1.1 - Gravità Si supponga un generico punto P della Terra di massa

CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
C APITOLO 1
GEOIDE, E LLISSOIDE, COORDINATE GEOGRAFICHE
1.1 - Gravità
Si supponga un generico punto P della Terra di massa unitaria, sottoposto soltanto alla forza newtoniana F G da parte di tutte le masse elementari costituenti il pianeta e alla forza centrifuga FC dovuta alla rotazione
diurna di quest’ultimo (v. figura 1.1). Evidentemente queste forze
rappresentano accelerazioni, newtoniana e centrifuga.
z
2
G
ρ
dm
wr
g
M B
y
x
Figura 1.1 – Rappresentazione della forza di gravità
La forza newtoniana è data da:
FG = G ∫M
dm
ρ2
(1.1)
con G la costante di gravitazione universale, pari a 6.67 10 -7 (sistema
m.k.s. ) e dm una massa elementare della Terra alla distanza ρ dal punto P. L’integrazione deve essere considerata estesa a tutta la massa M
della Terra.
La forza centrifuga è espressa da :
FC = w2 r
con r la distanza del punto P dall’asse di rotazione e w la velocità angolare costante della Terra, pari a 7.29xl0-5 rad/sec, essendo il giorno sidereo, durata della rotazione terrestre, uguale a 23h 56m O4.09s di tempo
medio (86164 s).
1
MARIO VULTAGGIO
La risultante di queste due forze viene denominata forza di gravità
(Fg) e la direzione su cui agisce è nota col nome di verticale, direzione
materializzata dal filo a piombo.
Si ha:
Fg = FG + FC
Nel punto P il potenziale newtoniano è dato da:
VG = G ∫
M
dm
ρ
(1.2)
e quello relativo alla forza centrifuga da:
VC =
1 2 2
w r
2
Il potenziale della gravità per la (1.1) risulta:
Vg = VG + VC
(1.3)
per cui può scriversi:
Fg = ∇ V g = ∇V G + ∇ VC = FG + FC
Il potenziale newtoniano e le sue derivate prime, rispetto a qualsiasi direzione, sono funzioni finite e continue in ogni punto dello spazio ed all'interno della Terra; per i punti esterni alla terra il potenziale è continuo
e derivabile anche per le derivate di ordine superiore al secondo. Per
questi ultimi punti vale l'equazione di Laplace:
∇ 2VG =
∂ 2VG ∂ 2VG ∂ 2VG
+
+
=0
∂x 2
∂y 2
∂z 2
e per quelli interni alla Terra viene soddisfatta l’equazione di Poisson:
∇ 2VG = −4πGδ
(1.4)
con δ il valore della densità nel punto considerato.
Il potenziale relativo alla forza centrifuga, le sue derivate di primo e
secondo ordine, rispetto a qualunque direzione, sono funzioni finite e
continue; quelle di ordine superiore sono identicamente nulle. Per questo potenziale si verifica sempre:
∇ 2VC = 2w 2
2
(1.5)
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
Pertanto, il potenziale della gravità e le sue derivate prime, rispetto a
qualsiasi direzione, sono funzioni finite e continue all'interno ed
all’esterno della Terra; le derivate seconde sono lo stesso ovunque finite e continue ad eccezione dei punti appartenenti alla superficie terrestre. All’esterno della Terra si ha:
∇ 2V g = 2w2
mentre all'interno:
∇ 2Vg = 2w 2 − 4πGδ
La discontinuità subita da ∇ 2Vg nell’attraversamento della superficie
terrestre ha valore di 4πGδ . Le superfici equipotenziali di gravitaI Vg =
cost sono chiuse, convesse e distinte, nell’interno della Terra ed all'esterno a questa, fino ad una distanza dal suo centro di 5-6 volte il raggio
terrestre.
Per ogni punto, in tale spazio, passa una sola superficie equipotenziale di gravità, detta anche superficie di livello e la verticale relativa al
punto è normale alla superficie; non esiste, inoltre, alcuna coppia di
punti di una superficie equipotenziale di gravità anche se molto vicini,
nei quali le rispettive verticali risultano parallele. Ogni punto della superficie è caratterizzato da una ben definita verticale; ogni verticale definisce un punto ed uno solo della superficie (corrispondenza biunivoca).
Gli inviluppi delle verticali individuano le linee di forza della gravità:
la tangente in un loro punto definisce la direzione della verticale e quindi della forza di gravità.
1.2 - Coordinate geografiche
Alla verticale, il cui senso positivo è quello che dal basso porta verso
l’alto, contrario cioè a quello della caduta dei gravi, sono legati due serie di piani tra loro perpendicolari: i piani orizzontali e que11i verticali;
i primi sono normali alla verticale ed i secondi la contengono.(v. figura
1.2). Il piano orizzontale passante per il centro della Terra è detto orizzonte astronomico o vero.
Il prolungamento della verticale incontra la sfera celeste (sfera immaginaria sulla quale vengono proiettati gli astri) in due punti detti zenit e
nadir; lo zenit è definito dalla direzione orientata della verticale.(v. figura 1.3)
3
MARIO VULTAGGIO
Figura 1.2 – Rappresentazione del piano orizzontale e verticale; definizione delle coordinate geografiche sull’ellissoide.
Come è noto, gli estremi dell’asse di rotazione della Terra sono detti poli; dei due il polo nord Pn è quello in cui una persona posta su di esso
vede ruotare il pianeta nel senso diretto o antiorario, l’altro è detto polo
sud Ps.
Prolungando l’asse terrestre si ottiene l'asse celeste (o asse del mondo) che incontra la sfera celeste in due punti detti rispettivamente polo
celeste nord e polo celeste sud; quello nord è individuato approssimativamente dalla stella polare. Il polo celeste che si trova al di sopra
dell’orizzonte astronomico è detto polo celeste elevato.
I poli celesti, come le stelle, possono essere considerati punti
all’infinito, per cui le visuali condotte ad essi dai punti della superficie
terrestre risultano tutte parallele all’asse terrestre o meglio all'asse celeste.
Per un qualsiasi punto della superficie terrestre e dello spazio ad essa
adiacente fino a che le superfici equipotenziali di gravità si mantengono
completamente convesse e chiuse, le due direzioni testé definite, quella
della verticale e quella relativa al polo celeste elevato, sono di primaria
importanza e ciò verrà gradualmente chiarito nel proseguimento di questo capitolo.
Il piano contenente queste due direzioni dicesi piano meridiano geografico o astronomico, comunemente denominato piano meridiano, da
non confondere col piano meridiano geometrico, piano passante per
4
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
Figura 1.3 – Rappresentazione della sfera celeste
l’asse dei solidi di rotazione quali la sfera o l'ellissoide (la curva piana
risultante dall’intersezione del piano meridiano geometrico con la superficie di questi solidi è chiamata meridiano geometrico: una circonferenza massima nel caso della sfera, un'ellisse nel caso dell'ellissoide).
Il piano meridiano è anche un piano verticale e quindi normale ai
piani orizzontali; il piano verticale normale al piano meridiano prende il
nome di primo piano verticale.
Il piano meridiano relativo all'osservatorio astronomico di Greenwich
viene considerato dal 1884 quale piano meridiano fondamentale, che
divide la Terra in due parti, orientale ed occidentale; orientale quella situata sulla destra di un osservatore che dall’osservatorio guarda il polo
celeste elevato (Pce).
E' chiaro che un punto nello spazio è definito da tre coordinate; ne
bastano però due se esso appartiene ad una data superficie; tra le coordinate ed il punto c'è evidentemente corrispondenza biunivoca.
Tanto premesso, si definisce latitudine geografica φ di un punto della
superficie considerata tutta convessa ed assimilabile ad una superficie
equipotenziale di gravità o quella di una sfera o di un ellissoide di rotazione (superfici che saranno tra breve prese in considerazione),
l’angolo che la direzione del polo celeste elevato forma col piano orizzontale passante per il punto, angolo contato nel piano del meridiano
