le frazioni algebriche

APPUNTI DI MATEMATICA
LE FRAZIONI ALGEBRICHE
ALESSANDRO BOCCONI
Indice
1 Le frazioni algebriche
2
1.1
Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi . . . . . . . .
2
1.2
Le frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Semplificazione di frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Il prodotto fra frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5
La divisione fra frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6
Addizioni e sottrazioni fra frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7
Le equazioni fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Capitolo 1
Le frazioni algebriche
1.1
Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra
polinomi
Prima di entrare nel dettaglio delle frazioni algebriche, affrontiamo il minimo comune multiplo
(mcm) e il Massimo Comun Divisore (MCD) fra polinomi. Tale argomento risulterà fondamentale
quando tratteremo l’addizione e sottrazione di frazioni algebriche.
Abbiamo già incontrato il concetto di mcm e MCD sia parlando di numeri che di monomi. Anche
per i polinomi il concetto non cambia e possiamo facilmente “riadattare” le definizioni date in
precedenza, ricordando che un polinomio P è multiplo di un polinomio Q (e di conseguenza il
polinomio Q è divisore del polinomio P ) se la divisione P : Q ha resto zero (per quanto riguarda
la divisione fra polinomi vedi Appunti di Matematica, Il calcolo letterale, paragrafo 1.13).
Definizione di mcm fra polinomi. Il mcm fra 2 o più polinomi è, fra tutti i polinomi multipli
dei polinomi assegnati, quello di grado minore.
Definizione di MCD fra polinomi. Il MCD fra 2 o più polinomi è, fra tutti i polinomi divisori
dei polinomi assegnati, quello di grado maggiore.
Per affrontare il metodo per determinare il mcm e MCD fra polinomi si consideri il seguente:
Esempio
.
Determinare mcm e MCD dei numeri 24 e 20.
Scomponendo il numero 24 si ottiene: 24 = 23 · 3 e scomponendo il numero 20 si ottiene: 20 = 22 · 5.
Per determinare il MCD dobbiamo prendere i fattori comuni ad entrambe le scomposizioni presi
con l’esponente minore: quindi, dato che l’unico fattore presente in entrambe le scomposizioni è 2
e che nella prima scomposizione ha esponente 3 e nella seconda ha esponente 2 risulta che:
M CD(24; 20) = 22 = 4
Per determinare il mcm dobbiamo prendere i fattori presenti in almeno una scomposizione presi
con l’esponente maggiore: quindi, dato che i fattori presenti nella prima scomposizione sono 2 e 3
2
Alessandro Bocconi
3
e nella seconda scomposizione sono 2 e 5 e che 2 nella prima scomposizione ha esponente 3 e nella
seconda ha esponente 2 risulta che:
mcm(24; 20) = 23 · 3 · 5 = 120
Vediamo adesso, tramite esempi, che il metodo per determinare MCD e mcm fra polinomi è
concettualmente identico:
Esempi
.
Determinare MCD e mcm fra i polinomi: x2 + 4x + 4
e
x2 + 7x + 10.
Per primo dobbiamo scomporre entrambi i polinomi (per quanto riguarda la scomposizione di
polinomi vedi Appunti di Matematica, Il calcolo letterale, paragrafo 1.15).
x2 + 4x + 4 è il quadrato del binomio x + 2 quindi:
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
mentre x2 + 7x + 10 si scompone tramite la tecnica del particolare trinomio di secondo grado, da
cui:
x2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)
I fattori di questa scomposizione sono (x + 2) per quanto riguarda il primo polinomio e (x + 2) e
(x + 5) per quanto riguarda il secondo.
Come per i numeri, per determinare il MCD fra polinomi dobbiamo prendere i fattori comuni ad
entrambe le scomposizioni presi con l’esponente minore: quindi, dato che l’unico fattore presente in
entrambe le scomposizioni è (x + 2) che nella prima scomposizione ha esponente 2 e nella seconda
ha esponente 1 risulta che:
M CD(x2 + 4x + 4;
x2 + 7x + 10) = (x + 2)1 = x + 2
Per determinare il mcm dobbiamo prendere i fattori presenti in almeno una scomposizione presi
con l’esponente maggiore: quindi, dato che nella prima scomposizione l’unico fattore presente è
x + 2 mentre nella seconda scomposizione sono x + 2 e x + 5 e che (x + 2) nella prima scomposizione
ha esponente 2 e nella seconda ha esponente 1 risulta che:
mcm(x2 + 4x + 4;
.
x2 + 7x + 10) = (x + 2)2 · (x + 5)
Determinare MCD e mcm fra i polinomi: x2 − 9
e
x2 − 4x + 3.
Scomponiamo i 2 polinomi:
x2 − 9 è la differenza di 2 quadrati e quindi è il prodotto di una somma per una differenza:
x2 − 9 = (x + 3)(x − 3)
mentre x2 − 4x + 3 si scompone tramite la tecnica del particolare trinomio di secondo grado, da
cui:
x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)
I fattori di questa scomposizione sono (x + 3) e (x − 3) per quanto riguarda il primo polinomio e
(x − 1) e (x − 3) per quanto riguarda il secondo.
