Esercizi di teoria dei giochi

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Esercizi di teoria dei giochi
Luca Correani
Settembre 2006
Indice
1 Giochi Statici con informazione completa
1.1 Analisi formale dei giochi e calcolo dell’equilibrio di Nash . . . .
2
2
2 Giochi Bayesiani
5
2.1 Analisi formale dei giochi e calcolo dell’equilibrio di Nash Bayesiano 5
3 Giochi Dinamici con informazione completa
9
3.1 Induzione all’indietro ed equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi 9
4 Giochi Ripetuti
13
4.1 Collusione, reputazione e Folk Theorem . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Giochi Dinamici con informazione incompleta
16
5.1 Giochi di segnalazione ed equilibrio di Nash perfetto Bayesiano . 16
6 Giochi evolutivi
18
6.1 La dinamica dei replicatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.1.1 Giochi simmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.1.2 Giochi asimmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1
Capitolo 1
Giochi Statici con
informazione completa
1.1
Analisi formale dei giochi e calcolo dell’equilibrio di Nash
Esercizio 1.1
Due lavoratori di pari abilità devono decidere simultaneamente se offrire i
propri servizi ad un salario alto wh o basso wl . Se entrambi richiedono un salario
alto sarà assunto solo uno di essi in modo casuale - in tal caso la probabilità di
assunzione è pari a 0, 5. Se si offrono a salari differenti verrà assunto quello che
ha chiesto il salario più basso. Se il salario richiesto dai due lavoratori è quello
basso allora verranno assunti entrambi.
1. Definire in modo formale gli elementi del gioco e costruire la matrice dei
payoff;
2. Verificare se ci sono strategie strettamente o debolmente dominate;
3. Determinare l’equilibrio di Nash;
4. Ripetere l’esercizio ipotizzando che nel caso in cui si offrissero entrambi
ad un salario basso, solo uno di essi venga assunto.
Esercizio 1.2
In un gioco statico le funzioni di utilità di due giocatori sono u1 = 12s0,5
1 − s2
e u2 = 2s0,5
−
3s
.
Con
s
>
0
è
indicata
la
generica
strategia
pura
del
giocatore
1
i
2
i.
1. Definire in modo formale gli elementi del gioco;
2. Determinare l’equilibrio di Nash.
3. Ripetere l’esercizio ipotizzando le seguenti funzioni di utilità u1 = 12s0,5
1 −
−
3s
s
.
s2 s1 e u2 = 2s0,5
1 2
2
4. Chiarire le differenze tra i risultati ottenuti nei punti 2 e 3.
2
CAPITOLO 1. GIOCHI STATICI CON INFORMAZIONE COMPLETA
3
Esercizio 1.3 (da Tirole [1] pag. 37 )
Si consideri il gioco riportato nella figura 1.1 e si stabilisca per quali valori
dei parametri il profilo (U,L) è un equilibrio di Nash.
G1 / G 2
U
D
L
a;b
e;f
R
c;d
g;h
Figura 1.1
Esercizio 1.4
Si consideri il gioco riportato nella figura 1.2;
2. Determinare l’equilibrio di Nash;
3. Verificare se ci sono strategie strettamente o debolmente dominate.
G1 \ G 2
A
B
a
b
c
0;2
2;0
1;3
-1;1
0;2
0;3
Figura 1.2
Esercizio 1.5 - Oligopolio à la Cournot
Tre imprese devono decidere simultaneamente quanto produrre di uno stesso
bene. Le loro funzioni di costo sono C1 = 10+c21 q1 , C2 = 8+c22 q2 e C3 = 2+c21 q3 .
La funzione di domanda è p = a − bQ.
2. Determinare l’equilibrio di Nash, ipotizzando che c1 = c2 = c3 ;
3. Ripetere il punto 2 ipotizzando c1 > c2 > c3 ;
4. Chiarire le differenze tra i risultati ottenuti nei punti 2 e 3.
Esercizio 1.6
Un monopolista deve decidere il livello di qualità dei propri prodotti; una
volta fatta la sua scelta un gruppo di clienti, che non conosce il livello qualitativo
scelto dal monopolista, decide se acquistare o no. Un prodotto di alta qualità
fornisce al cliente una utilità di 10 mentre quello di bassa qualità solo di 5. Il
prezzo del prodotto è pari a p < 5. I costi della produzione sono ch per l’alta
qualità e cl per la bassa qualità, con ch > cl .
