Rumore nei sistemi di TLC

Appunti di Telecomunicazioni
Davide Micheli
1
INDICE:
RUMORE TERMICO NEI SISTEMI DI TLC ..............................................................................4
RUMORE INTERNO.............................................................................................................................4
RUMORE ESTERNO ............................................................................................................................9
SCELTA DELLA FREQUENZA DI LAVORO...........................................................................26
NOTE SULLA CIFRA DI RUMORE............................................................................................28
INTRODUZIONE................................................................................................................................28
REMINDER.......................................................................................................................................28
DEFINIZIONE DI TEMPERATURA EQUIVALENTE DI RUMORE ............................................................29
EQUIVALENT INPUT NOISE (EIN ) O EQUIVALENTE DI RUMORE IN INGRESSO ..................................30
DEFINIZIONE DI CIFRA DI RUMORE .................................................................................................31
CIFRA DI RUMORE DI UNA CASCATA DI DISPOSITIVI .........................................................................32
EIN DI UN DISPOSITIVO CON UNA TEMPERATURA D’INGRESSO T0 ...................................................33
CIFRA DI RUMORE DI UN ATTENUATORE A TEMPERATURA T0 ..........................................................34
MODELLO FISICO DI UN ATTENUATORE ...........................................................................................34
CIFRA DI RUMORE DI UN DISPOSITIVO PRECEDUTO DA UN ATTENUATORE .......................................36
CIFRA DI RUMORE DI UN POWER SPLITTER .....................................................................................37
CIFRA DI RUMORE DI UN INPUT RF MULTICOUPLER PER UNA STAZIONE RADIO BASE (SRB) PER
TELEFONIA MOBILE .........................................................................................................................38
SISTEMA RICEVENTE.................................................................................................................39
PREAMPLIFICAZIONE E CONVERSIONE DI FREQUENZA .................................................39
NON LINEARITÀ IN AMPIEZZA ...............................................................................................48
1 DB COMPRESSION POINT ..............................................................................................................57
BLOCKING .......................................................................................................................................59
C)
INTERCEPT POINT ................................................................................................................60
SPURIOUS FREE DYNAMIC RANGE (SFDR) ......................................................................................64
CONSIDERAZIONI SUL RUMORE IN UNA CATENA DI RICEZIONE RADIO
GENERICA ......................................................................................................................................68
ESEMPIO:
CALCOLO DELLA POTENZA RUMORE UNA CATENA RX PER TELEFONIA
MOBILE GSM
77
ANALISI DEL RUMORE DOPO L’INSERZIONE NELLA CATENA DI RICEZIONE
RADIO DI UN AMPLIFICATORE A BASSA CIFRA DI RUMORE (LNA) CON
L’ANALISI DEL C/N AD OGNI BLOCCO DELLA CATENA RX..........................................80
SEZ I ...............................................................................................................................................81
SEZ II ..............................................................................................................................................81
SEZ. III............................................................................................................................................81
SEZ. IV............................................................................................................................................81
ESEMPIO DI CALCOLO DEL C/N NEI VARI PUNTI DELLA CATENA RX ...............................................83
ANALISI DI ALCUNE TIPOLOGIE DI CATENE DI RICEZIONE RF DOVE SONO
UTILIZZATI LOW NOISE AMPLIFIER (LNA): VANTAGGI E SVANTAGGI ..................86
PREMESSA .......................................................................................................................................86
CATENA DI RIFERIMENTO: LNA NON PRESENTE .............................................................................88
CONFIGURAZIONE A: ANTENNA → LNA → CAVO .....................................................................89
CONFIGURAZIONE B: ANTENNA → CAVO → LNA......................................................................90
2
CONFIGURAZIONE C: ANTENNA → CAVO → LNA → ATTENUATORE ........................................91
OSSERVAZIONI E CONFRONTI RELATIVI AI TRE CASI ESAMINATI ......................................................92
GRAFICI DI CONFRONTO RELATIVI AI CASI ESAMINATI ....................................................................94
SCELTA DELL’LNA PER UNA CATENA DI RICEZIONE: CONVIENE MAGGIORE
GUADAGNO OPPURE MINORE CIFRA DI RUMORE ? .......................................................97
CONDIZIONE DI BLOCCO DEL RICEVITORE ......................................................................................98
1 DB COMPRESSION POINT ...............................................................................................................99
COMPARSA DI RUMORE DI INTERMODULAZIONE IM3 .....................................................................99
CALCOLO DELLA SENSIBILITÀ IN RICEZIONE PER UNA TRASMISSIONE
DIGITALE......................................................................................................................................101
MIGLIORAMENTO DELLA SENSIBILITÀ DI RICEZIONE DELLA STAZIONE RADIO MEDIANTE L’USO DI UN
LNA .............................................................................................................................................104
TRE SITUAZIONI DI CATENA DI RICEZIONE GSM MESSE A CONFRONTO IN TERMINI DI SENSIBILITÀ DI
RICEZIONE IN ANTENNA .................................................................................................................106
UNITÀ LOGARITMICHE PER ESPRIMERE LE POTENZE...............................................107
UNITÀ LOGARITMICHE DBM E DBµV...........................................................................................108
LE RELAZIONI RECIPROCHE SONO :..................................................................................108
UNITÀ LOGARITMICHE: PASSAGGIO
UNITÀ LOGARITMICHE: PASSAGGIO
DA DBµV A DBM .................................................................109
DA DBµV A DBµV/M ...........................................................110
TRATTA RADIO...........................................................................................................................114
TRATTA RADIO: TRASMISSIONE IN SPAZIO LIBERO.........................................................................114
SATELLITI PER TELECOMUNICAZIONI: ACCESSO DI TIPO FDMA ..........................117
POTENZA RICEVUTA DALLA STAZIONE DI TERRA ..........................................................................117
DEFINIZIONE DEL C/N PER UN COLLEGAMENTO SATELLITARE ......................................................118
CALCOLO DELLE COMPONENTI DI C/N .........................................................................................120
Tratta UP –Link ...................................................................................................................120
TRATTA DOWN-LINK.....................................................................................................122
FENOMENI DI ATTENUAZIONE E DEPOLARIZZAZIONE DURANTE LA PROPAGAZIONE RADIO DEL
SEGNALE .......................................................................................................................................124
Attenuazione non dovuta a pioggia o ghiaccio........................................................................124
Attenuazione dovuta a Rain effect............................................................................................125
ESEMPI CALCOLO DI LINK SATELLITARI.........................................................................................126
Esempio 1.................................................................................................................................126
Esempio 2.................................................................................................................................126
BIBLIOGRAFIA ...............................................................................................................................131
3
Rumore Termico nei sistemi di TLC
Il rumore rappresenta un ineliminabile contributo di disturbo che si sovrappone alla
trasmissione di un segnale che porta informazione e ne degrada le caratteristiche. In
effetti, nel caso di segnali analogici la qualità di trasmissione è espressa, in generale, dal
rapporto S/N tra la potenza del segnale utile e la potenza del rumore.
Nel caso di segnali numerici si ha un paramentro più esplicito, la cosiddetta probabilità di
errore sul bit Peb, che rappresenta il numero di bit (simboli binari) ricevuti, in media, non
correttamente sul totale dei bit trasmessi; anche Peb, peraltro, dipende dall’entità del
rumore presente nel sistema e può essere espresso in funzione del rapporto S/N che lo
caratterizza.
In definitiva, è quindi estremamente importante definire le proprietà del rumore termico,
per poter fornire metodi espliciti di valutazione del valore di N.
In questa prospettiva, il rumore termico verrà ora introdotto in termini essenzialmente
intuitivi, evidenziandone le peculiarità sia nel dominio del tempo, che in quello della
frequenza, e mettendo in conto, soprattutto le caratteristiche statistiche.
Il Rumore presente nel sistema di trasmissione proviene da numerose sorgenti che
possono essere raggruppate in due categorie principali: sorgenti interne, cioè sorgenti
che producono rumore all’interno dei circuiti del sistema di ricezione e sorgenti esterne
che producono rumore nello spazio esterno
Rumore Interno
Il rumore termico nei conduttori è dovuto all’agitazione termica degli elettroni liberi. Gli
elettroni, infatti, trovandosi ad una temperatura T diversa dallo zero assoluto (T=0 K è
l’unica condizione che consentirebbe di annullare il rumore termico) si muovono con moto
caotico e disordinato ( a rigore si tratta di un moto browniano) con velocità media che è
funzione della temperatura del conduttore. L’effetto del moto degli elettroni è di causare ai
capi del conduttore differenze di potenziale elementari che variano nel tempo in modo
casuale, in ampiezza, fase e frequenza. La differenza di potenziale globale agli estremi del
conduttore (sorgente) risulta dalla sovrapposizione delle infinite differenze di potenziale
elementari di frequenza comprese nella banda B che si sta considerando ed è
caratterizzata da una distribuzione di densità di probabilità di tipo gaussiano. Tale
differenza di potenziale è osservabile, ad esempio, con un oscilloscopio ad elevata
sensibilità. In termini espliciti, ciò significa che un conduttore reale, deve essere
rappresentato, ai fini del rumore, come un resistore ideale (privo di rumore) con in serie un
generatore di tensione v(t) ovvero, il che è lo stesso, come un resistore ideale con in
parallelo un generatore di corrente i(t).
Le rappresentazioni equivalenti sono mostrate in figura. Il passaggio dalla
rappresentazione serie a quella parallelo è possibile utilizzando concetti elementari di
elettrotecnica ed è giustificata dall’osservazione che così come si rileva una tensione a
vuoto v(t) ai capi di una resistenza (l’oscilloscopio di misura è in fatti caratterizzato da una
elevata impedenza di ingresso), per le stesse ragioni fisiche si registra una corrente
i(t)=v(t)/R quando i capi del conduttore sono cortocircuitati.
4
R ( non
rumorosa)
R (rumorosa)
i(t)
R ( non
rumorosa)
v(t)
figura 1
Stante la natura statistica del moto degli elettroni, la tensione v(t), che è il risultato
della combinazione di molteplici contributi, è una funzione aleatoria o più propriamente,
tenendo conto della presenza del tempo, un processo stocastico.
È facile intuire che il valore medio di questa funzione aleatoria è identicamente nullo,
ma essendo il valore istantaneo in generale diverso da zero, ad esso sarà associata una
potenza la cui valutazione costituisce uno dei punti chiave dell’analisi.
V(t)
0
figura 2
Si tratta di una potenza di rumore in quanto contributo indesiderato che si sovrappone al
segnale utile che può essere, ad esempio, applicato alla resistenza di carico di un circuito.
D’altro canto un rumore con caratteristiche analoghe a quelle del rumore termico è anche
presente nelle reti attive, con generatori controllati o indipendenti, ove esso è dovuto, oltre
che all’agitazione termica, anche alle fluttuazioni di corrente o di tensione dei generatori.
Al contrario sulla base di argomentazioni termodinamiche, essenzialmente riconducibili
alla conservazione dell’energia, si dimostra che un elemento reattivo (capacità o
induttanza) non genera rumore termico; è anche vero però, che un condensatore o un
induttanza reali hanno sempre associata una componente resistiva, e sarà quest’ultima
responsabile di una rumorosità in uscita dal bipolo complessivo risultante. Per lo stesso
prinicipio, un bipolo passivo comunque complesso comprendente elementi resistivi e
reattivi, che presenti ai morsetti un’impedenza Z(f)=R(f)+iX(f) genera un rumore in misura
proporzionale alla parte resistiva R(f).
Per il fatto che la tensione di rumore è il risultato della somma di numerosissimi contributi,
nessuno dei quali è dominante e che possono essere assunti, con buona
approssimazione, tra loro indipendenti, è lecito concludere che la tensione v, per
qualunque istante t, è una variabile gaussiana con valore medio µ=<v> nullo e
varianza σv2. si ha dunque:
5
f ( v) =
1
2πσ 2
e
1⎛ µ
− ⎜
2⎝ σ
⎞2
⎟
⎠
eq 1
per completare la descrizione statistica è necessario esplicitare il valore della varianza.
Essendo il valore medio uguale a zero, la varianza di v coincide con il valore quadratico
medio; si ha cioè:
σ v2 = v 2 − v = v 2
2
eq 2
D’altro canto, il valore quadratico medio di v coincide con la potenza del processo. In
definitiva, la varianza della variabile aleatoria v può essere estratta da una valutazione di
potenza.
In effetti, la potenza di rumore può essere misurata, e si scopre che essa cresce
proporzionalmente con:
1) il valore della resistenza R;
2) il valore della temperatura assoluta T a cui si trova la resistenza;
3) il valore della banda passante B del filtro interno all’apparato con cui si effettua la
misura.
La costante di proporzionalità è pari a 4K, dove K=1.38⋅10-23 J/K è la costante di
Boltzmann. In definitiva si ha dunque:
σ v2 = v 2 − v = v 2 = 4RKTB
2
eq 3
dove R è espressa in Ω, T in K, e la banda B in Hz.
D’altro canto da un punto di vista pratico, ciò che interessa calcolare è la potenza che un
conduttore rumoroso è in grado di erogare, in quanto sarà questa la misura diretta
dell’entità del disturbo, da confrontare con la potenza del segnale utile. Si faccia allora
riferimento alla figura sotto, dove R rappresenta la sorgente di rumore a cui è associato il
generatore di tensione v(t) o, equivalentemente il generatore di corrente i(t), mentre RL è
la resistenza di carico.
res serie R
V(t)
I(t)
carico RL
R
carico RL
figura 3
6
ovviamente interessa la situazione in cui si ha il massimo trasferimento di potenza. Come
è noto dall’elettrotecnica, ciò avviene per R=RL e la potenza corrispondente, nota come
potenza disponibile istantanea, vale
Pn (t ) = v L (t )i L (t ) =
v(t ) v(t ) v 2 (t ) Ri 2 (t )
R⋅
=
=
2R
2R
4R
4
eq 4
Anche Pn(t) è un processo stocastico, in quanto dato da v(t) e i(t), allora il valore medio,
indipendente dal tempo, è pari a:
v2
Pn =
4R
=
R i2
4
= KTB
⇒
v 2 =4 R ⋅ KTB
eq 5
Dove Pn = KTB discende da considerazioni di tipo fisico
Come è consuetudine, chiameremo Pn, semplicemente “potenza disponibile”.
Una interessante, e fondamentale, caratteristica della potenza Pn è che essa non dipende
dal valore della resistenza; resistenze di valore diverso ma che si trovino alla stessa
temperatura fisica erogando la stessa rumorosità.
La (5) d’altro canto conserva la proporzionalità della banda B dell’apparato di misura.
Ricordando i legame che c’è tra densità spettrale di potenza e potenza, possiamo allora
concludere che lo spettro di potenza del rumore termico, espresso in W/Hz, è costante ed
uguale a:
p( f ) =
KT
2
eq 6
nello scrivere la (6) si è tenuto conto del fatto che la potenza viene ricavata integrando la
densità spettrale tra –B e +B (rappresentazione bilatera).
+B
Pn =
KT
KT
df =
2 B = KTB
2
2
−B
∫
eq 7
Alternativamente, ci si potrebbe limitare a considerare le frequenze positive
(rappresentazione unilatera), nel qual caso l’integrale sarebbe esteso tra 0 e +B ed in
luogo della (6) si dovrebbe assumere uno spettro di potenza P(f)=KT (in modo da ottenere
lo stesso risultato in (7).
L’assunzione di una densità spettrale piatta per il rumore termico è in realtà accettabile
a patto di non considerare frequenze molto elevate.
Se infatti si integra la (7) tra -∞ e +∞, presupponendo di non avere limitazioni in banda, il
risultato che si ottiene è chiaramente infinito; e una potenza infinita non ha significato
fisico. In realtà, in conseguenza della validità della ripartizione quantistica dell’energia, la
(7) dovrebbe essere, a rigore, sostituita dall’espressione esatta:
7
p( f ) =
1
2
h f
eq 8
⎛h f ⎞
exp ⎜
⎟ −1
⎝ KT ⎠
la quale mostra, come è fisicamente plausibile, un andamento decrescente. Nella (8) h
rapresenta la costante di Planck pari a 6.62⋅10-34 J⋅s. e K al costante di Boltzamann
⎛ W
W S J⎞
k = 1.38 ⋅ 10 −23 in ⎜⎜
=
= ⎟⎟ l’espressione corretta della densità spettrale di
K
K⎠
⎝ K Hz
potenza p(f) può anche essere riscritta come segue:
KT
p( f ) =
2
h f
KT
KT
=
γ(f )
2
⎛h f ⎞
exp ⎜
⎟ −1
⎝ KT ⎠
eq 9
dove γ(f) ha il significato di “correzione quantistica”. Si verifica che a temperatura
ordinaria (T=300 K) e per f<<6⋅1012 Hz tale termine risulta praticamente uguale a 1
f <<
K
T = 2.1⋅1010 T
h
[ Hz ]
eq 10
E’ dunque evidente che assumere la (6) in luogo della più corretta (8), è lecito per le
trasmissioni a frequenze “convenzionali” sia in propagazione guidata che in propagazione
libera ( anche per questioni di disponibilità di dispositivi commerciali, le massime
frequenze di interesse per applicazioni radio sono comprese nella cosiddetta gamma EHFExtremely High Frequency, che va da 30 a 300 GHz).
Il discorso cambia quando si considerano trasmissioni a frequenze ottiche: Qui la
frequenza è dell’ordine di 1014 Hz e, corrispondentemente, la correzione quantistica a
temperatura ordinaria è dell’ordine di 10-6.
Si può dunque concludere che il rumore termico è praticamente assente a frequenze
ottiche. Nondimeno, ciò non significa che una trasmissione in fibra ottica, che avviene
sempre in modulazione, sia completamente immune da questa tipologia di disturbo: al
ricevitore, infatti, il segnale dovrà essere processato e riportato a frequenze elettroniche, e
un contributo di rumore termico sarà inevitabilmente introdotto dai relativi circuiti.
KT
, si ottiene la funzione di autocorrelazione del processo.
2
Quest’ultima per il teorema di Wiener-Khintchine p (ω ) = F [RSS (τ )] risulta allora delta di
Dirac allocata nell’origine. Si ha cioè esplicitamente:
Antitrasformando la p( f ) =
1
R (τ ) =
2π
+∞
1
∫−∞ p( f )e dω = 2π
jω t
KT jωt
KT ⎡ 1
e
d
ω
=
⎢
∫ 2
2 ⎣ 2π
−∞
+∞
⎤ KT
j ωt
e
d
1
⋅
ω
δ (τ )
⎥=
∫
2
−∞
⎦
+∞
eq 11
8
Questa è una caratteristica peculiare del rumore termico “ideale” che per B→∞ è in
effetti un “rumore bianco” (tutte le frequenze sono presenti ed hanno lo stesso peso).
Come conseguenza della (11), due generici campioni di rumore, n1 ed n2, sono tra loro
completamente incorrelati a patto che sia t1≠t2. In realtà si dimostra che in questo caso
l’incorrelazione implica la statistica indipendenza (che, in generale, è una proprietà più
restrittiva dell’incorrelazione). Si può dunque concludere che n1 ed n2 sono variabili
aleatorie statisticamente indipendenti per qualunque coppia di istanti t1≠t2.
Essendo le sorgenti di rumore essenzialmente indipendenti in senso statistico, ne deriva
che in un sistema lineare, come può essere considerato un sistema ricevente, la potenza
di rumore complessiva all’uscita è data dalla somma delle potenze delle singole sorgenti di
rumore.
Il rumore generato dai componenti attivi dei circuiti ( tubi elettronici e semiconduttori)
deriva essenzialmente dal fatto che la corrente elettrica in queste componenti è prodotta
dal movimento globalmente ordinato di un grande numero di elettroni le cui velocità e
direzioni di moto sono distribuite in maniera casuale intorno ad un valore medio. La
fluttuazione risultante della corrente intorno al valore medio agisce come rumore.
Rumore Esterno
Val la pena di rilevare che si parla di rumore termico anche per le antenne utilizzate come
trasduttori nei collegamenti radio. In particolare, si definisce una temperatura di antenna Ta
che contribuisce a determinare la qualità dell’apparato ricevente. Nondimeno Ta non è
necessariamente la temperatura fisica dell’antenna ( che tipicamente sulla Terra si trova a
290 K) ma una temperatura che tiene conto del rumore termico di fondo captato. Si sul
dire, a giustificare fisicamente l’asserto, che la resistenza effettiva dell’antenna non è una
resistenza termica ma una resistenza di radiazione.
Il valore di Ta dipende dalla direzione di puntamento dell’antenna. Se l’antenna punta lo
spazio profondo ( come si verifica per i ponti radio via satellite artificiale ) si ha un rumore
termico di fondo determinato dalla luminosità e dalla densità delle stelle nella zona di cielo
puntata ( ordine di grandezza poche decine di K). La situazione più favorevole si ha
quando vengono puntate zone con minima densità di stelle; in questo caso il valore di Ta si
aggira intorno ai 3 K ed è dovuto alla radiazione residua attribuita al “Big Bang” da cui,
secondo le tesi più accreditate, ha tratto origine l’universo. Solo se l’antenna punta il parte
il terreno e in parte l’atmosfera ( come si verifica per i ponti radio che sfruttano la
propagazione troposferica) il rumore termico è praticamente imposto dalla temperatura
ambiente, e quindi Ta ≅290 K.
I principali tipi di rumore esterno raccolto da un antenna sono:
• rumore cosmico, generato nello spazio esterno al sistema solare
• rumore solare, generato dal sole e dai suoi pianeti
• rumore terrestre, generato dalla terra e dalla sua atmosfera.
Per lo studio di tali sorgenti è utile introdurre il concetto di temperatura equivalente di
rumore.
Ovvero è quella temperatura che introdotta nella:
Pn = KTB
eq 12
9
fornisce la stessa potenza media di rumore prodotta dal componente considerato.
Nel caso di sorgenti esterne essa è utile per calcolare il contributo che le varie sorgenti di
rumore forniscono alla potenza di rumore complessiva.
Nel caso di sorgenti esterne, bisogna notare che il concetto di temperatura di rumore non
rispecchia interamente la realtà fisica. Infatti per sorgenti distribuite ed ancora più per
quelle discrete ( come il sole e le radiostelle), il rumore non è solamente di origine termica
e quindi il meccanismo di produzione del rumore non segue completamente la legge di
radiazione del cormpo nero ( Planck).
Altri meccanismi di produzione, accertati dalla radioastronomia, sono la radiazione
sincrotronica dovuta al movimento degli elettroni in presenza di campi magnetici negli
spazi circostanti corpi celesti ed interstellari e la emissione di nubi di idrogeno ionizzato.
Malgrado questo, conviene esprimere le potenze di rumore generate dalle varie sorgenti
esterne per mezzo di una temperatura equivalente di rumore dell’antenna ricevente.
Prima di proseguire con l’analisi delle sorgenti esterne è quindi utile definire la temperatura
di rumore di un antenna.
Temperatura di rumore di un’antenna
La potenza di rumore ricevuta da un’antenna viene calcolata in funzione della radianza B
della sorgente esterna verso cui è puntata.
Supponiamo che una certa regione dello spazio sia vista come un corpo nero
caratterizzato da una sua superficie ds che è vista dall’antenna attraverso un angolo
solido dΩ e con un’inclinazione θ rispetto all’antenna stessa.
Per semplicità rappresentativa si disegna un’antenna filiforme ma il discorso è a
prescindere dal tipo di antenna utilizzato.
Carico adattato
θ
dΩ
ds
Corpo nero
r
ZL=Z*
Antenna filiforme
figura 4
Si vuole valutare il rumore captato dall’antenna per effetto della radiazione del corpo nero.
Il rumore è quantificato con una potenza di rumore che si ritrova ai capi dell’antenna.
La sorgente è considerata come un corpo nero alla temperatura T. Se la sorgente
emettesse rumore di sola origine termica allora la temperatura equivalente, sarebbe
uguale alla temperatura fisica della sorgente. Nel caso generale T è la temperatura alla
quale un corpo nero fornisce la stessa potenza di rumore che fornirebbe se fosse di sola
origine termica.
10
La potenza che viene emessa dal corpo nero a temperatura T è quantificata tramite la
brillanza o radianza che viene emessa dalla sorgente considerata come un corpo nero.
Questa è data dalla approssimazione di Rayleigh-Jeans della legge di Planck valida per
frequenze relativamente basse come sono quelle radio di interesse.
B=
2 KT
λ
2
=
2 KT 2
ν
c2
W
⎡
⎤
⎢ Sr ⋅ Hz ⋅ m 2 ⎥
⎣
⎦
T =temperatura in [ Kelvin ]
eq 13
λ =Lunghezza d'onda [ m ]
K =costanante di Boltzamann=1.38 ⋅10-23 [ J/K ]
ν = frequenza [ Hz ]
Corpo nero
Un corpo nero è un corpo ipotetico che assorbe completamente tutte le lunghezze d’onda
incidenti su di esso
Questo corpo raggiungerà allora una temperatura di equilibrio e reirradierà energia tanto
rapidamente quanto esso assorbe
La brillanza del corpo nero obbedisce alla funzione di Plank:
B (T ) =
2hν 3
1
2
hν
c ⎛ KT
⎞
⎜ e − 1⎟
⎝
⎠
⎡ W ⎤
⎢ m 2 Hz ⎥
⎣
⎦
eq 14
Quando hν << kT, che i limite classico nella legge di Rayleigh-Jeans allora si ha:
B=
2ν 2
KT
c2
⇒
T=
c2 1
B
2K ν 2
eq 15
la (15) rappresenta la temperatura di brillanza una quantità che i radio astronomi usano
particolarmente.
Dal momento che la brillanza è espressa in W / Sr*m2*Hz allora per esprimere la potenza
in W / Sr cioè potenza per unità di angolo solido, è sufficiente moltiplicare la brillanza per
una superficie in m2 ed una banda in Hz
dW = B ⋅ ds ⋅ ∆f =
2 KT
λ2
⋅ ds ⋅ ∆f
[W]
eq 16
11
figura 5
Potenza irradiata dalla sorgente (copro nero)
La potenza W irradiata per angolo solido di questo oggetto (corpo nero) è il prodotto della
brillanza B per la superficie ds per la banda ∆f di frequenze considerate ed è espressa
da:
dW = B ⋅ ds ⋅ ∆f =
2 KT
λ2
⋅ ds ⋅ ∆f
[W]
eq 17
la densità di potenza a distanza r sull’antenna ricevente è data da:
dp =
dW
1 2 KT
1
= B ⋅ ds ⋅ ∆f 2 = 2 ⋅ ds ⋅ ∆f 2
2
r
r
r
λ
[W/m ]
2
eq 18
questa pertanto definisce a che distanza r si colloca il corpo nero rispetto all’antenna.
Per passare alla potenza ricevuta dal carico si può moltiplicare per l’area efficace
dell’antenna:
1 ⎞⎛ λ2 ⎞
⎛ 2 KT
dWr = dp ⋅ Aeff = ⎜ 2 ⋅ ds ⋅ ∆f 2 ⎟ ⎜ G
⎟
r ⎠ ⎝ 4π ⎠
⎝ λ
[W]
eq 19
poiché si ha una polarizzazione del tutto casuale tra trasmissione e ricezione ovvero si
può ipotizzare che metà della potenza venga trasmessa con una polarizzazione e metà
12
con un’altra polarizzazione, allora si assume un fattore ½ sulla potenza effettivamente
captata dall’antenna ricevente.