L’unico fattore presente in entrambe le scomposizioni è (x − 3) che sia nella prima scomposizione
che nella seconda ha esponente 1, quindi:
M CD(x2 − 9;
x2 − 3x + 4) = x − 3
Alessandro Bocconi
4
e
mcm(x2 − 9;
.
x2 − 3x + 4) = (x + 3)(x − 3)(x − 1)
Determinare MCD e mcm fra i polinomi: x2 − 5x
e
x2 − 6x + 9.
Scomponiamo i 2 polinomi:
x2 − 5x possiamo mettere in evidenza x ottenendo:
x2 − 5x = x(x − 5)
mentre x2 − 6x + 9 è il quadrato di un binomio:
x2 − 6x + 9 = (x − 3)2
I fattori di questa scomposizione sono x e (x − 5) per quanto riguarda il primo polinomio e (x − 3)
per quanto riguarda il secondo.
Nessun fattore è presente in entrambe le scomposizioni e quindi il MCD è 1 (1 è sempre un divisore
comune di “tutto”):
M CD(x2 − 5x; x2 − 6x + 9) = 1
per il mcm prendiamo invece tutti i fattori:
mcm(x2 − 5x;
x2 − 6x + 9) = x(x − 5)(x − 3)2
1.2
Le frazioni algebriche
Definizione di frazione algebrica. Si definisce frazione algebrica una frazione in cui il numeratore e il denominatore sono entrambi polinomi.
Osservazione. Dal momento che un numero può essere considerato come un polinomio formato da
un solo monomio avente parte letterale nulla, le frazioni numeriche che conosciamo possono essere
considerate anch’esse frazioni algebriche.
Quando abbiamo studiato le frazioni numeriche , abbiamo escluso la possibilità che il denominatore
potesse essere zero. Infatti ben sappiamo che non ha senso in matematica una frazione del tipo 30 .
Consideriamo adesso la seguente frazione algebrica:
x2 + 4
x−5
Dal momento che una lettera può assumere qualunque valore ci chiediamo se, per qualche valore
di x, il denominatore diventa zero. Osserviamo che se x fosse 5 la frazione diventerebbe:
52 + 4
29
=
5−5
0
Alessandro Bocconi
5
Bisogna quindi evidenziare che x può assumere qualsiasi valore tranne 5, perché se x = 5 il denominatore diventerebbe 0 e, come già detto, non ha senso una frazione con denominatore 0. A tale
scopo servono le condizioni di esistenza (abbreviazione C.E.):
Definizione di Condizioni di esistenza. Le condizioni di esistenza di una frazione algebrica
rappresentano l’insieme dei valori che possono assumere le lettere affinché il denominatore non sia
zero.
Nell’esempio di prima, dal momento che x può assumere qualunque valore diverso da 5 le condizioni
di esistenza risultano:
C.E. = {x ∈ R |x 6= 5}
Osservazione. Nell’esempio precedente abbiamo intuito che il denominatore si annullava per
x = 5; in altri casi però non è altrettanto facile determinare quel valore o quei valori che rendono
zero il denominatore. Il metodo migliore è quello di scrivere il denominatore uguale a zero e risolvere
l’equazione. Il valore, o i valori che risolvono l’equazione sono quelli da eliminare dalle condizioni
di esistenza. Chiariamo con i seguenti:
Esempi
.
Determinare le condizioni di esistenza della frazione algebrica
7x
3x+12
Come detto nell’osservazione poniamo il denominatore uguale a zero:
3x + 12 = 0 e risolviamo
l’equazione:
− 612 4
63
→ x = −4
3x + 12 = 0 → 3x = −12 → x =
63
63 1
pertanto risulta:
C.E. = {x ∈ R
.
|x 6= −4}
Determinare le condizioni di esistenza della frazione algebrica
x3 −4
14−5x
Come detto nell’osservazione poniamo il denominatore uguale a zero:
14 − 5x = 0 e risolviamo
l’equazione:
65
14
14
14 − 5x = 0 → −5x = −14 → 5x = 14 → x =
→x=
65
5
5
pertanto risulta:
C.E. = {x ∈ R |x 6=
.
