12 7) Calcolare la cifra di rumore del trasformatore reale illustrato in

7) Calcolare la cifra di rumore del trasformatore reale illustrato in figura 7.
Si assumano le resistenze Rp e Rs alla temperatura T0 = 290 K.
Rs/n2
⇒ cascata di doppi bipoli
F −1
(F2 = 1, il
Ft = F1 + 2
= F1
g1
trasform. ideale non introduce rumore)
Rp
1:n
Trasfm. ideale
F1 = L =
Pdin
Pdout
Rs/n2
Rg
Rg
v(t)
R
R=
R p Rg
Rs
+
n 2 R p + Rg
e(t)
12
Pdin (t ) =
e 2 (t )
4Rg
R p2
n 2 (R p + R g )
R p2
e 2 (t )
1
v 2 (t ) e 2 (t )
Pdout (t ) =
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
R p Rg
4R
4 (R p + R g )2 Rs
4 (R p + R g )2 Rs (R p + R g ) + R p R g n 2
+
n 2 R p + Rg
2
Rp
e 2 (t )
n2
=
⋅
⋅
4 (R p + R g ) Rs (R p + R g ) + R p R g n 2
E [e
Pdin = E [Pdin (t )] =
2
(t )
4 Rg
Gdin =
]
Ge ( f ) 2 KTR g KT
=
=
4 Rg
4 Rg
2
Gdout =
Ge ( f ) R p2
(R
+ Rg )
2
p
⋅
R p2 n 2
1
= Ge ( f )
4(R p + R g ) Rs (R p + R g ) + n 2 R p R g
 Rs
R p Rg 
4 2 +

R p + R g 
 n
[
[
]
]
2
(R p + Rg )
Rs (R p + R g )
Gdin
KT 4(R p + R g ) Rs (R p + R g ) + n R p R g
L=
=
⋅
=
+
Gdout
Rp
2
R g R p2 n 2
2 KTR g R p2 n 2
2
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8) Si consideri l’amplificatore indicato in fig. 8, del quale si conosce la temperatura di
rumore Te. La resistenza Rg di ingresso è rumorosa e la sua temperatura fisica e pari a
T0 = 290°K.
L’impedenza di ingresso dell’amplificatore è pari a Rg (si ha cioè adattamento di
impedenza all’ingresso). L’uscita dell’amplificatore è modellizzabile, come indicato nella
figura, con un generatore dipendente v definito dalla relazione:
v = Ax
dove x è la tensione ai morsetti di ingresso dell’amplificatore e A è il cosiddetto fattore di
amplificazione di tensione. Inoltre è presente la resistenza di uscita Ru che, tuttavia, va
considerata priva di rumore. All’uscita dell’amplificatore è collegata una capacità C; sia
w la tensione ai capi della capacità.
1. Dimostrare che la densità spettrale del valor quadratico medio della tensione v(t) vale:
Gv(f) =1/2k(T0 + Te)RgA2
2. Determinare il valore efficace della tensione w(t) ai capi della capacità
Rg
Rg
e(t)
14
Ge ( f ) = 2 K (T0 + Te )R g
x(t ) =
K (T0 + Te )
e(t )
1
⇒ G x ( f ) = Ge ( f ) =
Rg
2
4
2
A 2 K (T0 + Te )
v(t ) = Ax(t ) ⇒ Gv ( f ) =
Rg
2
1
j 2πfC
w( f ) = v( f ) ⋅
1
Ru +
j 2πfC
2
⇒ G w ( f ) = Gv ( f ) H ( f ) =
[
]
weff = E w 2 (t ) =
=
A K (T0 + T )R g
2
Ru C
+∞
1
j 2πfC
H( f ) =
1
Ru +
j 2πfC
A 2 K (T0 + Te )
1
Rg ⋅
2
1 + (2πfRu C ) 2
∫ Gw ( f )df =
−∞
verificato
A 2 K (T0 + Te ) + ∞
K (T0 + Te )
1
π
Rg ∫
df = A
Rg ⋅
=
2
2
2
2
R
C
π
fR
+
1
(
2
)
π
u
u
−∞
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9) Si consideri lo schema in fig 9.
Siano Te la temperatura equivalente di rumore dell’amplificatore e gd il suo guadagno
disponibile. Il misuratore di potenza opera su una banda B.
La temperatura fisica della terminazione d’ingresso può assumere due valori diversi T1 e
T2, con T2 > T1.
Siano P1 e P2 le potenze misurate dal misuratore di potenza nelle due condizioni.