Inoltre a causa del fatto che il corpo nero radiante non è ideale segue che l’emissività sarà
in generale un numero minore di uno. Alla fine l’espressione della potenza ricevuta può
essere riscritta come:
1 ⎞⎛ λ2 ⎞ 1
⎛ 2 KT
dWr = dp ⋅ Aeff = ⎜ 2 ⋅ ds ⋅ ∆f 2 ⎟ ⎜ G
⎟ α
r ⎠ ⎝ 4π ⎠ 2
⎝ λ
1 G
= KT ⋅ ds ⋅ ∆f ⋅ 2 ⋅ α
ma
r 4π
1 G
= KT ⋅ r 2 d Ω ⋅ ∆f ⋅ 2 ⋅ α =
r 4π
sinϑ ⋅ dϑ ⋅ dφ
= KT ⋅ ∆f ⋅ G ⋅
⋅α
4π
θ
eq 20
r⋅dθ
r*sinθ
r
ds = r 2 d Ω = r 2sinϑ ⋅ dϑ ⋅ dφ
ds=r*sinθ *dφ* r*dθ=r2 sinθ *dθ *dφ
dθ
r*sinθ *dφ
φ
dφ
figura 6
la potenza complessivamente captata dall’antenna che è disponibile sul carico è data
dall’integrale su tutto l’angolo solido θ e Φ:
K ⋅ ∆f
Wr =
4π
2π π
∫ ∫ α (ϑ ,φ ) ⋅ G(ϑ ,φ ) ⋅ T(ϑ , φ )sinϑ ⋅ dϑ ⋅ dφ
0 0
T(ϑ , φ ) = temperatura di brillanza o temperatura di cielo
eq 21
G(ϑ , φ ) = guadagno di antenna nella direzione (ϑ , φ )
∆f = banda di frequenze considerata
13
sia T che G che α sono valutati in funzione della direzione di puntamento individuata dagli
angoli θ e Φ:
essendo
WR = KTA ∆f
eq 22
segue che la temperatura di antenna è data da:
TA =
•
•
•
WR
1
=
K ∆f 4π
2π π
∫ ∫ α (ϑ ,φ ) ⋅ G(ϑ , φ ) ⋅ T(ϑ ,φ )sinϑ ⋅ dϑ ⋅ dφ
eq 23
0 0
La temperatura di antenna è una temperatura fittizia che non è la temperatura
fisica dell’antenna ma corrisponde ad una temperatura che genera sulla resistenza
di radiazione una potenza di rumore pari alla potenza di rumore captata e
disponibile che è proveniente dall’esterno.
La temperatura di antenna è sostanzialmente la temperatura di brillanza delle
sorgenti esterne pesate attraverso il diagramma di radiazione dell’antenna. Essa
assume valori differenti in funzione della frequenza, quindi è il prodotto tra la
temperatura T, l’emissività α, ed il guadagno G dell’antenna, integrato sull’intero
angolo solido semisferico.
La resistenza di radiazione è utile per la schematizzazione circuitale di
un’antenna, è quella resistenza che percorsa dalla corrente che arriva ai morsetti di
antenna, genera una potenza dissipata pari alla potenza irradiata/captata
dall’antenna.
Per un collegamento punto punto, è evidente che conviene mantenere bassi i lobi laterali
in quanto se questi vanno a prelevare il segnale da sorgenti a temperatura molto elevata
aumenta complessivamente il rumore che si sovrappone al segnale ai capi dei morsetti di
antenna.
Rumore atmosferico e terrestre
L’ossigeno ed il vapore d’acqua presenti nell’atmosfera terrestre attenuano le onde radio.
Parte dell’energia così assorbita è reirradata come energia termica, cosicché del rumore
termico viene generato nell’atmosfera.
Dal grafico di figura che riporta la temperatura di antenna in funzione della frequenza nel
campo delle microonde, prendendo come parametro l’angolo di puntamento rispetto al
nord, è evidente che la temperatura di antenna non è la temperatura fisica dell’antenna.
14
figura 7
Dal grafico si nota che vi è una dipendenza dal puntamento dell’antenna, infatti puntando
verso l’orizzonte, aumenta il tratto di atmosfera che viene attraversato dall’onda
elettromagnetica e di conseguenza aumenta il rumore termico introdotto dall’atmosfera.
Le curve dipendono dalla frequenza in quanto i gas presenti nell’atmosfera emettono un
certo disturbo avendo anche loro una certa temperatura. In particolare intorno ai 60 GHz vi
è un picco dovuto all’ossigeno O2.
Dal grafico si nota anche il contributo del rumore galattico che per frequenze minori di
1GHz è non è più trascurabile.
Il rumore cosmico dovuto alla radiazione cosmica è pari a 3 Kelvin ed è stato originato
dal Big Bang, esso è spiegato in una nota successiva.
La figura non mostra il rumore proveniente dal sole che potrebbe essere in vista, questo
grafico è relativo ad un antenna posta a livello del mare a temperatura ambiente in
condizioni di cielo chiaro ovvero senza pioggia. This is why mm-wave & optical astronomers
prefer Hawai'i to Manchester. (Well, it's one of the reasons, anyway!...) Similar sorts of graphs can be drawn
for THz, infra-red and optical frequencies.
Sebbene il rumore di cielo possa essere calcolato a partire dall’attenuazione, esso è
normalmente determinato da grafici o tabelle in condizioni di cielo chiaro.
La figura sotto mostra un esempio relativo ad una antenna cassegrain; è riportata la
variazione del rumore di cielo in funzione dell’angolo di elevazione per due frequenze
prese come parametro. Ad 11 GHz la maggiore temperatura di rumore è causata da un
incremento di attenuazione per frequenze crescenti.
15
figura 8
Relativamente ai fenomeni di attenuazione cui si è accennato si riporta il grafico di
figura sotto che mostra l’assorbimento atmosferico per una trasmissione satellitare allo
zenith (90° di angolo di elevazione rispetto all’orizzonte)
figura 9
16
Due importanti punti di risonanza sotto i 100 GHz, sono dovuti al vapore acqua
concentrato intorno ai 22.235 GHz ed all’ossigeno tra 53.5 e 65.2 GHz. Pertanto le
bande per comunicazioni satellitari devono essere accuratamente scelte per evitare
l’assorbimento dei gas.
Un’ altro contributo al rumore di antenna è portato dalla pioggia, infatti accanto all’effetto
di attenuazione per depolarizzazione dell’onda elettromagnetica, le gocce di pioggia
portano con se una radiazione termica.
L’incremento del rumore di antenna dovuto a pioggia può essere stimato secondo il
modello dato dall’equazione seguente:
A
−
⎛
⎞
4.34
Tb = 280 ⋅ ⎜1 − e
⎟
⎝
⎠
[K]
eq 24
dove A è l’attenuazione per pioggia in dB. Questo termine di rumore va aggiunto al
rumore di antenna in condizioni di cielo chiaro quando si debba calcolare il margine sul
C/N in presenza di pioggia.
Il numero 280 nell’equazione è chiamata temperatura effettiva della pioggia e viene
preso nell’intervallo 270-290 K.
Pertanto in condizioni di pioggia si ha un doppio effetto, l’aumento dell’attenuazione e
l’aumento della temperatura di antenna.
Per ulteriore dettagli sull’attenuazione atmosferica si riporta un grafico in figura sotto.
questo grafico è relativo ad una atmosfera standard, e l’attenuazione è considerata per
un antenna posta a livello del mare.
In pratica tuttavia, pioggia, neve, nebbia , possono incrementare significativamente il livello
di attenuazione, soprattutto nella regione da infrarosso a ultravioletto.
figura 10
17
Relativamente al rumore terrestre si può dire che la superficie terrestre si comporta come
un corpo nero alla temperatura media di 290 K e quindi può essere considerato come
una sorgente diffusa con temperatura di rumore pari a 290 K.
Il rumore generato dalla Terra può contribuire notevolmente alla temperatura di rumore
delle antenne; infatti quelle poste sulla sua superficie ricevono il rumore terrestre
attraverso i lobi laterali ad anche attraverso il lobo principale quando l’angolo di elevazione
dell’antenna è prossimo a zero gradi.
Per quanto riguarda le antenne montate su veicoli spaziali la loro temperatura di rumore
non può scendere al di sotto dei 290 K se sono a forte guadagno in modo da comprendere
nel fascio l’intera superficie terrestre.
Rumore Galattico
Il rumore galattico proviene da innumerevoli corpi celesti che formano la nostra galassia e
dai relativi spazi interstellari. A causa della elevata densità di stelle il rumore galattico si
può considerare come generato da una sorgente diffusa con intensità variabile a seconda
della direzione di provenienza, come hanno messo in evidenza le misure
radioastronomiche. Se infatti l’antenna è puntata nel piano della galassia ( verso la via
lattea) la sua temperatura di rumore è più alta in quanto un maggior numero di corpi
celesti è compreso entro il suo fascio. La temperatura invece diminuisce spostando il
fascio dell’antenna fuori dal piano galattico.
Le misure effettuate, per mezzo di radiotelescopi, hanno inoltre messo in evidenza che la
temperatura di rumore galattico è funzione della frequenza secondo la legge
approssimata:
T ⎛ f ⎞
=⎜ ⎟
T0 ⎝ f 0 ⎠
−2.5
eq 25
il grafico di figura fornisce, in funzione della frequenza, i valori massimi e minimi della
temperatura di rumore galattico TAD per antenne puntate rispettivamente nel piano
galattico e perpendicolarmente ad esse verso la zona di spazio ( declinazione 0°,
ascensione retta 2 ore) più fredda
18
Anomalia vera
Inclinazione del
piano orbitale
del satellite rispetto
Al piano equatoriale
terrestre, l’angolo “i”
è misurato tra l’asse
polare terrestre e il
Vettore “h” relativo
al Momento della
Quantità di moto del
Satellite lungo l’orbita
Argomento
del Perigeo
Ascensione retta
del nodo ascendente
figura 11
Radiostelle
Le sorgenti discrete di rumore nel campo delle radioonde, sono chiamate radiostelle.
Non sempre le radiostelle corrispondono a corpi celesti visibili ( stelle, galassie, ecc.). nella
tabella seguente sono elencate alcune tra le più intense radiostelle: si tratta di nebulose o
lontane galassie:
NOME
DECLINAZIONE
Cassiopea A
Cigno A
Toro A
Centauro A
Vergine A
+58°
+40°
+22°
-42°
+12°
30’
36’
1’
37’
41’
ASCENSIONE
RETTA
23 h 21’
19 h 58’
5 h 32’
13 h 22’
12 h 28’
DENSITA’ DI FLUSSO A 100
MHz (W/m2 Hz)
1.7⋅10-22
1,25⋅10-22
1.85⋅10-23
1.85⋅10-23
1.25⋅10-23
Il grafico di figura da l’andamento della densità di flusso, in funzione della frequenza, per
Cassiopea A:
19
figura 12
per le sorgenti discrete, la intensità del rumore è data di solito come densità di flusso F
sull’unità di superficie ricevente ed è quindi misurata in (W/m2⋅Hz). Per passare dal valore
della densità di flusso alla temperatura equivalente di rumore della sorgente si
procede applicando la formula già vista:
TA =
WR
1
=
K ∆f 4π
2π π
∫ ∫ α (ϑ ,φ ) ⋅ G(ϑ , φ ) ⋅ T(ϑ ,φ )sinϑ ⋅ dϑ ⋅ dφ
eq 26
0 0
ovvero si valuta la temperatura di antenna con una misura di rumore che si ha in ingresso
al ricevitore. Una volta nota la TA si può definire la temperatura della sorgente T(ϑ,φ). Gli
strumenti utilizzati per tali misure sono i radiometri.
È un classico problema inverso in quanto l’incognita compare sotto il segno di integrale. È
un problema posto male in quanto esistono molte funzioni integrande che danno lo stesso
integrale.
Per misurare la temperatura di brillanza, occorre un antenna molto direttiva in modo tale
che lo spazio circostante venga sanzionato con un lobo estremamente stretto e quindi
tutta la radiazione emessa o captata dall’antenna avviene attraverso un angolo solido
estremamente piccolo. Pertanto punto per punto si scanziona il cielo. Si può
ragionevolmente affermare che il diagramma di radiazione dell’antenna e quindi il suo
guadagno rimane costante all’interno del piccolo angolo solido (qualche frazione di grado).
e vale circa 0 all’esterno di questo angolo, ovvero tutta la potenza è confinata in ∆Ω.
Come mostrato in figura
20
∆Ω
ϑ0
φ0
figura 13
Detta Wr la potenza irradiata dall’antenna allora la densità di potenza corrispondente
per unità di angolo solido è:
P max =
Wr
r 2 ∆Ω
eq 27
la densità di potenza isotropica è invece:
Piso =
Wr
4π r 2
eq 28
allora la direttività ovvero la densità di potenza irradiata rispetto alla isotropica vale:
D=
Wr
4π
=
2
∆Ω
4π r
Pmax
W
= 2 r
Piso r ∆Ω
eq 29
supponendo che non ci sono perdite allora la potenza ricevuta è pari a quella massima e
pertanto si può porre la direttività uguale al guadagno D=G:
G=D
Wr
=D
Wtot
se Wr =Wtot ovvero non ci sono perdite
eq 30
ed inserendola nella
W
1
TA = R =
K ∆f 4π
2π π
∫ ∫ α (ϑ ,φ ) ⋅ G(ϑ , φ ) ⋅ T(ϑ ,φ )sinϑ ⋅ dϑ ⋅ dφ
eq 31
0 0
e supponendo la emissività α unitaria si ottiene
21
1
TA =
4π
2π π
4π
∫ ∫ 1⋅ ∆Ω ⋅ T(ϑ , φ )sinϑ ⋅ dϑ ⋅ dφ ≈ T (ϑ , φ )
0
0
valida per angoli piccoli, fraz grado eq 32
0 0
che è la temperatura di cielo uguale alla temperatura di antenna. In questo modo si può
fare una mappatura del cielo e quindi si può stabilire la temperatura di brillanza alle
diverse frequenze, dello spazio circostante.
Rumore del sistema solare
il Sole è di gran lunga la sorgente più intensa di rumore nello spettro delle radioonde vedi
figura. La temperatura equivalente di rumore varia notevolmente in dipendenza del suo
stato di attività che come è noto ha un periodo di 11 anni. Come riportato in figura
figura 14
22
nel diagramma di figura sono riportati, in funzione della frequenza, i valori massimi
(massima attività del sole) e minimi (sole in quiete) della temperatura equivalente di
rumore del disco solare. I valori usuali di temperatura sono normalmente vicini alla curva
del minimo.
figura 15
Va sottolineato che i sistemi di telecomunicazione dotati di antenne ad elevato guadagno
Vengono a trovarsi in condizioni critiche se il sole è compreso entro il lobo principale
dell’antenna. Anche i pianeti del sistema solare e la Luna sono sorgenti di rumore sebbene
di intensità trascurabili nella maggior parte dei casi. Diventano importanti solo per antenne
ad elevato guadagno che, per la particolare missione da compiere, vengono puntate verso
uno di tali copri celesti.
Il rumore prodotto dalla luna varia nel tempo leggermente a seconda delle fasi lunari,
Fenomeno analogo si ha anche per i pianeti. Nella tabella seguente sono riportati i valori
medi della temperatura di rumore della Luna e dei pianeti principali.
PIANETA FREQUENZA
MISURA
Venere
10 Km Hz
Marte
10
Giove
10
Luna
1-10
DI TEMPERATURA
RUMORE (K)
600
200
150
250
DI DENSITà DI FLUSSO
(W/m2)
4.5⋅10-23
Per i pianeti non sono riportate le densità di flusso in quanto la loro distanza dalla Terra è
notevolmente variabile.
23
Breve storia della radiazione cosmica di fondo
Il secolo scorso è stato testimone della nascita di una nuova visione dell'Universo, grazie allo sviluppo
tecnico e teorico delle varie branche dell'astronomia.
Nei primi decenni del novecento si ebbe la definitiva certezza che l'Universo non finisse ai bordi della nostra
Galassia: essa altro non era che una delle tante "isole" di stelle esistenti nello spazio cosmico. Grazie al
lavoro che Edwin P. Hubble svolse a partire dal 1929, si scoprì che tutti gli oggetti extragalattici (vale a dire
le galassie) presentavano un moto di allontanamento (o recessione) rispetto a noi, in qualunque direzione si
osservasse: quanto maggiore era la distanza di una galassia dalla Via Lattea, tanto maggiore risultava la
sua velocità di recessione, essendo quest'ultima direttamente proporzionale alla distanza della galassia, per
mezzo di una costante Ho, chiamata successivamente costante di Hubble.
La scoperta del moto di recessione, avvenuta osservando lo spostamento verso il rosso delle righe spettrali
delle galassie, poneva così una serie di nuovi interrogativi sulla geometria dell'Universo e sulla sua
evoluzione. In definitiva, se gli oggetti extragalattici presentavano un moto di allontanamento reciproco, era
logico supporre che l'Universo avesse avuto un'origine, sia nello spazio sia nel tempo.
A conferma di ciò, negli anni quaranta, George Gamow e i suoi collaboratori, Ralph A. Alpher e Robert R.
Herman, svilupparono una teoria sulla sintesi dei nuclei atomici (nucleosintesi primordiale) volta a spiegare
l'origine della materia presente nell'Universo. I loro calcoli prendevano l'avvio da meno di un secondo dopo
la nascita dell'Universo, avvenuta attraverso un'immane esplosione o Big Bang, quando l'Universo era
ancora un "brodo" estremamente caldo e denso di protoni, neutroni, elettroni e altre particelle elementari. Il
Big Bang costituiva l'atto di nascita non solo di tutta la materia e la radiazione osservabili, ma dello stesso
tessuto spazio-temporale! La velocità di recessione delle galassie, scoperta da Edwin Hubble qualche anno
prima, era la diretta conseguenza del moto di espansione generato dal Big Bang.
Lo spostamento verso il rosso delle righe spettrali
Per giustificare le abbondanze osservate degli elementi e le dimensioni tipiche delle strutture su larga scala
dell'Universo, come gli ammassi di galassie, doveva essere esistita un'epoca in cui la radiazione (i fotoni) e
la materia erano state fortemente "interagenti", in uno stato, definito dai fisici, di accoppiamento termico.
Nei primi istanti dopo il Big Bang, la temperatura dell'Universo era stata talmente elevata da impedire la
formazione di nuclei atomici stabili: i fotoni avevano un'energia media così alta da distruggere ogni possibile
legame stabile fra le particelle. L'espansione dell'Universo, però, aveva portato via via a un graduale
abbassamento della temperatura, fino al punto in cui l'energia dei fotoni non fu più tale da impedire la
formazione di nuclei stabili, anche se era ancora sufficientemente elevata da ostacolare la formazione dei
primi elementi, impedendo il legame fra gli elettroni e i protoni.
Il graduale raffreddamento dell'Universo, fino a una temperatura inferiore ai 4000 gradi sopra lo zero
assoluto, aveva segnato la transizione da un'era "dominata dalla radiazione", in cui la maggior parte
dell'energia era sotto forma di radiazione, a un'era "dominata dalla materia", in cui la maggior parte
dell'energia era, ed è tuttora, intrappolata nella massa. A questo punto l'accoppiamento termico si era rotto e
le "storie" della radiazione e della materia avevano preso due vie distinte: in altre parole, radiazione e
materia si erano disaccoppiate.
L'Universo era diventato trasparente alla radiazione, cosicché i fotoni avevano iniziato a viaggiare
indisturbati attraverso distanze sempre maggiori, mentre il processo di aggregazione della materia per
collasso gravitazionale, non più ostacolato dall'effetto "viscoso" dovuto all'interazione con la radiazione,
aveva portato pian piano alla formazione delle prime masse, e quindi delle prime stelle.
24
Come si poteva essere certi che tale "visione" non fosse dovuta a un'errata interpretazione di ciò che si
stava osservando?
Nel 1948 Ralph Alpher e Robert Herman, sulla base della teoria da loro sviluppata, previdero l'esistenza di
un fondo di radiazione, risalente all'epoca del disaccoppiamento tra materia e radiazione. Secondo i loro
calcoli, tale radiazione, ormai rarefatta e raffreddata a causa dell'espansione dell'Universo, aveva una
temperatura non superiore ai 5 gradi Kelvin, e doveva essere, in qualche modo, osservabile ...
Arriviamo al 1964, anno in cui, Arno Penzias e Robert Wilson, per conto del "Bell Telephone Laboratory",
utilizzano un'antenna a corno del diametro di 6 metri, allo scopo di misurare l'intensità delle onde radio
provenienti dalla Via Lattea.
Tale tipo di misura risultò molto difficoltoso, in quanto il segnale si presentava come una sorta di rumore,
simile a quello che ascoltiamo da una radio in presenza di scariche temporalesche. Era dunque necessario
conoscere a fondo ogni sorgente di rumore aggiuntivo, come le interferenze dovute all'elettronica,
all'atmosfera e quelle provenienti dalla stessa antenna, per tenerne successivamente conto. Nonostante
fossero state individuate tutte le possibili sorgenti di rumore note, le misure presentavano ancora un
"eccesso di rumore" non giustificabile, indipendente dalla direzione verso la quale veniva puntata l'antenna o
dai cicli diurni e stagionali. Qualsiasi ulteriore accorgimento, in seguito adottato, non fu sufficiente a
eliminare tale "eccesso", che corrispondeva a una temperatura equivalente d'antenna compresa fra i 2,5 e i
4,5 gradi al di sopra dello zero assoluto.
Contemporaneamente un fisico sperimentale di Princeton, Robert H. Dickie, in virtù di quanto teorizzato da
Gamow, stava organizzando in collaborazione con P.G. Rolle, D.T. Wilkinson e successivamente con P.J.E.
Peebles, una campagna osservativa alla ricerca della radiazione "fossile" che doveva essere osservabile, se
si considerava valida la teoria del Big Bang. I due gruppi di ricerca iniziarono a collaborare,comprendendo
con sempre maggior chiarezza che "l'eccesso di rumore" osservato da Penzias e Wilson non solo era di
origine extragalattica, ma era quasi certamente il residuo della "fase calda" dell'Universo, vale a dire la
radiazione "fossile" cercata da Dickie. L'"eccesso di rumore" misurato da Penzias e Wilson, noto oggi con il
nome di radiazione cosmica di fondo, costituisce una delle più importanti scoperte del secolo scorso, per la
quale è stato conferito ai due ricercatori del "Bell Telephone Laboratory" il premio Nobel nel 1978..
Perché la radiazione cosmica di fondo (Cosmic Microwave Background Radiation) è, dunque, così
importante per la cosmologia?
La scoperta della CMBR ha aperto una nuova serie di interrogativi circa la geometria e la formazione delle
strutture su larga scala dell'Universo. Nel 1990, il satellite COBE (COsmic Background Explorer) della NASA
ha confermato che la radiazione cosmica di fondo ha lo stesso profilo di intensità previsto dalle attuali teorie
(incredibilmente in accordo con quello di un "corpo nero").
25
Scelta della frequenza di lavoro
Se l’obiettivo è la trasmissione dalla Terra allo spazio, l’energia elettromagnetica che si
vuole trasferire deve attraversare l’atmosfera, la ionosfera, ed eventualmente strati di
nuvole.
• La ionosfera è opaca al di sotto della sua frequenza critica (legata alla
concentrazione degli elettroni liberi) che è dell’ordine di qualche KHz.
• Le nuvole sono opache al di sopra dei 10-12 GHz
• Infine l’atmosfera è trasparente al di sotto dei 20 GHz circa oltre che naturalmente
nella gamma del visibile.
• Il diagramma di figura sotto illustra la situazione e mette in evidenza la banda di
frequenze sempre utilizzabili per le comunicazioni spaziali.
Banda sempre disponibile
per TLC spaziali 30Mhz—10 Ghz
Ionosfera
Nuvole
Atmosfera
Hz
4
10
6
10
8
10
10
10
12
10
14
16
10
10
Visibile
Onde radio
Infrarosso
18
10
Raggi X
Ultravioletto
figura 16
Per ottimizzare la scelta della frequenza di lavoro nella banda 30Mhz—10GHz, occorre
dare la preferenza alla gamma di frequenze entro la quale il rumore esterno è minimo, e
dove contemporaneamente l’attenuazione è minima.
26
figura 17
La gamma risultante che è sempre funzione dell’angolo di elevazione dell’antenna è per
un angolo di 30° compresa tra 800 MHz ed 10 GHz.
Sopra i 10 GHz ci sono due punti intorno a 22 GHz e 55 GHz dove l’attenuazione
atmosferica dovuta a risonanza delle molecole di H20 e O2 aumenta.
Le Bande satellitari attualmente utilizzate sono le seguenti:
L BAND 1-2 GHZ
S BAND 2.5-4 GHZ
C BAND 3.7-8 GHZ
X BAND 7.25-12 GHZ
Ku BAND 12-18 GHZ
Ka BAND 18-30.4 GHZ
V BAND 37.5-50.2 GHZ
MOBILE SERVICES
MOBILE SERVICES
FIXED SERVICES
MILITARY
FIXED SERVICES
FIXED SERVICES
FIXED SERVICES
27
Note sulla cifra di rumore
Introduzione
Questo documento descrive le formule base relative alla cifra di rumore. Tutte le formule e
i calcoli sono basati sull’assunzione che la sorgente e il carico di ogni dispositivo abbiano
impedenze perfettamente adattate.
Tutte le potenze sono intese come potenze disponibili grazie all’adattamento delle
impedenze sulle porte dei dispositivi.
Le temperature sono espresse in K (Kelvin).
La relazione tra Kelvin e °C è:
K = °C + 273.
eq 33
Molte formule fanno riferimento alla temperatura di riferimento che è uguale che è 300 K
corrispondente a +27 °.
Reminder
La potenza disponibile N (Watt) ai terminali di un resistore a temperatura T (k) e data da:
N (W ) =
η
2
2B =
kT
2 B = kTB
2
eq 34
dove:
η
kT
è la bilateral noise spectral power density (W/Hz),
2
2
⎛ W
W S J⎞
k = 1.38 ⋅ 10 −23 è la costante di Boltzmann ⎜⎜
=
= ⎟⎟
K
K⎠
⎝ K Hz
T è la temperatura di rumore (k)
=
B è la larghezza di banda monolaterale espressa in Hz.
Il termine kTo è spesso espresso in dBm/Hz, ed è dato da:
⎛ [kT0 ][mW / Hz ] ⎞
⎞
⎛ [kT ]
⎟ = 10 log 10 ⎜ 0 −3[W / Hz ] ⎟ =
⎟
⎜
⎟
⎝ 10 [W ] ⎠
⎝ 1[mW ]
⎠
1.38 ⋅ 10 −23 [W /( K ⋅Hz )] [300 ][K ] ⋅ 1000 ⎞
⎟ = −174 dBm / Hz
⎟
1[W ]
⎠
(kT0 )dBm / Hz = 10 log 10 ⎜⎜
⎛
= 10 log 10 ⎜
⎜
⎝
[
eq 35
]
28
Definizione di Temperatura equivalente di Rumore
Si consideri un dispositivo le cui porte di ingresso e uscita siano connesse con carichi
adattati, come mostrato in figura
Poniamo che G sia il guadagno in potenza; Si, Ni la potenza di segnale e di rumore
presenti in ingresso al dispositivo e So e No sono le potenze di segnale e di rumore in
uscita al dispositivo
Impedance
matched
Si Ni
G
So No
Impedance
matched load
figura 18
Il dispositivo amplificherà la potenza di segnale e quella di rumore presenti in ingresso
dello stesso fattore G, ma aggiungerà in uscita anche la potenza di rumore generata
internamente. Così si ha:
So = G Si
(W)
N o = G N i + ∆N = G (kTi B ) + ∆N
(W)
eq 36
E’ consuetudine rappresentare il comportamento delle sorgenti di rumore utilizzando un
modello basato su quello del rumore termico.