14
}
5
Determinare le condizioni di esistenza della frazione algebrica
x+24
x2 −5x+6
Come detto nell’osservazione poniamo il denominatore uguale a zero:
x2 − 5x + 6 = 0. Il
problema rispetto agli esempi precedenti è che dobbiamo risolvere un’equazione di secondo grado
che non sappiamo (per ora) affrontare. Proviamo allora a scomporre il polinomio x2 − 5x + 6 = 0
(vedremo in seguito il motivo): non possiamo scomporlo col raccoglimento totale, né parziale, né
tramite i prodotti notevoli. Proviamo col particolare trinomio di secondo grado: bisogna trovare 2
numeri p e q tali che:
p + q = −5; p · q = 6
tali numeri sono p = −2 e q = −3, pertanto il trinomio
x2 − 5x + 6 può essere scomposto come
x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
x+24
sostituendo a x2 − 5x + 6 la sua scomposizione, la frazione algebrica diventa
(x−2)(x−3) Il
problema rimane di capire per quali valori di x il denominatore si annulla. Ma noi sappiamo che
Alessandro Bocconi
6
una moltiplicazione ha risultato zero se e soltanto se uno dei fattori è zero. Pertanto per determinare
il risultato dell’equazione:
(x − 2)(x − 3) = 0
si pongono entrambi i fattori (x − 2) e (x − 3) uguali a zero. Quindi:
x−2=0→x=2
x−3=0→x=3
pertanto risulta:
C.E. = {x ∈ R
.
|x 6= 2,
x 6= 3}
Determinare le condizioni di esistenza della frazione algebrica
2+5x4
x2 −9
Anche in questo caso il denominatore è di secondo grado. Lo scomponiamo ottenendo:
(x − 3)(x + 3).
Sostituendo a x2 − 9 la sua scomposizione, la frazione algebrica diventa
abbiamo visto in precedenza per determinare il risultato dell’equazione:
x2 − 9 =
2+5x4
(x+3)(x−3) .
Come
(x + 3)(x − 3) = 0
si pongono entrambi i fattori (x + 3) e (x − 3) uguali a zero. Quindi:
x + 3 = 0 → x = −3
x−3=0→x=3
pertanto risulta:
C.E. = {x ∈ R
|x 6= −3,
x 6= 3}
1.3
Semplificazione di frazioni algebriche
Se ci troviamo di fronte a una frazione del tipo 68 , sappiamo che possiamo semplificarla, e, senza
ricorrere a particolari tecniche scriviamo:
66 3
3
=
68 4
4
In realtà è come se avessimo scomposto sia il numeratore che il denominatore ottenendo:
6
3·2
362
3
=
=
=
8
4·2
462
4
Per semplificare una frazione algebrica ci comportiamo nello stesso modo come evidenziato dai
seguenti:
Esempi
.
Semplificare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la seguente frazione algebrica:
x2 − 16
x2 + 9x + 20
Alessandro Bocconi
7
inizialmente dobbiamo determinare le condizioni di esistenza e ci comportiamo quindi come nel precedente paragrafo: il denominatore è costituito da un trinomio di secondo grado che scomponiamo
con la tecnica del particolare trinomio di secondo grado ottenendo:
x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)
si pongono entrambi i fattori (x + 4) e (x + 5) uguali a zero. Quindi:
x + 4 = 0 → x = −4
x + 5 = 0 → x = −5
pertanto risulta:
C.E. = {x ∈ R
|x 6= −4,
x 6= −5}
A questo punto dobbiamo occuparci della semplificazione. Scomponiamo quindi anche il numeratore
ottenendo:
x2 − 16 = (x − 4)(x + 4)
Sostituiamo adesso, nella frazione algebrica, ai polinomi originali le rispettive scomposizioni ottenendo:
x2 − 16
(x − 4)(x + 4)
=
2
x + 9x + 20
(x + 4)(x + 5)
Osserviamo che il numeratore e il denominatore hanno un fattore in comune, (x+4), che può quindi
essere semplificato ottenendo:
x−4
(x − 4) (x 6 + 4)
=
(x 6 + 4) (x + 5)
x+5
che è la frazione semplificata.
.
Semplificare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la seguente frazione algebrica:
x2 + 9x + 14
x2 + 7x
Determiniamo le condizioni di esistenza scomponendo il denominatore (tramite il raccoglimento a
fattor comune) e ottenendo:
x2 + 7x = x(x + 7)
si pongono entrambi i fattori x e (x + 7) uguali a zero. Quindi:
x=0
x + 7 = 0 → x = −7
pertanto risulta:
C.E. = {x ∈ R
|x 6= 0,
x 6= −7}
Adesso scomponiamo anche il numeratore (mediante il particolare trinomio di secondo grado)
ottenendo:
x2 + 9x + 14 = (x + 7)(x + 2)
Sostituiamo adesso, nella frazione algebrica, ai polinomi originali le rispettive scomposizioni ottenendo:
x2 + 9x + 14
(x + 7)(x + 2)
=
x2 + 7x
x(x + 7)
Osserviamo che il numeratore e il denominatore hanno un fattore in comune, (x+7), che può quindi
essere semplificato ottenendo:
(x 6 + 7) (x + 2)
x+2
=
x (x 6 + 7)
x
.