CAPITOLO 1. GIOCHI STATICI CON INFORMAZIONE COMPLETA
4
2. Costruire la matrice dei payoff;
3. Stabilire se esiste un equilibrio in cui il monopolista sceglie di produrre
alta qualità.
Esercizio 1.7 - Duopolio à la Bertrand
Due imprese identiche devono decidere il prezzo di vendita del proprio prodotto. I prezzi praticabili sono solo cinque: p1 = 5, p2 = 4, p3 = 3, p4 = 2 e
p1 = 1 = cmg . L’impresa che fissa il prezzo più basso si appropria dell’intera
domanda di mercato; se i prezzi scelti sono uguali, la domanda è divisa in parti
uguali. La domanda è D(pi ).
2. Costruire la matrice dei payoff;
3. Determinare l’equilibrio di Nash.
Esercizio 1.8
Due giocatori si confrontano nel gioco carta, pietra, forbice. Rappresentare il
gioco in forma strategica e trovarne gli equilibri.
Esercizio 1.9
Si consideri il gioco della figura 1.3. Il giocatore 2 (colonna) gioca la strategia
mista 1/2, 1/2. Con riferimento al giocatore 1 (riga) stabilire se esiste una
strategia mista che domina strattamente almeno una delle sue strategie pure.
G1 / G 2
A
B
C
Figura 1.3
a
3;1;2;-
b
1;3;0;-
Esercizio 1.10
Si consideri il gioco della figura 1.2 ipotizzando che le mosse non siano più
simultanee ma sequenziali con informazione perfetta.
1. Determinare l’equilibrio ipotizzando che il giocatore 1 muova per primo;
2. Determinare l’equilibrio ipotizzando che il giocatore 2 muova per primo;
3. Confrontare le soluzioni dei punti 1 e 2 con quella ottenuta nella versione
statica del gioco.
Capitolo 2
Giochi Bayesiani
2.1
Analisi formale dei giochi e calcolo dell’equilibrio di Nash Bayesiano
Esercizio 2.1 (da Gibbons [2] pag.148)
Si consideri un duopolio à la Cournot con domanda di mercato P (Q) = a−Q.
La funzione di costo dell’impresa 1 è C1 = cq1 mentre quella dell’impresa 2 è
C2 = cL q2 con probabilità 1/3 e C2 = cH q2 con probabilità 2/3. Limpresa 2
conosce la propria funzione di costo.
2. Determinare l’equilibrio di Nash Bayesiano.
Esercizio 2.2 (da Hargreaves Heap [3] pag.85)
Si consideri il gioco della figura 2.1. Il giocatore 1 può essere di due tipi con
p(t1 ) = 0, 6. Il giocatore 2 non conosce il tipo del giocatore 1.
2. Calcolare l’equilibrio di Nash Bayesiano.
G1 / G 2
A
B
Figura 2.1
a
0 o 3;-1
2;1
b
2 o 5;0
3;0
Esercizio 2.3
Si consideri il gioco della figura 2.2. Entrambi i giocatori possono essere di
due tipi. Per il giocatore 1 si ha che p(t1 ) = 0, 6, mentre per il giocatore 2
p(t1 ) = 0, 2.
2. Calcolare l’equilibrio di Nash Bayesiano.
5
CAPITOLO 2. GIOCHI BAYESIANI
G1 / G 2
A
B
Figura 2.2
a
0 o 3;-1
2;1
6
b
2 ;0
3;2 o -1
Esercizio 2.4 (si veda anche Tirole [1] pag. 212)
Due gruppi di contribuenti devono decidere se pagare le imposte o meno.
È sufficiente che uno di essi paghi le imposte perchè il governo sia in grado
di fornire un bene pubblico che darà utilità pari a 1 ad entrambi i gruppi.