La temperatura di rumore di una sorgente corrisponde allora alla temperatura
termodinamica di una resistenza che renda disponibile la stessa potenza di rumore della
sorgente in questione.
La Temperatura Equivalente Te è definita come la temperatura di rumore addizionale
che dovrebbe produrre la stessa potenza di rumore presente all’uscita del dispositivo reale
quando viene posta in ingresso ad un dispositivo identico ma ideale dal punto di vista del
rumore. Si può pensare di riportare il ∆N in ingresso dividendolo per il guadagno G,
ottenendo in definitiva un ulteriore ingresso al dispositivo per la potenza di rumore,
quest’ultima pari a ∆N/G è quindi uguale a KTeB.
La situazione è mostrata in figura
Real (noisy)
Impedance
matched source
Si Ni
G
So No
Impedance
matched load
No= (kTiB)G + ∆N
Ni= kTiB
Ideal (not noisy)
Impedance
matched source
S, Ni
G
So No
Impedance
matched load
No= [(Ti+Te)B]G
Ni= kTiB+KTeB
figura 19
29
Dalle due espressioni di No abbiamo
(kTi B )G + ∆N = [k (Ti + Te )B ]G
⇒
kTe B =
Te =
∆N
kGB
⇒
∆N = (kTe B )G
⇒
∆N
G
eq 37
eq 38
N 0 = N i G + kTe BG = (kTi B + kTe B )G = k (Ti + Te )BG
eq 39
Le espressioni viste per Te sono poco usate, esse sono utili per comprendere il significato
fisico della temperatura equivalente Te. Notare che Te non dipende da Ti, in quanto è un
parametro caratteristico del dispositivo.
Equivalent Input Noise (EIN ) o equivalente di rumore in ingresso
L’ Equivalent Input Noise (EIN) di un dispositivo è definito come segue
EIN = k (Ti + Te )B
(W)
eq 40
Da questa equazione si ricava che la potenza di rumore disponibile per ogni dispositivo
può essere espressa come:
N o = k (Ti + Te )BG = EIN ⋅ G
(W)
eq 41
30
Definizione di Cifra di Rumore
La cifra di rumore può essere definita come il rapporto tra SNR (Signal-to-Noise-Ratio) di
ingresso e SNR di uscita del dispositivo. Poiché questo rapporto dipende dal rumore in
ingresso al dispositivo (in quanto funzione dalla temperatura di rumore Ti di riferimento), al
fine di evitare ambiguità, la Cifra di Rumore è riferita alla situazione in cui la temperatura
di riferimento è Ti=T0 (=300 k, circa 27 °C). La cifra di rumore è allora definita come:
⎡ (S N )i ⎤
F=⎢
⎥
⎣ (S N )o ⎦ Ti =T0
eq 42
Da questa equazione possiamo derivare la relazione tra F e Te :
⎡ (S N )i ⎤
F=⎢
⎥
⎣ (S N )o ⎦ Ti =T0
F = 1+
Si
⎤
⎡
⎥
⎢
⎡ T + Te ⎤
⎡ T ⎤
kTi B
T
⎥
=⎢ i
= ⎢1 + e ⎥
=⎢
= 1+ e
⎥
SiG
To
⎥
⎢
⎣ Ti ⎦ Ti =To ⎣ Ti ⎦ Ti =To
⎢ k (T + T ) BG ⎥
i
e
⎦ Ti =To
⎣
Te
T0
eq 43
equivalentemente
Te = T0 (F − 1)
eq 44
EIN = k (Te + T0 )B = k [T0 (F − 1) + T0 ]B = k [T0 F − T0 + T0 ]B = kT0 BF
eq 45
In alcuni casi la cifra di rumore può trovarsi espressa in funzione del rapporto tra il rumore
in uscita del dispositivo reale e quello in uscita del dispositivo ideale alla temperatura di
riferimento :
⎡ N o real (noisy) device ⎤
F =⎢
⎥
⎣⎢ N o ideal (not noisy) device ⎦⎥ Ti =T0
eq 46
31
⎡ N o real (noisy) device ⎤
⎡ k (T + T )B ⎤
⎡ k (T + T )BG ⎤
F =⎢
=
=⎢ i e ⎥
=⎢ i e
⎥
⎥
⎣⎢ N o ideal (not noisy) device ⎦⎥ Ti =T0 ⎣ kTi BG ⎦ Ti =T0 ⎣ kTi B ⎦ Ti =T0
⎡ potenza rumore ⎤
⎢ in uscita riportata ⎥
⎥
⎢
⎥
⎢ all' ingresso
T +T
T
= 0 e =1+ e
=⎢
⎥
kTi B
T0
T0
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎦ Ti =T0
⎣
[
dove N o
ideal (not noisy) device
= kT0 B
]
eq 47
da cui segue che la potenza equivalente di rumore del dispositivo ( cioè la potenza di
rumore di uscita riportata all’ingresso di un dispositivo ideale che produce in uscita la
stessa potenza di rumore del dispositivo reale) è semplicemente data dal prodotto tra:
N 0 real = F ⋅ N 0
ideal
= F ⋅ KT0 B
eq 48
La Cifra di rumore che si misura in dB viene correntemente utilizzata nel progetto di ponti
radio, viceversa la Temperatura di Rumore, che fornisce una descrizione più fine su
scala lineare, viene usata più diffusamente nell’ambito dei sistemi
Cifra di rumore di una cascata di dispositivi
Consideriamo una cascata di dispositivi come mostrato in figura
Impedance
matched
source
Si Ni
G1, F1
G2, F2
S0 No
Impedance
matched
load
G,F
figura 20
⎡ (S N )i ⎤
F =⎢
⎥
⎣ (S N )o ⎦ Ti =T0
Si
Si
⎤
⎡
⎤
⎡
⎡ Si ⎤
⎥
⎢
⎥
⎢
⎢ kT B ⎥
kTi B
kTi B
i
⎥
⎥
⎥
=
=⎢
=⎢
=⎢
Si G1G2
Si G1G2
⎥
⎢
⎥
⎢
⎢ Si G1G2 ⎥
⎢⎣ [k (Ti + Te1 )BG1 + kTe 2 B ]G2 ⎥⎦
⎢⎣ (EIN1G1 + kTe 2 B )G2 ⎥⎦
⎢⎣ EIN 2G2 ⎥⎦
Ti =To
Ti =To
Ti =To
⎡ (T + Te1 )G1 + Te 2 ⎤
T + Te1
T
=⎢ i
= 0
+ e2 =
⎥
Ti G1
T0
T0 G1
⎣
⎦ Ti =To
32
=
T0 + T0 (F1 − 1) T0 (F2 − 1)
F −1
= F1 + 2
+
T0
T0 G1
G1
eq 49
Più genericamente per una cascata di N dispositivi si ha:
F = F1 +
FN − 1
F2 − 1 F3 − 1
+
+L+
G1
G1G2
G1G2 LG N −1
eq 50
Oppure dal rapporto delle potenze di rumore si ottiene:
(
)
F=
⎧ ⎡ KT B + KT B G + KT B ⎤ G ⎫
⎧ [ EIN1G1 + KTe 2 B ] G2 ⎫
i
e1
1
e2 ⎦ 2 ⎪
N REALE
EIN 2G2
⎪⎣
=
=⎨
=
⎬
⎨
⎬
N IDEALE KTi BG1G2 ⎩
KTi BG1G2
KTi BG1G2
⎭Ti =T0 ⎪⎩
⎪⎭
Ti =T0
F=
N REALE ⎧⎪ ⎡⎣( KTi B + KTe1 B1 ) G1 + KTe 2 B ⎤⎦ G2 ⎫⎪
=⎨
=
⎬
N IDEALE ⎩⎪
KTi BG1G2
⎭⎪Ti =T0
⎧⎪ ⎡( KTi B + KT0 ( F1 − 1) B ) G1 + KT0 ( F2 − 1) B ⎤ G2 ⎫⎪
⎦
= ⎨⎣
=
⎬
KT
BG
G
1
2
i
⎪⎩
⎪⎭T =T
i
0
eq 51
cioè ancora
F = F1 +
( F2 − 1)
G1
EIN di un dispositivo con una temperatura d’ingresso T0
Si consideri un dispositivo con una temperatura d’ingresso Ti=To, come mostrato in figura
Impedance
matched source
G, F
So No
Impedance
matched load
Ti =To
figura 21
Si ha:
EIN = k (Ti + Te )B = k (T0 + Te )B = k [T0 + T0 (F − 1)]B = kT0 BF
eq 52
33
Cifra di rumore di un attenuatore a temperatura T0
Si consideri un attenuatore a temperatura fisica T0, con sorgente a temperatura T0,
sorgente e carico sono con impedenze adattate al dispositivo come mostrato in Errore.
L'origine riferimento non è stata trovata..
T=T0
Ni
T=T0
Attenuator
No
Impedance
matched load
G=1/A
figura 22
Guardando dalla sua porta di uscita l’attenuatore è un resistore posto a temperatura To, in
tal modo la potenza di rumore in uscita è legata alla larghezza di banda B dalla relazione:
N o = kT0 B
eq 53
La cifra di rumore di un attenuatore è allora data da:
⎡ (S N )i ⎤
F=⎢
=
⎥
⎣ (S N )o ⎦ Ti =T0
Si
kT0 B
1
Si
A
kT0 B
=A
eq 54
F=A
eq 55
Ovvero è pari all’attenuazione A
Modello fisico di un attenuatore
La potenza di rumore disponibile in uscita da un attenuatore a temperatura fisica T0 è
funzione della potenza di rumore disponibile in ingresso tramite l’equazione:
N o = k (Ti + Te )B
kT B
1⎞
1 k [Ti + T0 (F − 1)]B k [Ti + T0 ( A − 1)]B kTi B
A−1
⎛
=
=
=
+ kT0
B = i + kT0 B⎜ 1 − ⎟
A
A⎠
A
A
A
A
A
⎝
eq 56
34
N o = k (Ti + Te )B
⎡T
1
⎛ 1 ⎞⎤
= k ⎢ i + T0 ⎜1 − ⎟⎥ B
A
⎝ A ⎠⎦
⎣A
In questo modo l’attenuatore può essere modellato secondo lo schema seguente di figura
dove gli elementi con doppio bordino sono ideali cioè esenti da rumore.
G=
1
A
G = 1−
T=To
1
A
Attenuatore a T = T0
figura 23
35
Cifra di rumore di un dispositivo preceduto da un attenuatore
Si consideri la situazione mostrata in figura.
T=T
Impedance
matched
Si, Ni
Attenuator
G2, F2
So,No
source
Impedance
matched
load
G1=1/A, F1=A
G, F
figura 24
F = F1 +
F −1
F2 − 1
= A+ 2
= A + A(F2 − 1) = AF2
1
G1
A
eq 57
In questo caso se la cifra di rumore del ricevitore è Freceiver e, la cifra di rumore della linea
in feeder è Ffeederline allora supposto che tutto sia a temperatura fisica T0 si ottiene che la
cifra di rumore della cascata è il prodotto delle due cifre di rumore cioè Freceiver + feed line
Freceiver + feed line = L feed Freceiver
eq 58
dove Lfeed è la perdita o cifra di rumore della linea (o fattore di attenuazione su scala
lineare).
36
Cifra di Rumore di un Power Splitter
Si consideri un n-way power splitter, come mostrato in figura, dove i resistori disegnati
sono di adattamento del carico.
So,
Si,
n-way
Power
T = To
G, F
figura 25
Assumiamo che il power splitter sia a temperatura fisica To. Poiché lo splitter è un
dispositivo passivo se si connette un resistore adattato, avente temperatura T=T0 alla sua
porta di ingresso e si osserva l’uscita si vede ancora solo un resistore a temperatura T=T0
allora la potenza di rumore disponibile alle porte di uscita è:
[N o ]T =T
i
0
= kT0 B
eq 59
ne consegue che ,
⎡ (S N )i ⎤
F=⎢
=
⎥
⎣ (S N )o ⎦ Ti =T0
Si
kT0 B
1
Si
n
kT0 B
=n
eq 60
Allora un n-way power splitter a temperatura T = To è un dispositivo con guadagno
G=1/n e cifra di rumore F=n. Confrontando questi risultati con quelli ottenuti per un
attenuatore a temperatura T0 si conclude che un n-way power splitter a T=To è
equivalente ad un attenuatore alla medesima temperatura.
37
Cifra di rumore di un input RF MULTICOUPLER per una Stazione radio
base (SRB) per telefonia mobile
È composto dalla cascata di un LNA ( Low Noise Amplifier) e di un Power Splitter come
mostrato in figura, dove come al solito i resitori rappresentano carichi adattati. In questo
esempio il guadagno dell’ LNA è posto in maniera da compensare la perdita del Power
Splitter nel caso ideale.
Reciever MULTICOUPLER
So,
2 disp
1 disp
Si,
LNA
n-way
Power
G1, F1
G2=1/n
F2=n
T = To
G1=n
G2, F2
G, F
figura 26
La cifra di rumore del Multicoupler è data da:
F = F1 +
F2 − 1
n −1
1
= F1 +
= F1 + 1 −
G1
n
n
eq 61
38
Sistema Ricevente
PREAMPLIFICAZIONE E CONVERSIONE DI FREQUENZA
Il ricevitore a supereterodina è il più usato nelle stazioni di terra, sebbene sia per qualche
verso più complicato di altri è in generale, capace di fornire più grande sensibilità selettiva.
RF
Amplifier
fRF
fIF
Mixer
FMix
Intermediate
Freq. Amplifier
FRF GRF
fOL
Local
Osclillator
Demod.
fOL= fRF – fIF
Output
Amplif.
Filtro
figura 27
Il principio base è la conversione del segnale RF in una frequenza intermedia ottenuta dal
battimento tra il segnale RF e l’uscita dell’oscillatore locale, la cui frequenza differisce da
quella RF per una quantità uguale alla frequenza intermedia desiderata.
Sintonizzare il ricevitore consiste nel sintonizzare contemporaneamente l’oscillatore locale,
il mixer e l’amplificatore RF così che la frequenza intermedia rimane costante.
Il vantaggio principale di un ricevitore a supereterodina è che la maggior parte
dell’amplificazione del segnale può essere realizzata negli stadi di amplificazione a
frequenza intermedia (IF) I quali non devono essere accordati di volta in volta e che
usualmente operano a frequenze notevolmente più basse della RF.
Questo porta ad una sensibilità e selettività quasi indipendenti dalla frequenza del segnale
RF. Inoltre il guadagno dei singoli stadi IF è realizzabile a valori più elevati che non alle
frequenze radio, a causa delle minori perdite capacitive, resistite, etc.
Il miglioramento della cifra di rumore complessiva di un ricevitore a supereterodina con
l’aggiunta di un amplificatore RF a monte del mixer può essere determinata dalla seguente
equazione:
Ftot = FRF +
Fmix − 1
GRF
eq 62
Per un buon valore del guadagno GRF dell’amplificatore RF la cifra di rumore totale Ftot,
coincide in sostanza con la cifra di rumore dell’amplificatore RF subito a monte del
ricevitore.
Se l’amplificatore RF non ci fosse la Ftot sarebbe più alta perché Fmixer è in genere più alta
di quella dell’amplificatore (in genere a bassa cifra di rumore) FRF.
39
Quindi un primo criterio di progetto di un amplificatore è che la sua cifra di rumore FRF sia
molto più bassa di quella del primo stadio di conversione di frequenza Fmix. Pertanto non
considerando per il momento i problemi dovuti alla distorsione da non linearità e
saturazione del amplificatore, poiché il livello di rumore del mixer è proporzionale a Fmix, il
più basso livello di rumore totale o la migliore sensibilità si ottiene con il più alto guadagno
del preamplificatore.
C’è da aggiungere, però, che l’uso di un qualsiasi preamplificatore comporta una riduzione
della portata dinamica dell’ingresso del mixer. In ogni caso, secondo l’eq. Ftot, la
diminuzione del livello di rumore non è proporzionale a GRF. Allora deve esistere un valore
ottimo del guadagno GRF, per il quale l’incremento in sensibilità sia consistente senza che
la perdita della dinamica d’ingresso sia apprezzabile.
Con l’intento di determinare il guadagno ottimo si deve calcolare il rapporto tra il livello di
rumore (potenza di rumore) equivalente d’ingresso del solo mixer e quello equivalente di
ingresso del sistema preamplificatore+mixer questo rapporto R1 (GRF) vale:
da
N = F ⋅ N 0 = F ⋅ KT0 B sostituendo
si vede che R1 è pari al rapporto tra la cifra di rumore del mixer e quella di tutta la catena
di ricezione cioè mixer + preamplificatore.
Più tale rapporto è alto più la cifra di rumore complessiva è piccola rispetto a quella del
mixer segue che la sensibilità del sistema ricevente aumenta con l’aumentare di R1:
R1 (GRF ) =
N mix Fmix ⋅ KT0 B Fmix ⋅ N 0 Fmix
=
=
=
=
N tot
Ftot ⋅ KT0 B
Ftot ⋅ N 0
Ftot
FRF
Fmix
Fmix ⋅ GRF
=
eq 63
Fmix − 1 FRF ⋅ GRF + Fmix − 1
+
GRF
R1 (GRF )(db) = 10 log( Fmix ⋅ GRF ) − 10 log( FRF ⋅ GRF + Fmix − 1) =
= Fmix (dB) + GRF (dB ) − 10 log(10
Ftot
FRF, GRF
Fmix
RF
Amplifier
Mixer
FRF ( dB )
10
⋅10
fIF
GRF ( dB )
10
+ 10
Fmix ( dB )
10
eq 64
− 1)
Intermediate
Freq. Amplifier
fOL
R1= Fmix / Ftot
Local
Osclillator
Demod.
fOL= fRF – fIF
Output
Amplif.
Filtro
figura 28
40
la figura sotto riporta un grafico di R1(GRF) che è la sensibilità del ricevitore, dove come
parametri sono stati posti FRF=5 dB e Fmix=20 dB
Sensibilità del mixer in funzione del guadagno dell'amplificatore RF a bassa cifra di rumore
con Frf=5 dB e Fmix=20 dB
16
14
R1 (GRF )(db) = 10 log( Fmix ⋅ GRF ) − 10 log( FRF ⋅ GRF + Fmix − 1) =
12
= Fmix (dB ) + GRF (dB ) − 10 log(10
R1(Grf) dB
10
FRF ( dB )
10
⋅ 10
GRF ( dB )
10
+ 10
Fmix ( dB )
10
− 1)
8
Fmix
Ftot RF
Amplifier
6
Mixer
Intermediate
Freq.
fIF
fOL
4
Local
Osclillator
R1= Fmix / Ftot
Demod.
fOL= fRF – fIF
2
Amplif.
Output
Filtro
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Gudagno Grf(dB)
figura 29
click sul file per aprire excel
E:\documenti per
corsi\ELETTRONICA T
la figura mostra la funzione R1(GRF), che può essere considerata un parametro del
miglioramento del livello rumore ( più il rapporto è elevato più la cifra di rumore del sistema
completo cioè al connettore di antenna è bassa e quindi la sensibilità del ricevitore
aumenta). La curva indica che guadagni GRF(dB) più alti di 15 dB non fanno aumentare
significativamente la sensibilità.
Un’altra funzione d’interesse è il rapporto R2(GRF) tra il contrasto di ingresso del mixer
(relativo al solo rumore equivalente introdotto dal mixer stesso), e il contrasto di ingresso
del mixer visto come parte del sistema preamplificatore + mixer (relativo al rumore
complessivo della catena di ricezione composta da preamplificatore + mixer) . Questo
rapporto rappresenta la potata dinamica disponibile in funzione del guadagno
dell’amplificatore RF.
Il contrasto d’ingresso del mixer, ovvero il suo “range” dinamico, è il rapporto della
potenza del segnale d’ingresso Ps e quella del rumore equivalente d’ingresso, cioè
CI mix =
Ps
Fmix ⋅ N 0
eq 65
dove FmixN0 è la potenza di rumore equivalente, cioè quella riportata all’ingresso del mixer.
Il contrasto d’ingresso del sistema preamplificatore + mixer è dato dal rapporto:
41
C ' 'I mix =
⎡
⎢ FRF
⎣
Ps
F − 1⎤
+ mix ⎥ ⋅ N 0
GRF ⎦
eq 66
Il contrasto d’ingresso del mixer come parte del sistema preamplificatore + mixer si trova
moltiplicando il denominatore per il guadagno dell’amplificatore GRF:
C 'I mix =
Ps
eq 67
⎧⎡
⎫
Fmix − 1⎤
⋅ N 0 ⎬ ⋅ GRF
⎨⎢ FRF +
⎥
GRF ⎦
⎩⎣
⎭
⎫
⎧⎡
Fmix − 1⎤
⎨⎢ FRF +
⎥ ⋅ N 0 ⎬ ⋅ GRF
GRF ⎦
⎭
⎩⎣
all’ingresso del mixer.
dove la quantità
è la potenza di rumore equivalente
Allora il rapporto R2(GRF) è in definitiva il rapporto tra il rumore complessivo
introdotto della catena di ricezione come funzione del guadagno GRF, ed il rumore
prodotto dal mixer soltanto:
Ps
R2 (GRF ) =
C 'I mix
CI mix
⎫
⎧⎡
Fmix − 1⎤
⎨⎢ FRF +
⎥ ⋅ N 0 ⎬ ⋅ GRF
GRF ⎦
Fmix
Fmix
⎣
⎭
=
=
= ⎩
eq 68
Ps
[GRF FRF + Fmix − 1]
⎡
Fmix − 1⎤
⎢ FRF +
⎥GRF
Fmix ⋅ N 0
GRF ⎦
⎣
in dB si ha:
⎧
⎫
Fmix
R2 (GRF )(dB ) = 10 Log ⎨
⎬ = 10 Log (Fmix ) − 10 Log (GRF FRF + Fmix − 1) =
⎩ [GRF FRF + Fmix − 1]⎭
Fmix ( dB )
⎛ GRF10( dB ) FRF10( dB )
⎞
⎜
= Fmix (dB ) − 10 Log ⎜10
+ 10 10 − 1⎟⎟
10
⎝
⎠
eq 69
La curva riportata sotto indica chiaramente che per guadagni GRF<15 dB, la degradazione
della portata dinamica del mixer si riduce di un entità non trascurabile ma comunque
modesta, viceversa aumentando ancora il guadagno GRF la potenza di rumore in ingresso
al mixer diviene eccessiva e la portata dinamica si riduce molto.
Se il guadagno GRF>15 dB, la degradazione aumenta molto rapidamente.
42
Degradazione della Portata dinamica del Mixer
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-5
-10
-15
R2(dB)
-20
-25
-30
⎧
⎫
Fmix
R2 (GRF )(dB) = 10 Log ⎨
⎬ = 10 Log (Fmix ) − 10 Log (GRF FRF + Fmix − 1) =
+
−
1
[
]
G
F
F
mix
⎩ RF RF
⎭
Fmix ( dB )
⎛ GRF10( dB ) FRF10( dB )
⎞
10
= Fmix (dB) − 10 Log ⎜⎜10
+ 10 10 − 1⎟⎟
⎝
⎠
-35
G(rf)
figura 30
Nella figura sotto sono riportate insieme le due curve:
Valori di R1(Grf) ed R2(Grf)
R1(db)
R2(dB)
20.00
10.00
0.00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-10.00
-20.00
-30.00
-40.00
Grf
figura 31
43
Il prodotto delle due funzioni R1(GRF) ed R2(GRF), viene definito come funzione di merito
del preamplificatore ed è indicato con R(GRF).
In definitiva R(GRF) è il rapporto tra l’aumento di sensibilità complessiva del ricevitore e la
diminuzione della portata dinamica ovvero la riduzione del contrasto d’ingresso, in
funzione del guadagno GRF.
2
⎤
⎡
⎤⎡
Fmix ⋅ GRF
Fmix
Fmix
R(GRF ) = ⎢
GRF
⎥=
⎥⎢
2
⎣ FRF ⋅ GRF + Fmix − 1⎦ ⎣ FRF ⋅ GRF + Fmix − 1⎦ (FRF ⋅ GRF + Fmix − 1)
eq 70
R(GRF )(dB) = R1 (dB) + R2 (dB)
eq 71
Dall’andamento riportato in figura sotto risulta evidente che la funzione di merito R(GRF),
aumenta per guadagni bassi indicando che la sensibilità aumenta senza sacrificare il
“range” dinamico cioè senza che il contrasto diminuisca troppo.
Continuando ad aumentare il guadagno GRF la funzione di merito diminuisce. Questa
diminuzione indica che la sensibilità migliora solo di poco ma è associata ad una
eccessiva riduzione del contrasto d’ingresso.
La figura sotto mostra l’andamento del fattore di merito R(GRF).
Valori del fattore di merito R(Grf) del preamplificatore, R1(Grf) di sensibilità e R2(Grf) di
degradazione del contrasto del mixer
20.00
10.00
R1(db)
R2(dB)
R(dB)
0.00
0
-10.00
-20.00
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Area del guadagno GRF
con picco massimo del
fattore di merito R(GRF)
-30.00
R(GRF )(dB) = R1 (dB) + R2 (dB)
-40.00
Grf
figura 32
Il valore ottimo di GRF=GOTT, può essere calcolato eseguendo la derivata di R(GRF) e
ponendola uguale a zero al fine di calcolare il valore che massimizza la funzione R(GRF).
44
Usando la relazione lineare si ha:
[
(F ⋅ G + Fmix − 1) ⋅ Fmix2 − 2(FRF ⋅ GRF + Fmix − 1)FRF ⋅ Fmix2 ⋅ GRF
dR
= RF RF
dGRF
(FRF ⋅ GRF + Fmix − 1)4
2
]
eq 72
dal momento che 1<FRF <∞ e 1<GRF <∞ allora il denominatore è sempre
diverso da 0 e ∞.
Segue che
dR
=0
dGRF
comporta che: GRF=GOTT è uguale al numeratore posto uguale
a zero: :
(FRF ⋅ GOTT + Fmix − 1)2 ⋅ Fmix2 − 2(FRF ⋅ GOTT + Fmix − 1)FRF ⋅ Fmix2 ⋅ GOTT
=0
eq 73
dividendo tutto per (Fmix)2 (ciò è possibile essendo esso sempre > 0) si ottiene:
(FRF ⋅ GOTT + Fmix − 1)2 − 2(FRF ⋅ GOTT + Fmix − 1)FRF ⋅ GOTT
=0
eq 74
chiamando
(FRF ⋅ GOTT + Fmix − 1) = x
x 2 − 2 xFRF ⋅ GOTT = 0
eq 75
⇒
eq 76
x=
2 FRF ⋅ GOTT ±
(2 FRF ⋅ GOTT )2
2
=
0
2 FRF ⋅ GOTT ± 2 FRF ⋅ GOTT
=
2 FRF ⋅ GOTT
2
ovvero:
FRF ⋅ GOTT + Fmix − 1 = 0
GOTT
⇓
1 − Fmix
=
FRF
e
FRF ⋅ GOTT + Fmix − 1 = 2 FRF ⋅ GOTT
⇓
- FRF ⋅ GOTT + Fmix − 1 = 0
GOTT =
eq 77
Fmix − 1
FRF
Con questo valore del guadagno del preamplificatore, il rumore totale equivalente
F −1
all’ingresso del sistema preamplificatore + mixer, per l’eq Ftot = FRF + mix
diventa:
GRF
45
Ftot = FRF +
Fmix − 1
FRF = 2 FRF
Fmix − 1
eq 78
Questa mostra che la cifra di rumore totale del sistema preamplificatore+mixer,
corrispondente al valore ottimo del guadagno GRF=GOTT, è 3 dB più alta della cifra di
rumore del solo preamplificatore che è in generale sempre minore della Fmix, quindi
conviene in generale utilizzare un preamplificatore a bassa cifra di rumore.