Semplificare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la seguente frazione algebrica:
x3 + 6x2 + 3x + 18
x2 + 12x + 36
Alessandro Bocconi
8
Determiniamo le condizioni di esistenza scomponendo il denominatore (tramite prodotti notevoli)
ottenendo:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
L’unica possibilità che un numero elevato al quadrato sia zero è che sia zero il numero stesso,
pertanto si pone (x + 6) uguale a zero:
x + 6 = 0 → x = −6
quindi risulta:
C.E. = {x ∈ R
|x 6= −6}
Adesso scomponiamo anche il numeratore (mediante il raccoglimento parziale) ottenendo:
x3 + 6x2 + 3x + 18 = x2 (x + 6) + 3(x + 6) = (x + 6)(x2 + 3)
Sostituiamo adesso, nella frazione algebrica, ai polinomi originali le rispettive scomposizioni ottenendo:
x3 + 6x2 + 3x + 18
(x + 6)(x2 + 3)
=
x2 + 12x + 36
(x + 6)2
Osserviamo che il numeratore e il denominatore hanno un fattore in comune, (x+6), che può quindi
essere semplificato ottenendo:
(x 6 + 6) (x2 + 3)
x2 + 3
=
x+6
(x + 6)6 21
Possiamo quindi riassumere enunciando il:
Metodo per la semplificazione di una frazione algebrica. Per semplificare una frazione
algebrica, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, si scompone, se possibile, numeratore e
denominatore: se in tali scomposizioni sono presenti dei fattori comuni, tali fattori possono essere
semplificati.
1.4
Il prodotto fra frazioni algebriche
Supponiamo di dover effettuare il seguente prodotto:
6 5
·
35 9
Prima di moltiplicare fra loro i numeratori e fra loro i denominatori, conviene guardare se ci sono
semplificazioni possibili (le cosiddette semplificazioni incrociate):
2·3 5
2· 6 3 6 5
2
2·1
·
·
=
=
=
7 · 5 32
7· 6 5 36 2
7·3
21
Nel prodotto di frazioni algebriche ci comportiamo nello stesso modo, come emerge dai seguenti:
Esempi
. Effettuare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, il seguente prodotto fra frazioni
algebriche:
x + 3 x2 − 8x + 16
·
x − 4 x2 + 8x + 15
Alessandro Bocconi
9
Si osserva che i denominatori sono 2. Di conseguenza dovremo studiare per quali valori di x
si annulla sia il primo denominatore che il secondo denominatore, ed eliminare tali valori dalle
condizioni di esistenza.
Il primo denominatore è di primo grado (e quindi non è ovviamente scomponibile) e si annulla se:
x−4=0→x=4
Il secondo denominatore è di secondo grado e va quindi scomposto (tramite il particolare trinomio
di secondo grado):
x2 + 8x + 15 = (x + 5)(x + 3)
si pongono entrambi i fattori (x + 5) e (x + 3) uguali a zero. Quindi:
x + 3 = 0 → x = −3
x + 5 = 0 → x = −5
pertanto risulta:
C.E. = {x ∈ R
|x 6= 4;
x 6= −3;
x 6= −5}
scomponiamo adesso anche i numeratori: il primo è di primo grado e quindi non scomponibile,
mentre il secondo va scomposto tramite i prodotti notevoli ottenendo:
x2 − 8x + 16 = (x − 4)2
Sostituiamo adesso nel prodotto iniziale, ai polinomi le loro scomposizioni:
x + 3 x2 − 8x + 16
x+3
(x − 4)2
· 2
=
·
x − 4 x + 8x + 15
x − 4 (x + 3)(x + 5)
e osserviamo che possiamo effettuare delle semplificazioni incrociate:
x 6+ 3
(x − 4)6 2
x−4
·
=
x 6 − 4 (x 6 + 3) (x + 5)
x+5
. Effettuare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, il seguente prodotto fra frazioni
algebriche:
x2 + x 5x − 5
·
x − 1 x2 − 1
Il primo denominatore è di primo grado e si annulla se:
x−1=0→x=1
Il secondo denominatore è di secondo grado e va quindi scomposto (tramite prodotti notevoli):
x2 − 1 = (x + 1)(x − 1)
si pongono entrambi i fattori (x + 1) e (x − 1) uguali a zero. Quindi:
x + 1 = 0 → x = −1
x−1=0→x=1
pertanto risulta:
C.E. = {x ∈ R
|x 6= 1;
x 6= −1}
scomponiamo adesso anche i numeratori: il primo va scomposto col raccoglimento a fattor comune:
x2 + x = x(x + 1)
mentre nel secondo, anche se è di primo grado, conviene mettere in evidenza il fattore comune 5
ottenendo:
5x − 5 = 5(x − 1)
Alessandro Bocconi
10
Sostituiamo adesso nel prodotto iniziale, ai polinomi le loro scomposizioni:
x2 + x 5x − 5
x(x + 1)
5(x − 1)
·
=
·
x − 1 x2 − 1
x−1
(x + 1)(x − 1)
Effettuiamo le semplificazioni incrociate:
5 (x 6 − 1)
5x
x(x 6 + 1)
·
=
x 6− 1
(x 6 + 1) (x − 1)
x−1
1.5
La divisione fra frazioni algebriche
Sappiamo che la divisione fra due frazioni numeriche equivale alla moltiplicazione della prima (il
dividendo) per il reciproco della seconda, come emerge dal seguente esempio:
10 15
610 2
7
14
:
=
·
=
3
3
7
3
615
9
Anche nelle frazioni algebriche ci comportiamo cosı̀, ma bisogna porre particolare attenzione alle
condizioni di esistenza, come possiamo capire dal seguente esempio:
Esempio
.
