Lezione 8 Localizzazione di anelli e moduli.
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Lezione 8 Localizzazione di anelli e moduli.
Lezione 8 Localizzazione di anelli e moduli. Sia A un anello. Definizione 8.1 Un sottoinsieme non vuoto S di A si dice insieme moltiplicativo se a) per ogni s, t ∈ S , st ∈ S ; b) 1 ∈ S . Sull’insieme A × S definiamo la seguente relazione binaria. Poniamo ( a, s ) ~ (b, t ) se esiste x ∈ S tale che x (ta − sb) = 0. È facile verificare che ~ è una relazione di equivalenza. Indicheremo la classe di equivalenza di a ( a, s ) con , e l’insieme quoziente con AS (notazione alternativa: S −1 A ). s Osservazione 8.2 Se S è privo di divisori dello zero, la relazione di equivalenza si può definire, più semplicemente, nella forma seguente: ( a, s ) ~ (b, t ) se ta = sb. Questa non può, però, essere assunta come definizione nel caso generale: infatti essa non garantisce la transitività. Su AS si definiscono le seguenti operazioni: - a b ta + sb + = s t st a b ab . ⋅ = s t st È immediato verificare che queste operazioni sono ben definite e che, rispetto ad esse, AS è un 0 0 anello commutativo unitario, detto localizzato di A rispetto ad S. Il suo zero è = per ogni 1 s s∈S . Osservazione 8.3 L’anello AS nasce, in poche parole, rendendo invertibili gli elementi di S. Questa interpretazione diventa, però, apparentemente problematica nel momento in cui 0 ∈ S : in realtà, allora AS è l’anello banale, poiché, per ogni a ∈ A, s ∈ S , si ha 0 ⋅ a − s ⋅ 0 = 0 , per cui ( a, s ) ~ (0,0) , 0 e quindi AS = . Poiché questo caso non è comunque interessante, molti autori aggiungono la 0 condizione 0 ∉ S alla definizione di insieme moltiplicativo. D'ora in poi, supporremo che 0 ∉ S . Esempi 8.4 a) Sia S l’insieme degli elementi (non nulli) di A che non sono zero divisori. Allora AS è detto anello delle frazioni di A. Se A è integro, allora S = A \ {0} , e AS è un campo delle frazioni di A. { } b) Sia x ∈ A non nilpotente. Allora S = x n n ∈ N è un insieme moltiplicativo di A. Si scrive allora spesso Ax anziché AS . Consideriamo ora l’omomorfismo di anelli α : A → AS a a 1 a 0 = se e solo se esiste x ∈ S tale che x(1 ⋅ a − 1 ⋅ 0) = 0 , cioè xa = 0 . Quindi 1 1 Kerα è l’insieme degli elementi di A che sono annullati da elementi di S. In particolare si ha: Si ha che α (a ) = Proposizione 8.5 Se S è privo di divisori dello zero, A è isomorfo ad un sottoanello di AS. Nelle ipotesi della Proposizione 8.5, possiamo identificare a con a e vedere A come un sottoanello 1 di AS. Esercizio 8.6* a) Provare che, se S è l’insieme degli elementi invertibili di A, allora A ≅ AS . b) Siano S e T insiemi moltiplicativi tali che S ⊂ T . - Provare che ( AS )α (T ) ≅ AT . - Provare che, se T è privo di divisori dello zero, allora AS è isomorfo ad un sottoanello di AT. Per la dimostrazione del prossimo risultato sarà utile la seguente Nota In generale, per ogni ideale I di A scriveremo a IAS = a ∈ I , s ∈ S = α ( I ) AS . s Questo insieme è detto anche l’estensione di I ad AS, ed è indicato anche con I e . Inoltre, per ogni ideale J di AS, scriveremo a J ∩ A = a ∈ A ∈ J = α −1 ( J ) . 