L’importo delle imposte pagate dipende dal reddito del gruppo. Se il reddito
è alto allora l’imposta è tH , se è basso tL con 1 > tH > tL > 0. Ogni gruppo
conosce il proprio livello di reddito, ma ignora quello dell’altro gruppo. Vale la
seguente probabilità: ptH = 0, 5.
2. Ricavare la matrice dei payoff;
3. Calcolare l’equilibrio di Nash Bayesiano e chiarire se c’è evasione fiscale.
Esercizio 2.5
Si consideri un gioco con due giocatori. Il giocatore 1 può essere di due tipi.
Se è di tipo t1 il gioco è un dilemma del prigioniero; se invece è di tipo t2 il
gioco diventa del tipo Battaglia dei sessi.
1. Rappresentare il gioco in modo formale (matrici dei payoff);
2. Studiare gli equilibri del gioco.
Esercizio 2.6
Si consideri una vendita all’asta al miglior offerente, con offerta in busta
sigillata e due offerenti. Ogni offerente valuta la merce in modo soggettivo.
La valutazione può essere alta vH con probabilità 1/2 o bassa. I prezzi di
offerta possono essere solo due: p1 < p2 . Inoltre vale la seguente relazione:
p1 < v1 < p2 < v2 . Se le offerte sono uguali, l’offerente che si aggiudica la merce
viene determinato dal lancio di una moneta.
2. Studiare gli equilibri del gioco.
Esercizio 2.7 (Jehle - Reny [7] pag. 283)
Due imprese competono à la Bertrand. Il costo marginale della prima impresa è zero. Il costo marginale della seconda impresa può essere 1 o 4 con
probabilità 1/2. Se il prezzo più basso praticato è p allora la domanda è 8 − p.
Ogni impresa può scegliere solo un prezzo tra i tre a disposizione: p1 = 1, p2 = 4,
p3 = 6. I payoff sono descritti nella figura 2.3.
1. Determinare l’equilibrio di Nash Bayesiano;
2. Rappresentare il gioco in forma strategica (basta rappresentarlo come se
ci fossero tre giocatori).
G1 \ G2l
p1 = 6
p1 = 4
p1 = 1
pl = 6
6,5
16,0
7,0
pl = 4
0,12
8,6
7,0
pl = 1
0,0
0,0
7,0
Figura 2.3
7
G1 \ G2 h
p1 = 6
p1 = 4
p1 = 1
ph = 6
6,-2
16,0
7,0
ph = 4
0,0
8,0
7,0
Esercizio 2.8 (Dutta [8] pag. 315)
Si consideri il gioco della figura 2.4.
2. Stabilire per quale valore di p la strategia a è la strategia migliore del
gioctore 2 a fronte di una strategia (a, b) del giocatore 1.
ph = 1
0,-21
0,-21
7,0
8
Natura
p
1-p
Tipo 1
Tipo 2
a
b
a
b
G2
a
(0,1)
Figura 2.4
b
(1,0)
a
b
(3,0)
a
(0,3)
(3,1)
b
(0,0)
a
b
(0,0)
(1,3)
Capitolo 3
Giochi Dinamici con
informazione completa
3.1
Induzione all’indietro ed equilibrio di Nash
perfetto nei sottogiochi
Esercizio 3.1
Una impresa deve decidere se entrare in un mercato dove è già presente un
monopolista. Qualora decidesse di entrare correrebbe il rischio di subire una vera
e propria ritorsione da parte dell’impresa monopolista che provocherebbe perdite
ad entrambe le imprese. Se invece la reazione del monopolista è accomodante,
le due imprese si dividerebbero i profitti del mercato in parti uguali.
1. Rappresentare il gioco in forma estesa;
2. Studiare gli equilibri del gioco;
3. Come cambierebbe la soluzione se le imprese facessero le proprie scelte
simultaneamente?
Esercizio 3.2 (si veda Rapoport[4] pag.80)
Sviluppare un gioco del tipo dilemma del prigioniero con due giocatori ma con
mosse sequenziali e se ne studino gli equilibri. Ripetere l’esercizio ipotizzando
tre giocatori.