x+3
x−2
:
x+5
x−6
Ci sono 2 denominatori sui quali studiare le condizioni di esistenza. Dal primo risulta che x deve
essere diverso da 2, mentre dal secondo risulta che x deve essere diverso da 6. Se trasformiamo la
divisione in una moltiplicazione fra la prima frazione algebrica e il reciproco della seconda (ricordiamo che il reciproco di una frazione si ottiene scambiando fra loro denominatore e numeratore)
otteniamo:
x+3 x+5
x+3 x−6
:
=
·
x−2 x−6
x−2 x+5
Osserviamo che abbiamo un nuovo denominatore, cioè x + 5, che, come tutti i denominatori deve
essere diverso da zero. Quindi deve risultare che x diverso da −5. Riassumendo abbiamo le seguenti
condizioni di esistenza:
C.E. = {x ∈ R |x 6= 2;
x 6= 6;
x 6= −5}
L’esempo ci suggerisce che, in una divisione fra frazioni algebriche, deve essere diverso
da zero, oltre ai 2 denominatori, anche il numeratore della seconda frazione algebrica.
Esempi . Effettuare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la seguente divisione fra
frazioni algebriche:
x2 + 4x + 4
x2 + 2x
: 2
x−4
x − 9x + 20
Determiniamo le condizioni di esistenza analizzando, oltre i 2 denominatori, anche il secondo
numeratore, cominciando dal primo denominatore:
x−4=0→x=4
Alessandro Bocconi
11
Il secondo denominatore è di secondo grado e va quindi scomposto. Scomponiamolo col metodo del
particolare trinomio di secondo grado:
x2 − 9x + 20 = (x − 4)(x − 5)
da cui
x−4=0→x=4
x−5=0→x=5
Anche il numeratore della seconda frazione è di secondo grado e va quindi scomposto. Scomponiamolo tramite raccoglimento a fattor comune:
x2 + 2x = x(x + 2)
da cui
x + 2 = 0 → x = −2
x=0
Riassumendo abbiamo le seguenti condizioni di esistenza:
C.E. = {x ∈ R
|x 6= 4;
x 6= 5;
x 6= 0;
x 6= −2}
A questo punto possiamo eseguire la divisione trasformandola nell’equivalente moltiplicazione:
x2 + 4x + 4
x2 + 2x
x2 + 4x + 4 x2 − 9x + 20
: 2
=
·
x−4
x − 9x + 20
x−4
x2 + 2x
Per sostituire ai polinomi le relative scomposizioni, bisogna ancora scomporre il primo numeratore.
Lo facciamo tramite il riconoscimento di prodotti notevoli:
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
Possiamo adesso eseguire le semplificazioni:
x2 + 4x + 4 x2 − 9x + 20
(x + 2)6 2 (x 6 − 4) (x − 5)
(x + 2)(x − 5)
·
=
·
=
2
x−4
x + 2x
x 6− 4
x (x 6 + 2)
x
. Effettuare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la seguente divisione fra frazioni
algebriche:
2x7 + 3x6 + 8x + 12 2x + 3
: 2
2x + 14
x + 7x
Determiniamo le condizioni di esistenza analizzando, oltre i 2 denominatori, anche il secondo
numeratore, cominciando dal primo denominatore:
2
−14
→ x = −7
2x + 14 = 0 → x =
2
2
Il secondo denominatore è di secondo grado e va quindi scomposto.
raccoglimento a fattor comune:
x2 + 7x = x(x + 7)
da cui
x=0
x + 7 = 0 → x = −7
Dal numeratore della seconda frazione otteniamo:
2
3
3
2x + 3 = 0 → x = − → x = −
2
2
2
Riassumendo abbiamo le seguenti condizioni di esistenza:
C.E. = {x ∈ R
|x 6= −7;
x 6= 0;
3
x 6= − }
2
Scomponiamolo tramite
Alessandro Bocconi
12
A questo punto possiamo eseguire la divisione trasformandola nell’equivalente moltiplicazione:
2x7 + 3x6 + 8x + 12 2x + 3
2x7 + 3x6 + 8x + 12 x2 + 7x
: 2
=
·
2x + 14
x + 7x
2x + 14
2x + 3
Per sostituire ai polinomi le relative scomposizioni, bisogna ancora scomporre il primo numeratore.