L’altro valore di GRF=GOTT condurrebbe ad una Ftot=0 che non è possibile fisicamente.
La diminuzione del “range” dinamico associata a questa scelta di GRF si può calcolare
partendo da R2(Gott):
R2 (Gott ) =
Fmix
Fmix
Fmix
1
=
≈
se Fmix >> 1 eq 79
=
[Gott FRF + Fmix − 1] ⎡ Fmix − 1
⎤ 2[Fmix − 1] 2
FRF + Fmix − 1⎥
⎢
⎦
⎣ FRF
Ovvero il contrasto d’ingresso (o il suo range dinamico ) del mixer diminuisce di 3 dB.
In conclusione, quando si usa un preamplificatore a monte di un mixer, il suo guadagno
ottimo farà diminuire il contrasto d’ingresso di soli 3 dB, ma farà aumentare la
sensibilità della differenza in termini di cifra di rumore tra il mixer (Fmix) e il
preamplificatore (FRF) meno 3dB:
Fmix ⋅
R1 (GRF ) =
Fmix − 1
F
FRF
= mix
−1
+ Fmix − 1 2 FRF
Fmix ⋅ GOTT
=
FRF ⋅ GOTT + Fmix − 1 F ⋅ Fmix
RF
FRF
eq 80
in dB si ha:
R1 (GRF )(dB ) = Fmix (dB ) − FRF (dB ) − 3dB
eq 81
con i dati utilizzati: FRF=5dB e Fmix=20 dB si ha:
un aumento di sensibilità pari a :
•
R1 (GOTT )(dB ) = Fmix (dB ) − FRF (dB ) − 3dB = 20 − 5 − 3 = 12 dB
eq 82
per un guadagno ottimo del preamplificatore pari a
46
•
⎡ Fmix10( dB ) ⎤
⎡ F − 1⎤
10
− 1⎥
GOTT (dB) = 10 Log ⎢ mix ⎥ = 10 Log ⎢
≅ 15 dB
FRF ( dB )
⎢
⎥
⎣ FRF ⎦
10
⎢⎣ 10
⎥⎦
eq 83
la riduzione della dinamica d’ingresso è circa 3 dB.
La figura di merito complessiva in corrispondenza di Gott diviene:
2
2
(Fmix − 1) =
Fmix
Fmix
=
G
OTT
2
2
FRF
(FRF ⋅ GOTT + Fmix − 1)
⎞
⎛
F −1
⎜⎜ FRF ⋅ mix
+ Fmix − 1⎟⎟
FRF
⎠
⎝
2
2
(Fmix − 1) = Fmix
Fmix
1
=
2
4(Fmix − 1) FRF
FRF
4(Fmix − 1)
R(GRF ) =
eq 84
47
Non Linearità in ampiezza
Nell’ambito della non linearità di ampiezza si usa distinguere due contributi:
•
•
Secondo ordine
Terzo ordine.
Ci si riferisce allo sviluppo in serie di potenze nell’intorno del punto di polarizzazione, il
contributo del secondo ordine deriva da un termine di distorsione non lineare quadratico;
quello del terzo ordine da un termine di distorsione non lineare cubico.
Solitamente si valuta il disturbo di non linearità nella parte di spettro che coincide con
quella del segnale utile, le componenti spettrali generate per non linearità che cadono fuori
di tale banda possono essere facilmente eliminate mediante filtri.
Dinamica e linearità non sono indipendenti in quanto intervengono i prodotti di
intermodulazione.
Facendo considerazioni di tipo deterministico ipotizziamo una caratteristica del tipo
Y=G(X) in cui X è l’ingresso ed Y l’uscita del sistema.
Lo sviluppo in serie di potenze nell’intorno di un certo punto di polarizzazione può scriversi
come:
Y ≡ a0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + .................
•
•
•
a0 è una componente continua indipendente dal segnale X(t) quest’ultimo si
ipotizza a valore medio nullo, e quindi con spettro che non comprende la
componente continua che pertanto può essere eliminata con un filtro passa alto;
a1 pesa il segnale utile e quindi è bene che risulti il più grande possibile;
a2 e a3 pesano rispettivamente il disturbo del secondo ordine e quello del terzo
ordine e, chiaramente dovrebbero essere più piccole possibile.
Se il segnale di ingresso è:
x ( t ) ≡ A cos (ω a t ) + B cos (ω b t )
allora se con lo sviluppo in serie di potenze, ci si ferma ai contributi del 3° ordine all’uscita
si ha:
48
y (t ) ≡ a0 + a1 [A cos(ω a t ) + B cos(ω b t )] +
[
]
+ a2 A 2 cos 2 (ω a t ) + B 2 cos 2 (ω b t ) + 2 AB cos(ω a t )cos(ω b t ) +
[
]
+ a3 A3 cos 3 (ω a t ) + B 3 cos 3 (ω b t ) + 3 A 2 cos 2 (ω a t )B cos(ω b t ) + 3 A cos(ω a t )B 2 cos 2 (ω b t )
ricordando la formula seguente:
cos (a ) cos(b ) ≡
1
[cos(a + b) + cos(a - b)]
2
si ottiene:
y (t ) ≡ a0 + a1 [A cos(ω a t ) + B cos(ω b t )] +
{
}
+ a2 A 2 cos 2 (ω a t ) + B 2 cos 2 (ω b t ) + AB cos[(ω a + ω b )t ] + AB cos[(ω a − ω b )t ] +
[
]
+ a3 A3 cos 3 (ω a t ) + B 3 cos 3 (ω b t ) + 3 A 2 cos 2 (ω a t )B cos(ω b t ) + 3 A cos(ω a t )B 2 cos 2 (ω b t )
y (t ) ≡ a0 + a1 [A cos(ω a t ) + B cos(ω b t )] +
{
}
+ a2 A 2 cos(ω a t )cos(ω a t ) + B 2 cos(ω b t )cos(ω b t ) + AB cos[(ω a + ω b )t ] + AB cos[(ω a − ω b )t ] +
⎡ A3 cos(ω a t )cos 2 (ω a t ) + B 3 cos(ω b t )cos 2 (ω b t ) +
⎤
+ a3 ⎢
⎥
2
2
2
2
⎣⎢+ 3 A cos (ω a t )B cos(ω b t ) + 3 A cos(ω a t )B cos (ω b t )⎦⎥
riapplicando le sostituzioni si ha:
49
[
( )]
y( t ) ≡ a0 + a1 A cos(ω a t ) + B cos ω t
b
(
)
⎧⎪ ⎛ cos(2ω t ) 1 ⎞
⎫
cos 2ω t 1 ⎞
b + ⎟ + AB cos ω + ω t + AB cos ω − ω t ⎪ +
a + ⎟ + B 2 ⎛⎜
+ a2 ⎨ A2 ⎜
a
a
b
b ⎬⎪
⎜
2
2⎠
2
2 ⎟⎠
⎪⎩ ⎝
⎝
⎭
[(
( ) (
)]
[(
)]
)
⎫
⎧ 3
⎡ cos 2ω b t 1 ⎤
⎡ cos(2ω a t ) 1 ⎤
+ ⎥ + B 3 cos ω t ⎢
+ ⎥+
⎪
⎪ A cos(ω a t )⎢
b
2
2⎦
2
2 ⎥⎦
⎣
⎪⎪
⎪⎪
⎢⎣
+ a3 ⎨
⎬
⎡
⎤
ω
cos
2
t
⎛
⎞
⎡
⎤
(
)
ω
cos
2
t
⎪
1
1
⎛
⎞
2
b + ⎟ cos(ω t )⎥ ⎪
a + ⎟ cos ω t + 3 AB 2 ⎢⎜
a ⎪
⎥
⎪+ 3 A B ⎢⎜
b
⎜
2
2⎠
2
2 ⎟⎠
⎣⎝
⎦
⎪⎩
⎣⎢⎝
⎦⎥ ⎪⎭
(
( )
[
)
( )]
y( t ) ≡ a0 + a1 A cos(ω a t ) + B cos ω t +
b
(
)
cos 2ω t A2 B2
⎧⎪
cos(2ω a t )
b +
+ a2 ⎨ A 2
+ B2
+
+ AB cos ω a + ω t + AB cos ω a − ω
b
b
2
2
2
2
⎪⎩
[(
)]
[(
( ) (
)t ]⎫⎪⎬⎪ +
⎭
)
⎫
⎧
⎪ 1 A3 cos(ω t ) + A3 cos(ω a t )cos(2ω a t ) + 1 B 3 cos ω t + B 3 cos ω b t cos 2ω b t + ⎪
a
b
⎪
⎪2
2
2
2
⎪
⎪
cos ω t cos(2ω a t )⎤
⎡1
⎪
⎪
2
b
+ a3 ⎨+ 3 A B ⎢ cos ω t +
⎥+
⎬≡
b
2
2
⎢
⎥
⎪
⎪
⎣
⎦
⎪
⎪
⎪
⎪+ 3 AB 2 ⎡ 1 cos(ω t ) + cos(ω a t )cos 2ω b t ⎤
⎢
⎥
a
⎪
⎪
2
2
⎢⎣
⎥⎦
⎭
⎩
( )
( )
( )
(
[
)
( )]
y( t ) ≡ a0 + a1 A cos(ω a t ) + B cos ω t +
b
(
)
cos 2ω t A2 B2
⎧⎪
⎫⎪
cos(2ω a t )
b +
+ a2 ⎨ A2
+ B2
+
+ AB cos ω a + ω t + AB cos ω a − ω t ⎬ +
b
b ⎪
2
2
2
2
⎪⎩
⎭
[(
)]
[(
)]
⎡⎛
⎡⎛
⎫
⎧1 3
1 3⎡1
1
⎞ ⎤
⎞
⎛
⎞ ⎤⎤
⎪ 2 A cos⎜⎝ωat ⎟⎠ + 2 A ⎢⎣ 2 cos ⎢⎣⎜⎝ωa + 2ωa ⎟⎠t ⎥⎦ + 2 cos ⎢⎣⎜⎝ωa − 2ωa ⎟⎠t ⎥⎦ ⎥⎦ + ⎪
⎪
⎪
⎪ 1 B3 cos ⎛⎜ω t ⎞⎟ + 1 B3 ⎡ 1 cos ⎡⎢⎛⎜ω + 2ω ⎞⎟t ⎤⎥ + 1 cos ⎡⎢⎛⎜ω − 2ω ⎞⎟t ⎤⎥ ⎤ + ⎪
b⎠ ⎦ 2
b ⎠ ⎦ ⎥⎦
⎝ b ⎠
⎪⎪
⎪⎪ 2
2 ⎢⎣ 2
⎣⎝ b
⎣⎝ b
+ a3 ⎨
⎬≡
⎪3 A2 B ⎡ 1 cos⎛⎜ω t ⎞⎟ + 1 ⎡ 1 cos ⎡⎢⎛⎜ω + 2ω ⎞⎟t ⎤⎥ + 1 cos ⎡⎢⎛⎜ω − 2ω ⎞⎟t ⎤⎥ ⎤ ⎤ + ⎪
⎢⎣ 2
a⎠ ⎦ 2
a ⎠ ⎦ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎪
⎝ b ⎠
2 ⎢⎣ 2
⎣⎝ b
⎣⎝ b
⎪
⎪
⎪
⎪3 AB2 ⎡ 1 cos ⎛⎜ω t ⎞⎟ + 1 ⎡ 1 cos ⎡⎢⎛⎜ω + 2ω ⎞⎟t ⎤⎥ + 1 cos ⎡⎢⎛⎜ω − 2ω ⎞⎟t ⎤⎥ ⎤ ⎤ ⎪
⎢⎣ 2
b⎠ ⎦ 2
b ⎠ ⎦ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎪⎭
⎝ a ⎠
2 ⎢⎣ 2
⎣⎝ a
⎣⎝ a
⎪⎩
50
[
( )]
y( t ) ≡ a0 + a1 A cos(ω a t ) + B cos ω t +
b
(
)
cos 2ω t A2 B2
⎧⎪ cos(2ω a t )
⎫⎪
b +
+ a2 ⎨ A2
+ B2
+
+ AB cos ω a + ω t + AB cos ω a − ω t ⎬ +
b
b ⎪
2
2
2
2
⎪⎩
⎭
[(
)]
[(
)]
⎧1 3 ⎛
⎞ 1
⎛
⎞ 1
⎛
⎞ 1
⎛
⎞ 1
⎛
⎞ 1
⎛
⎞ ⎫
⎪ 2 A cos⎜⎝ωat ⎟⎠ + 4 A3 cos⎜⎝ 3ωat ⎟⎠ + 4 A3 cos⎜⎝ωat ⎟⎠ + 2 B3 cos⎜⎝ωbt ⎟⎠ + 4 B3 cos⎜⎝ 3ωbt ⎟⎠ + 4 B3 cos⎜⎝ωbt ⎟⎠ +⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎡⎛
⎡⎛
1 ⎛⎜
1
⎞ 1
⎞ ⎤
⎞ ⎤⎤
⎡
2
+ a3 ⎨+ 3 A B cos ωbt ⎟ + cos⎢⎜ωb + 2ωa ⎟t ⎥ + cos⎢⎜ωb − 2ωa ⎟t ⎥ +
⎬≡
⎢⎣ 2 ⎝
⎥
⎠ 4
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦ 4
⎣
⎦⎦
⎪
⎪
⎪
⎪
⎡⎛
⎡⎛
1
1 ⎛⎜
⎞ 1
⎞ ⎤
⎞ ⎤⎤
⎡
2
⎪
⎪+ 3 AB ⎢⎣ 2 cos⎝ωat ⎟⎠ + 4 cos⎢⎣⎜⎝ωa + 2ωb ⎟⎠t ⎥⎦ + 4 cos⎢⎣⎜⎝ωa − 2ωb ⎟⎠t ⎥⎦ ⎥⎦
⎭
⎩
[
( )]
y( t ) ≡ a0 + a1 A cos(ω a t ) + B cos ω t +
b
(
)
⎧ cos(2ω t )
⎫
cos 2ω t ⎛ A2 B 2 ⎞
⎪
b +⎜
a + B2
⎟ + AB cos ω + ω t + AB cos ω − ω t ⎪ +
+ a2 ⎨ A 2
+
a
a
b
b ⎬
⎜ 2
2
2 ⎟
2
⎪⎩
⎠
⎝
⎭⎪
[(
)]
[(
)]
⎧3 3 ⎛
⎞⎫
⎛
⎞ 1
⎛
⎞ 1
⎛
⎞ 3
⎪4 A cos⎜⎝ωat ⎟⎠ + 4 B3 cos⎜⎝ωbt ⎟⎠ + 4 A3 cos⎜⎝ 3ωat ⎟⎠ + 4 B3 cos⎜⎝ 3ωbt ⎟⎠⎪
⎪
⎪
⎪
⎡⎛
⎡⎛
1 ⎛⎜
1
⎞ 1
⎞ ⎤
⎞ ⎤⎤ ⎪
⎡
2
+ a3 ⎨+ 3 A B cos ωbt ⎟ + cos⎢⎜ωb + 2ωa ⎟t ⎥ + cos⎢⎜ωb − 2ωa ⎟t ⎥ + ⎬ ≡
⎢⎣ 2 ⎝
⎠ 4
⎠ ⎦ 4
⎠ ⎦⎥
⎣⎝
⎣⎝
⎦ ⎪
⎪
⎪
⎡⎛
1 ⎡⎛
⎞ ⎤⎤ ⎪
⎞ ⎤
⎞ 1
2⎡1 ⎛
⎪+ 3 AB ⎢⎣ 2 cos⎜⎝ωat ⎟⎠ + 4 cos⎢⎣⎜⎝ωa + 2ωb ⎟⎠t ⎥⎦ + 4 cos⎢⎣⎜⎝ωa − 2ωb ⎟⎠t ⎥⎦ ⎥⎦ ⎪
⎭
⎩
In particolare:
•
•
•
il termine lineare in a1 costituisce effettivamente l’ingresso amplificato linearmente.
Il termine di secondo ordine moltiplica a2, e compare con (ωa+ωb) e (ωa-ωb), 2ωa
⎛ A2 B 2 ⎞
⎜
⎟ che
+
e 2ωb si noti inoltre che all’interno compare un termine costante: ⎜ 2
2 ⎟
⎝
⎠
rappresenta una tensione continua che può essere facilmente filtrata.
Il termine del terzo ordine moltiplica a3 e compare con (ωa+2ωb),
(2ωa+ωb), (2ωa-ωb), 3ωa , 3ωb
(ωa-2ωb),
Si possono prendere in esame situazioni con tre funzioni di ingresso, in ogni caso
aumentando il numero di ingressi si avrebbero nuove pulsazioni ma non nuove tipologie di
combinazioni in frequenza.
In particolare senza perdere di generalità al fine di facilitare i calcoli, assumendo che le
ampiezze dei segnali siano uguali
51
A=B
[
( )]
y( t ) ≡ a0 + a1 A cos(ω a t ) + cos ω t +
b
( )
( )
[(
)]
[(
)]
⎡ cos 2ω a t cos 2ωbt
⎤
+ a2 A2 ⎢
+
+ cos ω + ω t + cos ω − ω t + 1⎥
a
b
a
b
2
2
⎢⎣
⎥⎦
⎧3 ⎛
⎫
⎞ 3
⎛
⎞ 1
⎛
⎞ 1
⎛
⎞
⎪4 cos⎜⎝ωat ⎟⎠ + 4 cos⎜⎝ωbt ⎟⎠ + 4 cos⎜⎝ 3ωat ⎟⎠ + 4 cos⎜⎝ 3ωbt ⎟⎠ +
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎡1 ⎛
⎡⎛
⎡⎛
1
⎞ ⎤⎤ ⎪
⎞ 1
⎞ ⎤
3
+ a3 A ⎨+ 3 cos⎜ωbt ⎟ + cos⎢⎜ωb + 2ωa ⎟t ⎥ + cos⎢⎜ωb − 2ωa ⎟t ⎥ +⎬ ≡
⎢2 ⎝
⎠ ⎦⎥
⎠ 4
⎠ ⎦ 4
⎣⎝
⎣⎝
⎦ ⎪
⎪ ⎣
⎪ ⎡1 ⎛
⎡⎛
1 ⎡⎛
⎞ ⎤⎤ ⎪
⎞ 1
⎞ ⎤
⎪+ 3⎢⎣ 2 cos⎜⎝ωat ⎟⎠ + 4 cos⎢⎣⎜⎝ωa + 2ωb ⎟⎠t ⎥⎦ + 4 cos⎢⎣⎜⎝ωa − 2ωb ⎟⎠t ⎥⎦ ⎥⎦ ⎪
⎩
⎭
[
( )]
y( t ) ≡ a0 + a1 A cos(ω a t ) + cos ω t +
b
( )
( )
[(
)]
[(
)]
⎡ cos 2ω a t cos 2ωbt
⎤
+ a2 A 2 ⎢
+
+ cos ω + ω t + cos ω − ω t + 1⎥
a
b
a
b
2
2
⎢⎣
⎥⎦
⎧9 cos⎛⎜ω t ⎞⎟ + 9 cos⎛⎜ω t ⎞⎟ + 1 cos⎛⎜ 3ω t ⎞⎟ + 1 cos⎛⎜ 3ω t ⎞⎟ +⎫
⎪4 ⎝ a ⎠ 4 ⎝ b ⎠ 4 ⎝ a ⎠ 4 ⎝ b ⎠ ⎪
⎪⎪ 3 ⎡
⎪⎪
⎤
⎡
⎤ 3
+ a3 A3 ⎨+ cos⎢⎛⎜ωb + 2ωa ⎞⎟t ⎥ + cos⎢⎛⎜ωb − 2ωa ⎞⎟t ⎥ +
⎬
⎠ ⎦
⎠ ⎦ 4
4
⎣⎝
⎣⎝
⎪
⎪
⎪+ 3 cos⎡⎢⎛⎜ω + 2ω ⎞⎟t ⎤⎥ + 3 cos⎡⎢⎛⎜ω − 2ω ⎞⎟t ⎤⎥
⎪
⎪⎩ 4
⎪⎭
b⎠ ⎦
b⎠ ⎦ 4
⎣⎝ a
⎣⎝ a
[
( )]
[ ( ) ( )]
9
1
⎞
⎛
y( t ) ≡ ⎛⎜ a + a A2 ⎞⎟ + ⎜ a A + a A3 ⎟ ⋅ cos(ω a t ) + cos ω t + a2 A2 cos 2ω t + cos 2ω t +
b
2 ⎠ ⎝ 1
a
b
⎝ 0
4 3 ⎠
2
{ [(
)]
[(
) ]}
[ ( ) ( )]
1
+ a2 A2 cos ω + ω t + cos ω − ω t + a3 A3 cos 3ω t + cos 3ω t +
a
b
a
b
a
b
4
{
3
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
+ a3 A3 cos⎢⎛⎜ωb + 2ωa ⎞⎟t ⎥ + cos⎢⎛⎜ωb − 2ωa ⎞⎟t ⎥ + cos⎢⎛⎜ωa + 2ωb ⎞⎟t ⎥ + cos⎢⎛⎜ωa − 2ωb ⎞⎟t ⎥
⎠ ⎦
⎠ ⎦
⎠ ⎦
⎠ ⎦
⎣⎝
⎣⎝
⎣⎝
⎣⎝
4
}
rinominando le ampiezze come sotto
52
(
K = a + a A2
0
0 2
)
9
⎛
⎞
K = ⎜ a A + a A3 ⎟
1 ⎝ 1
3
4
⎠
1
K = a2 A2
2 2
1
K = a3 A3
3 4
conseguentemente :
(
)
K = ( a + 2K )
0
0
2
K = a A + 9 K ≈ a1 A
1
1
3
si può scrivere:
[
( )]
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
y( t ) ≡ K + K ⋅ cos(ω a t ) + cos ω t + K cos 2ω t + cos 2ω t + K cos 3ω t + cos 3ω t
b
0
1
2
a
b
3
a
b
{ [(
)]
[(
) ]}
+ 2 K cos ω + ω t + cos ω − ω t +
2
a
b
a
b
{
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
+ 3K cos⎢⎛⎜ωb + 2ωa ⎞⎟t ⎥ + cos⎢⎛⎜ωb − 2ωa ⎞⎟t ⎥ + cos⎢⎛⎜ωa + 2ωb ⎞⎟t ⎥ + cos⎢⎛⎜ωa − 2ωb ⎞⎟t ⎥
⎠ ⎦
⎠ ⎦
⎠ ⎦
⎠ ⎦
3
⎣⎝
⎣⎝
⎣⎝
⎣⎝
}
Riguardo a:
•
K0 vale quanto detto a proposito di a0 si tratta cioè di un disturbo eliminabile;
•
K1 in cui il primo termine è dominante per cui K1≈a1A rappresenta l’ampiezza del
segnale utile;
•
K2 costituisce le ampiezze dei disturbi del secondo ordine;
•
K3 costituisce le ampiezze dei disturbi del terzo ordine;
Consideriamo i rapporti tra le potenze dei disturbi e le potenze del segnale utile che
essendo moltiplicate per a1 devono essere considerate all’uscita:
53
2
⎛1
⎞
a2 A2 ⎟
2
2
⎜
K
2
⎠ ≡ 1 a2 A2
D2 ≡ 22 ≡ ⎝
2
4 a12
K1
( a1 A)
2
⎛1
⎞
a3 A3 ⎟
2
⎜
K3 ⎝ 4
1 a32 4
⎠
D3 ≡ 2 ≡
A
≡
2
16 a12
K1
( a1 A)
Il fatto che si tratti di disturbi dipendenti da A conferma che questo è un disturbo
dipendente dal segnale utile, conviene tuttavia normalizzare questi rapporti in modo da
renderli indipendenti da A.
Se poniamo che l’ampiezza del segnale utile in uscita è:
Y = a1 A
allora
Y
A=
a1
allora le equazioni precedenti possono riscriversi come:
2
⎛1 Y2 ⎞
⎜ a2 2 ⎟
K 22 ⎜⎝ 2 a1 ⎟⎠
1 a22 2
≡
D2 ≡ 2 ≡
Y
2
K1
4 a14
⎛ Y ⎞
⎜⎜ a1 ⎟⎟
⎝ a1 ⎠
2
⎛1 Y3 ⎞
⎜ a3 3 ⎟
K 32 ⎜⎝ 4 a1 ⎟⎠
1 a32 4
D3 ≡ 2 ≡
≡
Y
2
K1
16 a16
⎛ Y ⎞
⎜⎜ a1 ⎟⎟
⎝ a1 ⎠
trattandosi di un segnale sinusoidale, la potenza media in uscita si calcolerà come:
54
1 2
Y
2
conseguent emente
Py ≡
Y 2 ≡ 2 Py
sostituendo si ottengono allora una potenza Pn2 del disturbo di secondo ordine e una
potenza Pn3 del disturbo di terzo ordine che ricordando le definizioni dei due rapporti sopra
calcolati, risultano rispettivamente:
2
⎛1 Y2 ⎞
⎜ a2 2 ⎟
K 22 ⎜⎝ 2 a1 ⎟⎠
1 a 22
1 a22
≡
≡
D2 ≡ 2 ≡
2
P
Py
y
2
K1
4 a14
2 a14
⎛ Y ⎞
⎜⎜ a1 ⎟⎟
⎝ a1 ⎠
2
⎛1 Y3 ⎞
⎜ a3 3 ⎟
K 32 ⎜⎝ 4 a1 ⎟⎠
1 a32
1 a32 2
2
(
)
≡
≡
D3 ≡ 2 ≡
2
P
Py
y
2
K1
16 a16
4 a16
⎛ Y ⎞
⎜⎜ a1
⎟⎟
a
1 ⎠
⎝
Poiché come è stato detto D2 e D3 rappresentano il rapporto tra le potenze del segnale
utile e quelle del disturbo rispettivamente del secondo e terzo ordine, e per come sono
state normalizzate sono indipendenti da A, allora moltiplicando tale rapporto per la
potenza del segnale di uscita PY(Y) con Y=a1A, si può dedurre la frazione di potenza di
rumore dovuta al disturbo:
⎛ 1 a 22 ⎞ 2
⎟P
Pn 2 ≡ D2 Py ≡ ⎜⎜
4 ⎟ y
⎝ 2 a1 ⎠
⎛ 1 a32 ⎞ 3
⎟P
Pn 3 ≡ D3 Py ≡ ⎜⎜
6 ⎟ y
4
a
⎝ 1⎠
in dB si avrebbe:
55
⎡⎛ 1 a 2 ⎞ ⎤
⎛ 1 a22 ⎞
⎟ + 20 log Py
Pn 2 (dB ) ≡ 10 Log ⎢⎜⎜ 24 ⎟⎟ Py2 ⎥ = 10 Log ⎜⎜
4 ⎟
⎝ 2 a1 ⎠
⎣⎝ 2 a1 ⎠ ⎦
⎡⎛ 1 a32 ⎞ 3 ⎤
⎛ 1 a32 ⎞
⎟ P ≡ 10 Log ⎜⎜
⎟ + 30 LogPy
Pn 3 ≡ 10 Log ⎢⎜⎜
6 ⎟ y ⎥
6 ⎟
⎝ 4 a1 ⎠
⎣⎝ 4 a1 ⎠ ⎦
Queste equazioni sulle potenze di rumore possono essere viste come equazioni di rette il
cui coefficiente angolare è rappresentato dal termine in PY.