Esercizio 3.3
Sviluppare un gioco del tipo Battaglia dei sessi con due giocatori ma con
mosse sequenziali e se ne studino gli equilibri. Confrontare la soluzione con
quella ottenuta nella versione simultanea del gioco.
Esercizio 3.4
Sviluppare un gioco del tipo Matching pennies con due giocatori ma con
mosse sequenziali e se ne studino gli equilibri. Confrontare la soluzione con
quella ottenuta nella versione simultanea del gioco.
9
CAPITOLO 3. GIOCHI DINAMICI CON INFORMAZIONE COMPLETA10
Esercizio 3.5
Si consideri il gioco della figura 3.1 e se ne studino gli equilibri.
G1
A
B
G2
a
b
c
d
G3
2
10
5
5
2
2
Figura 3.1
10
5
5
A
C
B
1
1
10
5
10
5
5
5
5
Esercizio 3.6
Si rappresenti il gioco della figura 3.1 attraverso una matrice dei payoff (N.B.
- i giocatori sono 3) e se ne studino gli equilibri.
Esercizio 3.7
Si consideri il gioco della figura 3.1 e si ipotizzi che i giocatori 1 e 3 siano la
stessa persona.
1. Rappresentare il gioco attraverso una matrice dei payoff;
2. Definire in modo formale l’insieme delle strategie di ogni gicatore;
3. Calcolare gli equilibri del gioco e confrontarli con quelli ottenuti con
l’induzione all’indietro.
Esercizio 3.8
Due imprese muovono in sequenza. Nel primo stadio l’impresa 1 deve decidere
di quanto capitale dotarsi (K1 ); nel secondo stadio l’impresa 2 osserva la scelta
fatta dall’impresa 1 esceglie a sua volta il proprio livello di capitale (K2 ). I
profitti della generica impresa i con i = 1, 2 sono dati da Πi = Ki (1 − K1 − K2 ).
1. Rappresentare il gioco in forma estesa;
2. Determinare le dotazioni di capitale scelte dalle due imprese e i rispettivi
profitti;
3. Commentare i risultati ottenuti nel punto 1;
4. Ripetere il gioco ipotizzando che le imprese facciano le loro scelte simultaneamente e verificare se la soluzione cambia.
Esercizio 3.9 (Tirole [1])
1. Trovare gli equilibri sequenziali;
2. Calcolare per quali valori di p il giocatore 2 preferirà l’azione b;
3. Rappresentare il gioco in forma matriciale, determinare gli equilibri di
Nash e verificare se coincidono con quelli trovati nel punto 1.
G1
A
B
p
1-p
G2
a
2
2
b
a
10
5
5
15
b
5
0
Figura 3.2
Esercizio 3.10
Risolvere il seguente modello utilizzando l’induzione all’indietro:
1. Il primo giocatore (impresa 1) muove scegliendo il livello ottimo di produzione q1 ;
2. Il secondo giocatore (impresa 2) osserva la quantità scelta dal primo e
decide prezzo p e quantità q2 ;
3. Il prezzo scelto dall’impresa 2 è adottato anche dalla prima impresa;
4. Le utilità dei due giocatori sono: U1 = U1 (q1 , p, q2 ) , U2 = U2 (q1 , p, q2 ).
Esercizio 3.11
Un monopolista deve fronteggiare la possibile entrata nel mercato di una
impresa concorrente. In caso di entrata il monopolista è chiamato a decidere
se dare il via ad una guerra dei prezzi che produrrà perdite per entrambe le
imprese, o assumere un atteggiamento accomodante, accettando di dividere i
profitti di monopolio con la concorrente.
1. In base al criterio dell’induzione all’indietro, quale sarà la strategia adottata dal monopolista?
2. Rappresentare il gioco attraverso una matrice dei payoff e determinare gli
equilibri di Nash;
3. Confrontare le soluzioni dei punti precedenti. Sono differenti? Perchè?
Esercizio 3.12 (Gibbons [2] pag. 138)
Tre oligopolisti operano in un mercato con domanda p = a − Q. Ogni impresa
ha un costo marginale di produzione costante, c e non ha costi fissi. Le imprese
scelgono le loro quantità nel modo seguente: 1) l’impresa 1 sceglie q1 ; 2) le altre
imprese osservano q1 e poi scelgono simultaneamente q2 e q3 rispettivamente.