1 Questo insieme è anche detto la contrazione di J da AS ad A, ed è indicato anche con J c . Teorema 8.7 Sia S un insieme moltiplicativo di A, e sia 0 ∉ S . a) Gli ideali di AS sono tutti e soli i sottoinsiemi IAS , ove I è un ideale di A. b) Gli ideali primi di AS sono tutti e soli i sottoinsiemi PAS , ove P è un ideale primo di A tale che P∩S =∅. c) Gli ideali primari di AS sono tutti e soli i sottoinsiemi QAS , ove Q è un ideale primario di A tale che Q ∩ S = ∅ . Dimostrazione: a) È chiaro che, per ogni ideale I di A, IAS è un ideale di AS. Viceversa, sia J un ideale di AS. Sia a con a ∈ A, s ∈ S , allora I = J ∩ A . Allora IAS ⊂ JAS = J . Inoltre, se x ∈ J , diciamo x = s a sa s a = = x ∈ J , da cui a ∈ I e x = ∈ IAS . Ciò prova che J ⊂ IAS , per cui J = IAS , come 1 1s 1 s volevasi. 1 a b) Sia P un ideale primo di A tale che P ∩ S = ∅ . Se fosse = con a ∈ P, s ∈ S , allora sarebbe 1 s x ( s − a ) = 0 per qualche x ∈ S . Allora si avrebbe che xs = xa ∈ P , impossibile, essendo a b ab ∈ PAS . Allora esistono x, s ∉ P . Ciò prova che PAS è proprio. Siano , ∈ AS tali che s t s t ab c c ∈ P, u ∈ S tali che = , ovvero esiste x ∈ S tale che x(uab − stc) = 0 . Segue che st u xuab = xstc ∈ P , ove, essendo P ∩ S = ∅ , xu ∉ P . Quindi ab ∈ P , da cui, per la primalità di a b P, segue che a ∈ P (e in tal caso ∈ PAS ) oppure b ∈ P (e in tal caso ∈ PAS ). Ciò prova che s t PAS è primo. Viceversa, sia Q un ideale primo di AS. Sia P = Q ∩ A . Allora, come mostrato in 1 s a), si ha che Q = PAS . Inoltre, se esistesse s ∈ P ∩ S , allora = ∈ Q , assurdo. Quindi 1 s P ∩ S = ∅ , e, in particolare, P è proprio. Se a , b ∈ A sono tali che ab ∈ P , allora ab a b a b = ∈ Q . Dalla primalità di Q segue che ∈ Q (cioè a ∈ P ), oppure ∈ Q (cioè b ∈ P ). 1 11 1 1 Ciò prova che P è primo. c) La dimostrazione è analoga a quella data per b). Osservazione 8.8 Nella dimostrazione della parte a) del Teorema abbiamo visto che, per ogni ideale J di AS, ( J ∩ A) AS = J , ovvero J ce = J . Naturalmente, per ogni ideale I di A, si ha IAS ∩ A ⊃ I , cioè I ec ⊃ I In generale non vale l’uguaglianza. Basta considerare l’esempio seguente. Sia A = Z , S = A \ {0} , così che, in base all’Esempio 8.4, AS = Q , e l’omomorfismo α è l’inclusione di Z in Q. Sia I = ( 2) . Allora ( 2) ec = (2)Q ∩ Z = Z ≠ (2) . Dalla dimostrazione della parte b) del Teorema risulta, inoltre, che, per ogni ideale primo Q di AS, Q ∩ A è un ideale primo di A. Esercizio 8.9 Provare che, se M è un ideale massimale di A, allora MAS , se è proprio, è un ideale massimale di AS. Se N è un ideale massimale di AS, è vero che N ∩ A è un ideale massimale di A? Svolgimento: Sia J un ideale di AS contenente MAS. Allora, posto I = J ∩ A , si ha che J = IAS e M ⊂ MAS ∩ A ⊂ J ∩ A = I . Quindi I = M (e in tal caso J = MAS ) oppure I = A (e in tal caso J = AS ). Ciò prova che MAS è massimale. Si noti che non è possibile rimuovere l'ipotesi che MAS sia un ideale proprio: basta osservare che (2) è un ideale massimale di Z, ma (2)Q = Q. La risposta alla domanda è negativa. Basta considerare l’esempio presentato nell’Osservazione 8.8: l’ideale nullo è un ideale massimale di Q, ma ( 0) ∩ Z = (0) non è un ideale massimale di Z. Esempio 8.10 Sia P un ideale primo dell’anello A. Allora dalla definizione di ideale primo segue che S = A \ P è un insieme moltiplicativo di A. Allora si scrive AP al posto di AA\ P . Questo è l’anello ricavato da A rendendo invertibili tutti gli elementi di A che non appartengono a P. Inoltre, PAP è un ideale (primo) di AP, che è quindi formato da tutti gli elementi non invertibili di AP . Seguendo questa argomentazione, e alla luce della Proposizione 7.3, si prova: Proposizione 8.11 Per ogni ideale primo P di A, l’anello AP è locale. Il suo unico ideale massimale è PAP . Esempio 8.12 Sia A = K [ x1 ,..., x