Osservando in particolare il contributo del terzo ordine si deduce che ha una pendenza
tripla rispetto al segnale amplificato linearmente Y(dB)=10Log(PY), pertanto si deduce che
per ogni dB di amplificazione del segnale si ha un contributo di rumore di intermodulazione
del terzo ordine che cresce di 3 dB.
Nelle note che seguono sono riportate le conseguenze della distorsione/rumore di
intermodulazione, in particolare si introducono alcuni concetti relativi a:
A)
1 dB compression point;
B)
Blocking;
C)
Intercept point;
D)
Spurious Free Dynamic Range (SFDR)
56
1 dB Compression point
Si consideri un dispositivo 2-porte connesso come in figura A1.
SIGNAL
GENERATOR
TWO PORT
DEVICE
PIN
SPECTRUM
ANALYZER
POUT
Gain G
Fig A1
La Fig. A2 illustra POUT (dBm) in funzione di PIN (dBm)
POUT dBm
Output-IM3
Intercetta IP3
POUT dBm=PIN dBm+GdB
1 dB
Non linearità del dispositivo
POUT dBm
Punto compressione 1 dB
(1 dB compress)
Prodotti di intermodulazione del 3° ordine
α
G dB
2α
PIN dBm
Input-IM3
PIN dBm
(1 dB compress)
57
Fig. A2
(dBm)
La Fig A3 correla il guadagno del dispositivo 2-Porte in funzione della potenza PIN
POUT dBm
Non linearità del dispositivo
POUT dBm
(1 dB compress)
Punto compressione 1 dB
1 dB
GdB= POUT dBm- PINdBm
PIN dBm
PIN dBm
(1 dB compress)
La relazione che lega la massima potenza di ingresso che si può fornire al
dispositivo in relazione alla potenza corrispondente al punto di compressione del
guadagno di 1 dB si può determinare partendo dal Backoff del dispositivo:
PIN _ MAX _ 1− dB −compr
dBm
= PIN _ 1− dB −compr
dBm
− Backoff dB
All’aumentare del Backoff la potenza massima in ingresso si riduce di una quantità
pari al Backoff.
58
Blocking
Mentre 1 dB Compression Point è misurato con solo un input carrier in accordo con la
compressione del guadagno del dispositivo 2-porte, il Blocking level dipende invece dalla
compressione del guadagno con due portanti radio adiacenti.
Per esempio un 3-dB blocking level corrisponde al livello di ingresso che una portante
adiacente, con uno specificato offset in frequenza dalla portante utile di ∆f, deve avere in
modo da causare un decremento in potenza di 3 dB del livello di uscita della portante
utile.
Il 3 dB blocking level può essere misurato con il seguente laboratorio di test illustrato in
figura 1B.
SIGNAL
GENERATOR 1
( frequency f1)
TWO PORT
DEVICE
COMBINER
SPECTRUM
ANALYZER
SIGNAL
GENERATOR 2
( frequency f2)
Fig. 1B
I due generatori di segnale sono settati per dare la stessa potenza di uscita. Questi livelli
devono essere bene al di sotto del punto di compressione del guadagno di 1 dB del
dispositivo 2-porte.
In questo modo all’ingresso del 2-porte si hanno due segnali, uno avente frequenza f1 e
PIN f1, l’altro avente frequenza f2 e potenza PIN f2 con PIN f1 = PIN f2.
Chiamiamo POUT f1 e POUT f2 Le potenze dei due segnali all’uscita del dispositivo 2-porte
(queste potenze devono essere uguali se il guadagno dei dispositivi è lo stesso alle 2
frequenze).
Incrementiamo ora la potenza di ingresso PIN f2 fino ad ottenere un decremento della
potenza di uscita POUT f1 di 3 dB.
La potenza di ingresso PIN f2 corrispondente a questa situazione è chiamata 3 dB
blocking level con una portante adiacente spaziata di ∆f dalla portante utile
59
C)
Intercept Point
Si consideri un generico dispositivo 2-porte, supponiamo di iniettare due segnali alle
frequenze f1 e f2 all’interno della larghezza di banda del dispositivo come mostrato in fig.
C1
SIGNAL
GENERATOR 1
( frequency f1)
COMBINER
SIGNAL
GENERATOR 2
( frequency f2)
TWO PORT
DEVICE
Gain =G
SPECTRUM
ANALYZER
Fig. C1
A causa del comportamento lineare del dispositivo 2-porte, all’uscita troveremo armoniche
spurie e prodotti di intermodulazione, alle frequenze (nf1+mf2) con n,m=0,±1, ±2, ……..
•
•
•
La quantità ⎢n⎥ +⎢m⎥ è chiamata “ordine” del prodotto spurio
I prodotti spuri aventi n=0 o m=0 sono chiamati “armoniche”
I prodotti spuri aventi n≠0 o m≠0 sono chiamati “prodotti di intermodulazione”
Focalizzeremo l’attenzione sui prodotti di intermodulazione del 3° ordine del tipo
(2f1-f2) e (2f2-f1) che sono i più critici in quanto il loro offset da f1 e da f2 è ∆f=⎢ f1- f2⎥ fa
in modo che tali prodotti cadano all’interno della larghezza di banda di funzionamento del
2-porte.
Assumiamo che:
•
•
f1<f2 e che 2f1-f2=f1+f1 - f2=f1 -(f2 -f1)=f1 - ∆f
f1<f2 e che 2f2-f1=f2+f2 - f1=f2 +(f2 -f1)=f2 +∆f
che sono interne alla larghezza di banda del 2-porte.
Assumendo che l’ampiezza della risposta in frequenza del dispositivo 2-porte sia piatta
sull’intera banda del dispositivo, allora i prodotti di intermodulazione del 3° ordine (f1 - ∆f) e
(f2 +∆f) avranno la stessa ampiezza.
In questo caso l’analizzatore di spettro posto all’uscita del dispositivo 2-porte mostrerà la
situazione del tipo illustrata in fig. C2
60
POUT dBm
Output Signal
POUT
CARRIER
Thirth order intermodulation product
IM3
Noise Floor
∆f
∆f
∆f
f1
f
f2
Fig. C2
Come dimostrato in precedenza per ogni dB di incremento di PIN il livello IM3 dei
prodotti di intermodulazione del 3° ordine si incrementa di 3 dB, mentre il livello di uscita
del segnale utile si incrementaovviamente di 1 dB (assumendo di non essere nella
regione di compressione).
Questo comportamento è illustrato in fig. C3 sottoriportata:
POUT dBm
2
IP3OUT
Punto
Intercetta IP3
1
a
POUT CARRIER
3
Non linearità del dispositivo
=IP3IN
IM3
c=3 a
b=2 a
Segnale utile di uscita
POUT CARRIER f1 o f2;
α
slope: 1dB/dB
4
Prodotti di intermodulazione del 3° ordine:
IM3dBm: f1-∆f o f2+∆f; slope: 3dB/dB
a
G dB
2α
PIN dBm
PIN CARRIER
IP3IN
61
Il punto di intercetta IP3 può essere definito come il punto teorico in cui:
•
•
non c’è compressione del guadagno;
l’output level IP3 dei prodotti di intermodulazione del 3° ordine è uguale ,all’output
level del segnale utile.
Di seguito è mostrata la relazione tra IP3IN , IP3OUT ,POUT CARRIER , IM3
Poniamo:
a = IP3IN dBm – PIN CARRIER dBm come mostrato in figura C3.
La pendenza della curva POUT CARRIER dBm è di 1 dB / dB, allora considerando il triangolo
(di vertici 1,2,3) osserviamo che la distanza tra i punti (2,3) è pari a dist(2,3)=a.
La pendenza della curva IM3dBm è di 3 dB / dB e dal triangolo ( di vertici 1,2,4)
osserviamo che la distanza c tra i punti (2,4) è pari a c=dist(2,4)=3a.
Da questo segue che ponendo b come la distanza tra i punti (3,4) cioè b=dist(3,4), allora
come si osserva dalla fig C3 si ottiene che b=c-a=3a-a=2a
Dalla fig C3 otteniamo le seguenti relazioni:
•
Relazione tra IP3OUT e IP3IN
IP3OUT dBm = IP3IN dBm + GdB
•
(C1)
IP3OUT come funzione di POUT CARRIER e IM3
b
+ POUT CARRIERdBm =
2
POUT CARRIER dBm − IM 3dBm
=
+ POUT CARRIER dBm
2
IP3OUT dBm = a + POUT
•
CARRIER dBm
=
(C2)
IP3OUT come funzione di POUT CARRIER , e IM3
Dalle equazioni (C1) e (C2) abbiamo:
IP3IN dBm = IP3OUT dBm − GdB =
=
•
POUT CARRIER dBm − IM 3dBm
2
+ POUT CARRIER dBm − GdB
(C3)
IM3 come funzione di POUT CARRIER e IP3
Dalla fig. C3 abbiamo:
62
IM 3dBm = IP3OUT dBm − c = IP3OUT dBm − 3a =
= IP3OUT dBm − 3(IP3OUT dBm − POUT CARRIER dBm ) =
(C4)
= 3 POUT CARRIER dBm − 2 IP3OUT dBm
•
Massimo valore di POUT CARRIER che mostra IM3 essere ≤ ad uno specificato
valore di (IM3)MAX ( assumendo IP3 del dispositivo come mostrato)
Dalla equazione (C4) possiamo calcolare POUT CARRIER dBm come funzione di IM3dBm
e IP3OUT dBm
POUT CARRIER dBm =
IM 3dBm + 2 IP 3OUT dBm
(C5)
3
cosi abbiamo
(P
)
OUT CARRIER dBm MAX
=
(IM 3dBm )MAX + 2 IP3OUT dBm
3
(C6)
per N portanti si usa la formula approssimata:
POUT CARRIER dBm =
IM 3dBm + 2 IP 3OUT dBm − 10 Log 10 (N ( N − 1.5 ))
3
(C7)
63
Spurious free dynamic range (SFDR)
Consideriamo la situazione mostrata in Fig. D1:
SIGNAL
GENERATOR 1
( frequency f1)
PIN
POUT
f1, f2
TWO PORT
DEVICE
Gain =G
Noise Figure =F
COMBINER
SIGNAL
GENERATOR 2
( frequency f2)
f1, f2
SPECTRUM
ANALYZER
Fig. D1
Lo Spurious Free Dynamic Range (SFDR) è definito come la differenza in dB tra il livello
di potenza di uscita del segnale utile e il livello di potenza di rumore nella situazione in cui
i prodotti di intermodulazione IMD sono sulla soglia del livello di rumore.
Questa situazione è mostrata in figura D1, che illustra come dovrebbe essere dovrebbe
essere connesso un analizzatore di spettro all’uscita di un dispositivo 2-porte.
POUT dBm
Output Signal
POUT
CARRIER
Thirth order intermodulation product
SFDR
Output
Noise Floor
level
IM3=NOUT
f
∆f
∆f
∆f
f1
f2
Fig. D2
significato del SFDR
64
Questa situazione è anche mostrata in figura D3:
POUT dBm
2
IP3OUT
Punto
Intercetta IP3
1
a
POUT CARRIER
3
Non linearità del dispositivo
=IP3IN
c=3 a
b=2 a
Segnale utile di uscita
POUT CARRIER f1 o f2;
α
IM3=NOUT
slope: 1dB/dB
4
Prodotti di intermodulazione del 3° ordine:
IM3dBm: f1-∆f o f2+∆f; slope: 3dB/dB
b=2a
G dB
c=3a
a
2α
PIN dBm
PIN CARRIER
EINdBm
IP3IN
Fig D3
Si mostreranno ora alcune relazioni:
•
Relazione tra SFDR e IP3
Dalla figura D3 possiamo osservare che:
SFDRdB = 2 a = 2
C 2
= (IP3OUT dBm − N OUT dBm )
3 3
(D1)
Questa equazione può essere riscritta nel modo seguente
2
2
(
IP3OUT dBm − N OUT dBm ) = [(IP3IN + GdB ) − (EIN dBm + GdB )] =
3
3
2
= (IP3IN − EIN dBm )
3
SFDRdB =
(D2)
65
dove:
EIN ( W ) = KT0 BHz F
F:
EIN:
(D3)
cifra di rumore del dispositivo 2-porte
Potenza di rumore equivalente in ingresso al dispositivo 2-porte
⎛ KT B
⎞
⎛ KT B ⎞
EIN dBm = 10 Log 10 ⎜ 0 −3Hz F ⎟ = 10 Log 10 ⎜ 0 −3Hz ⎟ + 10 Log 10 (F ) =
⎝ 10
⎠
⎝ 10
⎠
− 23
= 10 Log 10 1.38 ⋅ 10 ⋅ 290 + 30 + 10 Log 10 (BHz ) + 10 Log 10 (F ) =
[(
]
)
= −174 dBm / Hz + 10 Log 10 (BHz ) + FdB
•
(D4)
Relazione tra SFDR, EIN e IP3
è utile la seguente relazione:
2
(IP3IN dBm − EIN dBm )
3
POUT _ MAX / carrier __ due _ to _ IM 3 dBm = POUT / carrier __@r _ IM 3= EIN* G
SFDRdB =
dBm
= (EIN dBm + GdB ) + SFDRdB =
3 EIN dBm + 3GdB + 2 IP3IN dBm − 2 EIN dBm
2
(
=
IP3IN dBm − EIN dBm ) =
3
3
EIN dBm + 3GdB + 2 IP3IN dBm EIN dBm + GdB + 2(IP3IN dBm + G ) (EIN dBm + GdB ) + 2 IP3OUT dBm
=
=
=
3
3
3
= EIN dBm + GdB +
POUT _ MAX / carrier __ due _ to _ IM 3 dBm =
EIN dBm + 3GdB + 2 IP3IN dBm
3
⇒ PIN _ MAX ( carrier __ due _ to _ IM 3 dBm ) =
•
=
EIN dBm + 2 IP3IN dBm
3
+ GdB ⇒
EIN dBm + 2 IP3IN dBm
3
Relazione tra SFDR su una banda B1 e SFDR su una banda B2
66
Poniamo (SFDR)B1 e (SFDR)B2 lo Spurious Free Dynamic Range sulle bande B1 e B2
rispettivamente, e supponiamo B2=A B1 cioè A è il fattore di espansione dalla banda B1
alla banda B2.
Dalle equazioni (D2) e (D4) otteniamo:
(SFDRdB )B 2 = 2 [IP3IN dBm − (EIN dBm )B 2 ] =
3
2
= {IP3IN dBm −
3
2
= {IP3IN dBm −
3
2
= {IP3IN dBm −
3
2
= {IP3IN dBm −
3
[− 174dBm / Hz + 10 Log (B ) + F ]}=
10
2 Hz
dB
[− 174dBm / Hz + 10 Log (A ⋅ B ) + F ]}=
10
1 Hz
dB
[− 174dBm / Hz + 10 Log ( A) + 10 Log (B ) + F ]}=
10
10
1 Hz
(D5)
dB
[− 174dBm / Hz + 10 Log (B ) + F ]}− 23 ⋅ 10 Log ( A) =
10
1 Hz
dB
10
2
= (SFDRdB )B1 − ⋅ 10 Log 10 ( A)
3
67
Considerazioni sul rumore in una catena di ricezione radio
generica
Se ci si svincola dalla condizione che tutti gli oggetti sono alla stessa temperatura di
riferimento T0 allora va tenuto in conto il contributo a diversa temperatura di ogni elemento
di una catena di ricezione, in particolare dell’antenna che vede in linea di principio oggetti
a temperatura fisica differente.
Si consideri il caso di un sistema composto da antenna e ricevitore, nel seguito si terrà
conto del rumore dell’antenna e del ricevitore oltre a quello della linea di trasmissione in
coax o guida d’onda.
Nello schema sotto è riportato un sistema che rappresenta un ricevitore, formato:
•
•
•
sez.1= antenna;
sez.2= linea di trasmissione;
sez.3= ricevitore;
ad ogni sezione è possibile valutare il rumore a partire dalla temperatura di rumore, come
contributo del rumore in ingresso più il rumore dell’elemento stesso:
Sez. III
Rumore del
ricevitore
Tr
Rx
Tsistema=Tr+
Sez. I
Sez. II
Rumore linea di trasmissione
Tlinea
Linea
Rumore
Antenna
Tant
Antenna
TAeff=Tant+Tamb
T=TAeff+Tlinea
S+N
Tamb
figura 1
La potenza totale di rumore Ps disponibile all’ingresso del ricevitore è la risultante del
(rumore dell’ambiente captato dall’antenna)+ (il rumore dell’antenna stessa) + (il
rumore della linea di trasmissione) + (il rumore del ricevitore).
68
Per valutare il massimo rumore trasmesso si fa l’ipotesi del massimo trasferimento di
potenza ovvero si utilizza tutta la potenza disponibile del generatore, e dunque si fa
l’ipotesi di adattamento di impedenza alle porte dei dispositivi della catena di ricezione.
Il generatore di volta in volta corrisponde al rumore nella sezione del circuito che si sta
analizzando; per esempio nel caso del rumore ambiente si può immaginare la potenza
disponibile di rumore fornita da una resistenza di valore R alla temperatura assoluta di
Tamb (K).
Di seguito sono analizzati i contributi del rumore alle varie sezioni.
SEZ I: Rumore Ambiente circostante l’antenna
Il rumore ambiente che si esprime tramite la temperatura di antenna Tamb, dipendente
dalla temperatura di brillanza, dal diagramma di radiazione, e dalla emissività dei corpi che
l’antenna va ad illuminare. Tamb è la temperatura della resistenza di radiazione Rrad, allora
si può equivalentemente schematizzare un circuito equivalente di Thevenin dell’antenna
chiusa sulla resistenza di carico Ramb.
Il generatore equivalente ha un valore quadratico medio della tensione che è legato alla
potenza di rumore sulla resistenza di radiazione Rrad
Si può calcolare la potenza disponibile di rumore fornita dalla resistenza Ramb alla
temperatura Tamb.
Per ipotesi si assume il max trasferimento di potenza e quindi assumiamo la resistenza di
radiazione come segue:
Rrad=Ramb
Rrad
(1)
Req=Rrad
(Tamb)
Ramb
Vr2 ≡ 4 Rrad KTamb ∆f
Vr
figura 2
69
la Tamb è la temperatura della resistenza di radiazione Rrad dell’antenna, determinata dalle
sorgenti nell’ambiente, dalla temperatura della pioggia e, per un collegamento satellitare in
particolare anche dall’angolo di elevazione dell’antenna della stazione di terra. Tale
temperatura si definisce solitamente come TSKY.
Si possono scrivere ed eguagliare lel due equazioni sulla potenza di rumore causata da
TSKY:
P ≡ KTamb ∆f
(2)
2
⎛ V ⎞
V2
P ≡ I 2 Rrad ≡ ⎜ r ⎟ Rrad ≡ r
4 Rrad
⎝ 2 Rrad ⎠
(3)
eguagliando la (2) con la (3) si ottiene
Vr2 ≡ 4 Rrad KTamb ∆f
(4)
dove:
-K = costante di Boltzman;
-Tamb = temperatura ambiente definita
come di seguito riportato;
-∆f = banda di frequenza utilizzata
(Vr)2 è il valore quadratico medio del generatore equivalente di Thevenin calcolato a
circuito aperto ai morsetti di antenna.
Se l’antenna illumina diverse regioni o corpi dello spazio a temperature di brillanza
differenti, la temperatura d’antenna Tamb è la temperatura media delle regioni illuminate,
pesata dalla frazione di potenza con cui ogni regione è irradiata/ricevuta; a rigore il
contributo si calcola tramite un integrale, in pratica per semplificare i calcoli solitamente si
opera una discretizzazione delle sorgenti più significative e si sostituisce l’integrale con
una sommatoria in cui compaiono temperature e pesi:
Tamb ≡ ∑ p k TK
TK ≡ temperatur a di brillanza del k - esimo corpo o regione
p K ≡ percentuale della potenza irradiata dall' antenna e assorbita dal K - esimo corpo o regione
SEZ I: Rumore dell’antenna stessa
70
È dovuto a perdite ohmiche dell’antenna stessa per effetto joule, in fatti l’antenna è un
conduttore non perfetto; si definisce una resistenza Rp di perdita dell’antenna che si trova
a temperatura fisica dell’antenna T0 (tipicamente si assume T0=300 K di temperatura
ambiente).
Pertanto al circuito che simulava il rumore dell’ambiente esterno, devo aggiungere in più
questa altra sezione in cui ancora una volta si definisce un generatore equivalente con un
certo valore quadratico medio, che è dato dalla stessa espressione già vista, dove al posto
della temperatura Tamb dovuta alla brillanza degli oggetti irradiati, sostituiamo la T0 fisica
dell’antenna.
Ai capi della SEZ 2 cioè ai morsetti di antenna risulta pertanto la somma delle potenze di
rumore viste ed il circuito equivalente è:
Rp(T0)
2
VLoss
≡ 4 R p KT0 ∆f
Rrad(Tamb)
2
Vrad
≡ 4 Rrad KTamb ∆f
Componente di radiazione
Componente di perdita resistiva
Sez. I
Sez. II
figura 3
Il valore quadratico medio della tensione di rumore di resistenze in serie è pari alla somma
dei valori quadratici medi (ipotesi di segnali incorrelati).
Per il medesimo ragionamento sul max trasf di pot. chiudendo il circuito su una resistenza
identica, si può determinare la potenza di rumore disponibile ai terminali dell’antenna.
Pertanto tutto il circuito si riduce ad un generatore di tensione con una resistenza in serie
come in figura 4 e 5:
71
Rrad+Rp
Rrad+Rp
V 2 ≡ Vr2 + Vp2 ≡ 4 K (Tamb RRad + T0 Rp ) ∆f
SEZ II
figura 4
Pertanto:
⎡
4 K (Tamb Rrad + T0 R p ) ∆f
⎛ Rrad
V2
Pr ≡
≡
≡ K ⎢Tamb ⎜
⎜
4 ( Rrad + R p )
4 ( Rrad + R p )
⎢⎣
⎝ Rrad + R p
⎞
⎛ Rp
⎟⎟ + T0 ⎜⎜
⎠
⎝ Rrad + R p
⎞⎤
⎟⎟ ⎥ ∆f
⎠ ⎥⎦
definendo:
η≡
Rrad
≡
Rrad + R p
efficienza antenna;
(1 − η ) ≡
Rp
Rrad + R p
;
Pr ≡ KTAeff ∆f ;
allora ponendo
TAeff ≡ Tambη + T0 (1 − η ) ≡ TSKY ⋅η + TLOSS
si ottiene
Pr ≡ K ⎡⎣Tambη + T0 (1 − η ) ⎤⎦ ∆f
se per ipotesi si assume Tamb ≡ T0 dell'ambiente ( 300 K) si riottiene:
(5)
Pr ≡ KT0 ∆f già nota.
72
se la resistenza di perdita tende a 0 (caso ideale) l’efficienza tende ad 1 e quindi la
potenza in uscita non dipende dalla temperatura fisica dell’antenna ma solo dalle sorgenti
di brillanza che rientrano nel lobo dell’antenna.
SEZ. II:
Rumore della linea di trasmissione
Consideriamo ora la linea di trasmissione in cavo lunghezza L, posta tra antenna e
ricevitore, si possono schematizzare temperatura di rumore e le perdite in questo modo:
L,T0,α
TAeff
RX
L
Sez III
Sez II
figura 5
Dove è stato indicato con:
•
•
T0,α Rispettivamente la temperatura fisica a cui si trova il cavo (tipicamente si
assume 300 K) e, la parte reale del coefficiente di propagazione che indica il
coefficiente di attenuazione in np/m della linea in cavo.
TAeff. È la temperatura di rumore effettiva introdotta sul cavo di ricezione
dall’antenna ed è prodotta dalle sorgenti a diversa temperatura di brillanza viste
dall’antenna e dalla temperatura dell’antenna stessa in presenza perdite ommiche
per effetto Joule.
L’attenuazione totale della linea in cavo può essere espressa come noto dalle equazioni
sulle linee di trasmissione in funzione della sua lunghezza come:
A ≡ e 2 αL
(6)
La linea è un attenuatore e pertanto introduce una cifra di rumore pari alla sua
attenuazione.
73
Per semplificare le considerazioni sul rumore possiamo pensare la linea non rumorosa
(ideale dal punto di vista del rumore) ed introdurre una temperatura equivalente di rumore
al suo ingresso come riportato in figura 6:
EIN cavo ≡ K ⎡⎢⎣TAeff +TE cavo ⎤⎦⎥ B ≡
=K ⎡⎣TAeff +T0 ( Fcavo −1) ⎤⎦ B ≡ K ⎡⎣TAeff +T0 ( Acavo −1) ⎤⎦ B
α
(7)
TAeff + T0 ( A − 1)
RX
L
Sez III
Sez II
figura 6
Se la temperatura antenna TAeff fosse presa pari a T0 allora si otterrebbe:
(
)
(
(
)) B ≡ KT0 Acavo B
EIN cavo ≡ K TAeff + TE cavo B ≡ K T0 + T0 Acavo − 1
(8)
Si può osservare che il rumore introdotto è proporzionale all’attenuazione del cavo ovvero
dipende dalla sua lunghezza.
Moltiplicando per il guadagno della linea ovvero dividendo la potenza di rumore presente
all’uscita della linea e data dalla (7) per l’attenuazione della linea, troviamo la potenza di
rumore presente all’ingresso del ricevitore RX:
T≡
TAeff +Tcavo TAeff +T0 ( Acavo −1) TAeff T0 ( Acavo −1)
≡
≡
+
≡ TAeff e−2αL +T0 1−e−2αL
Acavo
Acavo
Acavo
Acavo
(
2αL
Acavo = e
( neper / m)
)
(9)
La potenza di rumore all’ingresso del ricevitore è pertanto:
74
N ≡ KTB ≡
Nequivalente_ ingresso_ cavo
Acavo
≡
EINcavo
T
B≡
≡K
Acavo
Acavo
⎡TAeff +T0 ( Acavo −1) ⎤
⎡ TAeff T0 ( Acavo −1) ⎤
⎡TAeff +Tcavo ⎤
≡K⎢
≡
≡
+
B
K
B
K
⎢
⎥
⎢
⎥B≡
⎥
A
A
A
A
cavo
cavo
cavo
⎣
⎦
⎣ cavo
⎦
⎣
⎦
(
(10)
)
≡ K ⎡⎣TAeff e−2αL +T0 1− e−2αL ⎤⎦ B
Se TAeff=T0 allora si ottiene di nuovo la potenza di rumore di un resistore alla
temperatura di riferimento
Pn
≡
Rx
KT0 Acavo B
Acavo
≡ KT0 B
T = T0
Questo perché il cavo è un attenuatore e come tale esso attenua la potenza di rumore in
ingresso ma contemporaneamente introduce lui stesso una potenza di rumore apri alla
sua attenuazione:
TEcavo=T0(ACavo-1)GCavo= T0(ACavo-1)/ACavo
Dove le costanti hanno il seguente significato:
•
•
•
•
•
T
Taeff
α
L
T0
temp (K) all’ingresso del ricevitore non tenente conto della T del ricevitore
temperatura ai terminali dell’antenna
(K);
coefficiente di attenuazione della linea di trasmissione
(neper/m);
lunghezza della linea
(m);
temperatura fisica dell’antenna e della linea in cavo (K).