Quale è l’esito perfetto nei sottogiochi?
Capitolo 4
Giochi Ripetuti
4.1
Collusione, reputazione e Folk Theorem
Esercizio 4.1
Si consideri un dilemma del prigioniero ripetuto infinite volte. Determinare
la condizione che porta i giocatori a scegliere la cooperazione in ogni periodo.
Esercizio 4.2
Si ripeta l’esercizio precedente ipotizzando che ad ogni stadio il gioco possa
concludersi con probabilità pari a 1/2.
Esercizio 4.3
Si consideri un duopolio di Bertrand ripetuto infinite volte.
1. E’ possibile che le imprese si accordino per fissare congiuntamente un
prezzo più alto del costo marginale?
2. La collusione diventa più o meno probabile all’aumentare del numero di
imprese?
Esercizio 4.4
Si consideri un dilemma del prigioniero. Chiarire se è possibile avere un
equilibrio cooperativo con un numero finito di ripetizioni del gioco.
Esercizio 4.5
Si considerino i seguenti elementi di un gioco statico: I = {1, 2}, S1 = {A, B},
S2 = {a, b}, u1 (A, a) = α, u1 (A, b) = 0, u1 (B, a) = 5, u1 (B, b) = 4. Il gioco è
simmetrico.
1. Rappresentare la matrice dei payoff;
2. Stabilire per quali valori di α il profilo (A, a) è un equilibrio del gioco;
3. Si ipotizzi che il gioco venga ripetuto un numero finito di volte: per quali
valori di α il profilo (A, a) è un equilibrio del gioco ripetuto? Di che tipo
di equilibrio si tratta?
13
CAPITOLO 4. GIOCHI RIPETUTI
14
Esercizio 4.6
Si consideri un dilemma del prigioniero ripetuto infinite volte. In base al Folk
Theorem, si determini graficamente l’insieme dei payoff ammissibili che possono
considerarsi come risultati di corrispondenti equilibri perfetti del gioco ripetuto.
Esercizio 4.7
Si ripeta l’esercizio precedente avendo come gioco di riferimento:
• Duopolio di Bertrand;
• Duopolio di Cournot;
• Battaglia dei sessi;
• Stug-Hunt.
Esercizio 4.8
Chiarire se la seguente strategia può costituire un equilibrio di Nash perfetto
nei sottogiochi nel dilemma del prigioniero ripetuto infinite volte: Cooperare nei
periodi dispari; non cooperare nei periodi pari.
• Determinare il payoff medio che assicurerebbe lo stesso valore ottenuto nel
caso in cui entrambi i giocatori giocassero tale strategia;
• chiarire se il payoff medio è ammissibile e se è superiore a quello relativo
all’equilibrio di Nash del gioco costituente.
Esercizio 4.9
Si considerino n imprese che competono à la Bertrand e che interagiscono per
un numero infinito di periodi. Se decidono di formare un cartello ottengono ogm
nuna un profitto pari a Πn ; rompere l’accordo frutta l’intero profitto del settore,
ma solo per un periodo; una volta scoperta la defezione,infatti, inizierebbe una
guerra di prezzo tra le imprese che porterebbe i profitti di ognuna ad annullarsi.
Determinare sotto quali condizioni il cartello è in grado di reggere ipotizzando
le seguenti situazioni:
• La domanda di mercato è ciclica; aumenta di un fattore θ > 1 nei periodi
dispari e si riduce di un fattore λ < 1 nei periodi pari;
• il numero delle imprese aumenta di un fattore θ > 1;
• ci sono ritardi di informazione, per cui una defezione può essere scoperta
solo dopo m periodi;
• le n imprese hanno tutte un δ differente.