del punto da 0°a 90°, dal piano orizzontale verso la direzione del polo
celeste elevato, nord se il polo celeste elevato è quello settentrionale,
sud se il polo celeste elevato è quello meridionale. La latitudine è ugua5
MARIO VULTAGGIO
le anche all'angolo che la verticale del punto forma col piano perpendicolari all'asse terrestre. Il complemento della latitudine, l’angolo cioè
compreso tra la verticale del punto e la direzione al polo celeste elevato,
viene denominata collatitudine (c).
La seconda coordinata del punto è la longitudine geografica ( λ ), angolo diedro compreso tra il piano meridiano fondamentale (Greenwich) e
quello del punto, contato da 0° a 180° a partire dal piano meridiano
fondamentale verso il punto, est se il punto si trova nella parte orientale
della Terra, ovest se il punto si trova nella parte occidentale.
Non sfugge il significato prettamente astronomico di queste due coordinate, donde la loro deno minazione anche di coordinate astronomiche.
v
Pn
φ
n
c
φ
O
G
φ
C
λ
Ps
Figura 1.4 – Definizione delle coordinate geografiche sull’ellissoide.
1.3 – Il geoide
Se per un istante supponiamo che i punti materiali della terra sono soltanto soggette alla forza gravitazione e centrifuga, allora i punti si dispongono su una superficie matematica il cui solido non geometrico fu
chiamato Geoide da Listing.
Il geoide di equazione (1.3), qui di seguito esplicitato:
6
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
Vg (x, y, z ) = VG ( x, y , z) + VC ( x, y, z ) = G ∫M
dm w 2 2
+
(x + y 2 )
ρ
2
rappresenta la superficie perfetta di riferimento per la Terra, perché la
sua normale, coincidente con la verticale, è fisicamente determinabile in
ogni punto della Terra. Il Geoide, però, non è esprimibile per mezzo di
una equazione matematica semplice; al contrario, essa è assai complessa
tanto che la sua equazione non può essere espressa da una forma matematica chiusa e per di più non si è in grado di determinarla esattamente.
Una superficie di livello che si avvicina al Geoide è quella del livello
del mare a condizione che:
• tutti i mari siano in comunicazione fra loro;
• non ci sia l’azione perturbatrice di altri corpi extra terrestri;
• non ci siano differenze di pressione, di temperatura, di densità
ed altri fenomeni fisici che danno origine a venti e correnti.
Con queste ipotesi ogni punto di questa superficie ed in ogni istante sussistere un perfetto equilibrio delle forze che lo sollecitano per cui le molecole d'acqua conservano permanentemente immutata la loro posizione
reciproca e non sono soggette a movimenti: superficie di equilibrio che
si identifica con una superficie equipotenziale di gravità relativa coincidente con il livello medio del mare.
Se la Terra fosse omogenea, il Geoide avrebbe la forma di un ellissoide
di rotazione schiacciato ai poli; in realtà, a causa dell’ineguale distribuzione delle masse all'interno di essa e sulla sua superficie, la configurazione di equilibrio della superficie delle acque presenta delle irregolarità
onde la vera forma del geoide si discosta, ma non molto, da quella
dell’ellissoide come tracciata simbolicamente in figura 1.5.
Figura 1.5 – Rappresentazione del Geoide, dell’Ellissoide e della superficie della Terra
7
MARIO VULTAGGIO
La (1.3), riferita al livello medio del mare, esprime l'equazione del geoide:
Vg o = VG + VC
o
(1.6)
o
espressione puramente simbolica, in quando non è possibile il calcolo di
VGo (potenziale gravitazionale) per la mancanza della conoscenza della
densità in ogni punto della Terra. Ne segue, per quanto già accennato,
che in ciascun punto della superficie del geoide, totalmente convessa, la
verticale si confonde con la normale alla superficie; il piano orizzontale
passante per il punto è anche piano tangente alla superficie. Inoltre, per
due punti, anche se infinitamente vicini, le verticali non sono parallele:
tra i punti e le rispettive verticali esiste una corrispondenza biunivoca.
Dei punti della superficie geoidica, considerando in essi le direzioni
della verticale e del polo celeste elevato, è possibile definire, come indicato nel precedente paragrafo, le due coordinate geografiche, la latitudine (φ ) e la longitudine (λ ) (v. figura 1.6).
Asse di rotazione
della Terra
Perpendicolare
al Geoide
Po
Asse
dell’ellissoide
Perpendicolare
dell’ellissoide
P’o
Punto di emanazione
Ellissoide
Geoide
P1
Centro della
Terra
α
V
N
Deviazione
della verticale
Latitudine astronomica
Latitudine geografica
Centro dell’ellissoide
Figura 1.6 – Latitudine geografica sul geoide
Se si uniscono tutti i punti del geoide aventi la stessa latitudine si ottiene una curva, in generale non piana, detta linea di uguale latitudine; la
linea relativa alla latitudine nulla viene chiamata equatore: in ogni suo
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CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
punto le direzioni ai due poli celesti giacciono nel piano orizzontale
(non esiste polo celeste elevato).
Vi sono due punti del geoide nei quali la verticale coincide con la direzione al polo celeste elevato; in essi la latitudine geografica è 90°.
Questi punti, detti poli astronomici, risultano poco distanti da quelli fisici, estremi dell'asse di rotazione, asse che non risulta perpendicolare
alla superficie geoidica.
Similmente se si uniscono i punti del geoide aventi la stessa longitudine si ottiene una curva, in genere lo stesso non piana,detta linea di uguale longitudine; tutte le linee di uguale longitudine convergono nei
poli astronomici.
Si traccino, ora, a partire dal centro di una sfera di raggio arbitrario (la
sfera è la più semplice superficie convessa in geometria) le parallele alle
direzioni orientate delle verticali dei punti del geoide; ciascuna di queste
parallele intersecherà la superficie della sfera in un ben determinato
punto per cui ogni punto della superficie geoidica ha il suo corrispondente su quella sferica; il trasporto dei punti del geoide sulla sfera fornisce la sfera rappresentativa delle verticali del geoide o più semplicemente il globo geografico. La seconda dizione trova giustificazione nel
fatto che, essendo le direzioni uscenti dal centro della sfera (le verticali)
perpendicolari alla sua superficie, vengono conservate nei punti di questa le coordinate geografiche dei rispettivi punti del geoide. Di tanto ci
si può rendere facilmente conto osservando le figure 1.7a e b, che rappresentano rispettivamente il geoide ed il globo geografico.
Figura 1.7 – Coordinate geografiche sull’ellissoide
e sfera delle latitudini
Sul geoide, il cui asse di rotazione è indicato dal segmento Pn C, G rappresenta l'osservatorio di Greenwich e P1 un punto qualunque che per
comodità viene fatto capitare sul piano del foglio; i rispettivi punti sulla
sfera sono Gl ed P1' , ottenuti tracciando dal centro C le parallele alle di9
MARIO VULTAGGIO
rezioni delle verticali dei punti G ed P1. Tracciando per C la parallela a
Pn C si ottiene l’asse di rotazione della sfera (Pn1C); con la stessa costruzione sono individuati i punti P2 e P3.
Dalle due figure facilmente si nota che nei punti della sfera sono conservate le latitudini geografiche dei rispettivi punti del geoide e che i
piani meridiani dei punti della sfera risultano paralleli a quelli dei rispettivi punti del geoide per cui c'è anche conservazione delle longitudini. Sulla sfera, poi, i piani meridiani passano per l’asse di rotazione
onde coincidono con quelli geometrici, intersecando la superficie secondo curve piane, delle circonferenze massime, denominate, come già