Lo facciamo tramite il raccoglimento parziale:
2x7 + 3x6 + 8x + 12 = x6 (2x + 3) + 4(2x + 3) = (2x + 3)(x6 + 4)
Inoltre nel primo denominatore conviene mettere in evidenza un 2 ottenendo:
2x + 14 = 2(x + 7)
Possiamo adesso eseguire l’operazione effettuando le dovute semplificazioni:
2x7 + 3x6 + 8x + 12 x2 + 7x
(2x6 + 3) (x6 + 4) x (x 6 + 7)
x(x6 + 4)
·
=
·
=
2x + 14
2x + 3
2 (x 6 + 7)
2x6 + 3
2
1.6
Addizioni e sottrazioni fra frazioni algebriche
Ancora una volta partiamo da un esempio fra due frazioni numeriche:
7 5
+
8 6
Il primo passo è quello di trovare il minimo comune multiplo fra i denominatori. Per questo scomponiamo entrambi i denominatori: 8 = 23 ; 6 = 2 · 3. Ricordiamo che il minimo comune multiplo
si ottiene prendendo tutti i fattori delle scomposizioni (comuni e non comuni) con l’esponente maggiore. Quindi il m.c.m. cercato è 23 · 3 che è il denominatore della frazione somma. Effettuiamo la
divisione fra il m.c.m. appena trovato e il primo denominatore che è 23 :
23 · 3 : 23 = 3
moltiplichiamo il primo numeratore (7) per 3 e otteniamo 21. Ripetiamo il procedimento col secondo
denominatore:
23 · : 2 · 3 = 2 2
moltiplichiamo il secondo numeratore (5) per 22 e otteniamo 20. La somma risulta quindi:
21 + 20
41
=
23 · 3
24
Il procedimento è identico per tutte le frazioni algebriche, come emerge dai seguenti:
Esempi
. Effettuare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la seguente somma fra frazioni
algebriche:
2
x
+
x2 + 8x + 15 x2 + 10x + 25
Per le condizioni di esistenza scomponiamo entrambi i denominatori:
x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)
Alessandro Bocconi
13
da cui:
x + 3 = 0 → x = −3
x + 5 = 0 → x = −5
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
da cui:
x + 5 = 0 → x = −5
Riassumendo abbiamo le seguenti condizioni di esistenza:
C.E. = {x ∈ R
|x 6= −3;
x 6= −5}
Per effettuare la somma devo effettuare il minimo comune multiplo fra i 2 denominatori che abbiamo
già scomposto. Risulta che:
m.c.m.=(x + 3)(x + 5)2
Dividiamo, sotto forma di frazione, il m.c.m. per il primo denominatore:
(x 6 + 3) (x + 5)6 2
=x+5
(x 6 + 3)(x 6 + 5)
quindi il primo numeratore va moltiplicato per x + 5
Dividiamo, sempre sotto forma di frazione, il m.c.m. per il secondo denominatore:
(x + 3) (x +
6 5)2
=x+3
(x +
6 5)2
quindi il secondo numeratore va moltiplicato per x + 3
Ricapitolando otteniamo:
2
x
2(x + 5) + x(x + 3)
+
=
x2 + 8x + 15 x2 + 10x + 25
(x + 3)(x + 5)2
Al denominatore ci sono solo prodotti e conviene lasciarlo sotto questa forma. Al numeratore c’è
una somma e quindi dobbiamo effettuare i calcoli:
2(x + 5) + x(x + 3)
2x + 10 + x2 + 3x
x2 + 5x + 10
=
=
(x + 3)(x + 5)2
(x + 3)(x + 5)2
(x + 3)(x + 5)2
che completa l’addizione.
. Effettuare, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la seguente sottrazione fra frazioni
algebriche:
x−3
2
− 2
x + 4 x + 6x + 8
Per le condizioni di esistenza scomponiamo il secondo denominatore (il primo è di primo grado):
x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
da cui:
x + 2 = 0 → x = −2
x + 4 = 0 → x = −4
Dal primo denominatore si ottiene:
x + 4 = 0 → x = −4
Alessandro Bocconi
14
Riassumendo abbiamo le seguenti condizioni di esistenza:
C.E. = {x ∈ R
|x 6= −2;
x 6= −4}
Per effettuare la somma devo effettuare il minimo comune multiplo fra i 2 denominatori. Risulta
che:
m.c.m.=(x + 2)(x + 4)
Dividiamo, sotto forma di frazione, il m.c.m. per il primo denominatore:
(x 6 + 4) (x + 2)
=x+2
(x 6 + 4)
quindi il primo numeratore va moltiplicato per x + 2
Dividiamo, sempre sotto forma di frazione, il m.c.m. per il secondo denominatore:
(x 6 + 4)(x 6 + 2)
=1
(x 6 + 4)(x 6 + 2)
quindi il secondo numeratore va moltiplicato per 1 (cioè rimane lo stesso).