Esercizio 4.10 (Hargreaves [3] pag. 196)
Si consideri un dilemma del prigioniero ripetuto infinite volte. Ogni giocatore
ha a disposizione le seguenti strategie:
• Trigger strategy;
• Defezionare sempre;
CAPITOLO 4. GIOCHI RIPETUTI
15
• Cooperare fino a che l’altro coopera; in caso di defezione del rivale si sceglie
di non cooperare per due periodi (invece che per sempre come nella trigger
strategy).
Costruire una matrice dei payoff dove siano riportate le tre strategie con i
corrispondenti payoff, e quindi determinare gli equilibri del gioco.
Esercizio 4.11
Per ognuno dei mercati sotto riportati si provi a costruire un modello di
collusione che formalizzi le caratteristiche di ognuno e metta in luce i possibili
incentivi/ostacoli alla collusione tra imprese. Mercati da considerare:
• Telefonia;
• Farmaceutico;
• Latte in polvere;
• Carburanti per autotrazione;
• Discografia;
• Libri scolastici;
• Prodotti per l’infanzia (passeggini, seggioloni, ecc..);
• Acqua minerale;
• Diamanti.
Capitolo 5
Giochi Dinamici con
informazione incompleta
5.1
Giochi di segnalazione ed equilibrio di Nash
perfetto Bayesiano
Esercizio 5.1
Un mercato è formato da una impresa e un consumatore che deve decidere
se acquistare o meno i prodotti offerti. L’impresa può essere di due tipi: con
un 50% di probabilità essa produce beni di alta qualità, altrimenti di scarsa
qualità. Entrambe i tipi possono decidere di inviare messaggi pubblicitari ad
un costo di 5 o di non fare pubblicità. Dato lo schema del gioco riportato nella
figura 5.1, studiare gli equilibri e chiarire se la situazione in cui solo l’impresa
di alta qualità realizza una campagna pubblicitaria è un equilibrio del gioco.
10,10
Compra
Compra
Pubbl.
Aq
No Pubbl.
Non compra
Non compra
0,5
-5,0
15,10
0,0
Nat
10,-5
Compra
Non compra
-5,0
Compra
0,5
Pubbl.
No Pubbl
Bq
Figura 5.1
16
15,-5
Non compra
0,0
CAPITOLO 5. GIOCHI DINAMICI CON INFORMAZIONE INCOMPLETA17
Esercizio 5.2
• Definire in modo formale gli elementi costitutivi del gioco;
• Determinare gli equilibri.
(1;1)
(2;1)
(1;2)
(0;1)
a
m1
m2
t2
b
0,2
a
0,8
b
m1
t1
c
(0;1)
c
m2
(1;0)
Figura 5.2
Esercizio 5.3
Un’impresa deve segnalare in anticipo il livello di qualità della propria produzione. La segnalazione può essere veritiera o falsa, ma in quest’ultimo caso
l’impresa rischia di incappare in una sanzione S qualora venisse scoperto che
il segnale inviato è falso. La probabilità di essere scoperti è pari a 0, 7. Una
seconda impresa osserva il segnale e decide se adottare lo stesso livello di qualità
segnalato o uno differente (più alto o più basso). Se i livelli effettivi di qualità
delle due imprese sono uguali allora queste si dividono il mercato in parti uguali
ottenendo ognuna ricavi Π2 ; se sono differenti, l’impresa con la qualità maggiore
si appropria dell’intero mercato ottenendo un ricavo pari a Π. I profitti vanno
comunque ridotti del costo della qualità: c1 per la bassa qualità, c2 per la media
e c3 per quella alta con c3 > c2 > c1 . La probabilità che la prima impresa sia
di alta qualità è 0, 4.
1. Costruire lo schema del gioco di segnalazione e definire in modo formale i
suoi elementi ;
2. Determinare gli equilibri Bayesiani perfetti;
3. Valutare l’effetto di un aumento della probabilità che il segnale falso venga
scoperto;
4. Chiarire se per una impresa di alta qualità è possibile indurre la seconda
a scegliere una qualità minore attraverso un segnale falso.