precedentemente accennato, meridiani, luoghi questi di uguale longitudine. Sul geoide i piani meridiani non passano per l’asse di rotazione
non essendo esso un solido di rotazione.
Non sfugge che sulla sfera i luoghi di uguale latitudine sono anch’essi
curve piane, delle circonferenze minori, ottenute dall’intersezione con la
sfera di piani perpendicolari all’asse di rotazione Pn1 Ps1 ; questi luoghi
vengono chiamati paralleli. per il fatto che i loro piani generatori sono
tra loro paralleli. Tra questi piani quello che passa per il centro della
sfera interseca la sua superficie secondo una circonferenza massima detta equatore, luogo dei punti di latitudine geografica nulla, che divide la
sfera in due emisferi, emisfero nord quello che ha per polo il polo nord,
emisfero sud quello che ha per polo il polo sud. Analogamente, il piano
meridiano di Greenwich divide la sfera in due emisferi, orientale ed occidentale , come già precedentemente accennato.
Prestando attenzione alla fig. 1.7b risulta che la latitudine di un punto
può essere definita quale angolo d'inclinazione della verticale del punto
sul piano dell’equatore, contato nel piano meridiano da 0° a 90°, oppure
quale arco del meridiano passante per il punto, compreso tra il piede del
meridiano sull’equatore ed il punto, sempre da 0° a 90°, nord o sud, secondo che il punto si trovi nell’emisfero settentrionale o in quello meridionale (caso di sfera terrestre di raggio unitario). La longitudine di un
punto può anche essere definita quale arco di equatore, minore di 180°,
compreso tra il piede del meridiano di Greenwich e quello passante per
il punto, intendendo per piede di un meridiano la sua intersezione con
l’equatore, contata da 0° a 180°, est o ovest secondo che il punto si trovi
nell’emisfero orientale o occidentale.
1.4- Ellissoide terrestre
Il geoide, come già accennato, si avvicina molto, ad un ellissoide di rotazione il cui asse minore rappresenta l’asse dei poli (l’asse di rotazio10
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
ne). Non combaciando perfettamente le loro superfici, vi sono punti, in
verità pochi, della superficie ellissoidica in cui la direzione della verticale coincide con quella della normale alla superficie, mentre in altri, la
maggior parte, non si verifica la coincidenza, formando le due direzioni
un angolo che al massimo raggiunge il valore di 30" (valore medio circa
10" d' arco); quest' angolo viene denominato angolo di deviazione (o di
deflessione) della verticale (c). La sostituzione dell’ellissoide al geoide
viene fatta alle seguenti condizioni:
• coincidenza del baricentro dell’ellissoide con quello del geoide;
• minimizzazione dell’integrale, esteso all'intera superficie,
dell’ellissoide, dello scarto quadratico medio dell'angolo di deviazione della verticale.
La superficie del geoide si estende generalmente al di sopra di quella
dell’ellissoide nelle zone in cui la densità della crosta terrestre è maggiore (continenti) , al di sotto dove la densità è minore (oceani); nei
punti in cui le due superfici si intersecano risulta massimo l’angolo di
deviazione della verticale (v. figura 1.5)
L'equazione di un ellissoide di rotazione riferito ai suoi assi (terna cartesiana con origine nel suo centro e l'asse delle z secondo il suo asse minore) è data da (v. figura 1.8)
x2 + y 2 z 2
+ 2 =1
a2
b
(1.7)
a e b rispettivamente il semiasse maggiore e minore dell’ellisse generatrice e quindi dell’ellissoide stesso. Per definire un ellissoide sono necessari due parametri; per definizione,un ellissoide internazionale è definito dal semiasse maggiore e dallo schiacciamento f. Esistono, inoltre
fra i parametri geometrici di un ellissoide le seguenti relazioni:
f =
a −b
a
(
e2 =
,
b2 = a2 1 − e2
)
,
a 2 − b2
a2
(1.8)
e2 = 2 f − f 2
La normale in un punto della superficie dell’ellissoide giace nel piano
meridiano geometrico o ellissoidico passante per esso, piano che generalmente non coincide col piano meridiano geografico o astronomico
per la presenza dell’angolo di deviazione della verticale. Di quest'angolo vengono considerate le sue componenti secondo il piano meridiano
ellissoidico ed il piano ad esso normale, dette rispettivamente compo11
MARIO VULTAGGIO
nente nord -sud (ε φ ) e componente est - ovest (ε λ ) angoli in verità molto piccoli.
Come già detto, i piani meridiani geometrici intersecano la superficie
dell’ellissoide secondo delle ellissi, dette ellissi meridiani; i piani normali all’asse di rotazione (asse minore) intersecano la superficie secondo delle circonferenze minori dette paralleli; di questi piani quello che
passa per il centro della Terra genera l’equatore che divide la Terra in
due semi ellissoidi, semi ellissoide nord e semi ellissoide sud.
z
PN
V
n
G
b
P
Ψ
O
A'
φ
a
λ
A
y
x
PS
Figura 1.8- Ellissoide di rotazione
Di un punto dell'ellissoide,vengono definite tre latitudini:
• latitudine geocentrica (Ψ ): angolo che la congiungente centro
Terra-punto (raggio vettore) forma col piano dell’equatore;
• latitudine ellissoidica ( φe ): angolo che la normale alla superficie
nel punto forma col piano dell’equatore.
• latitudine geografica o astronomica ( φ ): angolo che la verticale
nel punto forma col piano dell’equatore.
Le prime due latitudini, la geocentrica e l’ellissoidica, vengono contate
nel piano meridiano ellissoidico del punto; la latitudine ellissoidica e
quella geografica differiscono per la componente nord-sud dell’angolo
di deviazione della verticale.Del punto in considerazione si definisce
12
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
longitudine ellissoidica (λe ) l’angolo diedro, minore di 180° compreso
tra il piano meridiano ellissoidico di Greenwich e quello del punto; questa longitudine differisce da quella geografica o astronomica per le
componenti est-ovest degli angoli di deviazione della verticale relativi
all’osservatorio di Greenwich ed al punto considerato.
A seconda della posizione del punto, in riferimento al piano equatoriale, le latitudini sono nord o sud o negative; in riferimento al piano del
primo meridiano, le longitudini sono est o ovest.
Per la precisione nautica, dato l'esiguo valore di ε , può ritenersi la
verticale coincidente con la normale alla superficie, anch' essa, quindi,
nel piano meridiano ellissoidico, che diventa pertanto piano meridiano
geografico; con questa semplificazione si può porre la seguente condizione:
φ e = φ e λe = λ
(1.9)
e l’angolo tra il raggio vettore e la normale alla superficie è detto angolo
alla verticale (V) dizione questa giustificata dalla coincidenza testé accennata. Risulta, allora,
V = φ −ψ
(1.10)
Della terna di assi cartesiani relativa all’equazione (1.7), con origine nel
centro della Terra, si consideri l’asse z orientato verso il polo nord e gli
assi x ed y nel piano equatoriale con l’asse x orientato verso l’origine
delle longitudini.
Del punto P, di coordinate (φ, λ ) , si vogliono trovare le espressioni delle sue coordinate rettangolari cartesiane. Dalla detta figura 1.8 risulta :
x = r cos λ , y = rsin λ
(1.11)
con r raggio del parallelo.
Per la terza coordinata (z) occorre tener presente l’equazione dell’ellisse
meridiana:
r 2 z2
+ =1
a2 b2
(1.12)
dalla quale si ricava:
z 2 = (1 − e2 )(a 2 − r 2 )
(1.13)
Essendo che un generico punto ha coordinate (r,z), l’ellisse meridiana
può essere espressa dall'equazione:
13
MARIO VULTAGGIO
z = f (r )
Dalla figura 1.9 si può osservare che la tangente di un generico punto
P(r,z) è legata alla latitudine di P:
dz
π