n ] , con K campo, e sia P = ( x1 ,..., x n ). Allora, alla luce dell’Esempio 7.4, AP = K [ x1 ,..., xn ]( x1 ,..., xn ) è isomorfo ad un sottoanello di K [[ x1 ,..., xn ]]. Come conseguenza dell’Esercizio 8.6 b) abbiamo: Corollario 8.13 Siano P, Q ideali primi di A, tali che P ⊂ Q . Allora (AQ )PA ≅ AP . Q Estendiamo ora la nozione di localizzazione ai moduli. Definizione 8.14 Sia M un modulo sull’anello A, e sia S un insieme moltiplicativo di A. Allora su M × S definiamo la seguente relazione binaria. Poniamo ( m, s ) ~ ( n, t ) se esiste x ∈ S tale che x (tm − sn ) = 0. È facile verificare che ~ è una relazione di equivalenza. Indicheremo la classe di equivalenza di m , e l’insieme quoziente con M S (notazione alternativa: S −1 M ). ( m, s ) con s In M S si definiscono una somma ed un prodotto esterno su AS nel modo seguente: - m n tm + sn + = s t st a m am . ⋅ = s t st Rispetto a queste operazioni, M S è un modulo su AS, detto localizzato di M rispetto ad S. La localizzazione rispetto all’insieme moltiplicativo S (-S) è un operatore che può essere applicato, oltre che ai moduli, agli omomorfismi di moduli. Dati due A-moduli M e N, ed un omomorfismo ϕ : M → N , si definisce il localizzato di ϕ rispetto a S ϕS : M S → NS m ϕ (m) s s Si verifica facilmente che questo è un omomorfismo ben definito di AS-moduli. Teorema 8.15 Sia ϕ : M → N un omomorfismo di A-moduli. Allora a) se ϕ è suriettivo, allora ϕ S è suriettivo; b) se ϕ è iniettivo, allora ϕ S è iniettivo. m m ϕ (m) 0 ∈ M S tale che ϕ S ( ) = = . s s s 1 Allora esiste x ∈ S tale che xϕ ( m ) = 0, cioè ϕ ( xm ) = 0 . Essendo ϕ iniettivo, segue che xm = 0 , e m 0 quindi = . Ciò prova che ϕ S è iniettivo. s 1 Dimostrazione: L’enunciato a) è ovvio. Proviamo b). Sia Se N è un sottomodulo di M, allora N S è quindi (identificabile con) un sottomodulo di M S mediante il localizzato della inclusione di N in M. Possiamo allora considerare il modulo quoziente M S / N S . Vediamo ora che la localizzazione commuta con la formazione del quoziente. Proposizione 8.16 Sia M un A- modulo, sia N un suo sottomodulo, e sia S un insieme moltiplicativo di A. Allora M S / N S ≅ (M / N ) S . Dimostrazione: Detta π : M → M / N la suriezione canonica, consideriamo π S : M S → ( M / N ) S . Questa, in base al Teorema 8.15 a), è suriettiva. In virtù del teorema fondamentale di omomorfismo per moduli basta allora provare che Kerπ S = N S . L’inclusione Kerπ S ⊃ N S è immediata. Per m m+N N provare l’altra, sia ∈ Kerπ S . Allora = , ossia esiste x ∈ S tale che xm + N = N . Segue s s 1 m xm che xm ∈ N , da cui = ∈ N S . Quindi Kerπ S ⊂ N S , e ciò conclude la dimostrazione. s xs Definizione 8.17 Dato un A-modulo M, si dice supporto di M l’insieme degli ideali primi P di A tali che M P non sia il modulo nullo. Lo si indica con Supp( M ). Del supporto di un modulo si può dare la seguente caratterizzazione. Proposizione 8.18 Sia M un A-modulo finitamente generato. Allora Supp( M ) è l’insieme degli ideali primi di A contenenti ann( M ). Dimostrazione: Sia x1 ,..., xr un sistema di generatori di M. Sia P un ideale primo di A. Allora P ∉ Supp( M ) se e solo se M P è il modulo nullo, il che avviene se e solo se, per ogni i = 1,..., r , esiste un elemento si ∈ A \ P tale che si xi = 0. Poiché, in tal caso, il prodotto s1 sr annulla ogni elemento di M, la precedente condizione è equivalente all’esistenza di un elemento di A \ P che annulla ogni elemento di M, ossia al fatto che ann( M ) ⊄ P.