Capitolo 6
Giochi evolutivi
6.1
6.1.1
La dinamica dei replicatori
Giochi simmetrici
Esercizio 6.1 (Weibull [5], Faccipieri [6])
Si considerino i seguenti giochi simmetrici:
1. Dilemma del prigioniero;
2. Gioco di coordinamento;
3. Hawk-Dove;
4. Rock-Scissors-Paper.
Per ognuno di essi studiare le dinamiche evolutive attraverso le equazioni dei
replicatori. Nell’analisi servirsi dei diagrammi di fase.
Esercizio 6.2
Si ripeta l’esercizio precedente ipotizzando versioni asimmetriche dei giochi.
Per il gioco Rock-Scissors-Paper si impostino solo le equazioni di replicazione.
Esercizio 6.3
Si consideri una popolazione di imprese che competono à la Bertrand. I prezzi
praticabili sono due: P1 < P2 . Al tempo t0 la quota di imprese che pratica il
prezzo più basso è solo del 2%. Utilizzando le equazioni dei replicatori studiare
le dinamiche evolutive di questa popolazione precisando se esiste la possibiltà
che tutte le imprese decidano di praticare il prezzo più alto (contraddicendo
l’equilibrio di Bertrand).
Esercizio 6.4
Studiare le dinamiche evolutive di un gioco del tipo matching pennies. Esiste
un equilibrio asintoticamente stabile?
18
CAPITOLO 6. GIOCHI EVOLUTIVI
19
Esercizio 6.5
Si consideri una popolazione di imprese che competono sulla qualità del
prodotto venduto. La qualità che ognuna può scegliere è alta o bassa. Scegliere
qualità alta permette di avere un maggiore livello dei profitti se l’impresa è
chiamata a confrontarsi con un’altra che ha scelto bassa qualità. Se il confronto
è tra due imprese che hanno scelto lo stesso livello qualitativo, allora queste
ottengono profitti pari a Π, indipendentemente dal livello di qualità scelto.
1. Determinare la matrice dei payoff;
2. Studiare l’evoluzione delle strategie delle imprese attraverso le equazioni
di replicazione.
Esercizio 6.6
Si ripeta l’esercizio precedente ipotizzando che con probabilità pari a 0, 1 il
profitto delle imprese di alta qualità sia zero, a causa degli alti costi sostenuti.
Esercizio 6.7
Si consideri una popolazione in cui ogni individuo deve decidere se spostarsi
con mezzi pubblici o con l’auto privata. L’utilizzo dell’auto privata assicura un
payoff pari a u1 x dove x indica la quota di popolazione che usa i mezzi pubblici.
Il payoff derivante dall’utilizzo dell’auto privata è tanto più alto quanto maggiori
sono gli individui che utilizzano mezzi pubblici (le strade sono più libere dal
traffico). Il payoff di coloro che prendono il mezzo pubblico è u2 (1 − x); la
loro utilità si riduce all’aumentare della quota di coloro che usufruiscono di
mezzi pubblici. Si ipotizzi che u1 = u2 .Attraverso lo studio delle equazioni dei
replicatori studia le dinamiche di questa popolazione, precisando se sia possibile
avere un equilibrio stabile in cui tutti gli individui rinunciano all’auto privata.
Esercizio 6.8
Si ripeta l’esercizio precedente ma con u1 = 1 e u2 = 5. Confrontare la
soluzione con quella ottenuta in precedenza; cosa è cambiato? Perchè?
Esercizio 6.9
Due giocatori muovono in sequenza. La struttura dei payoff è la seguente:
(a, c) → (0, 2), (a, d) → (1, 1), (b, c) → (0, 0), (b, d) → (3, 0).
1. Rappresentare il gioco in forma estesa e determinare le soluzioni;
2. Rappresentare il gioco attraverso una matrice dei payoff e determinare gli
equilibri;
3. Considerare il gioco del punto 2 e studiarne le dinamiche evolutive attraverso le equazioni dei replicatori.
Esercizio 6.10
Si consideri una popolazione con tre tipi di individui: cooperativi, cooperativi
con monitoraggio, non cooperativi. Ogni giocatore è chiamato a condividere un
progetto con un altro estratto a caso dalla popolazione. Il monitoraggio ha un
costo pari ad m ma permette di valutare in anticipo se il soggetto con cui si
20
interagisce è cooperativo o no; in quest’ultimo caso si interrompe immediatamente il progetto. La realizzazione del progetto ha un rendimento pari ad A;
tuttavia se l’individuo cooperativo interagisce con uno non cooperativo sarà solo
questultimo ad ottenere il rendimento A. Il gioco è presentato nella figura 6.1.