= tan  + φ  = − cotφ
dr
2

(1.14)
z
r
P(r, z)
z
F'
ae
O
90+f
f
r
F
Figura 1.9 – Ellisse meridiana
Differenziando la (1.12) si ha:
2r
2z
dr + 2 dz
2
a
b
dz
2 r
= − (1 − e ) = − cot φ
dr
z
0=
(1-15)
Combinando l'equazione dell'ellisse meridiana con la seconda delle
(1.15) si ottiene il seguente sistema:

2
(1 − e )rsenφ = z cosφ

r2 z 2

+ =1

a2 b2
Ricavando l'espressione di r e sostituendola nell'equazione dell'ellisse
meridiana si ha:
14
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
z 2 cos2 φ
z2
+ 2
=1
2
2
a 2 (1 − e2 ) sen2φ a (1 − e )
z 2 [cos2 φ + sen2ϕ ] - e2 z 2sen2φ = a 2 (1 − e 2 ) sen2φ
2
z 2 [1 − e2 sen2φ ] = a 2 (1 − e2 ) sen2φ
z 1 - e2 sen2φ = a(1 - e 2 )senφ
2
dalle quali si ricavano la relazione di z e successivamente quella di r:

 z=



 r=


N =

(
)
a 1 − e 2 sen φ
1 − e sen φ
a cosφ
2
2
1 − e 2 sen 2 φ
a
(
)
= N 1 − e 2 sen φ
= N cosφ
Gran normale
1 − e sen φ
2
2
(1.16)
Inoltre, essendo il piano meridiano ruotato dell’angolo diedro λ rispetto
al piano meridiano passante per Greenwich, allora è possibile ricavare
le coordinate cartesiane rettangolari:
cos φ cos λ
x=a
1 − e 2 sen 2φ
cos φ senλ
= N cos φ cos λ , x = (N + h ) cos φ cos λ
= N cos φsenλ , y = ( N + h) cos φsenλ
1 − e 2 sen 2φ
a 1 − e 2 senφ
z=
= N 1 − e 2 senφ , z = N 1 − e 2 + h senφ
2
2
1 − e sen φ
y=a
(
)
(
)
( (
) )
(1.17)
nelle quali è stata considerata anche la quota geometrica ellissoidica h
del punto generico.
La longitudine λ e la latitudine φ si possono ricavare direttamente
dalle (1.17) ; la longitudine λ si ricava dal rapporto della seconda per la
prima delle (1.17):
 y
λ = tan −1  
 x
15
MARIO VULTAGGIO
la latitudine si ricava per iterazione ponendo h=0:

2
1 
φo = tan −1 2
 x + y 2 1 − e2 


con la quale si ricava il raggio del parallelo ro, l’altezza h e per iterazione la latitudine φ :
ro = No cosφo ,
h o cosφ o = x 2 + y 2 − ro

z
No + ho
φ1 = tan −1  2
 x + y 2 N o (1 − e2 ) + ho





In molti casi, dato il punto in coordinate rettangolari (x, y, z), è sufficiente una iterazione per calcolare (φ, λ, h).
1.5 - Raggio di curvatura dell'ellisse meridiana
Data la funzione z = f (r ) , il suo raggio di curvatura è dato da:
3
  dz  2  2
1 +   
  dr  
ρ=
d2z
dr 2
(1.18)
Riprendendo la derivata (1.17) e ricavando la derivata seconda di
z = f (r ) e sostituendole nella relazione (1.20) si ha:
(
d 2z
= − 1 − e2
2
dr
)
dz
dr ;
2
z−r
z
(
ponendo
)
W = 1 − e2 sen 2φ
a 1 − e 2 senφ a cosφ
+
cot φ
W
W
= − 1− e2
2
a 2 1 − e 2 sen 2φ
W2
(
)
(
)
16
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
(
)
 a 1 − e 2 sen φ

