Formula di Taylor

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Peccati, Salsa, Squellati, Matematica per l’economia e l’azienda, EGEA 2004
Formula di Taylor
Generalizziamo la formula che abbiamo introdotto nella sezione 11 del capitolo 5, cercando
d’approssimare una funzione f con un polinomio di grado n (maggiore di due), vicino a un punto
x0 . Dato che pensiamo di muoverci vicino a x0 , chiamiamo h l’incremento della variabile x e
cerchiamo d’esprimere f (x0 + h) come somma d’un polinomio Tn (h) (di grado massimo n) e d’un
termine (errore) trascurabile. Come si ricava Tn (h)?
L’idea è che il polinomio che meglio approssima f vicino ad x0 , debba avere tutte le derivate
(calcolate in h = 0) uguali alle derivate di f in x0 . Posto, allora,
Tn (h) = a0 + a1 h + a2 h2 + · · · + an hn ,
si calcolano
Tn0 (h) = a1 + 2a2 h + · · · + nan hn−1 ,
Tn00 (h) = 2a2 + · · · + n(n − 1)an hn−2 ,
..
.
(n)
Tn (h) = n!an .
Sostituendo h = 0, si ha
Tn (0) = a0 ,
Tn0 (0) = a1 ,
Tn00 (0) = 2a2 , . . . , Tn(n) (0) = n!an ,
a1 = f 0 (x0 ),
2a2 = f 00 (x0 ), . . . , n!an = f (n) (x0 )
da cui
a0 = f (x0 ),
e, quindi, il coefficiente del generico termine hk , k = 0, . . . , n è
ak =
f (k) (x0 )
.
k!
Il nostro candidato polinomio di Taylor d’ordine1 n, ha pertanto quest’aspetto
Tn (h) = f (x0 ) + f 0 (x0 )h +
f 00 (x0 ) 2
f (n) (x0 ) n
h + ··· +
h .
2
n!
In che senso Tn (h) approssima bene f in prossimità di x0 ? Il teorema seguente ci informa che, se
si sostituisce il valore del polinomio al valore di f in un punto x0 + h vicino a x0 , si commette un
errore “trascurabile” rispetto a hn (che tende cioè a zero più velocemente di hn ).
Formula di Taylor (resto secondo Peano). Se f : (a, b) → R è differenziabile n volte in
x0 ∈ (a, b), vale la formula
f (x0 + h) = f (x0 ) + f 0 (x0 )h +
f 00 (x0 ) 2
f (n) (x0 ) n
h + ··· +
h + o(hn ),
2
n!
per h → 0.
Ponendo f (0) (x0 ) = f (x0 ), si può scrivere anche
f (x0 + h) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
1 Ovviamente,
k!
hk + o(hn ),
il grado del polinomio è n solo se f (n) (x0 ) 6= 0.
per h → 0.
(1)
2
La (1) si chiama la formula di Taylor con centro in x0 , arrestata all’ordine n, con resto secondo
Peano. Ponendo x = x0 + h la (1) può anche essere scritta nella forma
f (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k + o [(x − x0 )n ] ,
per x → x0 .
Dimostrazione. Dimostriamo il teorema col principio di induzione. La formula è vera per n = 1,
infatti coincide con la definizione di differenziabilità.
Supponiamo che la formula sia vera per n e dimostriamola per n + 1 (n ≥ 1). Dimostriamo, cioè,
che, se f è derivabile n + 1 volte in x0
f (x0 + h) = f (x0 ) + f 0 (x0 )h + · · · +
f (n+1) (x0 ) n+1
+ o(hn+1 ),
h
(n + 1)!
ossia
f (x0 + h) − f (x0 ) − f 0 (x0 )h + · · · −
lim
per h → 0,
f (n+1) (x0 ) n+1
h
(n + 1)!
