Un esercizio sul sodio metallico

Corso di Laurea in Fisica - Corso di Struttura della Materia
G. Rinaudo
Un esercizio sul sodio metallico
Il sodio metallico ha una densità di circa 0,9 g cm-3, numero di massa 23, energia di Fermi EF
di circa 3 eV e temperatura di Debye TD di circa 200 K. La sua resistività, a 300 K, è
dell’ordine di 4⋅10-8 Ωm, mentre a 400 K la resistività sale a circa 8⋅10-8 Ωm.
a) Calcolare la temperatura di Fermi TF, la velocità di Fermi vF e l’energia cinetica media allo
zero assoluto
Per esprimere l’energia in unità di temperatura anziché in eV basta usare il fattore di conversione
dato dalla costante di Boltzmann, kB ≈ 9 ⋅10 -5 eV K -1, quindi:
TF ≈ 3 eV / 9 ⋅10-5 eV K-1 ≈ 3 ⋅10 4 K
1 2
mv F = E F
2
; vF = c
2EF
mc
2
≈ 3 ⋅108 ms −1
6 eV
6
0,5 ⋅10 eV
≈ 103 ms −1
3
< Ecin > = E F ≈ 1,8 eV
5
b) L’energia cinetica media sarebbe la stessa a temperatura ambiente?
L’energia media sarebbe poco superiore a temperatura ambiente. Infatti a temperatura ambiente
solo una piccola parte degli elettroni, quelli prossimi al livello di Fermi, possono acquistare energia,
perché possono transire ai livelli energetici sopra EF che sono poco occupati.
Questi elettroni debbono trovarsi entro una distanza dell’ordine di kBT da EF, perché l’energia che
possono acquisire dal reticolo è comunque di questo ordine di grandezza: la frazione di elettroni che
si trovano in queste condizioni è circa kBT / EF ≈ 0,03 eV/ 3 eV ≈ 10 -2 (dato che a 300 K kB T≈ 0,03
eV). Inoltre l’energia che questi pochi elettroni acquistano è comunque piccola rispetto all’energia
media, perché è dell’ordine di kBTcc0,03 eV.
Tenendo quindi conto che solo l’un percento circa degli elettroni possono modificare la propria
energia e che la variazione è di circa 0,03 eV, possiamo stimare che l’energia media aumenta di
circa 10-2 ⋅0,03 eV<10-3 eV.
c) Se il gas di elettroni si comportasse come un gas classico, quale sarebbe l’energia cinetica
media allo zero assoluto? E a temperatura ambiente?
Per un gas classico, l’energia cinetica media è 3/2 kBT≈ 0,04 eV a temperatura ambiente, 0eV a 0K.
d) Calcolare la densità numerica di elettroni “liberi” presenti nel metallo
nel =
8p (2 mec 2 )3 / 2 3 / 2 8 ⋅ 3,14 ⋅ (2 ⋅ 0,5 ⋅ 106 eV)3 / 2
(3 eV) 3/2 ≈ 0,2 ⋅ 1029 m -3 (Alonso, eq.6.16)
EF ≈
3
3
−7
3 ⋅ (2 p hc)
3 ⋅ (2 ⋅ 3,14 ⋅ 2 ⋅ 10 eVm )
e) Calcolare la densità numerica degli atomi di sodio presenti nel metallo e quindi il numero
medio di elettroni “liberi” per atomo
nat =
N at
cm 3
=
N at moli g
1
= N Av 0,9 ≈ 2,3 ⋅10 22 cm -3 ≈ 0,23 ⋅ 1029 m -3
3
mole g cm
23
C’è quindi circa un “elettrone libero” per atomo.
1
f) Dal valore della resistività, calcolare il tempo di rilassamento e il libero cammino medio a 300
K
ρ=
τ=
m*
nel e2τ
τ=
;
m*c 2
nele 2c 2ρ
m*c2
0,5 ⋅ 106 eV
≈
≈ 10−14s
2 2
29 −3
8
−1 2
−19
−8
−1
nel c e ρ 10 m ( 3 ⋅ 10 ms ) e ⋅ 1,6 ⋅ 10 C ⋅ 4 ⋅ 10 VsC
l = τ v F ≈ 10−11m
g) Calcolare il coefficiente termico della resistività fra 300K e 400 e spiegare come si descrive il
tasso di aumento della resistività con la temperatura nel modello di Sommerfeld in questo
intervallo di temperatura
ρ 400 = ρ300 (1 + α ( 400 − 300)) ; α ≈ 0,01 K −1
Nel modello di Sommerfeld l’aumento della resistività è dovuto all’aumento di urti contro i fononi
ed è circa proporzionale alla temperatura assoluta, essendo la temperatura maggiore della
temperatura di Debye. Tuttavia il rapporto ρ400/ρ300 sperimentalmente è 2, mentre il rapporto delle
temperature assolute è circa 1,3: ciò significa che non siamo ancora nel regime di “alta temperatura”
del modello di Sommerfeld, in cui la crescita dovrebbe essere circa proporzionale alla temperatura
assoluta, ma si è ancora in un regime in cui la crescita è più rapida, sebbene non così rapida come
alle temperature molto basse, alle quali la crescita va come T5.
Inoltre, a 300K un aumento dell’un percento per kelvin è molto alto, se confrontato con quello dei
buoni conduttori come il rame, per i quali è ≈0,004 K-1.
i) Calcolare la mobilità dell’elettrone a 300 K e la velocità in un campo elettrico esterno di 50
V/m; discutere il significato di “velocità di deriva” e spiegare la differenza fra “velocità di
deriva” e “velocità quadratica media”.
(
)2
eτ ec2τ e ⋅ 3 ⋅ 108 ms−1 10−14s
µ=
= 2 =
= 1,8 ⋅ 10−3 m2s −1V −1
6
m mc
0,5 ⋅ 10 eV
vd = µ ? = 1,8 ⋅ 10−3 m2s −1V −150Vm−1 = 0,09 ms−1
j) Assumendo che il sodio abbia una struttura cristallina cubica, calcolare le dimensioni della
cella elementare (usare la densità numerica degli atomi di Na calcolata al punto f).
La cella elementare ha un volume di circa (0,7⋅1029m-3)-1=14⋅10 -30m3 , quindi il lato della cella è
≈2⋅10-10m.
k) In uno spettro di diffrazione fatto con un fascio di raggi X di 0,154 nm (riga Kα del rame), a
quale angolo si troverà il picco di diffrazione corrispondente al piano d100? E quello
corrispondente al piano d111 ?
sin θ 100 =
λ
0,154 nm
=
= 0 ,38
2 d100
2 ⋅ 0 , 2 nm
sin θ 111 =
λ
0,154 ⋅ 3 nm
=
= 0, 66
2 d 111
2 ⋅ 0, 2 nm
; θ 100 ≈ 22 o
; θ 111 ≈ 41o
2