Ricapitolando otteniamo:
x−3
2
(x − 3)(x + 2) − 2
− 2
=
x + 4 x + 6x + 8
(x + 2)(x + 4)
Come in precedenza al denominatore ci sono solo prodotti e lo lasciamo sotto questa forma, mentre
al numeratore c’è una sottrazione e dobbiamo quindi effettuare i calcoli:
(x − 3)(x + 2) − 2
x2 + 2x − 3x − 6 − 2
x2 − x − 8
=
=
(x + 2)(x + 4)
(x + 2)(x + 4)
(x + 2)(x + 4)
che completa l’addizione.
1.7
Le equazioni fratte
Strettamente collegato all’argomento delle frazioni algebriche è quello delle equazioni fratte (o
frazionarie). Un’equazione si dice fratta se l’incognita x compare al denominatore.
Esempio
.
5
x−3
= 1 è un’equazione fratta
Dal momento che nelle equazioni fratte compare l’incognita al denominatore, bisogna determinare
qualcosa di molto simile alle condizioni di esistenza. Questo qualcosa lo chiamiamo dominio che è
definito come segue:
Definizione di dominio di un’equazione fratta. Il dominio di un’equazione fratta è l’insieme
delle soluzioni accettabili.
Alessandro Bocconi
15
La differenza con le condizioni di esistenza è abbastanza sottile, ma va comunque tenuta in considerazione: le condizioni di esistenza rappresentano l’insieme dei valori che possono assumere le
lettere affinché l’espressione abbia senso, mentre il dominio di un’equazione fratta è l’insieme delle
soluzioni accettabili (cioè si risolve l’equazione, si confronta la soluzione col dominio e si vede se
tale soluzione è accettabile).
In ogni caso il dominio si determina nello stesso modo delle condizioni di esistenza.
Ricordiamo che risolvere un’equazione significa determinare quel valore (o quei valori) che, sostituito
all’incognita rende l’equazione una uguaglianza vera. Per risolvere un’equazione fratta si procede
nel modo seguente:
Metodo per la risoluzione di un’equazione fratta
1. si determina il dominio
2. si individua il minimo comune multiplo fra tutti i denominatori.
3. si portano entrambi i termini dell’equazione a comun denominatore
4. si eliminano i denominatori
5. si risolve l’equazione intera
6. si verifica se la soluzione appartiene al dominio: se sı̀ possiamo accettarla, altrimenti l’equazione non ha soluzione
Esempi
.
Risolvere l’equazione:
5
x−3
=1
1) Dominio: abbiamo un unico denominatore, pertanto il dominio si determina ponendo:
x−3=0→x=3
pertanto
D = {x ∈ R
|x 6= 3}
2) Abbiamo un unico denominatore, quindi il minimo comune multiplo fra i denominatori coincide
con l’unico denominatore cioè x − 3.
3) Portiamo tutti i termini a comun denominatore x − 3:
5
x−3
=
x−3
x−3
4) Eliminiamo i denominatori:
5
x−3
6
=
x−3
x−3
6
5) Risolviamo l’equazione intera: 5 = x − 3:
5 = x − 3 → −x = −3 − 5 → x = 8
6) Confrontiamo la soluzione trovata con il dominio: dal momento che le soluzioni accettabili sono
tutte quelle diverse da 3, la soluzione x = 8 è accettabile e quindi possiamo scrivere:
S = {x ∈ R
.
|x = 8}
Risolvere l’equazione:
12
x2 −8x+12
−
3
x−6
=0
1) Dominio: per determinare il dominio dobbiamo scomporre il primo denominatore. Usando la
tecnica della somma e prodotto, otteniamo:
Alessandro Bocconi
16
x2 − 8x + 12 = (x − 2)(x − 6)
Pertanto i valori che annullano il denominatore sono x = 2 e x = 6.
Anche il secondo denominatore si annulla per x = 6, quindi il dominio risulta:
D = {x ∈ R
|x 6= 2, x 6= 6}
2) Il minimo comune multiplo è (x − 2)(x − 6).
3) Portiamo tutti i termini a comun denominatore (x − 2)(x − 6):
12
(x−2)(x−6)
−
3(x−2)
(x−2)(x−6)
=0
4) Eliminiamo i denominatori:
12
(x−2)(x−6)
6
−
3(x−2)
(x−2)(x−6)
6
=0
5) Risolviamo l’equazione intera: 12 − 3(x − 2) = 0:
12 − 3(x − 2) = 0 → 12 − 3x + 6 = 0 → −3x = −18 → x = 6
6) Confrontiamo la soluzione trovata con il dominio: dal momento che le soluzioni accettabili devono
essere diverse da 2 e da 6, la soluzione x = 6 non è accettabile e quindi l’equazione non ha soluzioni.
Quindi:
S=∅
1.8
Esercizi
Paragrafo 1.1
Determina il m.c.m. fra i seguenti polinomi:
1. x2 − 25;
x2 − 10x + 25
x2 − 7x + 12
2. x − 3;
3. 5x3 + 3x2 + 10x + 6;
4. x2 − 9;
x2 + 2
x2 + 3x + 2
Paragrafo 1.2
Determina le condizioni di esistenza delle seguenti frazioni algebriche
x2
4−2x
5.