= 0.
hn+1
Il limite può essere calcolato applicando il teorema di de l’Hospital, di cui si verificano immediatamente le ipotesi (i) e (ii).
h→0
Formula di Taylor con resto secondo Peano
Calcoliamo il limite del rapporto delle derivate; si ha
lim
f 0 (x0 + h) − f 0 (x0 ) − f 00 (x0 )h + · · · −
(n + 1)hn
h→0
f (n+1) (x0 ) n
h
n!
= 0.
(2)
Infatti la (2) equivale a
f 0 (x0 + h) = f 0 (x0 ) + f 00 (x0 )h + · · · +
f (n+1) (x0 ) n
h + o(hn ),
n!
per h → 0.
che è vera per l’ipotesi di induzione, in quanto è la formula di Taylor arrestata all’ordine n per la
funzione f 0 (x).
Per il principio di induzione, la (1) è vera per ogni n ≥ 1. ¤
• Formula di Maclaurin. Nel caso particolare in cui x0 = 0, s’ottiene la formula di Maclaurin
(con resto secondo Peano).
f (x) = f (0) + f 0 (0)x +
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
x + ··· +
x + o(xn ),
2
n!
per x → 0.
Scriviamo le formule di Maclaurin (arrestate all’ordine n con resto secondo Peano) per le funzioni
elementari.
1. Sia f (x) = ex .Poiché f (n) (x) = ex e f (n) (0) = 1, si ha
ex = 1 + x +
x2
xn
+ ··· +
+ o(xn ),
2
n!
per x → 0.
In figura 1(a) è riportato il grafico della funzione f (x) = ex e dei polinomi di grado 3 e 6, che
l’approssimano.
2. Sia f (x) = ln(1 + x). Si ha
f 0 (x) =
f 000 (x) =
1
,
1+x
2
(1 + x)
f 00 (x) = −
3,
1
(1 + x)2
,
. . . , f (n) (x) = (−1)
n−1
(n − 1)!
(1 + x)n
3
n =7
n=6
n =4
(a)
(b)
n =3
Figura 1.
e, quindi,
f (0) = 0, f 0 (0) = 1, f 00 (0) = −1,
f (0) = 2, . . . , f (n) (0) = (−1)(n−1) (n − 1)!.
000
La formula è
ln(1 + x) = x −
xn
x3
x2
+
+ · · · + (−1)(n−1)
+ o(xn ),
2
3
n
per x → 0.
In figura 1 (b) è riportato il grafico della funzione f (x) = ln(1 + x) e dei polinomi di grado 4 e
7, che l’approssimano.
3. Siano f (x) = sin x e g(x) = cos x
Si ha
f 0 (x) = g(x) = cos x, f 00 (x) = g 0 (x) = − sin x,
f 000 (x) = g 00 (x) = − cos x, f (iv) (x) = g 000 (x) = sin x
e così via. In 0 le derivate d’ordine pari di f e quelle d’ordine dispari di g sono nulle, le altre valgono
alternativamente +1 o −1.
Si ha
x3 x5
x2n+1
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+2 ), per x → 0,
3!
5!
(2n + 1)!
x2
x4
x2n
cos x = 1 −
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+1 ), per x → 0.
2!
4!
(2n)!
sin x = x −
In figura 2 è riportato il grafico della funzione f (x) = sin x e dei polinomi di grado 5 e 11, che
l’approssimano.
4. Sia f (x) = (1 + x)a ,
α ∈ R. Si ha
α−1
α−2
, f 00 (x) = α (α − 1) (1 + x)
f 0 (x) = α (1 + x)
f (n) (x) = α (α − 1) · · · (α − n + 1)(1 + x)α−n ,
, ...,
e, quindi,
f (0) = 1, f 0 (0) = α, f 00 (0) = α (α − 1) , . . . ,
f (n) (0) = α (α − 1) · · · (α − n + 1).
Posto
µ ¶
α
α (α − 1) · · · (α − k + 1)
=
,
k
k!
4
n=5
n = 11
Figura 2.
per ogni α reale e per ogni k naturale, si ricava la formula
µ ¶
µ ¶
α 2
α n
a
(1 + x) = 1 + αx +
x + ··· +
x + o(xn ),
2
n
per x → 0.
