Satellite in orbita che esplode

Satellite in orbita che esplode
Un satellite di massa (m+M), da considerarsi puntiforme, percorre un’orbita
circolare di raggio R attorno al centro C della Terra (di massa MT).
a)  Determinare l’espressione del modulo della velocità v del satellite in funzione
della costante gravitazionale G, di MT e di R.
Ad un certo istante, successivamente ad un’esplosione interna, la parte del satellite
di massa m viene lanciata verso l’esterno dell’orbita con velocità di modulo v1 e che
forma un angolo θ = 45° con la tangente all’orbita originaria del satellite. La parte
del satellite di massa M invece, a causa dell’esplosione cade a terra verticalmente al
suolo.
b)  Determinare l’espressione del modulo delle velocità v1 e v2 in funzione di G,
MT, R, m e M.
c)  Determinare la distanza minima RMIN dal centro C raggiunta dalla massa m
dopo l’esplosione nel caso m = M, sapendo che in tal posizione la velocità della
massa m ha direzione perpendicolare al suo vettore posizionale rispetto a C.
Dott. Manuel Mussini
Eserci vari
1
v(G,MT,R)
m+M
MCU
FCENTRIPETA = FG
R
MT
C
m + M ) MT
v2
(
− ( m + M ) = −G
R
R2
v= G
Dott. Manuel Mussini
Eserci vari
MT
R
2
v1,2(G,MT,R,m,M)
m
M
v1
θ
v2
R
Il sistema è ISOLATO perché
agiscono solo forze interne
La quantità di moto si conserva
MT
C
px "$ ( m + M ) v = mv1 cosθ
#
py $% 0 = mv1 sin θ − Mv2
!
θ = 45
Dott. Manuel Mussini
Eserci vari
2
=> cosθ = sin θ =
2
3
v1,2(G,MT,R,m,M)
m
M
v1
θ
px
m+M
m+M 2
v
v1 =
v= 2
m
m
2
py
v2 =
v2
R
MT
m+M
2
m
2 m
=
2
v
v1
M
2
M
m
2
C
!
m+M
MT
m+M
G
# v1 = 2
v = 2
#
m
R
m
"
m+M
MT
# v = m+M v
=
G
#$ 2
M
R
M
Dott. Manuel Mussini
Eserci vari
4
RMIN
3 possibili situazioni:
– v1 > vfuga
– orbita chiusa
– cade sulla Terra
m
θ
M
R
MT
C
Dott. Manuel Mussini
Eserci vari
5
RMIN
m
M
v1
!
! ! !
Usando C come polo: M G = R × FG = 0
θ
v2
R
MT
C
!
!
dL !
MG =
=0
dt
! !
R ⁄⁄ FG
!
=> L = k
!
!
Da ipotesi: RMIN ⊥ v '1
Rmv1 cosθ = RMIN mv'1
R m+m
R
R
m+M
2
R
2
=
v =2
v
=
2
v
v'1 =
v1
RMIN m
RMIN
RMIN
m
2
RMIN
2
Dott. Manuel Mussini
Eserci vari
6
M=m
m
θ
M
R
RMIN
!
MT
#
=2 2 G
## v1 = 2 2v
R
"
#
R
MT
R
G
v =2
# v'1 = 2
RMIN
R
RMIN
#$
MT
C
La forza che agisce è conservativa
L’energia meccanica si conserva
1 2
mM T 1
mM T
2
mv1 − G
= mv'1 − G
2
R
2
RMIN
Dott. Manuel Mussini
Eserci vari
7
RMIN
m
θ
1 4 MT
mM T 1 2 R 2
M
mM T
m8G
−G
= m4 2 G T − G
2
R
R
2
RMIN
R
RMIN
3
M
4 1 2R
1
− = 2 −
R R RMIN RMIN
R
MT
C
3 2R − RMIN
=
2
R
RMIN
2
3RMIN
= 2R 2 − RRMIN
2
3RMIN
+ RRMIN − 2R 2 = 0
Dott. Manuel Mussini
Eserci vari
8
RMIN
m
2
3RMIN
+ RRMIN − 2R 2 = 0
θ
M
RMIN
R
RMIN
MT
−R ± R 2 + 24R 2 −R ± 5R
=
=
6
6
C
R
+
MIN
2
= R
3
R −MIN = −R
Dott. Manuel Mussini
Eserci vari
9