SEZ. III: Rumore in ingresso al ricevitore
75
La temperatura di rumore del ricevitore è dovuta al rumore termico generato dai
componenti attivi e passivi (componenti con perdita resistiva) del ricevitore, anche in
questo caso si può ipotizzare il ricevitore ideale mettendo al suo ingresso una temperatura
equivalente di rumore TRX che tenga conto della cifra di rumore del ricevitore stesso.
Il rumore totale TS cioè la temperatura di sistema all’ingresso del ricevitore risulta pertanto
dalla somma tra la temperatura TOUT CAVO di rumore uscente dalla linea in cavo e la
temperatura TRX del ricevitore stesso.
TS=TOUT cavo+TRx
RX
Sez III
figura 7
La temperatura di rumore del ricevitore TRx può essere espressa in funzione della sua
cifra di rumore:
TRX ≡ To (FRX − 1)
(11)
allora la temperatura totale del sistema Antenna + Cavo all’ingresso del ricevitore è:
TS ≡ (TOUT Cavo + TRX )
(12)
La potenza di rumore del sistema disponibile all’ingresso del ricevitore è data da:
PS ≡ K (TOUT CAVO + TRX )∆f
(13)
Per applicare in pratica quanto dimostrato consideriamo il seguente esempio
76
Esempio: calcolo della potenza rumore una catena RX per telefonia
mobile GSM
Una SRB (Stazione Radio Base) è collegata ad un sistema radiante formato da
un’antenna in banda 900 Mhz con zero gradi di tilt (puntata con elevazione 0°verso
l’orizzonte), tale che il lobo principale dell’antenna nonché i lobi laterali e posteriori vedono
per il 50% la terra a T=300 K e, per il restante 50% l’atmosfera terrestre a 20 K.
Il collegamento tra antenna e ricevitore è fatto attraverso un cavo coassiale del tipo LCF
7/8 ( attenuazione tipica circa 4 dB/100 m) di circa 60 m di lunghezza, la cui attenuazione
comprendendo codini e giunzioni può essere stimata intorno a 3 dB, che è posto alla
temperatura terrestre tipica di 300 K (25 C°).
Si vuole determinare la temperatura di rumore presente all’ingresso del ricevitore.
1. calcolo della temperatura di antenna (Tamb):
supponendo la temperatura della terra 300 K e quella dello spazio freddo 20 K si
ha:
Tamb ≡ ∑ p k TK
TK ≡ temperatura di brillanza del k - esimo corpo o regione
p K ≡ percentuale della potenza irradiata dall' antenna e assorbita dal K - esimo corpo o regione
Tamb=0.5 ⋅ 20 + 0.5 ⋅ 300=10+150=160 K
Il maggiore contributo deriva dall’apporto del lobo verso terra; su un collegamento
satellitare per esempio vi è quindi la necessità di limitare i lobi che vedono la terra.
A tale proposito normalmente per evitare anche effetti dovuti a fading troposferici
l’elevazione non deve essere inferiore ai 5°.
2. calcolo della temperatura effettiva dell’antenna (TAeff):
cioè la temperatura dovuta all’antenna e all’ambiente visto dall’antenna
supponiamo l’efficienza η=0.7, Tamb quella calcolata al passo 1 e, T0=300 K
TAeff ≡ Tamb η + T0 (1 − η)
Taeff=160⋅0.7+300⋅(1-0.7)=202
K
77
la seconda parte con un valore maggiore: 300⋅(1-0.7) è dovuta al contributo di
rumore causato dalla temperatura fisica dell’antenna T0
3. Calcolo della temperatura all’ingresso al ricevitore:
dai dati di partenza sul cavo si può dedurre una attenuazione di circa 0.06 dB/m
α( Np / m) ≡
T≡
α(dB / m) α(dB / m) 0.06
≅
≅
≅ 0.007 ( Np / m)
20Log10 e
8.686
8.686
(
)
Taeff T0
+ (A − 1) ≡ Taeff e −2 αL + T0 1 − e −2αL ≡
A
A
(
≡ 202 • e −2•0.007•60 + 300 • 1 − e
− 2• 0.007 • 60
) ≅ 87.2 + 170 ≅ 257
K
Il maggiore contributo di 170 K è dovuto al cavo a 300 K di temperatura pertanto si
ha la necessità di ridurre il più possibile la lunghezza dei cavi di collegamento tra
antenna e ricevitore quando si richiede un rumore molto basso (principio valido
soprattutto per trasmissioni via satellite o radiotelescopi per i quali si usano piu
spesso antenne Cassegrain).
Un risultato simile si ottiene aggiungendo a TAeff la temperatura equivalente Te cavo
del cavo a partire dalla relazione:
Te cavo ≡ T0 ( Acavo − 1) ≡ 300 ( 2 − 1) ≡ 300 K
T≡
TAeff + Te cavo
Acavo
≅
( 202 + 300 ) ≅ 251
2
K
4. Calcoliamo la potenza di rumore in ingresso al ricevitore:
Consideriamo solo la temperatura di rumore del sistema radiante T tralasciando per
il momento quella del ricevitore. Coome banda di trasmissione consideriamo quella
di una portante GSM pari a 200 KHz, allora la potenza di rumore all’uscita del cavo
e prima del ricevitore è:
PS ≡ K (T + Tr ) ∆f ≡ KTS ∆f ≅ 1.38062 10−23 257 200 103 ≡ 7.1 10−16 w
PS ( dBm ) ≡ 10 Log ( PS 1000) ≡ −121dBm
78
Da quanto detto si intuisce che segnali inferiori a –121 dBm si confondono con il
rumore e non possono essere decodificati dal ricevitore GSM.
Questa potenza di rumore dipende quasi esclusivamente dal rumore termico T0 che
è la causa predominante di rumore sia per il cavo che sui lobi di antenna che sulle
perdite di antenna stessa.
Partendo da questa considerazione, tenendo conto che nell’ambito dei sistemi
radiomobili le antenne hanno il lobo principale diretto verso oggetti sulla superficie
terrestre a temperatura T0=300 K, solitamente ci si riferisce per tutti gli elementi
della catena di ricezione e per le sorgenti viste dall’antenna alla temperatura T0, in
tal caso si considera la potenza di rumore termico data dalla relazione seguente:
PS ≡ KT0 ∆f ≅ 1.38062 *10−23 • 300 • 200 • 103 ≡ 8.28 • 10−16 w
PS (dBm) ≡ 10Log ( PS • 1000) ≡ −121dBm
79
Analisi del rumore dopo l’inserzione nella catena di
ricezione Radio di un amplificatore a bassa cifra di rumore
(LNA) con l’analisi del C/N ad ogni blocco della catena RX
Si consideri un sistema composto come in figura 1 in cui si prevede l’utilizzo di un
amplificatore a bassa cifra di rumore (LNA) non posto immediatamente a valle
dell’antenna ma dopo il cavo di ricezione che collega l’antenna al ricevitore.
Si supponga poi che il Low Noise Amplifier sia collegato al ricevitore tramite un codino di
ricezione flessibile che è indicato come un attenuatore variabile Att.
Antenna:
N0= KT0B
Sezione I:
P1
Sezione II:
P2
Cavo
KTE-CAVOB
Sezione III:
P3
LNA
KTE-LNAB
Sezione IV:
P4
Codino antenna
KTE-ATTB
Att
RX
KTE-RXB
F_RX
figura 1
Considerando il sistema proposto è possibile analizzare separatamente ad ogni sezione il
rapporto tra il segnale utile ed il rumore C/N.
Per il segnale si ha semplicemente una variazione proporzionale al guadagno del blocco,
per valutare il rumore invece va tenuto presente quello generato da ogni blocco della
catena, tale rumore viene amplificato/attenuato del guadagno/attenuazione dei blocchi
successivi.
Ad ogni sezione il rumore generato da ogni blocco è sommato al segnale complessivo
(informazione +rumore) proveniente dal blocco che lo precede.
Al fine di semplificare lo studio, un dispositivo reale si può pensare come un dispositivo
ideale che non genera rumore interno con all’ingresso una rumore aggiuntivo che tiene
conto del rumore generato dal dispositivo reale. Pertanto per convenzione consideriamo i
blocchi ideali cioè privi di rumore ma prevediamo una temperatura di rumore equivalente
TE di ingresso ai blocchi stessi.
Di seguito è riportata l’analisi su ogni sezione della catena di ricezione proposta:
80
Sez I
La potenza di rumore di partenza all’uscita dell’antenna supposta a temperatura T0 della
Terra è:
P1 ≡ KT0 B
(1)
Sez II
All’uscita del cavo troveremo la potenza di rumore proveniente dall’antenne + la potenza di
rumore equivalente introdotta dal cavo stesso, il tutto moltiplicato per il guadagno del cavo
ovvero diviso per la sua attenuazione:
P2 ≡ ( KT0 B + KTEcavo B ) GCavo ≡ ( KT0 B + KT0 ( Fcavo − 1) B ) GCavo ≡ KT0 Fcavo BGCavo
(2)
dove la temperatura equivalente di rumore in funzione della cifra di rumore è data da:
TE ≡ T0 ( F − 1)
(3)
Sez. III
All’uscita dell’LNA, troveremo la potenza di rumore proveniente dall’antenna + quella
introdotta dal cavo + la potenza di rumore equivalente introdotta dall’ LNA stesso, il tutto
moltiplicato per il guadagno dell’LNA:
P3 ≡ P2 GLNA + KTELNA BGLNA ≡ KT0 Fcavo BGCavo GLNA + KT0 (FLNA − 1)BGLNA ≡
≡ KT0 BGLNA (FCavo GCavo + FLNA − 1)
(4)
Sez. IV
All’uscita del codino di antenna prima del ricevitore si ha il contributo delle potenze di
rumore precedenti + il rumore equivalente introdotto dal codino, il tutto diviso per
l’attenuazione del codino stesso:
P4 ≡ P3GAtt + KTEAtt BG Att ≡ ( KT0 BGLNA ( FCavoGCavo + FLNA − 1) ) G Att + KT0 ( FAtt − 1) BG Att ≡
≡ KT0 BGLNA FCavoGCavoGAtt + KT0 BGLNA FLNAG Att − KT0 BGLNAGAtt + KT0 FAtt BG Att − KT0 BGAtt ≡
(5)
≡ KT0 B ( GLNA FCavoGCavo + GLNA FLNA − GLNA + FAtt − 1) G Att
dal momento che per un attenuatore il guadagno è l’inverso della sua attenuazione, e la
sua cifra di rumore è pari alla sua attenuazione, allora definendo Acavo l’attenuazione del
cavo si ha:
81
⎛G A
⎞1
1
P4 ≡ KT0 B ⎜ LNA Cavo + GLNA FLNA − GLNA + AAtt − 1⎟
≡ KT0 B ( GLNA FLNA + AAtt − 1)
A Att
⎝ ACavo
⎠ A Att
(6)
Come prova della bontà dei passaggi matematici riportati è sufficiente fare il rapporto fra il
rumore reale ottenuto e quello ideale, cioè quello ottenuto come se ogni dispositivo della
catena non introducesse alcun rumore e verificare che tale rapporto restituisce l’equazione
canonica della cifra di rumore di una cascata di blocchi.
⎞
⎛N
KT0 B(GLNA FCavo GCavo + GLNA FLNA − GLNA + FAtt − 1)G Att
P4
≡
≡
≡
Ftot ≡ ⎜⎜ reale ⎟⎟
KT0 BGCavo GLNAG Att
⎝ N ideale ⎠ uscita (P1 )GCavo GLNAG Att
≡ FCavo +
FLNA − 1
FAtt − 1
+
GCavo
GCavo GLNA
82
Esempio di calcolo del C/N nei vari punti della catena RX
Come esempio si possono assumere i seguenti dati:
GLNA=12
FLNA=2
ACAVO=FCAVO=3
ACODINO=FCODINO=3
FRx=4.5
dB
dB
dB
dB
dB
In figura 2 è riportato lo schema ed i punti di misura:
Andamento della Potenza di Rumore su una catena di ricezione radio
0.0
72.0
0
Cavo
1
LNA
2
Codino
71.0
-20.0
A
F_LNA
G_LNA
-41.0
-50.0
71.0
F_RX
-44.0
-53.0
68.0
68.0
S (dBm)
-80.0
69.0
C/I
level dBm
RX
70.0
-40.0
-60.0
3
N_ideale (dBm)
67.0
Delta_N dB)
N_reale (dBm)
C/I (dB)
66.0
-100.0
-107.0
-121.0
-120.0
-121.0
-140.0
-121.0
-109.0
-111.3
-124.0
-124.0
dispositivi
65.8
-109.8
66.0
65.0
-110.0
-124.0
64.0
63.0
In particolare:
83
•
il segnale utile S (dBm) varia in funzione del guadagno o dell’attenuazione del
blocco della catena;;
•
Il rumore N_Ideale (dBm) è quello che si misurerebbe alla fine di ogni blocco se il
blocco fosse ideale ovvero non introducesse rumore e quindi fosse caratterizzato
solo dal guadagno G (dB), per esempio il rumore all’uscita del cavo in sez.1
corrisponde al rumore al suo ingresso attenuato di Acavo=3 dB;
•
Il rumore ∆N è viceversa il contributo in potenza di rumore introdotto dal blocco
stesso della catena. Alla sezione 1 il rumore introdotto dal cavo è pari a
KTE-CavoB=KT0(FF-Cavo-1)B, il cavo quindi attenua la potenza di rumore presente al
suo ingresso ma contemporaneamente introduce una potenza di rumore
dipendente dalla su cifra di rumore.
•
Il rumore N_Reale (dBm) risulta dalla somma dei contributi di rumore N_idale e
∆N; alla sezione 1 la potenza di rumore all’uscita del cavo è praticamente uguale a
quella in ingresso in quanto il cavo attenua la potenza di rumore in ingresso di un
fattore pari alla sua attenuazione ma contemporaneamente introduce rumore
Alle varie sezioni si ha:
Il rumore ideale alla sezione 1 è quello proveniente dall’antenna ed attenuato dal cavo:
--N_Ideale(OUT Cavo)=KTB(dBm)-AttCavo= -121 dBm – 3 dB= -124 dBm
Poiché il cavo introduce un contributo di potenza di rumore pari KTE-CavoB=KT0(FF-Cavo-1)B
dBm, allora alla sua uscita il rumore reale è :
--N_reale(OUT Cavo)= N_Ideale(OUT Cavo)+∆N_Reale(Cavo)=
= -124 dBm+( KTE-CavoB)/ACavo=(KT0(FF-Cavo-1)B)/ACavo = -121 dBm
Il rumore reale alla sezione 1 vale a dire N_reale(OUT Cavo), entra nel LNA ed è
amplificato di 12 dB pertanto se l’LNA non introducesse rumore il rumore N_Ideale
all’uscita dell’LNA sarebbe :
--N_Ideale(OUT LNA) = -121 dBm+12db= -109 dBm
Poiché LNA introduce un apporto di rumore pari a KTE-LNAB=KT0(FF-LNA-1)B dBm allora
complessivamente la potenza di rumore in uscita dell’LNA sarà:
--N_Reale(OUT LNA)= N_Ideale(OUT LNA)+∆N_Reale(LNA)=
= -109 dBm+ (KTE-LNAB)GLNA=KT0(FF-LNA-1)GLNA = -107 dBm
Questo Rumore N_Reale(OUT LNA) è il segnale di ingresso al codino la cui uscita risulta
attenuata di 3 dB rispetto all’ingresso pertanto il rumore ideale sarebbe :
--N_Ideale(OUT Codino)= N_Reale(OUT LNA)-AttCODINO=
84
= -107 dBm –3 dB=-110 dBm
Poiché il codino introduce una potenza di rumore pari a KTE-CodinoB=KT0(FF-Codino-1)B,
allora la potenza di rumore complessiva all’uscita del codino è:
--N_Reale(OUT Codino)= N_Ideale(OUT codino)+∆N_Reale(Codino)=
= -110dBm+ (KTE-CodinoB)/ACodino=(KT0(FF-Codino-1)B)/ACodino= -109.8 dBm
A causa del rumore introdotto da ogni dispositivo si può osservare che il rapporto C/I
(carrier /interference) peggiora monotonamente ad ogni sezione andando dall’antenna
verso il ricevitore.
In particolare il cavo d’ingresso tra antenna e LNA peggiora di molto la cifra di rumore
ovvero il rapporto tra S/NIN e S/NOUT in quanto oltre ad attenuare il segnale utile introduce
anche rumore in misura circa equivalente all’attenuazione, in particolare esso apporta in
uscita una potenza di rumore di -124 dBm che sommati ai –124 dBm del rumore di
ingresso attenuati fornisce complessivamente una potenza di rumore di –121 dBm
Un peggioramento si nota anche tra ingresso e uscita del LNA, infatti, esso amplifica il
segnale ed il rumore d’ingresso di GdB=12 dB, portando la potenza di rumore da –121dBm
a –109 dBm ma in più apporta in uscita una ulteriore potenza rumore di –111 dBm che
risulta notevolmente più elevata circa 10 dB in più di quella presente al suo ingresso pari a
–121dBm , pertanto si ha ancora una forte pendenza verso il basso della curva di C/I, ma
sempre minore della pendenza del cavo e tanto minore quanto minore e FLNA.
Nel tratto finale della catena la potenza complessiva di rumore entrante nel codino circa
–107 dBm è molto più alta rispetto al contributo in rumore del codino stesso pari a
-124 dBm pertanto il codino incide in termini di attenuazione della potenza in ingresso ma
rappresenta un contributo trascurabile se considerato dal punto di vista del rumore,
dunque la pendenza della curva di C/I è relativamente piccola.
85
Analisi di alcune tipologie di catene di ricezione RF dove
sono utilizzati Low Noise Amplifier (LNA): vantaggi e
svantaggi
Di seguito sono riportati alcuni casi di catene di ricezione a radiofrequenza, per ognuno di
questi si è cercato di valutare il beneficio sulla sensibilità di ricezione che si ottiene
utilizzando un amplificatore a bassa cifra di rumore.
I sistemi analizzati ottenuti inserendo l’ LNA in punti diversi della catena di ricezione sono
sempre relazionati in termini di prestazioni con la situazione di riferimento di una catena di
ricezione senza nessun LNA
Premessa
Si richiamano sinteticamente alcuni concetti di base sulla cifra di rumore.
Cifra di rumore di dispositivi in cascata
Si consideri la seguente cascata di dispositivi nell’ipotesi di adattamento di impedenze:
Sorgente
adattata
G1, F1
G2, F2
…
GN, FN
Carico
adattato
G, F
La cifra di rumore della cascata è data da:
F = F1 +
FN − 1
F2 − 1 F3 − 1
+
+L+
G1
G1G2
G1G2 LG N −1
(1)
Si noti che se il guadagno del primo dispositivo è sufficientemente grande la cifra di
rumore della cascata si riduce a quella del primo dispositivo.
Questo è il principio utilizzato per l’utilizzo di LNA (amplificatore a bassa cifra di rumore)
per ridurre la cifra di rumore dell’intera catena di ricezione.
86
Cifra di rumore di un attenuatore alla temperatura ambiente T0
La cifra di rumore F di un attenuatore alla temperatura T0 è pari alla sua attenuazione A:
F=A
(2)
Cifra di rumore della cascata composta da un attenuatore a monte di un dispositivo.
Si consideri la seguente cascata:
Sorgente
adattata
G1=1/A
G2, F2
Carico
adattato
Attenuatore
G, F
Applicando l’equazione (1) la cifra di rumore della cascata è data da:
F = AF2
(3)
Si noti che la presenza di un’attenuatore come primo elemento di una cascata di elementi
degrada la cifra di rumore della cascata in modo proporzionale al suo fattore di
attenuazione.
87
Catena di riferimento: LNA non presente
Si considerano tre situazioni di seguito schematizzate per la catena di ricezione di una
SRB. In tali situazioni, per ciascun elemento della catena, sono indicati i valori di
F = cifra di rumore del quadripolo considerato;
G = guadagno OUT/IN del quadripolo considerato;
La configurazione di riferimento a cui tutte le implicazioni saranno riportate è: LNA non
presente
Questa configurazione si riferisce alla situazione standard in cui si ha il normale
collegamento tra ricevitore RX e sistema radiante mediante un cavo conduttore.
Fcavo , Gcavo
FRx , G Rx
ricevitore
cavo
antenna
Il blocco tratteggiato in verde corrisponde alla situazione di riferimento a cui tutti gli altri
casi si rifaranno allo scopo di evidenziare vantaggi e svantaggi.
FRIF = FCAVO +
FCAVO = ACAVO
GCAVO =
1
ACAVO
FRX − 1⎫
GCAVO ⎪
⎪⎪
⎬ ⇒ FRIF = ACAVO + ACAVO ⋅ (FRX − 1) = ACAVO FRX
⎪
⎪
⎪⎭
(4)
Questo risultato è in accordo con l’equazione (3) della premessa.
Si noti che la presenza del cavo di ricezione del sistema radiante degrada la cifra di
rumore della cascata in modo proporzionale al suo fattore d’attenuazione.
88
Configurazione A:
Antenna → LNA → Cavo
Questa configurazione si riferisce al caso in cui un LNA è inserito tra l’antenna di ricezione
ed il cavo di collegamento al ricevitore radio
Fcavo , Gcavo
FRx , G Rx
FLNA , G LNA
Ricevitore Rx
Cavo
LNA
Antenna
Si ha:
FA = FLNA +
A
F −1
FRIF − 1
= FLNA + CAVO RX
GLNA
GLNA
(5)
Si nota che, rispetto alla situazione di riferimento, la cifra di rumore della cascata si è
ridotta dal valore ACAVO*FRX (proporzionale all’attenuazione del cavo) ad un valore che
tende FLNA se GLNA è sufficientemente grande rispetto al prodotto ACAVO*FRX.
89
Configurazione B:
Antenna → Cavo → LNA
Questa configurazione si riferisce alla situazione in cui un LNA è inserito tra il cavo di
ricezione ed il ricevitore
FRx , G Rx
Ricevitore
Fcavo , Gcavo
FLNA , G LNA
LNA
Cavo
Antenna
Il blocco tratteggiato in verde corrisponde alla situazione di riferimento del caso A.
Si ha:
FLNA − 1
FRX − 1 ⎫
+
GCAVO
GCAVO G LNA ⎪
⎪⎪
FCAVO = ACAVO
⎬⇒
⎪
1
⎪
GCAVO =
ACAVO
⎪⎭
FB = FCAVO +
⇒ FB = ACAVO + ACAVO (FLNA − 1) + ACAVO
(FRX − 1) = A
GLNA
CAVO
⎛
F −1⎞
⎜⎜ FLNA + RX
⎟
GLNA ⎟⎠
⎝
(6)
Si noti che nel caso in cui GLNA è sufficientemente grande rispetto a FRX si ha:
FB ≅ ACAVO FLNA
(7)
ovvero il vantaggio rispetto alla situazione di riferimento è data dalla presenza di FLNA al
posto di FRX.
Tale vantaggio è presente purché FLNA sia minore di FRX ed è indipendente dalla
lunghezza del cavo di ricezione.
90
Configurazione C:
Antenna → Cavo → LNA → Attenuatore
Questa configurazione si riferisce alla situazione in cui un Multicoupler (LNA) è inserito a
valle del cavo di ricezione ed è seguito da un attenuatore, tipicamente un piccolo codino di
ricezione per facilitare la connessione fisica del LNA o del cavo coassiale rigido al
ricevitore della stazione.
FRx , G Rx
Fcavo , Gcavo
FAtt = AAtt
Ricevitore
SEZ:
FLNA , G LNA
Attenuatore
VI
LNA
III
Cavo
II
Antenna
I
Il blocco tratteggiato in verde corrisponde alla situazione di riferimento del caso A.
Si dimostra che:
⎛
A F −1⎞
⎟⎟
FC = ACAVO ⎜⎜ FLNA + Att RX
G
LNA
⎝
⎠
(8)
Questa configurazione introduce un degrado rispetto alla situazione B (equazione 7) nel
caso in cui il termine AATT*FRX non sia trascurabile rispetto a GLNA.
Viceversa se AATT tende ad 1 cioè 0 dB di attenuazione si ricade nella situazione B
(equazione 6).
91
Osservazioni e confronti relativi ai tre casi esaminati
Rapportando la cifra di rumore trovata nei tra casi a quella di riferimento si ottiene:
Configurazione A: Antenna → LNA → Cavo
FLNA
FA
1
1
1
=
+
−
=
FRIF
ACAVO FRX G LNA G LNA ACAVO FRX
ACAVO FRX
⎛
1 ⎞
1
⎜⎜ FLNA −
⎟⎟ +
G LNA ⎠ G LNA
⎝
(9)
o in modo approssimato
FLNA
FA
≅
FRIF ACAVO FRX
(10)
FA
in termini di cifra di rumore che si ha usando un LNA subito dopo
FRIF
l’antenna è tanto più apprezzabile (minore di 1 indica un miglioramento) quanto maggiore
è l’attenuazione (lunghezza) del cavo di collegamento a valle dell’antenna verso il
ricevitore o quanto è più bassa la cifra di rumore del LNA
Il vantaggio come
Configurazione B: Antenna → Cavo → LNA
FB
FRIF
⎛
F −1⎞
F −1
⎟⎟ FLNA + RX
ACAVO ⎜⎜ FLNA + RX
G LNA ⎠
G LNA
⎝
=
=
ACAVO FRX
FRX
(11)
o in modo approssimato
F
FB
≅ LNA
FRIF
FRX
(12)
FB
, con LNA posto a valle del cavo, non
FRIF
dipende ovviamente dall’attenuazione del cavo, ed è minore di 1 (miglioramento) in quanto
il numeratore e' dominato da termine FLNA che è minore di FRX.
Quanto più la cifra di rumore del multicoupler (LNA) è bassa rispetto a quella del ricevitore,
tanto più risulta vantaggioso l’utilizzo di un amplificatore a valle del cavo che ha costi di
installazione ed esercizio più bassi rispetto ad un LNA in Antenna. Ovviamente questa
soluzione è meno vantaggiosa della precedente in quanto il cavo non è compensato
ovvero matematicamente essendo il denominatore più piccolo a causa dell’assenza di
Acavo, risulta che il rapporto è più grande e quindi il vantaggio minore.
il vantaggio in termini di cifra di rumore
92
Configurazione C: Antenna → Cavo → LNA → Attenuatore
FC
FRIF
⎛
A F −1⎞
⎟⎟
ACAVO ⎜⎜ FLNA + Att RX
G
LNA
⎠ = AAtt + 1
⎝
=
ACAVO FRX
G LNA FRX
⎛
1 ⎞
⎟
⎜⎜ FLNA −
G LNA ⎟⎠
⎝
(13)
L’equazione (13) può essere riscritta in modo approssimato come segue:
FC
A
F
≅ Att + LNA
FRIF GLNA FRX
(14)
Da questo si nota che se AATT è sufficientemente piccolo rispetto a GLNA le prestazioni di
questa configurazione si riconducono a quelle del caso B ( equazione 12).