a cos 2 φ
W2
= − 1 − e2 
+

2
1 − e 2 sen 2φ senφ  a 2 1 − e2 sen 2φ
 1 − e 2 sen2φ senφ
(
)
(
)a (cos
= − 1 − e2
2
φ + sen 2φ − e 2 sen 2φ
1 − e 2 sen 2φ senφ
(
)⋅
)
1 − e 2 sen 2φ
(
)
2
a 2 1 − e 2 sen 2φ
a(1 − e sen φ )(1 − e sen φ )
= −(1 − e )
a (1 − e ) sen φ 1 − e sen φ
[1 − e sen φ ]
=−
a(1 − e )sen φ
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
3
2
1
 dz 
1 +   = 1 + cot 2 φ =
sen2φ
 dr 
3
  dz 2  2
1
1 +    =
sen3φ
  dr  
Sostituendo le relazioni trovate nell'espressione del raggio di curvatura si ha:
1
sen3φ
ρ=
−
[1 − e sen φ ]
a(1 − e )sen φ
2
3
2
2
2
=−
a(1 − e2 )
[1 − e sen φ ]
2
2
3
2
(1.19)
3
Il segno meno della (1.19) dimostra che l'ellisse meridiana volge la concavità verso il centro del sistema di riferimento.
Sull’ellissoide, tra arco di parallelo ed il suo simile arco di equatore
sussiste la seguente relazione:
AB r
cosφ
= =
A1 B1 a
1 − e2 sin 2 φ
Osserviamo, inoltre, che la gran normale N ed il raggio di curvatura del
meridiano ρ dipendono solo dalla latitudine. E’ importante trovare quale dei due è il massimo e quale il minimo e valutare anche le differenze.
Passiamo, quindi, al calcolo dell’espressione:
17
MARIO VULTAGGIO
N -ρ
ρ
e 2 cos2 φ
= 1- =
N
N 1 - e2 sin 2 φ
Inoltre potendo esprimere N in termini di ρ:
ρ=N
(1 − e )
2
(1 - e
2
sin φ )
2
e ∀φ ≥ e 2 sin2 φ
ovvero ∀φ (1 - e2 ) ≤ 1 − e 2 sin 2 φ
1− e2
= K ≤1
, ρ = KN
1 - e 2 sin 2 φ
e=0
,
ρ =N=R =a
,
∀φ ρ ≤ N
Queste relazioni, assegnano N - ρ ≥ 0 per cui N, detta gran normale,
rappresenta il massimo raggio di curvatura delle sezioni normali; la differenza varia al variare della latitudine: è massima all’equatore e nulla
ai poli ( infatti ai poli le sezioni normali coincidono con i meridiani e
quindi sono tutte uguali); la differenza massima è dell’ordine di e 2 e
circa il doppio dello schiacciamento geometrico f.
In molte applicazioni è utile esprimere in ogni punto della superficie
un valore medio della curvatura; esso può essere definito come l’inverso
del prodotto della gran normale e della raggio di curvatura del meridiano:
1
(1 - e2 sin 2 φ ) 2
C=
=
Nρ
a 2 (1 - e2 )
la cui radice quadrata esprime la curvatura di Gauss e la sfera di raggio
R tangente al punto considerato.
a 1- e2
R = ρN =
1 - e2 sin 2 φ
(1.20)
prende il nome di sfera locale, come già introdotta nei capitoli precedenti.
1.6 – Parametri dell’ellissoide terrestre
Come già precedentemente affermato, bastano soltanto due parametri
per definire un ellissoide di rotazione: l’Unione Geodetica e Geofisica
Internazionale (U.G.G.I.) stabilì nel 1924 di assumere quale ellissoide
18
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
terrestre internazionale quello calcolato da Hayford nel 1909, definito
dai due seguenti parametri:
a = 6378388 [m] e f =
1
297
calcolando i seguenti parametri con le relazioni geometriche gia fornite:
b = 6356912 [m] ed e = 0.082
La stessa Unione, al congresso di Lucerna del 1967, segnalò anche l'ellissoide adottato sin dal 1964 dall'Unione As tronomica Internazionale
(U.A.I.), caratterizzato dai parametri:
a= 6378160 m , f = 1/298.25
Molti paesi, in prevalenza europei tra i quali l'Italia, hanno utilizzato per
gli usi cartografici l’ellissoide di Hayford orientato in un ben definito
punto del geoide detto datum.
L'ellissoide viene considerato tangente al geoide nel quale è nullo
l'angolo di deflessione della verticale, ed orientato in modo da avere
l'asse minore parallelo all'asse medio di rotazione terrestre (si tiene conto del lieve fenomeno dell'oscillazione dell'asse polare, che genera la
polodia).
Il datum è quasi sempre individuato da un osservatorio astronomico
del quale si conoscano con estrema precisione le coordinate astronomiche o geografiche φ , λ e l’elevazione sul livello medio del mare h. I
paesi europei che adottano l'ellissoide di Hayford hanno convenuto di
assumere per datum l'osservatorio di Potsdam; la cartografia italiana è
stata costruita con un ellissoide locale noto come Roma40 con il datum
coincidente con l’osservatorio astronomico di Monte Mario (Roma)
Fra i tanti ellissoidi terrestri proposti, oltre i due già citati, vengono riportati i seguenti:
Tabella 1.1 - Parametri di alcuni Ellissoidi internazionali
Anno
Bessel
Clarke
Helmert
Hayford
ED50
WGS72
WGS84
1841
1880
1906
1909
1909
1967
1980
Semi asse
maggiore
6377397.115
6378243.000
6378140.000
6378388.000
6378388.000
6378135.000
6378137.115
19
schiacciamento
eccentricità
1:299.2
1:299.5
1:298.3
1:297.0
1:297.0
1:298.258
1:298.257
0.081673374
0.081693389
0.081813334
0.081991889
0.081991889
0.081819084
0.081819221
MARIO VULTAGGIO
Il piccolo valore dello schiacciamento (o dell’eccentricità) dell'ellissoide terrestre porta a considerare la Terra di forma sferica, semplificando
di conseguenza molti calcoli, specialmente di Navigazione.
La scelta del raggio della sfera terrestre si basa sulla sostituzione:
• dell'ellissoide con una sfera di uguale volume;
• dell’ellissoide di uguale superficie ;
• dell’ellissoide con una sfera il cui raggio risulti uguale alla media
aritmetica delle tre dimensioni dell'ellissoide.
Nel primo caso, per ottenere il raggio della sfera terrestre, basta uguagliare le espressioni per il calcolo dei volumi della sfera e dell'ellissoide:
4
Vsfera = π R3
3
4
V ellissoide= π a 2b
3
,
(1.21)
per cui, si può ottenere il raggio della sfera avente lo stesso volume
dell’ellissoide considerato:
R = 3 a2b
(1.22)
Nel secondo caso, essendo le espressioni delle superfici:
Ssfera = 4π R2
 a + a2 − b 2
Sellissoide = 2πa +
ln
2
2
b
a − b 
2
2πab2