Nel caso in cui α = n, la formula ci dà lo sviluppo del binomio di Newton.
Vogliamo ribadire che la formula di Taylor fornisce un informazione di carattere locale: in un intorno di x0 , f è bene approssimabile con il polinomio di Taylor. La formula non fornisce informazioni
sull’ampiezza di questo intorno. Nonostante i grafici con le funzioni esponenziale e seno, possano
farlo pensare, non è assolutamente detto che, fissato un certo intervallo, all’aumentare del grado
del polimomio si abbia un’approssimazione migliore. Per trovare conferma a quest’osservazione si
guardi il grafico con la funzione logaritmica.
Test di riconoscimento dei punti stazionari
Il seguente teorema generalizza il secondo test di riconoscimento dei punti stazionari. È utile in
casi particolarmente sfortunati, ove un bel po’ di derivate dopo la prima s’annullano nel punto
stazionario. Si tratta, semplicemente, d’andare avanti, finché se ne incontra una non nulla.
Teorema. Sia f : (a, b) → R differenziabile n volte in x0 ∈ (a, b) con
f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0,
f (n) (x0 ) 6= 0.
Se n è pari e
f (n) (x0 ) > 0
allora x0 è punto di minimo locale (forte); se n è pari e
f (n) (x0 ) < 0
allora x0 è punto di massimo locale (forte); se n è dispari, allora x0 non è punto di estremo locale.
Dimostrazione. Dobbiamo studiare, per |h| piccolo, il segno dell’incremento
∆f = f (x0 + h) − f (x0 ).
Essendo verificate le ipotesi del teorema, possiamo applicare al formula di Taylor e scrivere
f (x0 + h) = f (x0 ) +
f (n) (x0 ) n
h + o(hn ),
n!
per h → 0,
f (x0 + h) − f (x0 ) =
f (n) (x0 ) n
h [1 + o(1)],
n!
per h → 0,
da cui si ricava
5
in quanto l’espressione
o(hn )
n!
, per definizione del simbolo “o”, è una quantita infinitesima
f (n) (x0 ) hn
per h → 0.
Ora, l’espressione tra parentesi quadre tende a 1 per h → 0, quindi in un intorno di x0 , per il
teorema della permanenza del segno è positiva. Il segno dell’incremento ∆f dipende dunque dal
segno di f (n) (x0 ) e di hn .
Se n è pari, hn è positivo per h 6= 0 e, quindi, il segno di ∆f coincide col segno di f (n) (x0 ).
Se f (n) (x0 ) > 0, allora ∆f , in un intorno di x0 (x 6= x0 ) è positivo e x0 è un punto di minimo
locale forte.
Se f (n) (x0 ) < 0, allora ∆f , in un intorno di x0 (x 6= x0 ) è negativo e x0 è un punto di massimo
locale forte.
Se n è dispari il segno di hn dipende da h e quindi il segno di ∆f cambia a seconda che h sia
positivo o negativo, quindi x0 non è punto d’estremo locale. ¤
Formula di Taylor con resto secondo Lagrange
La formula vista nella sezione precedente ha validità locale, come abbiamo ribadito. Certi esempi
fatti (soprattutto quello con la funzione seno) ci portano, però, a pensare che, con un polinomio
di grado abbastanza elevato, l’approssimazione possa essere “buona” non solo localmente. Ci chiediamo, quindi, se sia possibile approssimare una funzione su un intervallo fissato, con un polinomio
di Taylor, avendo anche una stima quantitativa dell’errore commesso.
Data una funzione f : (a, b) → R differenziabile almeno sino all’ordine n + 1 e x0 ∈ (a, b),
vogliamo valutare la differenza
f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ) −
f 00 (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 )2 + · · · −
(x − x0 )n
2
n!
su tutto l’intervallo (a, b).