93
Grafici di confronto relativi ai casi esaminati
I grafici che seguono illustrano i suddetti confronti in alcune situazioni tipiche relazionando
il guadagni in termini di cifra di rumore in funzione dei tre parametri:
•
•
•
guadagno LNA
lunghezza del cavo di connessione
attenuazione del codino di ricezione
Il grafico di Figura 1 riporta l’andamento delle grandezze espresse dalle equazioni (9) e
(11) in funzione del guadagno del LNA, ipotizzando FLNA = 2 dB e una perdita del cavo
pari a 3 dB.
Rapporto Cifre di rumore (dB) della catena di ricezione rispetto alla situazione di riferimento per i
casi A) e B) in funzione del guadagno del LNA
0
-1
0
5
10
15
-2
20
25
F_A / F_RIF (dB)
F_B / F_RIF (dB)
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
G_LNA (dB)
Figura 1
Dal grafico di figura appare evidente che la configurazione A) con LNA in Antenna è
quella che restituisce un guadagno in termini di cifra di rumore maggiore ed è pertanto la
preferibile in termini di prestazioni ma non lo è in termini di costi di esercizio.
Il grafico di Figura 2 riporta l’andamento delle grandezze di guadagno sulla cifra di rumore
espresse dalle equazioni (9) e (11) e l’andamento della cifra di rumore nei due casi A) e B)
in funzione della lunghezza del cavo di connessione. In questo grafico si è ipotizzato
GLNA = 12 dB, FLNA = 2 dB, e si è considerato un cavo avente attuazione pari a 3.8
dB/100m (LCF 7/8).
94
Andamento delle prestazioni in termini di cifra di rumore della catena di ricezione in funzione della
lunghezza del cavo nei casi A) e B)
20
15
10
dB
5
0
0
50
100
150
200
250
-5
F_A(dB)
-10
F_B(dB)
F_A / F_RIF (dB)
-15
F_B / F_RIF (dB)
Lunghezza del cavo (m)
F_RIF (dB)
Figura 2
L’analisi del caso C) che prevede l’utilizzo di un codino di ricezione flessibile a monte del
ricevitore è riportata in figura 3 ed esprime l’andamento delle grandezze espresse dalle
equazioni (8) e (14) in funzione della attenuazione del codino di ricezione (cioè
dell’attenuatore). In questo grafico si è ipotizzato GLNA = 22 dB ( Guadagno del
Multicoupler), FLNA = 2 dB, e FRX = 8 dB si è considerato un cavo di ricezione dall’antenna
avente attuazione pari a 3dB.
Caso C) guadagno in termini di prestazioni sulla cifra di rumore con un attenuatore (codino di
ricezione flessibile) a monte del ricevitore
10
8
6
Frif (dB)
4
F_C(dB)
F_C / F_RIF (dB)
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-2
-4
-6
Aatt (dB) del codino di ricezione flessibile
Figura 3
95
Dal grafico di figura 3 si osserva che rispetto alla situazione di riferimento se si introduce
un codino di ricezione ed a monte di questo un LNA (multicoupler di ricezione ) allora il
guadango ottenuto in termini di miglioramento sulla cifra di rumore si attenua fino ad
annullarsi quando il codino di ricezione diventa troppo lungo.
Il grafico di figura 4 traduce i risultati del precedente in termini di sensibilità (dBm) della
catena di ricezione e confronta questo dato con quello ottenuto da misure sperimentali di
sensibilità
Confronto sensibilita' teorica - sensibilta' misurata
-106.50
-107.00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-107.50
Sensibilità (dBm)
-108.00
-108.50
-109.00
-109.50
-110.00
-110.50
Sens(RIF) dBm
Sens(C) dBm
-111.00
Sens(C) misurata (dBm)
-111.50
Sens(RIF) misurata (dBm)
-112.00
Aatt (dB)
Figura 4
96
Scelta dell’LNA per una catena di ricezione: conviene
maggiore guadagno oppure minore cifra di rumore ?
Si consideri una situazione come quella mostrata in figura 1:
Attenuatore (cavo)
LNA
RX
A
F_RX
F_LNA
G LNA
F_RIF = F_RX
=4.50 dB
Figura 1
Facendo variare la lunghezza del cavo e prendendo in considerazione dispositivi LNA
aventi prestazioni diverse si può vedere in Fig 2 come questi influiscono sulla cifra di
rumore dell’intera cascata di dispositivi.
Cifra di rumore della cascata: LNA-Cavo-Ricevitore per vari LNA al variare della lunghezza del
cavo con attenuazione di A (dB)
8.0
LNA
RX
Attenuatore
7.0
A
F_RX
6.0
F_LNA
G_LNA
5.0
F (dB) della config. di riferimento (solo RX)
F_RIF =
F_RX=4.5
F (dB) con Device 1 (G_LNA = 12 dB, F_LNA = 0.6 dB)
4.0
F (dB) con Device 2 (G_LNA = 12 dB, F_LNA = 1.7 dB)
3.0
F (dB) con Device 3 (G_LNA = 12 dB, F_LNA = 2 dB)
F (dB) con Device 4 (G_LNA = 15 dB, F_LNA = 2 dB)
2.0
Ipotesi:
1)Non esistono dispositivi attivi a monte del LNA.
2)La situazione di riferimento è il solo ricevitore con a
monte il cavo o attenuatore.
1.0
0.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
F (dB) con Device 5 (G_LNA = 22 dB, F_LNA = 2 dB)
F (dB) con Device 6 (G_LNA = 22 dB, F_LNA = 3 dB)
F (dB) con Device 7 (G_LNA = 30 dB, F_LNA = 2 dB)
25.0
Attenuazione A dell'attenuatore (dB)
Fig. 2
Dal grafico di Fig 2 si possono osservare due fenomeni:
97
•
•
All’aumentare del guadagno dell’ LNA la curva si appiattisce in orizzontale, in
questo caso anche con un’attenuazione A (dB) del cavo elevata, si riesce a tenere
la cifra di rumore complessiva relativamente costante e praticamente pari alla cifra
di rumore del LNA. Questo discende immediatamente dalla legge di Friss che vede
dominare il primo elemento della catena di ricezione in maniera tanto più forte
quanto maggiore è il guadagno del LNA.
Quanto minore è la cifra di rumore del LNA quanto minore risulta la cifra di rumore
totale della catena.
Si potrebbe erroneamente pensare quindi che aumentando indefinitamente il guadagno
del LNA e, riducendo la sua cifra di rumore, le prestazioni in termini di rumore della catena
di ricezione mostrata possano migliorare indefinitamente.
In realtà dal punto di vista delle prestazioni conviene ridurre la cifra di rumore del LNA ma
non serve anzi può risultare dannoso aumentare eccessivamente il guadagno del LNA.
I dispositivi di ricezione hanno infatti delle soglie di potenza massima ammissibile di
ingresso, oltre le quali si ha un comportamento non lineare del dispositivo di ricezione che
può presentare fenomeni di:
•
•
•
Blocco del ricevitore per saturazione a causa segnale di ingresso troppo elevato
Riduzione della dinamica di ingresso del ricevitore e blocco per livello superiore ad
1dB compression point
Comparsa di rumore e distorsione di intermodulazione: IM3
La condizione più stringente tra queste è quella che determina il guadagno max del LNA.
Condizione di Blocco del Ricevitore
La condizione di blocco del ricevitore determina il guadagno max del LNA nel modo
sottoriportato:
Pin LNA
LNA
F_LNA
G_LNA
Attenuatore
A
Prx block
RX
F_RX
Fig 3
Nota la potenza di ingresso al ricevitore che ne determina il blocco, la potenza in ingresso
all’LNA si trova mediante le due equazioni:
98
PRX Block = PIN Block + G LNA − Acavo
se per esempio PRX Block= -26 dBm,
GLNA=12 dB, ACAVO=0 dB allora
PIN Block = PRX Block − G LNA + Acavo
PIN Block= - 38 dBm max
1 dB compression point
La potenza massima in ingresso è data dalla seguente realzione in cui il backoff deve
essere noto dalla specifica del ricevitore.
PIN _ MAX _ 1− dB −compr
dBm
= PIN _ 1− dB −compr
dBm
− Backoff dB
Comparsa di Rumore di intermodulazione IM3
Il Rumore di intermodulazione IM3 può essere definito in questo caso attraverso lo
Spurious Free Dynamic Range (SFDR) cioè la differenza in dB tra il livello di potenza in
uscita del segnale utile ed il livello di potenza del rumore nella situazione in cui i prodotti di
intermodulazione IM3 sono pari alla soglia di rumore.
In tal caso la potenza massima ammissibile in ignresso al dispositivo è data dalla
seguente rlazione:
⇒ PIN _ MAX / carrier __ due _ to _ IM 3
dBm
=
EIN dBm + 2 IP3IN dBm
3
Come esempio si riportano le curve di dinamica di un dispositivo LNA in termini di
guadagno e potenza massim ad’ingresso in funzione dell’’attenuazione A del cavo
Il grafico di figura 4 considera un ricevitore di stazione RX avente un livello di blocco
relativo ai segnali di input pari a PRX Block= -26 dBm.
99
Gudagno LNA e Ppotenza di ingresso Max a LNA in funzione dell'attenuazione del
cavo A
14.0
0
-5
12.0
LNA
Attenuatore
A
-10
10.0
F_LNA
G_LNA
-15
RX
F_RX
F_RIF = F_RX
8.0
B
-20
F (dB) della config. di riferimento (solo RX)
-25
F (dB) con Device 1 (G_LNA = 12 dB, F_LNA =
0.6 dB)
6.0
4.0
F (dB) con Device 2 (G_LNA = 12 dB, F_LNA =
1.7 dB)
A
-30
2.0
-35
0.0
0.0
Riferimento: P_IN_MAX_CASCATA (due to
BTS saturation) (dBm)
Device 1 (IP3_IN = 13 dBm):
P_IN_MAX_CASCATA (dBm)
Device 2 (IP3_IN = 4 dBm):
P_IN_MAX_CASCATA (dBm)
-40
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
A (dB)
Fig. 4
Le curve rosse e gialle di Fig. 4 si riferiscono rispettivamente a due dispositivi LNA diversi:
1) Giallo
2) Rosso
LNA con
LNA con
F=0.6 dB
F=1.7 dB
G=12 dB
G=12 dB
IP3IN=13 dBm
IP3IN=4 dBm
Relativamente alla cifra di rumore della cascata di dispositivi, non vi è nulla di nuovo
rispetto a quanto già visto.
Viceversa relativamente alla dinamica, Il primo dispositivo, con F=0.6 dB e IP3IN=13dBm,
è migliore in prestazioni dal punto di vista del rumore rispetto al secondo dispositivo, infatti
la potenza che ammette in ingresso prima di produrre prodotti spuri IM3 è più elevata
rispetto al secondo dispositivo, questo è il motivo per il quale la curva gialla si trova più in
alto sull’asse delle potenze di ingresso rispetto alla curva rossa, ovvero il primo dispositivo
ammette una maggiore dinamica del segnale di ingresso.
I punti A e B sono quelli dove il comportamento della curva cambia, in particolare a sinistra
dei punti la condizione più restrittiva è rappresentata dal livello di blocco per saturazione
del ricevitore mentre a destra, il livello più basso che determina la condizione più restrittiva
è dovuto ai prodotti di intermodulazione IM3.
100
Per il primo dispositivo, si nota che a basse attenuazioni del cavo cioè a sinistra del punto
B, anche se il i prodotti IM3 sono ottimi si è comunque costretti a ridurre la potenza di
ingresso all’ LNA a causa del blocco per saturazione del ricevitore radio.
Nell’esempio non è stato inserita la condizione su 1 dB compression point.
Da quanto detto fino ad ora si più pertanto concludere che per una scelta ottimale dei
parametri di un LNA : Guadagno, Cifra di Rumore, IP3IN occorre prima conoscere le
caratteristiche del ricevitore e del cavo a valle del LNA.
Per quanto riguarda le BTS in generale si è visto che un LNA con F=0.8 dB, G=12 dB,
IP3IN=13 dBm si ottiene un buon compromesso tra dinamica e cifra di rumore della
cascata di dispositivi.
Calcolo della sensibilità in ricezione per una trasmissione
digitale
101
Per il calcolo della sensibilità si parte dalla relazione che correla il rapporto segnale
rumore a: energia sul bit, larghezza di banda, bit rate, rumore termico.
Eb Rb
S ⎛ Eb ⎞ Rb
≡⎜
≡
⎟
N ⎝ N 0 ⎠ W KT0 FW
(1)
Per esempio nel caso di un sistema per telefonia mobile GSM inserendo qualche dato
tipico si osserva che:
⎛ 271.000 ⎞
9(dB) ≅ 7.68 (dB) + 10 Log ⎜
⎟ ≅ 7.68 (dB) + 1.32 (dB)
⎝ 200.000 ⎠
(2)
Ciò che interessa è il valore minimo di S ovvero il valore minimo del segnale utile che
permette al ricevitore di decodificare con una certa probabilità di errore (BER%) accettata
funzione della codifica adottata, della banda utilizzata, del tipo di modulazione, della bit
rate, e del mezzo fisico di propagazione.
Una volta fissata la BER% e la banda a disposizione si può risalire anche la bit rate Rb
sostenibile per un dato rapporto di Eb/N0.
S≡
⎛E ⎞R
⎛E ⎞
Eb Rb
E R
N ≡ b b N ≡ ⎜ b ⎟ b KT0 FW ≡ ⎜ b ⎟ Rb KT0 F
N0 W
N0 W
⎝ N0 ⎠ W
⎝ N0 ⎠
(3)
Riferendosi al caso GSM si ha per esempio:
S ≅ 7.68 + 54 − 174 + 8 ≅ −104 dBm
(4)
dove per il GSM valgono le seguenti:
N 0 ≡ KT0 F ;
P0 ≡ KT0W ≡ potenza di rumore termico sul canale ≅ -121 dBm;
F ≡ cifra di rumore del ricevitore ≅ 8 dB
Eb
≡ quantità nota e funzione del Ber ≅ 7.68
N0
W ≡ larghezza di banda del canale ≅ 200 Khz ≅ 53dBhz
Rb ≡ bit rate del canale ≅ 271 Kb/s ≡ 54 dB bit/s
(5)
Eb ≡ energia per bit
K ≡ costante di Boltzman ≡ 1.38062 ⋅10-23 J/K
T0 ≡ temperatura di riferimento ≡ 300 K
KT0 ≡ densità spettrale di rumore termico ≡ -174 dBm/Hz
102
In alternativa è possibile ricavare la sensibilità partendo dal rapporto C/I noto che da
specifica garantisce una certa probabilità di errore ma questo metodo non consente di
semplificare la banda W in ingresso al ricevitore che non sempre è conosciuta in modo
univoco , in quanto per esempio dipende dalla pendenza dei filtri di ricezione per evitare
interferenze dovute a canale adiacente:
Eb Rb
S ⎛ Eb ⎞ Rb
≡⎜
≡
⎟
N ⎝ N 0 ⎠ W KT0 FW
(6)
ricavando la potenza utile minima per la sensibilità si ha:
Eb Rb ≡
S
( KT0 FW )
N
(7)
cioè in dB:
S
( dB ) + KT0 ( dBm / Hz ) + F ( dB ) + W ( dBHz ) ≡
N
9 + [ (−174) + 53] + 8 ≅ 9 + ( −121) + 8 ≅ −104 dBm
Eb Rb ( dB ) ≡
(8)
Di seguito è riportato un esempio pratico relativo al miglioramento della sensibilità di
ricezione nel caso di una catena di ricezione GSM che utilizzante un LNA.
103
Miglioramento della sensibilità di ricezione della stazione radio
mediante l’uso di un LNA
Si consideri il caso di una catena di ricezione di riferimento formata dagli elementi di
figura1:
Situazione di riferimento
Codino
RX
L Codino
F_RX
F_RIFdB = F_RXdB + 1 dB e Sens Rif.= -105.8dBm
Figura1
Si da per assunto che il collegamento all’antenna avviene tramite un cavo di ricezione che
si trova a monte di questa cascata e che nel disegno non è rappresentato.
Consideriamo ora la situazione in cui un LNA è inserito a monte di tutta la catena radio
ovvero subito a valle dell’antenna come in figura 2
Aggiunta LNA e del feeder di antenna a valle come parametro
TMA
Feeder
L_feeder
Sens
Codino
L_codino
RX
F_RX
La sensibilità varia in funzione della lunghezza del feeder di antenna
figura 2
sono noti i seguenti dati:
GLNA=12 dB;
FLNA=1.7 dB;
C/I=S/N=9 dB;
FRX=5.19 dB
104
Utilizzando la formula della sensibilità sotto riportata:
Eb Rb
S ⎛ Eb ⎞ Rb
⎟⎟
≡ ⎜⎜
≡
N ⎝ N 0 ⎠ W KT0 FW
isolando Eb Rb che equivale al segnale utile C minimo per la sensibilità si ottiene :
Eb Rb ≡
S
(KT0 FW )
N
in decibel si ottiene :
C = Eb Rb (dB ) ≡
S
(dB ) + KT0 (dBm / Hz ) + F (dB ) + W (dBHz )
N
si può osservare che la sensibilità dipende dalla cifra di rumore della catena di
ricezione,che funzione della lunghezza del cavo ovvero dalla sua attenuazione e dalla
lunghezza del codino finale di antenna che lo connette al ricevitore.
Considerando come parametro la lunghezza del Feeder di antenna allora si ottengono le
seguenti curve di variazione di sensibilità in dBm di figura 3:
Effetto dell'amplificatore LNA
Incremento di sensibilità (dB)
6
4
2
0
L_feeder = 1 dB
-2
L_feeder = 2 dB
L_feeder = 3 dB
-4
L_feeder = 4 dB
-6
0
5
10
15
Lunghezza codino (dB)
figura 3
105
Dal grafico si osserva che la sensibilità in antenna si riduce sia all’aumentare della
lunghezza del feeder sia al crescere della lunghezza del codino di ricezione lato Stazione
radio.
Tre situazioni di catena di ricezione GSM messe a confronto in termini
di sensibilità di ricezione in antenna
Nella successiva figura sono riportati tre casi a confronto:
•
•
•
Nel primo non ci sono LNA
Nel secondo LNA si trova in mezzo alla catena di ricezione, tra feeder e codino
Nel terzo caso l’LNA si trova a monte dei cavi feeder e codino.
I risultati si commentano da soli.
RBS200 (con codino da 1 dB)
-101.0
Sens (dBm) RBS200 TMA top
Sens (dBm) RBS200 LNA bottom
-102.0
Feeder
Codino
Lfeeder
1 dB
RX
-101.8
Sens (dBm) RBS200 no ampli
F_RX
-102.8
-103.0
F
-103.8
-104.0
-104.8
-105.0
Feeder
-105.7
-106.0
Lfeeder
F_LNA
G_LNA
-106.7
-107.0
Codino
LNA
1 dB
RX
F_RX
F
-107.7
-108.0
-108.7
-109.0
-109.4
-109.6
-108.8
-109.1
TMA
F_TMA
G_TMA
-110.0
Feeder
Codino
Lfeeder
1 dB
F
-111.0
0
1
2
3
4
5
L feeder (dB)
106
RX
F_RX
Unità Logaritmiche per esprimere le potenze
L’unità adimensionale dB esprime il rapporto in maniera logaritmica tra due grandezze,
per esempio per i livelli di potenza P(W); di solito si sceglie un riferimento:
⎛P⎞
dB = 10 Log ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ P0 ⎠
Usando misure di tensione è necessario tenere conto dell’impedenza attraverso cui
ciascuna tensione viene misurata:
⎛V2
⎜
⎛P⎞
10 Log ⎜⎜ ⎟⎟ = 10 Log ⎜⎜ R2
V
⎝ P0 ⎠
⎜⎜ 0
⎝ R0
⎞
⎟
⎟ = 20 Log ⎛⎜ V ⎞⎟ + 10 Log ⎛⎜ R ⎞⎟ =
⎜R ⎟
⎜V ⎟
⎟
⎝ 0⎠
⎝ 0⎠
⎟⎟
⎠
⇓
⎛V ⎞
⎛P⎞
10 Log ⎜⎜ ⎟⎟ = 20 Log ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ V0 ⎠
⎝ P0 ⎠
se :
R = R0
107
Unità Logaritmiche dBm e dBµV
Considerando come grandezze di riferimento le seguenti:
P0 = 1 [mW ]
V0 = 1 [µV ]
⎛ P[W ] ⎞
P[dBmW ] = P[dBm ] = 10 Log ⎜⎜ −3
⎟⎟ = 10 Log (P[W ]) + 10 Log 103 =
[
]
10
W
⎠
⎝
( )
= 10 Log (P[W ]) + 30 Log (10 ) = 10 Log (P[W ]) + 30
dove :
10 Log (P[W ]) = P[dBW ]
⎛ V ⎞
P[dBµV ] = 20 Log ⎜⎜ −6 ⎟⎟ = 20 Log (V ) + 20 Log 106 =
⎝ 10 [V ] ⎠
( )
= 20 Log (V ) + 120 Log (10) = 20 Log (V ) + 120
dove :
20 Log (V ) = P[dBV ]
Le relazioni reciproche sono :
108
P[dBm ] − 30 = 10 Log (P[W ])
10
10
10 P [dBm ]−30 = 10 Log (P [W ] ) = P[W ]
P[W ] = 10 ( P [dBm ]−30 )
1 / 10
= 10
P [dBm ]−30
10
= 10
P [dBm ]
−3
10
=
P [dBm ]
10
10
103
P[dBµV ]− 120 = 20 Log (V )
10
[
]
P dBµV −120
P[V ] = 10
= 10 Log (V )
20
(P [dBµV ]−120 )
1 / 20
[
= 10
]
P dBµV −120
20
[
= 10
P dBµV
20
P [dBµV ]
]
10 20
10 −6 =
106
Unità Logaritmiche: passaggio da dBµV a dBm
109
V2
da : P =
R
⇒ V = PR
⎛ PR ⎞
⎛ V ⎞
1/ 2
P[dBµV ] = 20 Log ⎜ −6 ⎟ = 20 Log ⎜⎜ −6 ⎟⎟ = 20 Log (PR ) + 20 Log 106
⎝ 10 ⎠
⎝ 10 ⎠
( )
= 10 Log (PR ) + 120 = 10 Log (P[W ]) + 10 Log (R ) + 120 =
⎛ P[W ]⋅10 −3 ⎞
⎛ P[W ] ⎞
⎟⎟ + 10 Log (R ) + 120 = 10 Log ⎜ −3 ⎟ + 10 Log (R ) + 120 + 10 Log (10 −3 )
= 10 Log ⎜⎜
−3
⎝ 10 ⎠
⎠
⎝ 10
= P[dBm] + 10 Log (R ) + 120 − 30
se
R = 50Ω
allora si ottiene :
P[dBµV ] = P[dBm] + 10 Log (50 ) + 120 − 30 = P[dBm] + 17 + 120 − 30
⇓
P[dBµV ] = P[dBm] + 107
Unità Logaritmiche: passaggio da dBµV a dBµV/m
110
È necessario introdurre il fattore di antenna K pertanto considerando un onda incidente su
un antenna collegata ad un carico zL come in figura si ha
Dipolo
Ei
(µV/
•Ei
zL(Ω
)
VL(µ
V)
campo elettrico incidente
•VL
tensione ai morsetti di
chiusa su un carico specifico
antenna
Carico
Per definizione l’Antenna Factor (AF) che si misura in [m-1] è dato da
AF =
[m ]
Ei
-1
VL
⇒
⎛ E [µV / m] ⎞
⎟ = Ei [dBµV / m] − VL [dBµV ]
AF dBm −1 = 20 Log ⎜⎜ i
⎟
⎝ VL [µV ] ⎠
(
)
⇓
(
)
Ei [dBµV / m] = VL [dBµV ] + AF dBm −1
Il passaggio è immediato utilizzando le relazioni già viste
(
Ei [dBµV / m] = P[dBm] + 107 + AF dBm −1
10 Ei [dBµV / m ] = 10
10
⎛⎡ V ⎤⎞
⎜ ⎢ −6 ⎥ ⎟
Log ⎜⎜ ⎣ 10 ⎦ ⎟⎟
m
⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠
⎛⎡ V ⎤⎞
⎜ ⎢ −6 ⎥ ⎟
20 Log ⎜⎜ ⎣ 10 ⎦ ⎟⎟
m
⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠
)
−1
= 10 P [dBm ]+107+ AF (dBm )
20
20
⎛⎡ V ⎤⎞
⎜ ⎢ −6 ⎥ ⎟
−1
10 ⎦ ⎟
= 10 P [dBm ]+107+ AF (dBm )
=⎜⎣
⎜ m ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎡ V ⎤
⎢⎣10 −6 ⎥⎦
−1 1 / 20
= 10 P [dBm ]+107+ AF (dBm )
= 10
m
(
)
Ei [V / m] = 10 ⋅10
−6
(
P [dBm ]+107 + AF dBm−1
20
(
P [dBm ]+107 + AF dBm−1
)
20
)
Alla relazione precedente si arriva anche mediante i seguenti passaggi:
sia δ è la densità di potenza generata dall’antenna trasmittente in un punto a distanza d
111
δ=
Pt × Gt
4×π × d 2
In condizioni di campo lontano cioè per un onda piana tale densità di potenza è anche
uguale a:
δ=
E
2
η
•η è l’impedenza caratteristica del vuoto,
•λ è la lunghezza d’onda del segnale utile,
•Pr è la potenza ricevuta dal ricevitore nel punto
considerato (W),
•Gr è il guadagno del ricevitore,
•freq è la frequenza in Hz
moltiplicando la densità di potenza per l’area efficace dell’antenna ricevente si ottiene si
ottiene la potenza ricevuta:
Pr = δ × Aeff .