(1.23)
si ha:
R=
 a + a2 − b2
a2
ab2

+
ln
2 2 a 2 − b2 
b




(1.24)
Infine, nel terzo caso: .
R=
a + a + b 2a + b
=
3
3
(1.25)
I raggi, considerando l’ellissoide terrestre internazionale, risultano rispettivamente:
6371221.266 m, 6371227.709 m e 6371229.315 m.
20
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
Assegnando al globo geografico uno di questi raggi si ottiene la sfera
terrestre, sfera che conserva al pari del globo le coordinate geografiche
dei punti del geoide. Per inciso, si vuol ricordare che una sfera che conserva le latitudini geografiche del geoide è detta sfera di Gauss: il globo
e la sfera terrestre sono pertanto sfere di Gauss.
Le coordinate di un punto della superficie della sfera terrestre rispetto
alla solita terna cartesiana (fig. 1.10) sono date da:
x = R cosφ cos λ
y = R cosφ sin λ
z = R sin φ
(1.26)
P
N
C
B
P
G
A
R
φ
C
λ
PS
Figura 1.10 - Sfera terrestre e coordinate geografiche
con r = R cosφ il raggio del parallelo del punto A considerato.
Note le coordinate cartesiane è oltremodo semplice ottenere le corrispondenti geografiche; infatti dalla terza delle (1.26) si ricava φ e dividendo membro a membro la seconda per la prima si ottiene λ :
z
φ = sin−1  
R
,
 y
λ = tan −1 
 x
Tra arco di parallelo e simile arco di equatore esiste il seguente rapporto:
AB
r
= = cosφ
A1 B1 R
21
(1.27)
MARIO VULTAGGIO
Consideriamo ora i lati di un triangolo infinitesimo sulla sfera terrestre:
AB = ds , AC = Rdφ , CB = R cosφdλ
(1.28)
per cui è possibile calcolare la lunghezza dell’arco AB:
ds = R 2dφ 2 + R 2 cos2 φdλ2
tan α =
dA =
dλ
cosφ
dφ
(1.29)
1 2
R cosφdφdλ
2
(1.29)
1.7- Coordinate isometriche
Siano A e B due punti sulla superficie ellissoidica infinitamente vicini
non situati ne sullo stesso parallelo ne sullo stesso meridiano; il parallelo del punto B interseca il meridiano di A nel punto C. Congiungendo A
con B si definisce un triangolo infinitesimo, rettangolo in C e mistilineo
(v. fig. 1.11) i cui lati sono dato da:
C
C
rdλ
rdλ
B
ρ dφ
α
B
rdv
ds
A
α
ds
A
Figura 1.11 – Triangolo infinitesimo e sua rappresentazione sul piano
AB = ds
arco di distanza
AC = dM = ρdφ
CB = rdλ
arco di meridiano
arco di parallelo
con ρ ed r raggio di curvatura del meridiano e del parallelo.
Considerando il triangolo ABC piano si ricavano le tre seguenti relazioni:
22
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
ds 2 = ρ 2 dφ 2 + r 2dλ2
r dλ
ρ dφ
tan α =
dA =
(1.30)
1
rρdφdλ
2
(1.31)
Si può osservare che nella (1.30), per dλ = 0 si ottiene lo scostamento
infinitesimo sul meridiano per una variazione infinitesima dφ , dato da:
dsm = ρdφ
e per d φ = 0 si ha lo spostamento infinitesimo sul parallelo per una variazione infinitesima di λ :
ds p = rdλ
Orbene, per dφ = dλ cioè per uguali variazioni infinitesime delle due
coordinate, non si hanno uguali spostamenti infinitesimi sulle due linee
coordinate dell’ellissoide: le coordinate φ , λ non sono isometriche; e
ciò vale anche per la sfera, essendo per la (1.29):
dsm = Rdφ
ds p = R cosφdλ
,
Occorre, allora, definire una nuova latitudine che sia isometrica con la
longitudine λ , sia per ellissoide che per la sfera. Questa proprietà si ottiene mettendo in evidenza r 2 nella (1.30):
 ρ2

ds 2 = r 2  2 dφ 2 + dλ2  = r 2 (dv2 + dλ2 )
r

con
dv =
ρ
dφ
r
(1.33)
risultando con dv = dλ uguali i due elementi lineari per parallelo e meridiano
dsm = ds p = rdλ = rdv
La nuova coordinata v data dall’equazione differenziale (1.33) e la longitudine sono pertanto due coordinate isometriche; v è detta latitudine
crescente ed è indicata in navigazione anche col simbolo φc . Passiamo
ora al calcolo di v
23
MARIO VULTAGGIO
1.7.1- Latitudine isometrica – Calcolo dell’integrale
v=∫
ρ
dφ
r
con ρ =
a (1 − e 2 )
(1 − e
2
sin 2 φ )
3
,r =
a cosφ
(1 − e
2
sin 2 φ )
ρ 1− e2
dφ
=
r cosφ 1 − e2 sin 2 φ
il rapporto, considerando identità trigonometrica, può essere scritto nel
seguente modo:
φ
1− e2
dφ
1 − e 2 (sin 2 φ + cos2 φ )dφ
v=∫
=∫
2
2
1 − e2 sin 2 φ
0 cos φ 1 − e sin φ
0 cos φ
φ
φ
1 − e2 sin φ
e 2 cos2 φ
v=∫
−∫
dφ
2
2
2
0 cos φ (1 − e sin φ )
0 cosφ (1 − e sen φ )
φ
φ
dφ
cosφdφ
v=∫
− e2 ∫
2
2
0 cos φ
0 (1 − e sen φ )
φ
che può essere diviso in due integrali:
Calcolo del primo integrale:
dφ
∫0 cosφ = ∫0
φ
φ
a
dφ
= −∫
p

p
0
sin − φ 
sin
2

4
φ
a
da
= −∫
0 sin a cos a
0
v = −∫
p φ
d − 
p φ
 4 2
,a= −
φ p φ
4 2
−  cos − 
2  4 2
1
da
a
d (tan a )
cos2 a
= −∫
= − log(tan a ) + C
sin a
tan a
0
cos a
p

v = log tan −1 a = log cot a = log tan  − a  =
2

 p  p φ 
p φ
= log tan  −  −  = log tan  +  + C
4 2
 2  4 2 
Calcolo del secondo integrale:
24
(1.34)
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
φ
α
cosφdφ
d (sin φ )
dα
−e ∫
=
−
=
−
con α = sin φ
2
2
∫
∫
1
1
2



0 (1 − e sin φ )
0
0 1
− sin φ
 − α  + α 
e2
e
 e

φ
2
 1
 1



A − α  B + α  
 A

α
B
 e
 dα =
dα = ∫   e
= −∫ 
+
1
1

1
1

0
0
− α 
+α
−α 
 +α

e
e

e
 e

α
e
1

1

 −α  A +  − α B =1 , A = B =
2
e

e

e α dα
e α dα
e
1
 e
1

=− ∫
− ∫
= − log + α  + log − α 
2 0 1 + α 2 0 1 −α
2 2
 2 2

e
e
e   1 + esinφ  e   1 − esinφ 
= − log
 + log
 =
2 
e
e
 2  

(1.35)
e
 1 − esinφ  2
 + C
= log
1
+
esin
φ


e
2
 π φ  1 − e sin φ 
v = log tan  + 
 + C
 4 2  1 + e sin φ 
(1.36)
con v in radianti.
La (1.36) può anche essere scritta nel seguente modo:
π φ  e
v = ln tan  +  − [ln(1 + e sin φ ) − ln(1 − e sinφ )]
4 2 2
(1.37)
per cui sviluppando in serie [ln(1 + e sin φ ) e ln (1 − e sin φ )] si perviene alla seguente espressione
e4
e6
e8
π φ 
v = ln tan  +  − e 2 sin φ − sin3 φ − sin5 φ − sin 7 φ − ..... (1.38)
3
5
7
 4 2
con v sempre espressa in radianti. Per il piccolo valore dell’eccentricità
(e = 0.082) risultano estremamente piccoli i termini successivi a e 4 . La
25
MARIO VULTAGGIO
latitudine isometrica può essere espressa in primi moltiplicandola per il
semiasse dell’ellissoide anch’esso espresso in primi:
2π a = 21600' ,
a=
21600' 10800
=
2π
π
per cui per l’ellissoide si ha:
e
10800
 π φ  1 − e sin φ  2
v=
log tan  + 