Iniziamo col considerare n = 1 e cerchiamo di valutare la differenza
R (x) = f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ),
che rappresenta lo scarto tra f e la retta tangente. Ipotizziamo tale scarto proporzionale a (x − x0 )2 e
supponiamo di poter scrivere
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + b(x − x0 )2
in cui lasciamo, per il momento, indeterminato il coefficiente b, che (il lettore in cuor suo già sa)
sceglieremo poi in maniera furba.
Il teorema che subito vediamo consente di controllare l’errore fornendoci una rappresentazione
“statica” del resto R (x), ove statica significa “con x fissato”.
Teorema. Sia f una funzione due volte differenziabile nell’intervallo (a, b) e siano x0 , x punti
di (a, b). Allora esiste almeno un punto c tra x0 e x tale che
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 00 (c)
(x − x0 )2 .
2
(3)
La (3) prende il nome di formula di Taylor arrestata al second’ordine con centro in x0 e resto
secondo Lagrange.
Scrivendola nella forma
f 00 (c)
f (x) − f (x0 )
= f 0 (x0 ) +
(x − x0 )
x − x0
2
essa appare come una generalizzazione del teorema del valor medio. Proprio a questo teorema si
riconduce la prova.
Dimostrazione. Poniamo
w (x) = f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ) − b(x − x0 )2 ,
6
da cui
w0 (x) = f 0 (x) − f 0 (x0 ) − 2b(x − x0 ).
Tale derivata è nulla in x0 e possiamo scegliere b in modo che sia anche w0 (x) = 0: basta infatti
che sia
1 f 0 (x) − f 0 (x0 )
.
b=
2
x − x0
Valgono le ipotesi del teorema di Lagrange e pertanto esiste c tra x e x0 tale che w00 (c) = 0. Poiché
w00 (x) = f 00 (x) − 2b,
esiste c tra x e x0 tale che
f 00 (c) − 2b = 0,
da cui
f 00 (c)
. ¤
2
Dall’espressione trovata per il resto secondo Lagrange discendono maggiorazioni per R (x). Se la
derivata seconda di f non supera mai in modulo un numero M > 0 tra x0 e x, potremo asserire
che l’errore di approssimazione non eccede
b=
M
2
(x − x0 ) .
2
Consideriamo, per esempio, la funzione sin x in prossimità di x0 = 0. Questa nuova versione della
formula di Taylor ci garantisce che
sin x = sin 0 + x cos 0 +
1
x2
(− sin c) x2 = x +
(− sin c) ,
2
2
con c tra 0 e x. Poiché il seno d’un angolo non supera mai 1 in modulo (M = 1) otteniamo
|T (x) | = | sin x − x| ≤
x2
2
Così, se sostituissimo sin 1/100 con 1/100 commetteremmo un errore non oltre 1/20000 =
0, 00005.
Questa formula di Taylor può essere estesa oltre il second’ordine in maniera affatto analoga.
Formula di Taylor (resto secondo Lagrange). Sia f : (a, b) → R differenziabile n + 1 volte in
(a, b), e siano x0 , x ∈ (a, b).
Allora, esiste almeno un punto c tra x0 e x tale che
f (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k +
f (n+1) (c)
(x − x0 )n+1 .
(n + 1)!
(4)
Per esteso:
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + · · · +
f (n) (x0 )
f (n+1) (c)
(x − x0 )n +
(x − x0 )n+1 .
n!
(n + 1)!
Ponendo x = x0 + h, la (4) diviene
f (x0 + h) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
hk +
f (n+1) (c) n+1
,
h
(n + 1)!
con c punto opportuno tra x0 e x0 + h.
Se si riesce a dimostrare che f (n+1) non supera in valore assoluto una certa costante M , cioè se
(n+1)
|f
(x)| ≤ M , per ogni x ∈ (a, b), allora anche |f (n+1) (c)| ≤ M e si può avere una valutazione
dell’errore che si commette sostituendo a f il polinomio di Taylor.
|f (x0 + h) − Tn (h)| =
|f (n+1) (c)| n+1
M
≤
|h|
|h|n+1 .