si sa che l’area efficace di un’antenna è legata al suo guadagno attraverso la seguente
relazione:
Aeff . =
λ2
× Gr
4×π
sostituendo tale valore nell’espressione della potenza ricevuta si ha
Pr = δ ×
E2
λ2
λ2
× Gr =
×
× Gr
4×π
η 4×π
invertendo la relazione si ottiene
Er =
η × Pr× 4 × π
λ2 × Gr
Dal momento che esiste una relazione che lega l’Antenna Factor al guadagno si può
scrivere:
112
AF =
η 4π
⇒
λ RradiazioneGRX
2
GRX =
sostituendo GRX nell' espressione del
E=
η ⋅ Pr⋅ 4π
η ⋅ Pr⋅ 4 ⋅ π
=
=
2
η 4π
λ ⋅ Gr
2
λ ⋅ 2
λ Rradiazione AF 2
= AF Pr⋅ Rradiazione
η 4π
λ Rradiazione AF 2
2
campo elettrico si ha :
Pr
1
=
Rradiazione AF 2
⎡ W ⋅V / A ⎤ ⎡ V ⋅ A ⋅V / A ⎤
miurato in ⎢
⎥=⎢
⎥ = [V / m]
m
m
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎡V / 10 −6 ⎤
⎡ µV ⎤ AF Pr⋅ Rradiazione
E⎢
⎥ = E⎢
⎥=
10 −6
⎣ m ⎦
⎣ m ⎦
⎧ ⎡V / 10 −6 ⎤ ⎫
AF Pr⋅ Rradiazione
20 Log ⎨ E ⎢
⎥ ⎬ = 20 Log
10 −6
⎩ ⎣ m ⎦⎭
E [dBµV / m] = 20 Log ( AF ) + 10 Log (Pr[W ]) + 10 Log ( Rradiazione ) + 20 Log10 6 =
10 −3
= 20 Log ( AF ) + 10 Log (Pr[W ] ⋅ −3 ) + 10 Log ( Rradiazione ) + 120 =
10
= 20 Log ( AF ) + P[dBm] + 10 Log (10 −3 ) + 10 Log ( Rradiazione ) + 120 =
= 20 Log ( AF ) + P[dBm] − 30 + 10 Log (50) + 120 =
= 20 Log ( AF ) + P[dBm] + 107
[
]
= AF dBm −1 + P[dBm] + 107
113
Tratta radio
Tratta radio: trasmissione in spazio libero
Una trasmissione radio può essere schematizzata mediante i seguenti blocchi
fondamentali:
TRATTA
RADIO
G1
Mu
Mo
Tx
G2
AF
AL1
AL2
Rx
De
Mu
A0
A
AT
•Mu:
•Mo:
•T:
•R:
•De:
•
multiplex
AT:attenuazione complessiva di tratta hertziana
modulatore RF
A: attenuazione di tratta
trasmettitore
A0:attenuazione fondamentale di trasmissione
ricevitore
AL:attenuazione delle connessioni di antenna
demodulatore
AF:attenuazione aggiuntiva di fading
G
d
di
Per la parte radio, l’attenuazione complessiva di tratta hertziana si trova mediante la
seguente:
AT = A0 − (G1 + G2 ) + AL1 + AL 2 + AF
(dB )
La parte di tratta che comprende antenna trasmittente ed antenna ricevente caratterizza la
trasmissione nello spazio che ipotizziamo essere “spazio libero”
ricevitore
trasmettitore
WTA
Tx
(A
r
WRB
Rx
(B
ΘB,ФB
ΘA,ФA
114
•
•
•
potenza trasmessa in ingresso all’antenna A
potenza ricevuta in uscita dall’antenna B
guadagno delle antenne rispetto alla direzione di massima radiazione
WTA:
WTB:
G(Θ,Ф):
Su suppongono soddisfatte le seguenti ipotesi:
•
•
•
PB =
Campo lontano (cioè distanza r > 2d2/λ con d=dimensione maggiore lineare
dell’antenna)
Adattamento dei carichi ( in quanto si vuole il max trasferimento di potenza senza
effetti di potenza riflessa)
Adattamento di polarizzazione (per evitare perdite di potenza dovute a polarizzazione
diversa delle tra trasmissione e ricezione)
[
WTA
GA
4π r 2 (ΘA ,Φ A )
WRB = PB ⋅ Aeff B (Θ
B ,ΦB
]
densità di potenza W/m 2 ricevuta a distanza " r" da A
potenza [W ] ai morsetti dalla antenna B
)
dalla relazione che lega area efficace al guadagno di antenna si ha :
Aeff B (Θ
B ,ΦB
)
=
GB (ΘB ,ΦB )
4π
λ2
di conseguenza la potenza ricevuta ai morsetti dell' antenna B è :
WRB = PB ⋅
GB (ΘB ,ΦB )
4π
λ2 =
GB (ΘB ,ΦB ) 2
WTA
G
⋅
λ
A
(Θ
,Φ
)
A
A
4π r 2
4π
Pertanto si ottiene l’equazione di FRIIS:
2
WRB ⎛ λ ⎞
⎟ G A(ΘA ,Φ A )GB (ΘB ,ΦB )
=⎜
WTA ⎜⎝ 4π r ⎟⎠
l’attenuazione fondamentale di tratta A0 di spazio libero è
115
2
W
1
⎛ 4π rf ⎞
A0 = TA = ⎜
⎟
WRB ⎝ c ⎠ G AGB
2
⎛ rc ⎞
W
1
A0 = TA = ⎜⎜ ⎟⎟
WRB ⎝ f ⎠ Aeff A Aeff B
per antenne ad apertura l' area effettiva è
Aeff = η ⋅ Ageometrica
0.5 ≤ η ≤ 0.75
Esprimendo l’equazione di Friis in decibel si ottiene
⎛ λ ⎞
⎟⎟ + G A(ΘA,ΦA ) (dB) + GB (ΘB ,ΦB ) (dB) =
∆W (dB) = WRB (dBm) − WTA (dBm) = 2 ⋅10 Log ⎜⎜
⎝ 4π r ⎠
⎛c⎞
= 2 ⋅10 Log ⎜⎜ ⎟⎟ − 2 ⋅10 Log (4π r ) + G A(ΘA,ΦA ) (dB) + GB (ΘB ,ΦB ) (dB) =
⎝f⎠
= 20 Log (c ) − 20 Log ( f ) − 20 Log (4π ) + 20 Log (r ) + G A(ΘA,ΦA ) (dB) + GB (ΘB ,ΦB ) (dB) =
≅ 147,6 − 20 Log ( f ) + 20 Log (r ) + G A(ΘA,ΦA ) (dB) + GB (ΘB ,ΦB ) (dB)
con :
r ≡ [m]
f ≡ [Hz ]
In condizioni reali all’attenuazione fondamentale di tratta A0 va aggiunta l’attenuazione
dovuta a fading (evanescenza) AF :
A = A0 + AF (dB)
riflessione
⎫
⎧
⎪
⎪
rifrazione
⎪
⎪
con : AF ⎨difrazione da ostacoli⎬
⎪
⎪ assorbimento
⎪
⎪
⎩ depolarizzazione ⎭
116
Satelliti per telecomunicazioni: accesso di tipo FDMA
Sono di seguito riportate alcune nozioni di base per il calcolo del Link-Budget relativo ad
un collegamento radio satellitare per telecomunicazioni
Potenza Ricevuta dalla stazione di Terra
Si consideri lo schema di una tratta radio satellitare di figura 1
La potenza Pr, ricevuta nella stazione a terra può essere calcolata nel modo seguente:
1
⎡ λ ⎤
Pr = Pt Gt Gr ⎢
⎥
⎣ 4πR ⎦ Losses
2
(1)
ovvero in dBW:
Pr = EIRPsatellite + Gr − L p − La − Lta − Lra
dove:
(2)
EIRPsatellite ( dBW ) = 10 Log10 ( PG
t t)
⎛ 4π
⎞
Gr = 10 Log10 ⎜ 2 Aeff ⎟
⎝λ
⎠
Aeff = η AGeometrica
⎛ 4π R ⎞
Lp = path loss = 10 Log10 ⎜
⎟
⎝ λ ⎠
La = attenuazione atmosfera(dB )
2
EIRPsatellite
Loss Lta satellite
(3)
Lta = perdita antenna trasmissione (dB )
Path Loss LP
Lra = perdita antenna ricezione (dB )
Atmospheric
Loss La
Earth station
Antenna Gain Gr
Loss Lra
LNA
Received Power Pr
Figura 1
117
Definizione del C/N per un collegamento satellitare
Solitamente per una stazione di terra si usa definire il rapporto C/N in questo modo:
G ⎡ λ ⎤
PG ⎡ λ ⎤ Gr
potenza ricevuta C PG
1
1
= = t t r⎢
= t t⎢
⎥
⎥
rumore
N
KTs B ⎣ 4π R ⎦ Losses KB ⎣ 4π R ⎦ Ts Losses
2
2
(4)
dove :
Pt Gt
:
KB
è il fattore di merito del trasmettitore lato satellite
Losses :
sono le perdite complessive dei cavi più antenne
:
è il path loss dello spazio libero
Gr
:
Ts
è la figura di merito del ricevitore della stazione di terra
Free Space Loss
300.00
W
⎛ 4π rf ⎞
A0 = TA = ⎜
⎟
WRB ⎝ c ⎠
200.00
A0(dB) f=1GHz
150.00
A0(dB) f=10 GHz
A0(dB) f=100 GHz
100.00
50.00
4E+11
1E+10
1E+09
1E+08
10000
1000
0.00
100
Attenuation (dB)
250.00
2
1E+07
2
1E+06
⎡ λ ⎤
⎢⎣ 4πR ⎥⎦
1E+05
1
Distance (m)
118
Il C/N globale del collegamento FM tra stazione di terra e satellite può essere determinato
A partire dai contributi sulle tratte Up_link e D_Link e aggiungendo il C/N di
intermodulazione sulla tratta D-Link a causa della saturazione del High Power Amplifier
(Travelling Wave Tube) del satellite:
1
C
C
=
=
N N U −link + N D −link + N I −intermod ⎛ N U −link ⎞ ⎛ N D −link ⎞ ⎛ N I −intermod ⎞
⎜
⎟+⎜
⎟+⎜
⎟
C
⎝ C ⎠ ⎝ C ⎠ ⎝
⎠
1
=
1
1
1
+
+
⎛ C ⎞ ⎛ C ⎞ ⎛
⎞
C
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ N U −link ⎠ ⎝ N D −link ⎠ ⎝ N I −intermod ⎠
Definiamo il Back-Off di input in Up-Link come la differenza tra la potenza di ingresso di
una singola portante radio che provoca la saturazione in uscita del TWT, e la potenza di
uscita di una particolare portante del multicarrier FDMA considerata intorno al normale
punto di lavoro.
Segue che le potenze e dunque i C/I possono essere espressi in funzione del Backoff
riferendosi alle potenze di saturazione e sottraendo contemporaneamente il margine di
Backoff relativo.
Il Backoff UP-Link determina il Backoff D-Link cioè la distanza dalla potenza di saturazione
di output del TWT amplifier.
In figura è riportato il concetto di backoff, si osserva che a causa della distribuzione delle
potenze sulle portanti radio nel caso di una muticarrier la linea di saturazione è a più
bassa potenza rispetto alla singola portante di saturazione.
Output
At
single
carrier input
Saturation
Output
Output BOO
backoff
Operating
Point
Output
At multicarrier
output
Input backoff BOI
Operating
Point
TWT
Saturation
Input
119
Calcolo delle componenti di C/N
Vengono di seguito riportate le componenti che formano il C/N del collegamento satellite –
stazione terra
Tratta UP –Link
Il C/N è dato da:
Pt Gt Gr ⎡ λ ⎤
PG
1
⎡C ⎤
= t t2
⎢⎣ N ⎥⎦ = KT B ⎢⎣ 4πR ⎥⎦ BO
4πR
U
s
input
2
⎡ λ2 ⎤ Gr 1
1
⎢ ⎥
⎣ 4π ⎦ Ts KB BOinput
⎡ λ2 ⎤ G 1
1
= FSaturation ⎢ ⎥ r
⎣ 4π ⎦ Ts KB BOinput
relativamente al BACKOFF si ha che :
Fluxdensity (dBW / m 2 ) = Fluxdensity saturation (dBW / m 2 ) − BOinput (dB)
120
Il TWT produce la massima uscita nella regione di saturazione dove tuttavia si producono
a causa della non linearità del dipositivo TWT , prodotti di intermodulazione e la
distorsione di intermodulazione.
L’output Backoff D-Link è compreso solitamente tra 3 e 7 dB ed è determinato dalla
potenza Up-Link ricevuta dal Satellite, per questo motivo il problema fondamentale su tale
tratta è calibrare la potenza di trasmissione della stazione di terra in modo che le
oscillazioni sul satellite non siano superiori tipicamente allo ±0.5%.
Le stazioni di terra pertanto solitamente hanno grandi antenne molto direttive e possono
sfruttare una grande potenza di trasmissione con elevata accuratezza in potenza
trasmessa..
Infatti lato Up-Link, da terra verso satellite, teoricamente non ci sono problemi legati né
alla potenza disponibile di trasmissione né alle dimensioni delle antenne, (parabole di 20m
di diametro), viceversa il satellite che è alimentato a celle solari ha maggiori difficoltà in
potenza di trasmissione, nonché in dimensioni fisiche delle antenne a bordo.
La stazione di terra inoltre possiede sensibili meccanismi di regolazione della potenza di
trasmissione basati sul monitoraggio del fading tramite un controllo a feedback del segnale
D-Link ricevuto.
Per tale motivo le stazioni di terra che devono trasmettere verso il satellite sono
mediamente molto costose ed è quindi anche per questo motivo che si preferisce l’uso del
satellite per collegamenti punto-multipunto D-Link di tipo broadcasting per esempio TV
Broadcast.
Il maggior contributo di rumore verso il satellite è dovuto :
•
•
•
rumore termico della terra 250-300 K;
rumore termico del trsponder;
Interferenze Up_link cocanali ed adiacenti: CCI e ACI
Relativamente al rumore termico della terra vi è poco da fare, esso resta abbastanza
costante intorno a 250 K quando la terra è vista da satellite o 300 K quando il dispositivo di
antenna è sulla terra; viceversa nel caso delle interferenze Up-Link considerato il recente
passaggio sulla spaziatura angolare tra satelliti da 3° a 2° vi è in generale il maggiore
problema di interferenza.
La inter-spaziatura angolare tra satelliti è funzione sia della densità crescente di satelliti sia
del problema interferenziale che si ha a causa di antenne con pattern non sufficientemente
stretto.
Tale interferenza può divenire forte quando le stazioni di terra usano piccole antenne
paraboliche con un fascio radio non sufficientemente stretto.
Se da un lato questo le rende poco costose, facili da installare e da puntare, dall’altro lato
per ottenere elevati EIRP di trasmissione richiedono molta potenza in ingresso ( per
esempio Intelsat IV piu di 200 W per singola portante ) ed a causa del lobo non
sufficientemente stretto possono provocare maggiori criticità interferenziali sui satelliti
adiacenti.
Per ridurre tale problema interferenziale, il CCIR ha emesso una specifica relativa al
pattern di trasmissione di tali antenne, che fissa il guadagno in funzione dell’angolo di
apertura, in particolare si ha:
121
G (ϑ ) = (29 − 25Log (ϑ ))
G (ϑ ) = (32 − 25Log (ϑ ))
per
per
1° < ϑ < 7°;
ϑ > 7°;
in figura e riportato il grafico relativo alla maschera del pattern di specifica:
G(ϑ) dB
29-25Log(ϑ)
20
32-25Log(ϑ)
Isotropic level
0
-7°
7°
Angle of axis ϑ
TRATTA DOWN-LINK
Nel verso D-Link i contributi di rumore ricevuti sulla stazione di terra sono:
•
•
•
•
•
Prodotti di intermodulazione del HPA: problema del Backoff ;
Temperatura del Sole circa 6000 K;
Ts temperatura di sistema del ricevitore;
Sky Noise cioè rumore dovuto all’atmosfera;
Rumore da interferenza CCI e ACI.
Le specifiche a seconda della frequenza richiedono che al C/N sia ammesso di andare
sotto una data soglia per una % di tempo non superiore alla specifica.
Per esempio:
•
•
•
6/4 Ghz tale percentuale è 0,01 % dell’anno;
14/11 Ghz dove la rain attenuation è maggiore si parla dello 0.1% dell’anno
30/20 Ghz dello 0.2% dell’anno.
Calocolo del C/N:
122
Pt Gt Gr
⎡C ⎤
⎢ N ⎥ = KT B
⎣ ⎦D
s
1
1
⎡ λ ⎤
⎡ λ ⎤ Gr 1
= Pt Gt ⎢
⎢ 4πR ⎥ BO
⎥
⎣
⎦
⎣ 4πR ⎦ Ts KB BOoutput
otput
2
2
⎡ λ2 ⎤ Gr 1
1
= EIRP ⎢ ⎥
⎣ 4π ⎦ Ts KB BOoutput
⎡C ⎤
⎡C ⎤
+ BOoutput
⎢N ⎥ = ⎢N ⎥
⎣ ⎦ I ⎣ ⎦ I − Saturation
(dB)
Sia il C/N D-Link che il C/N di Intemodulazione dipendono dal Output Backoff ovvero dalla
potenza di uscita del TWT che non deve operare nella regione di saturazione.
Quanto maggiore è il l’output Backoff cioè quanto minore è la potenza di uscita del TWT,
tanto maggiore cioè migliore risulterà il C/N di intemodulazione
Sulla tratta Up-Link all’aumentare della potenza di flusso in ingresso al satellite il C/NUP
tende a migliorare e così fa anche il C/NDL, ma raggiungendo la regione di saturazione il
C/NDL rimane stabile ed una volta oltrepassata la regione di saturazione inizia a decadere
al crescere del C/NUL
Il termine C/NI decresce monotonamente al crescere del C/NU il risultato è la curva ci C/N
totale con un massimo che corrisponde al punto ottimale di operating point del TWT
amplifier. Quanto detto è visualizzato sul grafico sotto di figura:
C/N dB
UP-LINK: C/NU
D-LINK: C/ND
Optimum
Overall C/N
INTERMOD: C/NI
TWT input Power
123
Fenomeni di attenuazione e depolarizzazione durante la propagazione
radio del segnale
Sono di seguito brevemente elencati i principali fenomeni di attenuazione che occorrono
su un collegamento satellitare:
Attenuazione non dovuta a pioggia o ghiaccio
•
•
Assorbimento atmosferico in corrispondenza delle frequenze di risonanza del
vapore acqueo circa 21 Ghz e dell’ossigeno circa 60 Ghz;
Attenuazione troposferica evidente soprattutto per angoli di elevazione
dell’antenna minori di 5°;
o Scintillazione cioè rapide fluttuazioni del segnale radio;
o Muiltipath fading selettivo in frequenza per il quale si considera un margine
aggiuntivo di sicurezza ed è da intendersi come attenuazione da superare
solo per una data percentuale di tempo;
o Land e sea multipath.
• Faraday rotation nella Ionosfera:
tra 40 e 100 Km di altitudine a causa delle particelle ionizzate si considera la
ionosfera come un plasma all’interno della quale l’onda si propaga secondo due
polarizzazioni inizialmente ortogonali.
124
A causa del percorso nella ionosfera tali polarizzazioni dell’onda subiscono
un’attenuazione differente e la somma vettoriale restituisce una polarizzazione
diversa da quella di partenza.
Attenuazione dovuta a Rain effect
•
Attenuazione: per frequenze maggiori di 10 Ghz la lunghezza d’onda è tale che le
gocce di pioggia provocano uno scatter dell’onda elettromagnetica. Questa
diffrazione diffonde parte dell’energia dell’onda in direzioni diverse da quella
principale di propagazione provocando complessivamente un’attenuazione del
segnale.
• Depolarizzazione: avviene in misura differente a seconda della polarizzazione
dell’onda incidente, questo è dovuto alla forma schiacciata ad ellissoide della
goccia di acqua in caduta. L’attenuazione è minima se l’onda si propaga con il
campo elettrico parallelo all’asse minore dell’elissoide.
Un onda polarizzata linearmente in una direzione qualunque può essere vista come
composta dalla somma vettoriale di una polarizzazione verticale e una orizzontale,
ne consegue che se ad opera della pioggia una delle due polarizzazioni viene
attenuata maggiormente allora la polarizzazione complessiva cambia.
• Aumento temperatura di rumore dell’antenna: La pioggia oltre ad introdurre
un attenuazione contribuisce all’incremento della temperatura di antenna sul quale
cade, tale effetto può in alcuni casi essere peggiore che la sola attenuazione
introdotta.
Poiché complessivamente come si è visto il C/N dipende sia dall’attenuazione del
segnale utile C, sia dal rumore N, è evidente che l’effetto della pioggia si traduce in
un aumento di N ed una riduzione di C pertanto in un peggioramento del C/N.
La legge è la seguente:
Tb=280(API-1)
Dove 280 K è l’effettiva temperatura media della pioggia ed API è l’attenuazione da
essa introdotta sul collegamento radio.
125
Esempi calcolo di link satellitari
Esempio 1
Si consideri un satellite geostazionario a circa 40.000 Km di altitudine.
Dati stazione terra:
• Banda B=36 Mhz;
• Angolo Elevazione antenne stazione terra terra : θ>5°
• Temperatura di Clear Sky con θ>5° circa pari a Ta= 50 K
• Temperatura del ricevitore TRX=20 K
• C/N richiesto per FDMA=11 dB per il 99.9% del tempo
• Margine di 3 dB per Noise Sun
• Margine di 3 dB per Fading θ>5°
• Margine 1 dB di implementazione
Dati satellite:
potenza trasmessa Ptx: EIRP=21 dBw
si vuole calcolare l’area dell’antenna della stazione di terra considerando una efficienza di
antenna η=0.65.
Risoluzione:
•
•
•
•
•
N=KTsB=K(Ta+Ts)B=K(50+20)B=K(70)B=-134 dBW è la potenza di rumore termico
all’ingresso del ricevitore della stazione di terra.
Fflux-density-satelliteTX=EIRP/4πR2= EIRP/4π(40*106m)=-142 dBW/m2
Poiché il C/N FDM richiesto è 11 dB e poiché i margini introducono una
attenuazione complessiva di 3+3+1=7 dB allora il C/N(99.9% tempo)=18 dB.
Da C/N=18 dB e N=-134 dBw si ricava C(99.9 %tempo)>=18dB+N(dBw)=
=18dB-134dBw= -116 dBw
Cutile= Fflux-density-satelliteTX*(AEFFICACE-ANTENNA_RX )= Fflux-density-satelliteTX *(AGEOMETRICA* η)
pertanto AGEOMETRICA=[C(dBW) - Fflux-density-satelliteTX(dBW/m2)- η(dB)]
Ovvero per ricavare l’area geometrica risulta:
C FFLUX • η • AGEOMETRICA− ANT − RX
=
N
N
Esempio 2
Si consideri un satellite geostazionario a circa 40.000 Km di altitudine.
126
Dati stazione di terra:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
f=14 / 11 Ghz
GRX / TS=40,3 dB
GRX=64 dB
Angolo Elevazione antenne stazione terra terra : θ=10°
Antenna aperture efficiency ηA=71.3%
Sky Noise a 10° elevation angle Ta=30 K
TLNA=150 K
TLOSS antenna da determinare ?
Temperatura sistema:
Ts-clear-sky=Tantenna+TLNA=(TLOSS-antenna+Tcaptato-antenna)+TLNA=
234 K
Dati Meteo:
•
Durante heavy rain la crescita
è 8 dB per lo 0.01 % dell’anno
dell’atttenuazione
slant
path
attenuation
Problema:
Calocolare il G/T ed il C/N per la frazione dell 0.01% dell’anno.
Risoluzione:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
TS=Tantenna+TLNA=(TLOSS antenna+Tcaptato antenna)+TLNA=234 K
Tcaptato antenna =30K x ηA =30K x 0.713=21.4 K è il contributo dello sky noise
sull’anntenna
TLOSS antenna= TS- TLNA- Tcaptato antenna=234-150-21.4=62.6 K
La temperatura equivalente della pioggia è: TE=TP(1-G) con TP=270 K temperatura
fisica della pioggia a 11 GHz; e G=1/Aslant = -8 dB=0.158 (scala Lineare) pertanto la
temperatura equivalente agli 8 dB di attenuazione della pioggia è:
TE=TP(1-0.158)=227 K
Si nota che 8 dB di attenuazione della pioggia originano una delta di temperatura di
227 K che risultando >>> di 30 K relativi a clear sky condition implica che
quest’ultimo può essere trascurato.
Il contributo sull’antenna dipende come prima dall’efficienza di apertura
dell’antenna:
Tcaptato antenna=227 x 0.713=161.8 K la temperatura del sistema è ora:
TS=Tantenna+TLNA=(TLOSS antenna+Tcaptato antenna)+TLNA=62.6+161.8+150 =374 K che in
dB corrispondono a 25.7 dBK
Il nuovo G/T è (GRX / TS)(dB)= GRX (dB)- TS (dB)=64-25.7=38.3 dB rispetto al valore
iniziale di 40.3 dB si ha un peggioramento di 2 dB a causa della pioggia sul sistema
di antenna.
Poiché l’attenuazione del segnale per pioggia corrisponde ad 8 dB allora il C/N si
riduce di 8 dB.
Essendo il C/N dipendente anche dal rapporto G/T ed essendo questo peggiorato
di 2 dB allora a causa della pioggia il C/N peggiora complessivamente di 10 dB.
127
2
C PTX ⎡ λ ⎤ G RX
=
N KB ⎢⎣ 4πR ⎥⎦ TS
Esempio 3
Si vuole realizzare un collegamento satellitare con la potenza trasmessa da terra di PT
= 5 KW, con un'antenna terrestre di tipo parabolico con guadagno di GT(dB) = 58 dB,
ed una sul satellite, distante r = 36.000 Km, di GS(dB) = 37 dB.
La frequenza da impiegare è di f = 9 GHz e l'efficienza d'antenna è nei due casi η% =
55%.
Si chiede:
•
•
•
•
•
•
Il diametro delle due antenne paraboliche.
La densità di potenza ricevuta dal satellite.
Il campo elettrico ricevuto dal satellite.
L'attenuazione dello spazio libero.
La potenza ricevuta dal satellite.
L'attenuazione complessiva del collegamento Terra - satellite.
SOLUZIONE
La formula che lega il guadagno G delle antenne paraboliche con il diametro D è:
Bisogna dunque, per determinarne il diametro D, conoscere i guadagni delle due
antenne, in modo normale GT, e GS mentre noi li conosciamo in dB; la lunghezza
d'onda λ, che si può ricavare dalla frequenza f che è data, e l'efficienza d'antenna, data
dal testo come η%.
Determinazione della lunghezza d'onda λ:
Dalla formula della velocità:
facendo la formula inversa, si ricava λ:
128
Determinazione dei diametri delle due antenne:
Dal guadagno G(dB) in dB delle due antenne, si ricava il guadagno G in modo
normale.
Scriviamo infatti la formula di G(dB):
e sostituiamo i valori:
dividendo per 10 il primo ed il secondo membro:
passando dai logaritmi ai numeri:
da cui:
GT=631.000
GS = 5.010
Dalla formula del guadagno d'antenna parabolica:
sviluppando la formula inversa rispetto al diametro D si ottiene nei due casi:
129
La densità di potenza in arrivo sul satellite si calcola con la formula:
dove sostituendo i valori numerici si ottiene:
Per il campo elettrico in arrivo sul satellite, dall'espressione
dove i valori dei campi elettrico E e magnetico H sono espressi in valore efficace,
calcolando la formula inversa, in funzione di E, e sostituendo i valori numerici:
Si ricorda infatti che la resistenza caratteristica dell'aria è 377 Ω.
L'attenuazione dello spazio libero si calcola con la formula:
La potenza ricevuta dal satellite si ottiene dalla formula generale della trasmissione:
L'attenuazione totale, intesa come il rapporto fra la potenza trasmessa e quella ricevuta
è:
130
Molto più spesso però in questo campo delle telecomunicazioni, tutti i valori delle
potenze vengono espressi in dBW ed i valori dei guadagni e delle attenuazioni in dB.
In questo caso, allora, calcoliamo detti valori:
e ricordando che i guadagni delle due antenne in dB sono già noti :
GT = 58 dB
GS = 37 dB
dalla formula generale della trasmissione, si ottiene la potenza ricevuta dal satellite
espressa in dB:
In effetti, calcoliamo per verifica confrontando con il risultato già ottenuto:
Bibliografia:
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
Lezioni Prof Chiaraluce (Università Politecnica delle Marche: Ing Elettronica)
Lezioni Prof Diruscio (Università La Sapienza : Ing Aerospaziale)
Lezioni Prof Schirone(Università La Sapienza : Ing Aerospaziale)
Lezioni Prof Cerri (Università Politecnica delle Marche: Ing Elettronica)
Lezioni Ing. Massaccesi (TIM)
Digital And Analog Communication Systems sixth edition (Leon W.Couch ,II)
Satellite Communication (Timothy Prat & Charles Bostian I and II edition)
Phisycs of the Solar System ( Bertolotti Farinella Vokrouhlicky)
Analisi eseguite presso TIM per l’utilizzo di LNA
131
[10]
Materiale su Internet
132