C
G1 \ G 2
A−b/2; A−b/2
C
A−m−b/2; A−b/2
Cm
A;-b
nC
Figura 6.1
Cm
A−b/2; A−m−b/2
A−m−b/2; A−m−b/2
0;-m
nC
− b ;A
-m;0
0;0
1. Studiare le dinamiche della popolazione (per facilitare lo svolgimento si
può attribuire un valore numerico ai parametri);
2. Chiarire se esiste un equilibrio in cui la popolazione sia interamente costituita da cooperativi;
3. Chiarire l’effetto sulle dinamiche di un aumento del costo di monitoraggio.
Esercizio 6.11 (Hargreaves [3])
Ricavare il diagramma del processo evolutivo che corrisponde al gioco della
figura 6.2, ipotizzando una popolazione omogenea.
G1 / G 2
a
b
c
Figura 6.2
6.1.2
A
1,1
-1,-1
0,2
B
-1,-1
1,1
0,0
C
2,0
0,0
1,1
Giochi asimmetrici
Esercizio 6.12
Un sistema economico è costituito da due popolazioni distinte di investitori. In
ogni momento un imprenditore della prima popolazione deve coordinarsi con uno
della seconda, per la realizzazione di un progetto. Ogni giocatore può scegliere
se cooperare o comportarsi da free rider. Se cooperano ottengono entrambi un
payoff π1 . La non cooperazione assicura un payoff di π2 con π1 > π2 . Se un
individuo cooperativo si incontra con un free rider allora ottiene 0.
1. Costruire la matrice dei payoff del gioco;
2. Studiare le dinamiche delle due poplazioni servendoti del diagramma di
fase;
3. Sotto quali condizioni la strategia cooperativa si diffonde in entrambe le
popolazioni?
21
Esercizio 6.13
Si ripetano gli esercizi 6.1 e 6.4, ipotizzando che i giocatori appartengano a
due popolazioni differenti.
Esercizio 6.14
Le imprese di due distretti industriali interagiscono continuamente l’una con
l’altra. Il comportamento cooperativo è premiante se reciproco e assicura un
payoff di y1 a entrambe le imprese. L’impresa cooperativa che interagisce con
una non cooperativa ottiene 0. La non cooperazione assicura comunque un
payoff pari a y2 con y2 < y1 . Scegliere la cooperazione, quindi, richiede una
certa fiducia nei confronti dell’impresa dell’altro distretto.
1. Rappresentare la matrice dei payoff del gioco;
2. Studiare le dinamiche evolutive e rappresentarle in un diagramma di fase;
3. Chiarire se esiste un equilibrio in cui le imprese di entrambi i distretti
cooperano;
4. Ripetere l’esercizio ipotizzando che tutte le imprese appartengano allo
stesso distretto.
Bibliografia
[1] Tirole, J. e Fudemberg, D., Game Theory, The MIT Press, Cambridge,
Massachussetts, 1991.
[2] Gibbons, R., Teoria dei giochi, Il Mulino - Bologna, 1994.
[3] Hargreaves Heap, S., Game theory. A critical text, Routledge, London,
2004.
[4] Rapoport, A., N-person game theory. Concepts and applications, Dover
publications, New York, 1970.
[5] Weibull, J. W., Evolutionary game theory, MIT Press,Cambridge,
Massachussetts, 1998.
[6] Faccipieri S., Teoria evolutiva dei giochi, CEDAM,Padova, 2003.
[7] Jehle G., Reny P., Advanced Microeconomic theory, Addison-Wesley, 2000.
[8] Dutta P., Strategies and games. Theory and practice, MIT, 2000.
22

Esercizi di teoria dei giochi

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