(n + 1)!
(n + 1)!
7
• Formula di Maclaurin. Se nella (4) si pone x0 = 0, s’ottiene la formula di Maclaurin con resto
secondo Lagrange:
f (x) = f (0) + f 0 (0)x +
f 00 (0) 2
f (n) (0) n f (n+1) (c) n+1
.
x + ··· +
x +
x
2
n!
(n + 1)!
(5)
Serie di Taylor
Tracciando il grafico della funzione f (x) = ex e di alcuni sui polinomi di Maclaurin, abbiamo visto
che questi ultimi approssimano bene f in intervalli di sempre maggior ampiezza, al crescere del
grado.
Viene spontaneo chiedersi, dato che f (x) = ex è differenziabile infinite volte, cosa succede facendo
tendere n a +∞. Non ci meraviglieremmo troppo se risultasse
ex =
+∞ n
X
x
.
n!
n=0
(6)
Sappiamo già che la serie scritta a destra converge per ogni x ∈ R (vedi l’esempio 1 della sezione
5 del capitolo 6), occorre solo controllare che la somma sia proprio ex .
Il termine sn (x) della successione delle ridotte della serie (6) coincide con il polinomio di Maclaurin di grado n.
n
X
xk
sn (x) =
k!
k=0
e, per la formula (5),
Rn (x) = ex − sn (x) =
ec xn+1
(n + 1)!
Dimostriamo che Rn (x) → 0. Se x = 0 e n ≥ 1, Rn (x) = 0; se x > 0, ec < ex e
0 < Rn (x) <
ex xn+1
;
(n + 1)!
0 < Rn (x) <
xn+1
.
(n + 1)!
se x < 0, ec < 1 e
In entrambi i casi, il fattoriale (n + 1)! trascina a zero il quoziente anche quando |x| > 1.
La (6) è, dunque, vera per ogni x ∈ R. In particolare, per x = 1 si ha
+∞
X
1
= e.
n!
n=0
Definizione. Se una funzione f : (a, b) → R ammette derivate di qualsiasi ordine in x0 ∈ (a, b),
possiamo scrivere la serie
+∞
X
(x − x0 )n
f (n) (x0 )
.
(7)
n!
n=0
che si chiama serie di Taylor associata a f .
L’esempio fatto in precedenza potrebbe far pensare che per ogni x ∈ (a, b) la serie converga a
f (x).
Questo non è vero sempre. Si possono fornire esempi di comportamenti piuttosto curiosi della
serie di Taylor: essa, pur convergendo in x, potrebbe avere somma diversa da f (x). In altri casi la
serie potrebbe divergere in x anche se x è nel dominio di f.
Esempio 5. Sia f (x) = ln(1 + x); la serie di Maclaurin ad essa associata è
+∞
X
(−1)n−1
n=1
xn
.
n
8
Tale serie converge solo per −1 < x ≤ 1 (per x = −1 ha lo stesso carattere della serie armonica
e, per |x| > 1, il termine generale non tende a zero).
Si può controllare che
+∞
X
(−1)n−1
n=1
xn
= ln(1 + x),
n
x ∈ (−1, 1].
In particolare
+∞
X
(−1)n−1
n=1
1
= ln 2.
n
Perché la serie (7) converga alla funzione f in (a, b) la differenza tra il polinomio di Taylor Tn (x)
e f deve tendere a zero per n → +∞, cioè
f (x) − Tn (x) = Rn (x) =
f (n+1) (c) n+1
x
(n + 1)!
deve tendere a zero per ogni x ∈ (a, b) . Ciò accade sicuramente, se le derivate di f sono limitate,
come per le funzioni seno e coseno. Si ha, infatti, per ogni x ∈ R,
sin x =
+∞
X
(−1)n
n=0
x2n+1
,
(2n + 1)!
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°
cos x =
+∞
X
(−1)n
n=0
x2n
.
(2n)!