5x−1
x+2 ;
6.
1
12+8x ;
7.
x−1
;
x2 −9
8.
5x3
;
x2 −10x+16
9.
5x+1
x ;
2+x2
5+8x
x2 −3
10x
x+7
x2
x
x2 −2x+1
Alessandro Bocconi
10.
17
2+x2
x2 −5x+6
2x−1
;
x2 −11x
Paragrafo 1.3
Semplifica le seguenti frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza
11.
x2 +11x+30
;
x2 +12x+36
12.
x2 −4x
;
x2 −6x+8
13.
x2 −1
;
x2 +x
14.
x2 +11x+30
;
x2 +12x+36
15.
4x5 +3x4 +8x+6
;
4x+3
x2 −4x+3
x2 −x−6
16.
3x9 +x8 −12x−4
;
3x+1
x2 +5x+4
x2 +4x
17.
x4 +3x3 +6x2
;
x3
x2 −4
x2 +4x+4
18.
2x−5
;
4x2 −20x+25
9x2 +6x+1
9x2 −1
x+1
x2 +6x+5
x2 −3x−10
x+2
x3
x2 +4x
8x
4x3 +16x2
Paragrafo 1.4 e Paragrafo 1.5
Esegui le seguenti operazioni fra frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di
esistenza
19.
x2 +11x+30
x−2
20.
x2
x+8
21.
x−5
x2 −9
22.
x2 +2x−15
x+10
23.
4x−1
x2 −16
24.
x2 +9x+18
x−4
25.
x2 +9x
x−1
26.
x2 +x−30
x−4
x2 +14x+48
x2 −36
x2 −64
;
x2 +3x
·
x2 +14x
x2 −2x+1
x2 −4
;
x2 +6x
·
x−3
;
x2 +2x−35
·
:
·
x−2
4x+8
x+10
x2 +2x−15
x2 −4x
;
16x2 −8x+1
·
x−6
x+8
·
4x
x2 −4x+4
2x2 −20x
x+5 ;
·
x−1
x+7
·
x+2
x+3
·
x+5
2x2 −20x
x+4
x+5
·
x2 +6x
;
x2 −16
x
x2 −2x+1
:
x2 −3x
x−1
x2 +10x+9
;
5
x−2
x2 −4x+4
:
10
x−2
:
:
x2 −5x
;
x2 −4x
2x+1
x2 −2x
:
4x2 −1
x
Paragrafo 1.6
Esegui le seguenti operazioni fra frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di
esistenza
27.
10
x2 −9x+6
28.
3
x−1
+
2x+5
;
x2 −2x+1
29.
x+1
x−1
+
x+2
x−2 ;
30.
x+2
x2 −25
+
+
2x
;
x2 −9
2x
x+5
x
x2 −5x+6
4
x2 −100
3
;
x2 +5x
+
−
x+1
4x
x+4
x2 +7x+10
+
2
x2 −6x+8
3x
x2 +12x+20
−
2
8x2 +12x
Alessandro Bocconi
31.
2
x2 +8x+15
32.
6x2
6x3 +12x2
33.
5x+1
x2 +9x+16
18
x+4
x+3 ;
+
1
x+1 ;
−
3
2
−
x
x+2
2
x2
+
8
x
1
x
+
x
x+1
3
x+7 ;
+
Esegui le seguenti espressioni fra frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di
esistenza
x2 +4x
x2 −1
34.
x+2
x−1
35.
x2 +2x+1
x−5
36.
x+2
x2 −7x+12
37.
−12
x2 −x−2
+
·
x+1
x+4
x2 −5x
x2 +4x+3
·
+
x2 +14
x2 −9
−
2x2 +28
x+3
:
x2 +4x+4
x−3
+
x+1
x+3
:
x2 −4
x−3
Paragrafo 1.7
Risolvi le seguenti equazioni fratte
38.
3
x−4
= −1
39.
2
x+4
=
40.
1
x2 −9x+20
S = {x ∈ R
1
3
S = {x ∈ R
=
1
x−5
4
2x−1
43.
2
x+1
44.
3
x2 +4x+4
=
45.
2
5x+20
4
x2 −2x−24
46.
16
x+7
47.
16
x2 +7x+10
+
8
4x2 −1
49.
2
x+3
=0
5
x+2
=2
48. − x212−9 +
=
4
5x
S=∅
=0
6
x2 −2x−3
+
|x = 21 }
S = {x ∈ R
42.
−
|x = 2}
S=∅
20
2x+1
41. 10 =
|x = 1}
=
S = {x ∈ R
S=∅
S = {x ∈ R
|x = 1}
=0
S = {x ∈ R
|x = 0}
|x = − 57 }
=0
4
x+2
2
x−3
S = {x ∈ R
|x = −1}
S=∅
S = {x ∈ R |x = 2}