Determinare la relazione che consente di valutare Te a partire dalla conoscenza di T1,
T2, P1 e P2 e verificare che tale relazione non dipende da gd e da B.
-
Caso con T1
P1 =
-
K (T1 + Te )
g d 2 B = K (T1 + Te )g d B
2
Caso con T2>T1
P2 = K (T2 + Te )g d B
K (T2 + Te )g d B
P2
=
= α ⇒ (T2 + Te ) = α (T1 + Te )
P1
K (T1 + Te )g d B
⇒ Te =
T1 − T2 T2 − αT1 T2 P1 − T1 P2
=
=
1−α
α −1
P2 − P1
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10) Un ricevitore per radiotelescopio è costituito da un preamplificatore a larga banda con
temperatura di rumore di 50 K e guadagno disponibile di 25 dB, una linea lunga 10 m
con perdita di 0.1 dB/m e un amplificatore con guadagno disponibile di 80 dB, cifra di
rumore di 2,3 dB e banda equivalente di 100 KHz. La frequenza di lavoro è di 5 GHz.
Con l’antenna orientata allo zenith, puntata su una radiostella, si misura all’uscita una
potenza di rumore di 13 dB più elevata rispetto a quella misurata in assenza della
radiostella. Determinare la temperatura di brillanza della radiostella (si assuma una
antenna con direttività molto elevata).
Preamplif.
Amplific.
linea
l =10 m
α = 0.1dB/m
T1=50K
g1=25dB
antenna
F = 2,3dB
B = 100KHz
L’antenna, dal punto di vista del rumore , può essere assimilata a una resistenza pari alla resistenza
di radiazione tenuta ad una temperatura Ta.
Definiamo inoltre una ‘temperatura operativa Top’ definita come:
Top = Ta + Te
la quale rappresenta nella sezione di ingresso del ricevitore tutto il rumore introdotto nel canale
dalle varie sorgenti, interne ed esterne.
Pmisurata = 13dB + PdB senza radiostella
Ta senza radiostella = 3K
Pmis.radiostella
Pmis.senzaradiostella
≅ 20(= 13dB ) =
Top.conradiostella
Top.senzaradiostella
=
Te + Ta.con.r .s.
Te + Ta.senza.r .s.
⇒ (Te + Ta.con.r .s. ) = 20(Te + Ta.senza.r .s. ) ⇒ Ta.con.r .s. = 19Te + 60 K
Per una cascata di doppi bipoli la temperatura equivalente totale Te è data dalla seguente formula:
Te = T1 +
T
TN
T2
+ 3 + ...... +
g1 g1 g 2
g1 g 2 ...g N −1
17
nel nostro caso risulta: Te = T1 +
Tl
T
+ 2
g1 g1 g l
L = 0,1dB / m ⋅ 10m = 1dB ≅ 1,26
gl =
1
1
=
≅ 0,8
L 1,26
Tl = T0 (L − 1) = 290(1.26 − 1) ≅ 75 K
(F2 = 2,3dB ≅ 1,7 )
T2 = T0 (F2 − 1) = 290(1.7 − 1) ≅ 203K
Te = T1 +
Tl
T
75
203
+ 2 = 50 +
+
≅ 51K
g1 g1 g l
316 316 ⋅ 0,8
(g1 = 25dB ≅ 316 )
Ta.con.r .s. = 19Te + 60 K = 19 ⋅ 51 + 60 = 1029 K
11) Si consideri lo schema a blocchi di ricevitore di fig. 10:
con i seguenti parametri:
Temperatura di antenna
TA = 50 K
18
Attenuazione linea
Temper. fisica della linea
Temper. rumore dell’amplif.
Guadagno dell’amplif.
L = 3 dB
TLF = 200 K
T1 = 500 K
g1 = 20 dB
Calcolare la densità spettrale della potenza disponibile di rumore in uscita.
G du =
K (Ta + Te )
⋅ gd
2
Tl = TLF (L − 1) = 200(2 − 1) = 200 K
Te = Tl +
T1
= Tl + T1 ⋅ L = 200 + 500 ⋅ 2 = 1200 K
gl
g d = g1 ⋅ g l =
⇒ Gdu
(L = 3dB ≅ 2)
g1 100
=
= 50
L
2
(g1 = 20dB = 100)
K (Ta + Te )
1,38 ⋅ 10 −23 (50 + 1200)
=
⋅ gd =
⋅ 50 = 4,31 ⋅ 10 −19 watt
Herz
2
2
19