π
 4 2  1 + e sin φ 
(1.39)
oppure
v=
10800 
e4
e6
e8

π φ  2
3
5
ln
tan
+
−
e
sin
φ
−
sin
φ
−
sin
φ
−
sin 7 φ 



π 
3
5
7
 4 2

(1.40)
Infine, considerando la latitudine isometrica per la sfera, si ha:
v=
10800
π φ 
log tan  + 
π
 4 2
(1.41)
con v espressa in primi.
1.8 – Miglio marino
La definizione della lunghezza del miglio marino è legata alla variabilità della lunghezza dell'arco di meridiano per la terra ellissoidica (v. figura 1.12); questo ultimo si calcola per mezzo della formula che fornisce l'arco infinitesimo di meridiano dsm = dM = ρdφ , ovvero
dM =
a (1 − e 2 )
(1 − e
2
sin φ )
2
3
2
dφ
(1.42)
Che integrata da 0 a φ :
ϕ
M = ∫ ρdϕ =
0
ϕ
∫
0
(
a 1−e2
)
(
dϕ = a 1 − e 2
3
[1 − e sen ϕ ]
2
2
2
)∫ [1 − e
ϕ
0
2
sen 2ϕ
]
−
3
2
dϕ
la cui integrazione va effettuata sviluppando in serie binomiale l'espressione da integrare; chiamando con:
26
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
Figura 1.12 Rappresentazione dell’arco di meridiano
n=−
3
e x = − e2 sen2ϕ si ha:
2
 n i  n 0  n 1  n 2  n 3  n 4  n 5
x =   x +   x +   x +   x +   x +   x + K
i =0  i 
 0
 1
 2
 3
 4
 5
n
(1 + x)n = ∑ 
con:
 n
3
  = n = −
2
1 
 n  n(n − 1)
15
  =
=+
2!
8
 2
 n  n(n − 1)(n − 2)
35
  =
=+
3!
16
 3
 n  n(n − 1)(n − 2)(n − 3)
315
  =
=+
4!
128
 4
 n  n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)
693
  =
=+
5!
256
 5
sostituendo i coefficienti binomiali si ha:
27
MARIO VULTAGGIO
ϕ
15 ϕ
36 ϕ
ϕ

lϕ = a (1 − e2 ) ∫ dϕ + ∫ e2 sen2ϕd ϕ + 0 ∫ e4 sen4ϕd ϕ + ∫ e6 sen6ϕd ϕ  +
0
0
0
0
8
16


ϕ
693 ϕ 10 10

2  315
8
8
+ a (1 − e )
∫ e sen ϕdϕ + 256 ∫0 e sen ϕ dϕ 
 128 0
(1.43)
Il calcolo dell'arco si trova, risolvendo gli integrali definiti; per fare ciò,
occorre prima sviluppare le potenze della funzione trigonometrica seno
in termini in termini degli argomenti (nα ) ; si nota la complessità dei
calcoli necessari per ottenere, con la massima accuratezza, la lunghezza
dell’arco di meridiano in funzione della latitudine geografica.
Allora, per misurare una distanza sulla sfera o sull’ellissoide, occorre
tenere conto di questa variabilità; infatti possiamo osservare che per valutare la lunghezza dell’arco di meridiano sotteso ad un angolo di un
primo ( dφ = 1' ), occorre prima trasformare la relazione dell’arco di meridiano espresso in radianti in primi e poi valutare la lunghezza
dell’arco al variare della latitudine.
Essendo:
dφradianti =
π
dφ '
a
dφ ' =
ed
= 1855.398 [m ]
10800
3437. 7468
3437.7468
con 3437.7468 il numero di primi contenuti in un radiante si ottiene per
l’arco infinitesimo di meridiano:
dM = a(1 − e2 )(1 − e2 sin 2 φ ) 2 dφ = 1855. 398(1 − e2 )(1 − e2 sin 2 φ ) 2 dφ
−
3
−
3
(1.42)
Ponendo dφ = 1' si ottiene:
per φ = 0°
( )
dM = 1855.398 (1 − e )
, dM = 1855.398 1 − e 2 = 1842.925 [m]
per φ = 90°
,
per φ = 44°20' , dM = 1852 [m]
1
2 −2
= 1861.666 [m]
per cui è facile notare che al variare della latitudine varia la lunghezza
dell’arco di mediano sotteso all’angolo di un primo.
Per evitare questa variabilità il terzo valore, calcolato alla latitudine di
circa 45°, è stato assunto quale unità di misura delle distanze in mare,
con denominazione di miglio nautico (o marino) internazionale: lunghezza, alla latitudine φ = 44° 20' , dell'arco di ellisse meridiana sotteso
tra due normali (verticali) formanti tra loro l’angolo di un primo.
28
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
Se quest'arco di meridiano è considerato alle latitudine 48° e di 44° si
ottiene rispettivamente il miglio marino inglese e quello italiano pari a
1853.18 e m. 1851.85; il miglio marino americano è dato, invece, dalla
lunghezza di un primo di circonferenza massima della sfera la cui superficie è uguale a quella dell’ellissoide di Clarke, pari a m. 1853.24 m;
unità quest’ultima non più prese in considerazioni nelle applicazioni
nautiche. Non sembra superfluo ricordare il miglio geografico e quello
terrestre (statute mile); il primo è dato dalla lunghezza di un primo di
equatore dell’ellissoide internazionale, pari a m 1855.39, mentre il secondo corrisponde a m 1609.35 (= 1760 yards = 5280 piedi).
Il miglio marino internazionale, proposto nel 1929 dalla Conferenza Idrografica Internazionale, è pressappoco uguale alla lunghezza di un
primo di circonferenza massima della sfera terrestre. Appare subito l'utilità di questa unità considerando una navigazione sulla sfera lungo
l’equatore e lungo un meridiano: ad ogni miglio percorso corrisponde
uno spostamento di un primo in longitudine nel primo caso ed in latitudine nel secondo.
Ed ora le regole pratiche per trasformare le miglia in chilometri e viceversa. Considerando il miglio marino uguale a 1850 m, si ha:
mg 1 = m 1850 = km (2 - 0.150) = km 1 − 0.1 − 0.1 / 2 ) = km 1.85
per passare dalle miglia ai chilometri basta sottrarre dal doppio delle
miglia la decima parte delle miglia stesse ed ancora la metà di questa
decima parte; così operando si commette un errore di due metri per miglio. Essendo:
1
4
km 1 = mg 0.54 = mg ( +
)
2 100
può dedursi che per passare dai km alle miglia occorre giungere alla
metà dei chilometri la centesima parte del quadruplo dei chilometri stessi.
Chiamasi nodo la velocità di un miglio all’ora, pari a 0.5144 m al secondo; di qui la regola lievemente approssimata per passare dalla velocità in nodi ai metri al secondo e viceversa:
♦ nel primo caso basta dividere per due i nodi per ottenere la velocità
in metri al secondo;
♦ nel secondo caso basta moltiplicare la velocità in metri al secondo
per 2 per ottenere la velocità in nodi.
29
MARIO VULTAGGIO
1.9- Sfera terrestre a latitudini geocentriche fedeli
Come già noto, la sfera che conserva le latitudini geografiche è nota
quale sfera di Gauss; sulla sua superficie ogni punto è la rappresentazione di un ben determinato punto del geoide ed anche dell’ellissoide,
sul quale, come già detto, viene considerato nullo l'angolo di deflessione della verticale.
Si può realizzare anche una sfera a latitudini geocentriche fedeli tracciando dal centro di questa le parallele alle direzioni dei raggi vettori relativi ai vari punti della superficie dell’ellissoide. Giacendo il raggio
vettore di un punto nel suo piano meridiano, la sfera conserva oltre alle
latitudini geocentriche anche le longitudini geografiche (v. figura 1.13).
Se si vuole considerare la Terra sferica, basta non considerare
l’eccentricità di essa ponendola uguale a zero nella relazione della latitudine isometrica o crescente v. In tal caso la latitudine crescente per la
sfera diventa:
π φ 
v = lg tan  + 
 4 2
Inoltre, essendo a = b = R , il raggio di curvatura del meridiano e il raggio del parallelo diventano:
ρ=R
r = R cosφ
Nella costruzione delle carte geografiche, non potendo trascurare la
forma ellissoidica della Terra, si introduce al posto della latitudine geografica φ la latitudine geocentrica già introdotta ψ (v. fig. 1.12).
30
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
z
V
r
y
c
P
f
r
Figura 1.13 – Sfera terrestre a latitudini geocentriche fedeli
e
 π φ  1 − esenφ  2
v = lg tan  + 

