt
dt
⎣ν (t ) ⎦ dt
−ν '(t )
d
σ (t ) =
= − logν (t )
dt
ν (t )
forza di sconto o
tasso istantaneo di sconto
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La forza di interesse nei regimi finanziari
Regime dell’interesse semplice
d
i
δ (t ) = log (1 + it ) =
dt
1 + it
Funzione decrescente
Regime dello sconto commerciale
⎡
d
1 ⎤
d
⎛ 1 ⎞
δ (t ) = log ⎜
−d ) =
⎟ = (1 − dt ) ⎢ −
2 ⎥(
dt
1 − dt
⎝ 1 − dt ⎠
⎢⎣ (1 − dt ) ⎥⎦
Funzione crescente
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La forza di interesse nei regimi finanziari
Regime dell’interesse composto
d
d
t
δ (t ) = log (1 + i ) = t log (1 + i )= log (1 + i )
dt
dt
Funzione costante
Tasso istantaneo
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La forza di interesse
d
δ (t ) = log r (t )
dt
t
t
d
t
∫t δ ( s)ds = ∫t ds log r( s) ds = log [ r( s)]t0 =
0
0
r (t )
= log r (t ) − log r (t0 ) = log
r (t0 )
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La forza di interesse
t
r (t )
= ∫ δ ( s )ds
log
r (t0 ) t0
⎛t
⎞
r (t )
= exp ⎜ ∫ δ ( s )ds ⎟
⎜t
⎟
r (t0 )
⎝0
⎠
Per t0=0:
⎛t
⎞
r (t ) = r (t0 ) exp ⎜ ∫ δ ( s)ds ⎟
⎜t
⎟
⎝0
⎠
⎛t
⎞
r (t ) = exp ⎜ ∫ δ ( s )ds ⎟
⎝0
⎠
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La forza di interesse
⎛t
⎞
r (t ) = exp ⎜ ∫ δ ( s )ds ⎟
⎝0
⎠
⎛t
⎞
M (t ) = Cr (t ) = C exp ⎜ ∫ δ ( s )ds ⎟
⎝0
⎠
La forza di interesse caratterizza
la legge di capitalizzazione
ν (t ) = ( r (t ) )
−1
⎛ t
⎞
= exp ⎜ − ∫ δ ( s )ds ⎟
⎝ 0
⎠
⎛ t
⎞
P (t ) = Kν (t ) = K exp ⎜ − ∫ δ ( s )ds ⎟
⎝ 0
⎠
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La scindibilità
x
z
SE
r ( x, y ) = r ( x, z ) r ( z , y )
la legge di capitalizzazione si dice scindibile
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y
Scindibilità
Regime interesse semplice
r ( x, y ) = 1 + i ( y − x )
r ( x, z ) = 1 + i ( z − x )
r ( z, y) = 1 + i( y − z )
[1 + i( y − x)] ≠ [1 + i( z − x)][1 + i( y − z )]
Legge NON scindibile
NOTA: il fattore di capitalizzazione dipende
dalla durata dell’intervallo di tempo
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Scindibilità
Regime di sconto commerciale
1
r ( x, y ) =
1 − d ( y − x)
1
r ( x, z ) =
1 − d ( z − x)
1
r ( z, y) =
1 − d ( y − z)
1
1
1
≠
1 − d ( y − x) 1 − d ( z − x) 1 − d ( y − z )
Legge NON scindibile
NOTA: il fattore di capitalizzazione dipende
dalla durata dell’intervallo di tempo
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Scindibilità
Regime di capitalizzazione composta
r ( x, y ) = (1 + i ) y − x
z−x
r ( x, z ) = (1 + i )
r ( z , y ) = (1 + i ) y − z
(1 + i )
y−x
= (1 + i )
y−z+ z−x
= (1 + i )
y−z
(1 + i )
z−x
r ( x, y ) = r ( x, z ) r ( z , y )
Legge scindibile
NOTA: il fattore di capitalizzazione dipende
dalla durata dell’intervallo di tempo
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Osservazione
Una legge di capitalizzazione è uniforme se il fattore di
capitalizzazione (sconto) dipende dalla durata dell’intervallo
di tempo, non dalla scelta particolare dell’istante iniziale e di
quello finale.
In questo caso, se t:=y-x, poniamo
f(t):=r(x,y)
Tale legge è scindibile se
f ( s ) f (t ) = f ( s + t )
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Osservazione
Le sole funzioni soddisfacenti l’equazione funzionale di
Cauchy
f ( s ) f (t ) = f ( s + t )
sono le funzioni esponenziali.
In particolare, l’unica soluzione del problema
⎧ f ( s ) f (t ) = f ( s + t )
⎨
⎩ f (0 ) = 1
è la funzione esponenziale
con δ reale.
f (t ) = e −δ t
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Osservazione
La funzione
f (t ) = e
−δ t
se δ è positivo, rappresenta il fattore di sconto nel regime
esponenziale.
Per quanto osservato, la legge di capitalizzazione
esponenziale è l’unica legge uniforme e scindibile.
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Montante di investimento e di proseguimento
y
x
z
montante di investimento
Cr ( y, z )
montante di proseguimento
C
Cν ( x, y ) =
r ( x, y )
Valore attuale in x del
capitale C disponibile in y
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C
r ( x, z )
r ( x, y )
Montante di investimento e di proseguimento
Affinchè i due montanti siano uguali deve essere:
C
Cr ( y, z ) =
r ( x, z )
r ( x, y )
r ( x, y ) r ( y , z ) = r ( x, z )
La legge di capitalizzazione è scindibile
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