 4 2  1 + esenφ 
π ψ 
v′ = lg tan  + 
4 2
,
tan ψ =
z
r
Si realizza, così una sfera a latitudini geocentriche fedeli costruendo dal
centro della sfera delle parallele alle direzioni geocentriche ellissoidiche. Giacendo ogni direzione geocentrica nel piano del meridiano del
punto scelto sulla superficie, la sfera conserverà le latitudini geocentriche e le longitudini geografiche, essendo entrambe convesse le superfici
dell'ellissoide e della sfera.
L'espressione della latitudine geocentrica è data da:
z a(1 − e2 )senφ (1 − e2 sen2φ )2
tan ψ = =
= (1 − e2 )tan φ
1
r (1 − e2 sen2φ )2
a cosφ
1
(1.43)
Essendo
ψ = φ −V
(1.44)
con V angolo verticale, che sostituita nella (3.40) da:
tan (φ − V ) = (1 − e2 )tan φ
31
(1.45)
MARIO VULTAGGIO
Sviluppando in serie rispetto a V ed arrestandosi ai termini del primo
ordine:
V
= tan φ − e2 tan φ
2
cos φ
1
V = e2 senφ cosφ = e2 sen2φ
2
tan φ −
(1.46)
e quindi
ψ = φ − e 2senφ cosφ
Per ottenere l'espressione di V in termini di e 2 basta sviluppare la
relazione tan(φ − V ) :
tan (φ − V ) =
tan φ − tan V
= (1 − e 2 )tan φ
1 + tan V tan φ
(1 − e )tan φ (1 + tan φ tan V ) = tan φ − tan V
2
tan φ − e 2 tan φ + (1 − e2 )tan 2 φ tan V = tan φ − tan V
tan V + (1 − e 2 )tan 2 φ tan V = e 2 tan φ
2

senφ
2 sen φ 
tan V 1 + (1 − e ) 2  = e2
cos φ 
cosφ

2
2
2
2
 cos φ + sen φ − e sen φ 
e2 senφ cosφ
2 senφ
tan V 
 = e cosφ ; tan V = 1 − e2 sen2φ
cos2 φ


ovvero
tan V = V −
V3
−1
= e2 senφ cosφ [1 − e2 sen2φ ]
3
V = e 2 senφ cosφ [1 + e 2sen2φ + e 4sen4φ + K]
V = e 2 senφ cosφ + e4 sen3φ cosφ
con il secondo termine di V dell’ordine di 10-5 radianti.
32
(1.47)
CAPITOLO 1 – GEOIDE, ELLISSOIDE , COORDINATE GEOGRAFICHE
1.10 - Differenza fra latitudine geocentrica isometrica (v1) e latitudine isometrica (v)
In qualche caso si rende necessario sostituire alla latitudine isometrica
della latitudine geografica con la latitudine isometrica della corrispondente latitudine geocentrica. Occorre studiare entro quali limiti, e con
quale errore, diventa lecita la sostituzione. Sia, allora, v1 la latitudine
geocentrica isometrica definita da:
v1 = f (ψ ) = f (φ + x)
Sviluppando in serie di Taylor e ricordando che x = −V si ha:
4
3
 π φ  2 senφ cosφ e sen φ cosφ
v1 = lg tan  +  − e
−
+K
cosφ
2
cosφ
 4 2
1
π φ 
v1 = lg tan  +  − e 2senφ − e 4sen3φ + K
2
 4 2
(1.48)
Essendo ora la latitudine isometrica v:
e
 1 + esenφ  2
π φ 
v1 = lg tan  +  − lg

 4 2
 1 − esenφ 
π φ  e
v1 = lg tan  +  − [lg(1 + esenφ ) − lg(1 − esenφ )]
 4 2 2
e ricordando che:
x2 x 3 x 4
+ −
2 3 4
x2 x3 x4
lg(1 − x ) = − x − − −
2 3 4
lg(1 + x ) = x −
allora si avrà:

x3

lg(1 − x ) − lg(1 + x ) = −2 x + + K 
3


ed essendo x = esenφ si ha:
2
2
lg(1 − esenφ ) − lg(1 + esenφ ) = −2esenφ − e3sen3φ − e5 sen5φ K
3
5
e quindi l'espressione finale di v:
33
MARIO VULTAGGIO
e4
π φ 
v = lg tan  +  − e2 senφ − sen3φ + K
3
2 2
(1.49)
Il confronto fra v e v1 mostra che le due relazioni forniscono risultati
 e4

differenti fra loro soltanto per quantità dell'ordine di  sen3φ  . Gli er6

rori che si commettono costruendo le carte utilizzando la latitudine geocentrica saranno allora dello stesso ordine [e = 0.082 ] ,per cui
e 4 ≈ 4.5 × 10− 5 .
34